1
00:00:05,620 --> 00:00:09,919
Vamos a estudiar a continuación las ecuaciones de segundo grado completas.

2
00:00:10,500 --> 00:00:18,079
Decimos que una ecuación de segundo grado es completa cuando después de simplificar la ecuación presenta la siguiente forma.

3
00:00:19,160 --> 00:00:21,960
ax cuadrado más bx más c igual a cero.

4
00:00:22,640 --> 00:00:28,399
a, b y c son números reales llamados coeficientes de la ecuación.

5
00:00:29,399 --> 00:00:32,179
x es la incógnita de nuestra ecuación.

6
00:00:32,179 --> 00:00:39,920
Como primer ejemplo vamos a resolver la ecuación x cuadrado menos 3x menos 4 igualada a 0

7
00:00:39,920 --> 00:00:44,159
Lo primero que hacemos es reconocer los coeficientes

8
00:00:44,159 --> 00:00:47,520
A es el número que multiplica a x cuadrado

9
00:00:47,520 --> 00:00:51,719
Si no hay nada recordamos que hay un 1 multiplicando

10
00:00:51,719 --> 00:00:54,140
Por lo tanto A es igual a 1

11
00:00:54,140 --> 00:00:58,240
B es el número que multiplica a la x

12
00:00:58,240 --> 00:01:02,479
podemos observar que nuestra ecuación que es el número menos 3

13
00:01:02,479 --> 00:01:12,560
y c es el término independiente, el que no lleva ninguna letra, es menos 4.

14
00:01:14,180 --> 00:01:25,209
Una vez hallados los coeficientes vamos a utilizar la fórmula de las soluciones de la ecuación de segundo grado

15
00:01:25,209 --> 00:01:31,010
que viene dado por la expresión menos b más menos raíz cuadrada de b cuadrado

16
00:01:31,010 --> 00:01:36,310
Menos 4 por a por c, todo ello dividido entre 2 por a

17
00:01:36,310 --> 00:01:39,609
Así vamos a sustituir en la fórmula

18
00:01:39,609 --> 00:01:44,329
Nuestras soluciones x vienen dadas por menos b

19
00:01:44,329 --> 00:01:48,750
Que significa escribir el opuesto de nuestro coeficiente b

20
00:01:48,750 --> 00:01:51,549
Como era menos 3, el opuesto es 3

21
00:01:51,549 --> 00:01:54,409
Ahora escribimos más menos raíz cuadrada

22
00:01:54,409 --> 00:01:57,629
Tenemos que escribir b al cuadrado

23
00:01:57,629 --> 00:02:03,730
Como b es negativo, lo ponemos entre paréntesis. Así nos queda menos 3 al cuadrado.

24
00:02:04,370 --> 00:02:08,229
Luego copiamos un menos, 4 por a. a vale 1.

25
00:02:08,770 --> 00:02:14,349
Por c, como c es un número negativo, también lo escribimos entre paréntesis.

26
00:02:16,370 --> 00:02:23,909
Todo ello va dividido entre el producto de 2 por a, que vale 1.

27
00:02:23,909 --> 00:02:33,069
A continuación, copiamos 3 más menos raíz cuadrada y comenzamos a operar el discriminante

28
00:02:33,069 --> 00:02:38,349
Empezamos con la potencia, que tiene base negativa y exponente par

29
00:02:38,349 --> 00:02:41,169
Recordar que el signo es positivo

30
00:02:41,169 --> 00:02:43,189
Así nos queda 9

31
00:02:43,189 --> 00:02:48,389
A continuación, vamos a realizar la multiplicación

32
00:02:48,389 --> 00:02:52,689
Multiplicamos los signos, menos por menos, más

33
00:02:52,689 --> 00:02:59,830
Y ahora, 4 por 1 es 4, por 4 es 16.

34
00:03:00,750 --> 00:03:05,069
Todo ello va dividido por el producto de 2 por 1, que nos da 2.

35
00:03:06,050 --> 00:03:16,469
Nuestras soluciones vienen dadas por la expresión 3 más menos la raíz cuadrada de 9 más 16, que lo realizamos y nos queda 25.

36
00:03:17,930 --> 00:03:19,789
Dividido todo entre 2.

37
00:03:19,789 --> 00:03:31,050
Es decir, 3 más menos 5, dividido todo entre 2.

38
00:03:31,889 --> 00:03:36,009
Observemos que nos van a salir dos soluciones de la ecuación.

39
00:03:36,750 --> 00:03:46,590
La primera solución, considerando el signo más del numerador, nos queda 3 más 5, que es 8, dividido entre 2.

40
00:03:47,189 --> 00:03:49,210
Queda el resultado de 4.

41
00:03:49,210 --> 00:03:55,710
La segunda solución, que vamos a llamar x sub 2, se obtiene con el signo negativo.

42
00:03:56,629 --> 00:04:00,530
3 menos 5 da como resultado menos 2.

43
00:04:02,009 --> 00:04:04,729
Entre 2 queda menos 1.

44
00:04:06,590 --> 00:04:09,530
Así, esta ecuación de segundo grado tiene dos soluciones.

