1
00:00:00,050 --> 00:00:08,910
Bueno, comenzamos, vamos a hacer un ligero repaso sobre el tema primero que compete para la segunda evaluación, los vectores y sus operaciones.

2
00:00:09,169 --> 00:00:17,910
Lo que aquí tenemos que saber nosotros es que un vector, un vector a la vez, es un segmento orientado donde tenemos un origen y un extremo.

3
00:00:17,989 --> 00:00:27,829
Y esto es muy importante, esto es muy importante porque nos ayuda a nosotros a luego, cuando manejemos la recta, a tener un vector directo.

4
00:00:28,730 --> 00:00:37,009
Nosotros tenemos un origen A y un extremo B, por lo tanto, teniendo dos puntos, dos puntos A y B, yo puedo tener un vector.

5
00:00:38,270 --> 00:00:45,869
Si el vector va de A a B, pues tiene un módulo, tiene una dirección y tiene un sentido.

6
00:00:46,450 --> 00:00:53,409
El módulo es la distancia entre A y B, se designa entre barras, y es lo que mide realmente el vector.

7
00:00:53,409 --> 00:00:59,250
La dirección es la recta que lo contiene y el sentido es muy importante porque nos lo dice la flecha.

8
00:00:59,630 --> 00:01:04,730
Entonces cuando nosotros vamos de A a B, que es el vector AB que tenemos aquí,

9
00:01:05,730 --> 00:01:13,849
pues aunque esté contenido dentro de esta recta, pues el sentido es partiendo de A, que es su origen, y su extremo es B.

10
00:01:13,849 --> 00:01:22,569
Sin embargo, si nosotros tuviéramos el vector BA, pues su origen es B y su extremo es A.

11
00:01:22,569 --> 00:01:29,569
Perdonad porque tengo un ratón y no es fácil dibujar, ¿vale?

12
00:01:30,150 --> 00:01:36,450
Entonces, en el momento que nosotros tengamos un módulo, una dirección y un sentido,

13
00:01:36,989 --> 00:01:39,849
pues nosotros tenemos definido lo que es el vector, ¿de acuerdo?

14
00:01:41,250 --> 00:01:47,890
¿Qué ocurre? Que dos vectores son iguales, dos vectores son exactamente iguales

15
00:01:47,890 --> 00:01:52,489
si tienen la misma dirección, módulo y sentido y se llaman equipolentes, ¿vale?

16
00:01:52,569 --> 00:02:10,169
Y cuando queremos hacer uso, como aquí bien dice, de un vector, podemos tomar en su lugar cualquiera de los que son iguales a él, es decir, tenemos varios vectores equivalentes, por lo tanto, utilizamos uno de ellos, y cada uno de ellos es un vector fijo, sin embargo, el representante de ellos se llama vector libre, ¿de acuerdo?

17
00:02:10,169 --> 00:02:18,509
¿De acuerdo? Entonces, en principio, lo que tenemos que saber de un vector es que tiene un origen, un extremo, por lo tanto, un módulo, una dirección y un sentido.

18
00:02:19,150 --> 00:02:30,030
Luego, que al multiplicar un vector por un producto, pues lo que hacemos es aumentar ese módulo en k, aumentamos ese módulo en k,

19
00:02:30,030 --> 00:02:36,370
y que luego, en función de si ese k es positivo o negativo, pues modificamos o no el sentido.

20
00:02:36,370 --> 00:02:47,009
¿Vale? Evidentemente si nosotros multiplicamos por cero el vector es igual al vector cero, que tiene el mismo origen y el mismo destino, por lo cual su módulo es cero.

21
00:02:47,409 --> 00:03:01,110
El menos v lo que hace es el opuesto de v, es decir, v empieza aquí, termina aquí y tiene esta recta que lo contiene en dirección desde este origen a este extremo,

22
00:03:01,110 --> 00:03:04,990
Si el marco menos sube, pues es en sentido contrario, ¿vale?

23
00:03:05,330 --> 00:03:08,050
¿Suma y resta de vectores? Pues súper importante, ¿vale?

