1
00:00:02,330 --> 00:00:07,990
En esta ocasión vamos a resolver el ejercicio de la EVAO de Madrid del año 2017

2
00:00:07,990 --> 00:00:12,689
de la convocatoria de junio, el modelo A, el ejercicio 2.

3
00:00:13,550 --> 00:00:15,789
Es un ejercicio de geometría 3D.

4
00:00:16,769 --> 00:00:23,250
Me dan unos puntos y me piden, lo primero, hallar la ecuación del plano que contiene a P, Q y R.

5
00:00:23,969 --> 00:00:26,210
Bueno, pues empezamos por pintar los puntos.

6
00:00:27,250 --> 00:00:29,370
He pintado ya ese también, los cuatro.

7
00:00:29,370 --> 00:00:30,629
Ahí los tenemos.

8
00:00:30,629 --> 00:00:34,590
y para hallar la ecuación del plano que pasa por P, Q y R

9
00:00:34,590 --> 00:00:39,310
pues lo que tendremos que hacer es fabricar el determinante, la matriz

10
00:00:39,310 --> 00:00:45,149
en la primera línea ponemos X menos las coordenadas de uno de los puntos

11
00:00:45,149 --> 00:00:46,789
entonces he elegido el punto P

12
00:00:46,789 --> 00:00:50,170
X menos 1 y más 2Z menos 1

13
00:00:50,170 --> 00:00:57,030
y en las otras dos líneas pues he puesto P, Q y PR

14
00:00:57,030 --> 00:01:05,769
O sea que he puesto las coordenadas de Q menos las coordenadas de P y las coordenadas de R menos las coordenadas de P.

15
00:01:06,569 --> 00:01:16,069
Así he podido además utilizar copiar y pegar sustituyendo X, Y, Z del primer paréntesis o llave por las coordenadas de Q y de R.

16
00:01:16,349 --> 00:01:26,329
Me sale esta matriz y si hago el determinante y lo igual a 0, me sale este plano 2X más 5Y menos 7Z más 15 igual a 0.

17
00:01:26,329 --> 00:01:32,049
que no debe sorprendernos que es el plano que ha calculado GeoGebra según sus herramientas

18
00:01:32,049 --> 00:01:35,790
y es el plano que contiene a los tres puntos.

19
00:01:36,569 --> 00:01:41,349
Bueno, la primera cosa que puede llamarnos la atención es que da la casualidad que ya vemos

20
00:01:41,349 --> 00:01:47,629
que ese también pertenece a ese plano, con lo cual la respuesta al apartado B estará más sencilla.

21
00:01:47,629 --> 00:02:07,590
Además, recordad que si damos representación 2D de A, pues tenemos aquí que efectivamente P, Q, R y S están en el mismo plano, porque hemos hecho que nos muestre aquí este plano, por si no lo conocíais.

22
00:02:07,590 --> 00:02:11,530
cerramos la vista gráfica

23
00:02:11,530 --> 00:02:14,669
y volvemos a nuestro ejercicio, ya tenemos un punto

24
00:02:14,669 --> 00:02:19,710
vamos a pasar al apartado C y haremos finalmente el B

25
00:02:19,710 --> 00:02:23,129
hallar el área del triángulo formado por los puntos P, Q y R

26
00:02:23,129 --> 00:02:27,729
aquí tenemos el triángulo, GeoGebra nos proporciona además

27
00:02:27,729 --> 00:02:31,509
su área aquí, pero para hacerlo

28
00:02:31,509 --> 00:02:34,949
en selectividad, utilizaremos la fórmula

29
00:02:34,949 --> 00:02:38,669
de que el módulo del producto vectorial de PQ por PR

30
00:02:38,669 --> 00:02:43,150
PQPR, pues sería el área del paralelogramo

31
00:02:43,150 --> 00:02:46,370
que se formaría aquí, es decir, un romboide

32
00:02:46,370 --> 00:02:50,509
¿de acuerdo? si yo divido el área del romboide por 2

33
00:02:50,509 --> 00:02:53,669
porque el romboide está dividido en dos triángulos