45
00:04:09,789 --> 00:04:12,270
La primera es 4 y la segunda es menos 1.

46
00:04:14,830 --> 00:04:16,550
Veamos un segundo ejemplo.

47
00:04:16,550 --> 00:04:27,850
Es una ecuación de segundo grado completa, dado que hay un número que multiplica x cuadrado, otro número multiplica la x y luego tenemos un término independiente.

48
00:04:28,829 --> 00:04:38,329
Lo primero que tenemos que hacer es ordenar la ecuación para que nos quede número por x cuadrado más número por x más número igual a cero.

49
00:04:39,329 --> 00:04:43,250
Así que movemos menos 40 hacia la izquierda.

50
00:04:43,889 --> 00:04:49,569
Recordad que al pasar los términos al otro lado de la igualdad tenemos que cambiar el signo.

51
00:04:50,310 --> 00:04:56,329
Así nos queda 20x cuadrado menos 40x más 40 igual a 0.

52
00:04:57,470 --> 00:05:02,449
A continuación y antes de aplicar la fórmula de las soluciones de la ecuación de segundo grado,

53
00:05:02,449 --> 00:05:10,610
podemos observar que los coeficientes todos acaban en 0, por lo que podemos dividir toda la ecuación entre 10.

54
00:05:10,610 --> 00:05:14,649
De esta manera conseguimos que los números sean más pequeños.

55
00:05:15,350 --> 00:05:19,750
La ecuación equivalente es 2x cuadrado menos 4x más 4 igual a 0.

56
00:05:20,610 --> 00:05:28,430
Además, los coeficientes todos acaban en par, por lo que podemos seguir dividiendo toda la ecuación entre 2.

57
00:05:29,629 --> 00:05:33,310
Y así obtenemos la ecuación equivalente simplificada,

58
00:05:33,310 --> 00:05:41,129
que es x cuadrado menos 2x más 2 igual a 0.

59
00:05:42,110 --> 00:05:44,870
Ahora escribimos los coeficientes de la ecuación.

60
00:05:44,870 --> 00:05:48,870
A es el número que multiplica x cuadrado, que es 1.

61
00:05:49,910 --> 00:05:55,490
B es el número que multiplica a la x, vemos que es menos 2.

62
00:05:57,209 --> 00:06:02,149
Y c es el término independiente, que es 2.

63
00:06:05,839 --> 00:06:11,879
Una vez escrita la ecuación que da las soluciones de la ecuación de segundo grado, comenzamos a sustituir.

64
00:06:13,139 --> 00:06:21,279
Menos b es el opuesto de menos 2, que es 2 más menos raíz cuadrada de b al cuadrado.

65
00:06:21,680 --> 00:06:25,040
Fijaros que como b es negativo, lo escribimos entre paréntesis.

66
00:06:26,259 --> 00:06:30,620
Ahora escribimos el menos 4 por a, que vale 1, y c vale 2.

67
00:06:30,620 --> 00:06:37,449
Todo ello va a ir dividido por el producto de 2 por 1

68
00:06:37,449 --> 00:06:42,189
Así obtenemos que x es igual a 2 más menos

69
00:06:42,189 --> 00:06:46,209
Vamos a calcular dentro de la raíz cuadrada lo primero la potencia

70
00:06:46,209 --> 00:06:51,910
Que es base negativa y exponente par, por lo tanto nos queda la raíz cuadrada de 4

71
00:06:51,910 --> 00:06:54,569
A continuación hacemos el producto

72
00:06:54,569 --> 00:06:58,329
Fijaros que el signo nos va a quedar negativo

73
00:06:58,329 --> 00:07:00,329
Menos por más, menos

74
00:07:00,329 --> 00:07:02,810
Por lo tanto, menos 8

75
00:07:02,810 --> 00:07:06,310
Todo dividido por el producto de 2 por 1 queda 2

76
00:07:06,310 --> 00:07:09,149
Calculamos lo de dentro de la raíz cuadrada

77
00:07:09,149 --> 00:07:12,189
4 menos 8 queda menos 4

78
00:07:12,189 --> 00:07:15,310
Todo dividido entre 2

79
00:07:15,310 --> 00:07:20,970
Observar que la raíz cuadrada del número negativo menos 4

80
00:07:20,970 --> 00:07:24,129
No existe en el conjunto de los números reales

81
00:07:24,129 --> 00:07:26,389
¿Eso qué significa?

82
00:07:27,069 --> 00:07:30,250
Que esta ecuación de segundo grado no tiene solución

83
00:07:30,250 --> 00:07:36,620
Resolvamos este último ejemplo

84
00:07:36,620 --> 00:07:43,819
Podemos observar que aparece un binomio al cuadrado, es una identidad notable

85
00:07:43,819 --> 00:07:50,019
Lo primero que tenemos que hacer es aplicar la fórmula número 2 de las identidades notables

86
00:07:50,019 --> 00:07:59,680
Y así nos queda cuadrado del primero 4x cuadrado menos el doble del primero por el segundo

87
00:07:59,680 --> 00:08:13,819
Hay que multiplicar 2 por 2x, 4x, por 3 son 12x, más el cuadrado del segundo término, 9.