24
00:03:08,069 --> 00:03:10,990
Leemos esta parte de aquí, es muy importante para luego ver

25
00:03:10,990 --> 00:03:16,490
cuando nosotros hallemos el punto medio o el varicentro de un triángulo

26
00:03:16,490 --> 00:03:18,389
o la mediana y demás.

27
00:03:18,550 --> 00:03:26,449
Todo esto nos va a servir saber cómo se suma y se resta gráficamente dos vectores, ¿vale?

28
00:03:26,449 --> 00:03:28,930
Si todos lo sabemos, pues no es más.

29
00:03:28,930 --> 00:03:33,909
como bien nos dice aquí para asombrar dos vectores u y v

30
00:03:33,909 --> 00:03:36,990
se procede siempre del mismo modo

31
00:03:36,990 --> 00:03:41,889
se sitúa u a continuación de v

32
00:03:41,889 --> 00:03:47,389
con el modo que los orígenes coincidan de ambos vectores

33
00:03:47,389 --> 00:03:55,550
y lo que hacemos es llevarnos v por ejemplo al extremo de u

34
00:03:55,550 --> 00:03:58,310
o bien llevarnos u al extremo de v

35
00:03:58,310 --> 00:04:18,149
El caso es que nosotros formamos aquí un paralelogramo donde la unión del vértice de unión de u y v con la diagonal donde termina ese paralelogramo, esto de aquí encolorado, ¿vale? Es la suma de los dos vectores, ¿vale?

36
00:04:18,149 --> 00:04:25,889
Sin embargo, la recta es la otra diagonal, ¿de acuerdo?

37
00:04:26,290 --> 00:04:30,529
Formamos siempre el paralelogramo U y V con el mismo origen.

38
00:04:31,149 --> 00:04:38,110
Una diagonal desde el origen de U y V hasta el otro extremo es la suma de los ángulos

39
00:04:38,110 --> 00:04:43,990
y luego si nosotros hacemos U-V, lo que nos vamos es al extremo donde acaba V

40
00:04:43,990 --> 00:04:48,069
y hacemos la otra diagonal, en este sentido, ¿vale?

41
00:04:48,149 --> 00:04:56,269
Si nosotros, por ejemplo, tuviéramos v menos v, es esto mismo, pero partiendo desde u y las flechas hacia v.

42
00:04:57,250 --> 00:05:02,290
Aquí los ejemplos y vais a ver que no es complicado.

43
00:05:03,589 --> 00:05:10,610
Esto ya os digo que se utiliza para que sea más fácil entender la fórmula del punto medio,

44
00:05:10,610 --> 00:05:18,790
dividir un segmento en partes iguales y también a la hora de hallar la forma

45
00:05:20,589 --> 00:05:25,829
en combinación lineal de vectores es muy importante en el sentido de que todo esto

46
00:05:25,829 --> 00:05:34,110
todo esto vale es combinación lineal de otros dos vectores que nosotros decíamos que luego vamos a

47
00:05:34,110 --> 00:05:39,949
A ver, nosotros tenemos aquí el vector x e y, que definen un plano.

48
00:05:40,410 --> 00:05:44,829
Entonces, todos los puntos de este plano se pueden poner como combinación lineal de x e y.

49
00:05:44,910 --> 00:05:46,430
Y eso es súper importante.

50
00:05:49,750 --> 00:05:58,230
Las coordenadas de un vector, pues como tenemos que cualquier vector se puede poner como combinación lineal de otros dos,

51
00:05:58,490 --> 00:06:00,769
esta combinación lineal es única.

52
00:06:00,769 --> 00:06:15,730
Esa combinación lineal es única, quiere decir que nosotros si decidimos tener dos vectores que van a formar una base, lo que luego veremos como una base,

53
00:06:16,170 --> 00:06:23,589
pues cualquier vector va a tener una serie de coordenadas respecto a esos dos vectores que tienen distintas direcciones.

54
00:06:23,589 --> 00:06:34,750
Eso sí, súper importante, ¿vale? Los vectores no pueden tener la misma dirección porque si no tendríamos uno que es combinación lineal del otro, son dos vectores que se llaman linealmente independientes, ¿vale?