34
00:02:53,669 --> 00:02:58,030
pues tendremos el área del triángulo

35
00:02:58,030 --> 00:03:02,789
pues para hacerlo, lo que hago es

36
00:03:02,789 --> 00:03:05,169
en la mis hago otra matriz

37
00:03:05,169 --> 00:03:06,889
en la que voy a hacer el producto vectorial

38
00:03:06,889 --> 00:03:08,590
de pq por pr

39
00:03:08,590 --> 00:03:11,310
pero resulta que ya lo tenemos hecho

40
00:03:11,310 --> 00:03:13,849
porque el resultado de los 3 menores

41
00:03:13,849 --> 00:03:15,009
lo tengo aquí

42
00:03:15,009 --> 00:03:16,389
es 2 5 menos 7

43
00:03:16,389 --> 00:03:18,969
de hecho si lo hacéis pues vuelve a ser

44
00:03:18,969 --> 00:03:19,889
2 5 menos 7

45
00:03:19,889 --> 00:03:22,430
pero esto a alumnos apuntaroslo

46
00:03:22,430 --> 00:03:24,610
para tener esa ventaja

47
00:03:24,610 --> 00:03:27,610
porque pasa siempre y caen muchos ejercicios

48
00:03:27,610 --> 00:03:29,189
resulta que

49
00:03:29,189 --> 00:03:31,310
las coordenadas del vector normal

50
00:03:31,310 --> 00:03:33,650
al plano

51
00:03:33,650 --> 00:03:35,849
pues son

52
00:03:35,849 --> 00:03:37,870
el área del

53
00:03:37,870 --> 00:03:39,990
paralelogramo

54
00:03:39,990 --> 00:03:40,669
que buscamos

55
00:03:40,669 --> 00:03:42,650
si hago pitágoras

56
00:03:42,650 --> 00:03:44,729
me da raíz de 78

57
00:03:44,729 --> 00:03:47,090
y si lo divido entre un medio

58
00:03:47,090 --> 00:03:49,150
pues me da un medio de raíz de 78

59
00:03:49,150 --> 00:03:51,810
que en decimales es 4,42

60
00:03:51,810 --> 00:03:53,710
como había calculado muy bien

61
00:03:53,710 --> 00:03:55,490
GeoGebra, lo sabe hacer GeoGebra

62
00:03:55,490 --> 00:03:56,930
ahora finalmente

63
00:03:56,930 --> 00:03:58,629
vamos a hacer el apartado B

64
00:03:58,629 --> 00:04:00,770
posición relativa de la recta R

65
00:04:00,770 --> 00:04:04,289
que pasa por P y Q y la recta S que pasa por R y S

66
00:04:04,289 --> 00:04:06,729
ya sabemos, ya vemos aquí

67
00:04:06,729 --> 00:04:11,490
que va a salir que se cortan

68
00:04:11,490 --> 00:04:15,069
o sea que no necesitamos mucho más, aquí las tenemos

69
00:04:15,069 --> 00:04:19,410
porque ese estaba coplanario con Q y con P

70
00:04:19,410 --> 00:04:23,629
con lo cual podría haber salido paralelo, pero nosotros como ya lo estábamos viendo

71
00:04:23,629 --> 00:04:26,110
sabíamos que no eran rectas paralelas

72
00:04:26,110 --> 00:04:40,149
y lo que hay que hacer es, lógicamente, montar una matriz con los vectores, otra vez más, PQI, PR, que serían el primero y el segundo

73
00:04:40,149 --> 00:04:54,930
y le he añadido aquí, como lo que nos interesa es el rango, da igual en qué orden lo añadas, arriba, abajo, vamos, aquí abajo, RS, el vector, perdón, RS, sí

74
00:04:54,930 --> 00:04:58,949
pues me queda esta matriz

75
00:04:58,949 --> 00:05:01,589
simplemente tengo que hallar su rango

76
00:05:01,589 --> 00:05:03,889
que GeoGebra me dice ya que es 2

77
00:05:03,889 --> 00:05:07,430
pero nosotros para el examen de la BAO

78
00:05:07,430 --> 00:05:10,449
lo que haríamos es calcular el determinante

79
00:05:10,449 --> 00:05:11,730
nos da 0

80
00:05:11,730 --> 00:05:15,589
y luego aquí vemos que hay un

81
00:05:15,589 --> 00:05:19,089
determinante de orden 2 distinto de 0

82
00:05:19,089 --> 00:05:22,209
menos 8 más 15 es 7

83
00:05:22,209 --> 00:05:26,509
con lo cual ya tenemos claramente demostrado que el rango es 2.