88
00:08:14,439 --> 00:08:17,339
Es igual a 11 menos 10x.

89
00:08:18,360 --> 00:08:21,279
A continuación vamos a simplificar la ecuación.

90
00:08:21,819 --> 00:08:25,420
Para ello pasamos el término menos 10x a la izquierda.

91
00:08:25,860 --> 00:08:28,079
Recordad que hay que cambiar el signo.

92
00:08:28,079 --> 00:08:34,919
Así nos queda 4x cuadrado menos 12x más 9 más 10x.

93
00:08:36,139 --> 00:08:40,840
También pasamos el término independiente 11 hacia la izquierda.

94
00:08:41,639 --> 00:08:50,419
Cambiando el signo nos quedará menos 11, igual a 0, ya que no nos queda nada a la derecha de la ecuación.

95
00:08:51,419 --> 00:08:54,340
Ahora vamos a simplificar la ecuación.

96
00:08:54,340 --> 00:09:01,519
Observamos que los términos semejantes menos 12x y más 10x podemos simplificarlos

97
00:09:01,519 --> 00:09:06,120
así como los términos independientes más 9 y menos 11

98
00:09:06,120 --> 00:09:09,320
Así la ecuación nos queda 4x al cuadrado

99
00:09:09,320 --> 00:09:13,240
Fijaros que menos 12x más 10x da menos 2x

100
00:09:13,240 --> 00:09:16,879
y 9 menos 11 queda menos 2, igual a 0

101
00:09:16,879 --> 00:09:21,340
Observa que los coeficientes de la ecuación son pares

102
00:09:21,340 --> 00:09:25,399
Por lo tanto, podemos dividir toda la ecuación entre 2

103
00:09:25,399 --> 00:09:31,659
Así nos queda 2x cuadrado menos x menos 1 igual a 0

104
00:09:31,659 --> 00:09:37,960
Tenemos una ecuación de segundo grado completa con los coeficientes simplificados

105
00:09:37,960 --> 00:09:44,519
Siendo el coeficiente a el número que multiplica a x cuadrado, que es 2

106
00:09:44,519 --> 00:09:50,340
El coeficiente b es el número que multiplica a la x, que es menos 1

107
00:09:50,340 --> 00:09:55,379
y c es el término independiente, que es menos 1.

108
00:09:58,860 --> 00:10:04,039
Utilicemos ahora la fórmula que nos da las soluciones de la ecuación de segundo grado completa.

109
00:10:05,039 --> 00:10:08,460
Así, sustituyendo, x es igual a menos b.

110
00:10:08,460 --> 00:10:16,580
Hay que poner el opuesto de menos 1, que es 1, más menos la raíz cuadrada de menos 1 al cuadrado.

111
00:10:16,779 --> 00:10:20,659
Fijaros que como es negativo, lo tenemos que escribir entre paréntesis.

112
00:10:20,659 --> 00:10:27,120
menos 4 por a que vale 2 por c que vale menos 1

113
00:10:27,120 --> 00:10:30,039
como es negativo también lo escribimos entre paréntesis

114
00:10:30,039 --> 00:10:34,700
todo ello va dividido por el producto de 2 por a

115
00:10:34,700 --> 00:10:36,379
en este caso vale 2

116
00:10:36,379 --> 00:10:41,139
así nuestras soluciones vienen dadas por 1 más menos

117
00:10:41,139 --> 00:10:45,659
la raíz cuadrada de, calculamos primero la potencia

118
00:10:45,659 --> 00:10:49,500
menos 1 al cuadrado como es base negativa y exponente par

119
00:10:49,500 --> 00:10:57,200
el resultado es positivo, da 1. Luego realizamos la multiplicación. Observar que menos por menos, más.

120
00:10:59,679 --> 00:11:09,519
Y ahora 4 por 2 por 1 nos queda 8. Todo ello dividido por el producto de 2 por 2 queda 4.

121
00:11:10,539 --> 00:11:17,799
Así tenemos que las soluciones vienen dadas por 1 más menos la raíz cuadrada de la suma de 1 más 8.

122
00:11:17,799 --> 00:11:29,639
es decir, la raíz cuadrada de 9, dividido entre 4, es decir, 1 más menos 3 entre 4.

123
00:11:30,519 --> 00:11:34,399
La primera solución la obtenemos con el signo más.

124
00:11:34,659 --> 00:11:42,419
Vamos a llamar x1 a la primera solución y es igual a 1 más 3, que es 4, entre 4, igual a 1.

125
00:11:42,419 --> 00:11:48,700
La segunda solución que llamaremos x sub 2 se obtiene con el signo negativo

126
00:11:48,700 --> 00:11:52,620
1 menos 3 es menos 2

127
00:11:52,620 --> 00:11:55,320
Dividido entre 4

128
00:11:55,320 --> 00:12:01,559
Fijaros que esto es una fracción que la podemos simplificar dividiendo el numerador y el denominador entre 2

129
00:12:01,559 --> 00:12:03,759
Así queda menos 1 medio

130
00:12:04,759 --> 00:12:10,100
Las soluciones son por tanto x1 igual a 1, x2 igual a menos 1 medio