55
00:06:35,209 --> 00:06:40,709
Y entonces saber que existen unas coordenadas respecto a la base.

56
00:06:41,350 --> 00:06:53,389
Aquí viene el concepto de base, ¿no? El conjunto de base se llama base al conjunto de los vectores del plano, del conjunto de los vectores del plano a dos vectores cualesquiera que tengan, eso sí, distintas direcciones.

57
00:06:53,589 --> 00:07:02,790
Lo importante de la base ortonormal, pues la base ortonormal primero es ortogonal porque forma 90 grados, son perpendiculares entre ellos,

58
00:07:03,269 --> 00:07:10,870
y luego el módulo de cada uno de esos vectores sobre los cuales vamos a hacer las coordenadas, pues tiene el módulo.

59
00:07:11,430 --> 00:07:14,730
Esto de aquí la verdad que es súper, súper importante.

60
00:07:15,250 --> 00:07:17,730
Todo esto de aquí es muy importante.

61
00:07:17,730 --> 00:07:23,750
¿Vale? Entonces, en el momento que nosotros tengamos una base, es decir, tenemos, en este caso, si es un plano,

62
00:07:24,730 --> 00:07:29,750
tenemos dos vectores, pues cualquier vector, como es combinación lineal de ellos,

63
00:07:29,750 --> 00:07:37,889
pues se puede poner como un número multiplicado por uno de ellos, más otro número multiplicado por el otro que forma el vector.

64
00:07:37,990 --> 00:07:47,550
Es decir, si x e y son los vectores que forman la base, pues cualquier vector v, como es combinación lineal de ellos,

65
00:07:47,550 --> 00:07:53,290
pues tendrá una serie de coordenadas, esas coordenadas que son un número que multiplica al vector x

66
00:07:53,290 --> 00:08:08,509
y otro número b que multiplica al vector y, que forma la base y por tanto el vector v

67
00:08:08,509 --> 00:08:16,350
pues tiene unas coordenadas respecto a esa base de x y y es lo que forma la combinación.

68
00:08:17,550 --> 00:08:21,329
Este recuadro de aquí también es bastante importante, ¿vale?

69
00:08:22,230 --> 00:08:26,850
Luego estas propiedades, pues nada de los sumos, nosotros sumamos dos vectores,

70
00:08:26,970 --> 00:08:32,629
tenemos las coordenadas de u respecto a la base, las coordenadas de v respecto a esa misma base,

71
00:08:33,210 --> 00:08:38,110
pues las coordenadas del vector suma es sumar la componente x por un lado y la componente y por otro.

72
00:08:38,690 --> 00:08:47,409
Cuando nosotros multiplicamos por un escalar o un vector, pues al final estamos multiplicando cada una de sus coordenadas, ¿vale?

73
00:08:47,549 --> 00:08:53,830
Y luego recordar que las coordenadas de una combinación lineal, pues nosotros si tenemos el vector u,

74
00:08:54,450 --> 00:09:01,009
el vector u, perdón, el vector u lo voy a quitar, ¿vale?

75
00:09:01,149 --> 00:09:11,370
No aquí, a ver, y ahora si me dejan aquí, bueno, el vector u que tiene las coordenadas x1 y x1 respecto a la base,

76
00:09:11,629 --> 00:09:15,549
el vector v que tiene las coordenadas x2 y x2 sobre la base,

77
00:09:15,549 --> 00:09:19,570
y nosotros hacemos la combinación lineal tanto de u y de v,

78
00:09:19,750 --> 00:09:23,570
es decir, multiplicamos u por a y el vector v por b,

79
00:09:23,950 --> 00:09:28,970
pues el resultado de la primera componente es a por x sub 1 más b por x sub 2,

80
00:09:29,370 --> 00:09:31,509
a por x sub 1 más b por x sub 2.

81
00:09:32,509 --> 00:09:37,730
Eso de ahí es fundamental para luego entender todo lo que hacemos nosotros

82
00:09:37,730 --> 00:09:42,049
en el siguiente tema de resta y demás.