84
00:05:26,649 --> 00:05:34,850
Como el rango es 2, las posiciones relativas de R y S es que las rectas se cortan.

85
00:05:35,470 --> 00:05:39,189
Y esto lo escribimos y ya tendríamos los tres puntos del ejercicio.

86
00:05:40,509 --> 00:05:45,930
Para que el ejercicio sirva también para aprender más cosas, vamos a calcular el punto de corte.

87
00:05:46,129 --> 00:05:51,269
Bueno, si le damos aquí, pues GeoGebra no tarda nada en calcularnos el punto A de corte, ¿verdad?

88
00:05:51,269 --> 00:05:53,769
si nosotros lo hubiéramos querido hacer a mano

89
00:05:53,769 --> 00:05:58,449
pues la manera es recordar que al contrario de lo que hace GeoGebra

90
00:05:58,449 --> 00:06:03,290
no podemos utilizar en las rectas R y S

91
00:06:03,290 --> 00:06:06,209
el mismo parámetro para definirlas

92
00:06:06,209 --> 00:06:09,149
si esta la definimos con lambda, esta la definiremos con mu

93
00:06:09,149 --> 00:06:11,310
porque ahora para llegar al punto de corte

94
00:06:11,310 --> 00:06:13,170
lo que haremos, que está aquí hecho

95
00:06:13,170 --> 00:06:18,410
es igualar la coordenada X en paramétricas

96
00:06:18,410 --> 00:06:21,170
y entonces nos sale en función de lambda y de mu

97
00:06:21,170 --> 00:06:24,250
nos salen tres ecuaciones con dos incógnitas

98
00:06:24,250 --> 00:06:26,569
si le pedimos a GeoGebra que lo resuelva

99
00:06:26,569 --> 00:06:29,209
nosotros lo podríamos hacer bastante fácil

100
00:06:29,209 --> 00:06:30,649
con la tercera sacaríamos mu

101
00:06:30,649 --> 00:06:32,569
con cualquier otra sacaríamos lambda

102
00:06:32,569 --> 00:06:35,209
y comprobaríamos con la tercera ecuación

103
00:06:35,209 --> 00:06:36,829
que efectivamente se cumple

104
00:06:36,829 --> 00:06:38,769
porque si no sería que no

105
00:06:38,769 --> 00:06:40,730
que sería un sistema incompatible

106
00:06:40,730 --> 00:06:42,430
y significaría que las rectas se cruzan

107
00:06:42,430 --> 00:06:44,649
pero no, nos da bien

108
00:06:44,649 --> 00:06:45,850
lambda un medio, mu un medio

109
00:06:45,850 --> 00:06:48,350
solo tenemos que en cualquiera de las dos

110
00:06:48,350 --> 00:06:52,389
sustituir lambda por un medio

111
00:06:52,389 --> 00:06:56,170
aquí lambda por un medio, aquí sería mu porque este sería mu

112
00:06:56,170 --> 00:06:57,990
a la casualidad que también da un medio

113
00:06:57,990 --> 00:07:04,209
y nos salen las coordenadas del punto A

114
00:07:04,209 --> 00:07:08,709
un medio por 5 menos 5 medios, 1 menos 5 medios

115
00:07:08,709 --> 00:07:12,769
menos 3 medios, menos 2 más 1

116
00:07:12,769 --> 00:07:16,009
menos 1 y 1 más 0, 1

117
00:07:16,009 --> 00:07:20,930
Estas serían las coordenadas del punto de corte de las dos rectas.