83
00:09:42,049 --> 00:10:03,889
El producto escalar es muy importante, se define así como el producto de los módulos y el coseno del ángulo que forman ellos y luego lo que hemos visto hoy en clase, que si tanto u como v están sobre sus coordenadas, sobre una base ortonormal,

84
00:10:03,889 --> 00:10:13,870
pues al final el producto escalar analíticamente es la multiplicación de las coordenadas y su suma, ¿vale?

85
00:10:14,730 --> 00:10:27,750
Entonces, es importante, si dos vectores su producto escalar da cero, eso significa que los vectores son perpendiculares, ¿de acuerdo?

86
00:10:27,750 --> 00:10:40,789
Entonces, si son perpendiculares, si son perpendiculares, el producto escalar es cero. Igualmente, si el producto escalar es cero, pues, por lo tanto, ellos son perpendiculares.

87
00:10:40,789 --> 00:10:50,070
Al multiplicar el producto escalar, tiene una serie de propiedades.

88
00:10:50,169 --> 00:10:55,789
La conmutativa, que da igual multiplicar, pero hace el producto escalar de u por v, que es v por u.

89
00:10:55,789 --> 00:11:02,750
La propiedad asociativa, en la cual hay un escalar, que en este caso es lambda, que multiplica el producto escalar.

90
00:11:03,330 --> 00:11:08,309
Eso es igual a multiplicar ese lambda por uno de los vectores y hallar el producto escalar.

91
00:11:08,309 --> 00:11:14,690
o bien hacer el producto de escalar del otro vector por el escalar multiplicado por el segundo.

92
00:11:14,850 --> 00:11:22,649
O la propiedad distributiva, donde el producto de escalar de un vector u con otro vector que suma de otros dos

93
00:11:22,649 --> 00:11:28,970
es lo mismo que sumar los productos escalares de tanto u con v como u por v.

94
00:11:30,429 --> 00:11:33,009
Aquí es fundamental la base autonómica.

95
00:11:33,009 --> 00:11:43,509
que si la base que forma el eje de coordenadas es una base ortonormal,

96
00:11:43,509 --> 00:11:50,809
eso quiere decir que si IJ es una base ortonormal, el producto escalar de I por I es igual a 1,

97
00:11:50,970 --> 00:11:57,370
eso quiere decir que el módulo es 1, que J por J también es 1, y luego que I por J es igual a 0.

98
00:11:57,370 --> 00:12:02,690
¿Pero eso qué significa? Pues que el módulo de Y es 1, el módulo de J es 1,

99
00:12:02,889 --> 00:12:08,929
y que Y y J, al ser su producto escalar cero, es que son perfectos, ¿de acuerdo?

100
00:12:09,330 --> 00:12:12,970
Entonces aquí sí, cuando nosotros estamos en una base ortonormal,

101
00:12:12,970 --> 00:12:19,809
pues resulta que el producto escalar se resume únicamente al producto de las coordenadas X entre ellas

102
00:12:19,809 --> 00:12:22,909
y se le suma el producto de las coordenadas Y, ¿vale?

103
00:12:22,909 --> 00:12:31,289
luego entramos en las coordenadas de un vector ortogonal

104
00:12:31,289 --> 00:12:32,649
lo hemos visto también

105
00:12:32,649 --> 00:12:35,210
cuando tú tienes un vector de esa vez

106
00:12:35,210 --> 00:12:37,629
otro es ortogonal a E

107
00:12:37,629 --> 00:12:41,309
si lo que cambiamos es el orden

108
00:12:41,309 --> 00:12:44,809
es decir, la coordenada X por la coordenada Y

109
00:12:44,809 --> 00:12:46,250
aquí es la coordenada A y B

110
00:12:46,250 --> 00:12:47,529
pues se cambian entre ellos

111
00:12:47,529 --> 00:12:49,450
y se le cambia el signo

112
00:12:49,450 --> 00:12:51,950
aquí lo podemos comprobar

113
00:12:51,950 --> 00:13:05,769
Y se puede comprobar que si nosotros, por ejemplo, tenemos 3, 2, pues menos 2, 3 o 2, menos 3 son ortogonales al vector 3, 2.

114
00:13:05,870 --> 00:13:13,460
Su producto es para el 0.

115
00:13:13,460 --> 00:13:24,539
Y el módulo de un vector con una base ortonormal al final es pitao.

116
00:13:24,539 --> 00:13:38,820
Aquí vemos que esto es la aplicación de Pitágoras tal cual, donde la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los capítulos.

117
00:13:38,820 --> 00:13:46,080
el ángulo de dos vectores en una base ortonormal

118
00:13:46,080 --> 00:13:47,440
pues esto es la definición

119
00:13:47,440 --> 00:13:49,360
de un circuito escalar

120
00:13:49,360 --> 00:13:50,320
por lo tanto

121
00:13:50,320 --> 00:13:53,399
el coseno en una base ortonormal

122
00:13:53,399 --> 00:13:54,700
como el circuito escalar

123
00:13:54,700 --> 00:13:56,600
es la multiplicación de los coordenados

124
00:13:56,600 --> 00:13:58,960
y los módulos en la siguiente

125
00:13:58,960 --> 00:14:00,259
pues está formulado aquí

126
00:14:00,259 --> 00:14:01,700
también

127
00:14:01,700 --> 00:14:03,940
es importante saberlo

128
00:14:03,940 --> 00:14:07,080
yo aquí lo que os recomendaba

129
00:14:07,080 --> 00:14:09,080
es que hagáis estos ejercicios y problemas

130
00:14:09,080 --> 00:14:09,840
resueltos

131
00:14:09,840 --> 00:14:12,500
resueltos como

132
00:14:12,500 --> 00:14:14,980
tal y luego proponen otros

133
00:14:14,980 --> 00:14:17,320
ejercicios, si de aquí tenéis

134
00:14:17,320 --> 00:14:19,059
alguna duda, pues por favor

135
00:14:19,059 --> 00:14:21,299
explícame o hago un vídeo

136
00:14:21,299 --> 00:14:22,419
explicativo sobre

137
00:14:22,419 --> 00:14:26,840
la descomposición

138
00:14:26,840 --> 00:14:28,039
del sector, también sería

139
00:14:28,039 --> 00:14:29,340
importante

140
00:14:29,340 --> 00:14:32,379
y estos ejercicios

141
00:14:32,379 --> 00:14:34,360
demasiado, yo creo que son

142
00:14:34,360 --> 00:14:36,120
bastante interesantes

143
00:14:36,120 --> 00:14:37,860
tenéis aquí

144
00:14:37,860 --> 00:14:41,000
solución y luego os proponen

145
00:14:41,000 --> 00:14:43,220
otro, pues intentad hacerlo

146
00:14:43,220 --> 00:14:44,340
y si tenéis alguna duda

147
00:14:44,340 --> 00:14:46,659
me decís, ¿vale?

148
00:14:47,980 --> 00:14:48,960
Aquí también

149
00:14:48,960 --> 00:14:51,039
hay una serie de ejercicios

150
00:14:51,039 --> 00:14:52,399
si queréis intentar

151
00:14:52,399 --> 00:14:54,340
alguno de ellos, pues

152
00:14:54,340 --> 00:14:58,039
lo decís, ¿de acuerdo?

153
00:14:58,679 --> 00:14:59,039
Y

154
00:14:59,039 --> 00:15:03,789
uno o lo que sea, pues

155
00:15:03,789 --> 00:15:05,230
por favor, preguntadme

156
00:15:05,230 --> 00:15:06,029
porque

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00:15:06,029 --> 00:15:10,029
bueno, son interesantes

158
00:15:10,029 --> 00:15:25,029
Aquí estos son más complejos, aunque yo os recomiendo que más que de aquí, que si tenéis las ideas fundamentales de aquí, la aplicación de todo esto va a venir en el siguiente, en el siguiente, ¿vale?

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00:15:25,090 --> 00:15:36,559
Voy a hacer ahora una panada y luego os explico en profundidad el tema.