1 00:00:00,820 --> 00:00:05,860 En el siguiente vídeo vamos a practicar las propiedades de la probabilidad. 2 00:00:06,500 --> 00:00:13,259 Para ello nos van a plantear dos ejercicios los cuales vamos a ir resolviendo aplicando ciertas propiedades. 3 00:00:14,019 --> 00:00:18,660 Mirad, en el primer ejercicio es un ejercicio bastante típico de probabilidad. 4 00:00:19,359 --> 00:00:26,879 Nos dan varios sucesos del cual sabemos la probabilidad de uno, del otro y de la unión. 5 00:00:26,879 --> 00:00:33,840 Y nos piden calcular otros sucesos derivados de operaciones de estos. 6 00:00:34,460 --> 00:00:36,100 Vamos a ver qué es lo que nos piden. 7 00:00:36,899 --> 00:00:45,659 El apartado A, como veis, es aplicar una propiedad directamente, que es la probabilidad del contrario. 8 00:00:46,399 --> 00:00:55,679 Bueno, pues por una cierta propiedad de la probabilidad sabemos perfectamente que la probabilidad del contrario es 1 menos, en este caso, la probabilidad del suceso A. 9 00:00:55,679 --> 00:01:18,840 Es decir, 1 menos 0,6 que da exactamente 0,4. Lo mismo ocurre en el apartado B. La probabilidad del suceso contrario B sería 1 menos la probabilidad de B, es decir, 1 menos 0,4, es decir, 0,6. 10 00:01:18,840 --> 00:01:30,159 Bueno, con estos dos primeros apartados no ha habido ningún problema. Vamos al apartado C. En el apartado C nos piden la probabilidad de la intersección. 11 00:01:31,400 --> 00:01:43,280 Bueno, no existe propiamente una propiedad que nos hable sobre la probabilidad de la intersección. Bueno, nosotros tenemos en mente la propiedad de la probabilidad de la unión. 12 00:01:44,019 --> 00:02:00,280 Si yo recuerdo cuál era esta propiedad, me decía que la probabilidad de A unión B era la probabilidad de A más la probabilidad de B menos la probabilidad de la intersección. 13 00:02:01,319 --> 00:02:06,540 Mira, también aparece la intersección, aparece probabilidad de la unión y probabilidad de la intersección. 14 00:02:06,540 --> 00:02:21,199 Y lo cierto es que si yo conozco una de las dos, la probabilidad de la unión o la probabilidad de la intersección, y necesito calcular la otra probabilidad, lo que tengo que hacer es utilizar esta propiedad, pero vamos, sin pensarlo. 15 00:02:21,199 --> 00:02:32,879 En este caso, como la probabilidad que necesito es justamente esta, la probabilidad de la intersección, lo que voy a hacer es despejarla de aquí. 16 00:02:33,539 --> 00:02:46,620 La probabilidad de la intersección, si lo despejo, sería en realidad la probabilidad de A más la probabilidad de B menos la probabilidad de la unión. 17 00:02:46,620 --> 00:03:04,759 Y fijaros, realmente parece como que se intercambian los puestos. Esta probabilidad que estaba aquí restando, pues yo la he quitado de este segundo miembro y ha aparecido sumando en el segundo miembro la probabilidad de la unión. 18 00:03:04,759 --> 00:03:15,819 bueno, pues justamente lo he quitado restando. Y aparece esta nueva propiedad, que es justamente la que voy a utilizar en el apartado C. 19 00:03:16,800 --> 00:03:25,560 Es decir, según esto, la probabilidad de la intersección sería probabilidad de A, que sabemos que es, la tenemos aquí arriba, 0,6, 20 00:03:25,560 --> 00:03:39,949 más probabilidad de B, que hemos dicho que era 0,4, menos la probabilidad de la unión, que en el enunciado también me dicen, aquí la tengo, que es 0,75. 21 00:03:40,949 --> 00:03:54,680 Por lo tanto, esto sería 1 menos 0,75, 0,25. Bueno, pues recordad, esta propiedad sirve tanto para la unión como para la intersección. 22 00:03:54,680 --> 00:04:15,759 Vamos a por el apartado D. Este de aquí me piden otra intersección, pero en este caso la intersección del suceso A con el contrario de B. En este caso, este suceso A intersección contrario de B, estaría bien verlo con un diagrama de B. 23 00:04:15,759 --> 00:04:32,019 Voy a hacer hueco, que ya se ve el otro ejercicio que quiero resolver. A ver, mirad, si realizo un diagrama de Venn, aquí está el espacio muestral, aquí estaría A, aquí estaría B. 24 00:04:32,019 --> 00:04:55,089 Si yo lo que quiero saber es cuál sería este suceso a intersección B contrario, es un suceso que estaría dentro del suceso A, que es todo esto, pero sería justamente el suceso A intersecado con el contrario de B. 25 00:04:55,089 --> 00:05:05,769 El contrario de B es justamente lo que está en el espacio muestral y que no es B, más o menos así. 26 00:05:06,230 --> 00:05:20,550 No sé si se llega a apreciar, pero justamente lo que tienen en común el espacio que he dibujado en azul y el espacio que he dibujado en verde es justamente esta lunita, podríamos decir, de aquí. 27 00:05:20,550 --> 00:05:32,009 Y esta lunita ya nos ha parecido alguna vez cuando hemos hecho la operación A menos B. 28 00:05:32,730 --> 00:05:38,389 Es decir, a le voy a quitar la parte de A que tiene en común con B. 29 00:05:39,490 --> 00:05:43,569 Vale, perfecto. Bueno, pues de aquí ya puedo sacar otra propiedad. 30 00:05:43,569 --> 00:06:02,170 Porque yo sé que cuando tengo la probabilidad de la diferencia, esto realmente sería la probabilidad del suceso al que le vamos a quitar y la probabilidad que vamos a quitar es justamente la intersección de A y B. 31 00:06:02,170 --> 00:06:18,970 Y esto de aquí ya lo conozco. La probabilidad de A era 0,6. Si no recuerdo mal, era 0,6. Y la de la intersección, justamente la había calculado en el apartado anterior, era 0,25. 32 00:06:18,970 --> 00:06:30,550 Esto es bastante común que aparezca. Cuando yo tengo la intersección de un suceso con el contrario de otro, tengo que pensar en la diferencia. 33 00:06:30,550 --> 00:06:44,569 En realidad lo que tengo es el suceso y la diferencia del suceso menos justamente el suceso del que estoy intersecando el contrario. 34 00:06:44,569 --> 00:07:10,850 Porque lo que tengo que hacer es justamente quitar esa intersección. Bueno, pues en este caso el resultado que me ha dado era 0,35. Perfecto, ya nos quedan solo dos apartados. En los dos apartados aparecen las operaciones intersección y bueno, aquí se han debido equivocar, pero realmente esta última lo que me pedían era la unión. 35 00:07:10,850 --> 00:07:14,370 pero en ambos sería la intersección 36 00:07:14,370 --> 00:07:15,829 y la unión de los contrarios 37 00:07:15,829 --> 00:07:18,870 vamos a hacerlo aquí en este espacio que nos queda 38 00:07:18,870 --> 00:07:20,089 voy a hacer un poquito de hueco 39 00:07:20,089 --> 00:07:22,250 porque no es nada difícil 40 00:07:22,250 --> 00:07:25,370 creo que sería el apartado E 41 00:07:25,370 --> 00:07:29,149 voy a empezar con la probabilidad 42 00:07:29,149 --> 00:07:30,910 de la unión 43 00:07:30,910 --> 00:07:34,029 de la intersección 44 00:07:34,029 --> 00:07:36,649 vamos allá 45 00:07:36,649 --> 00:07:40,629 intersección pero importante de los contrarios 46 00:07:40,629 --> 00:07:51,050 Bueno, pues en cuanto vea la unión en la intersección de los sucesos contrarios, me tengo que acordar, y lo voy a poner aquí, de las leyes de Morgan. 47 00:07:52,009 --> 00:07:58,269 Las leyes de Morgan justamente lo que me hablan es de estas operaciones cuando aparecen los sucesos contrarios. 48 00:07:59,209 --> 00:08:08,329 La primera ley de Morgan me dice que cuando yo tengo la intersección de los sucesos contrarios, en realidad lo que tengo es un suceso contrario. 49 00:08:08,329 --> 00:08:33,830 ¿Pero cuál? Bueno, pues si es la intersección de los contrarios, tengo el contrario de la unión, de la unión A unión B. Y el contrario de la unión, tengo que utilizar ahora la propiedad del contrario, es justamente la probabilidad total 1 menos la probabilidad de ese suceso, que en este caso sería A unión B. 50 00:08:33,830 --> 00:08:47,570 Y esta la conozco. La tenía justamente en el enunciado, 0,75. Así que lo que tendría aquí sería 1 menos 0,75, es decir, 0,25. 51 00:08:48,490 --> 00:08:56,490 Bueno, como veis, fácil, ¿verdad? Bueno, pues exactamente lo mismo tendría que hacer en el último apartado, en el F. 52 00:08:56,490 --> 00:09:12,690 Aquí lo que me piden es la probabilidad de la unión de los contrarios. A ver si nos acordamos. Lo primero que deberíamos aplicar es, si ya lo estoy poniendo aquí en verde, exacto, leyes de Morgan. 53 00:09:12,690 --> 00:09:29,950 En este caso se va a parecer bastante al apartado E, pero cuidado porque si yo tengo la unión de la intersección, lo que tengo es la probabilidad del suceso contrario, el contrario a la intersección. 54 00:09:30,889 --> 00:09:47,509 Exacto. Y aquí es donde utilizo la probabilidad del contrario, que es la probabilidad total menos la probabilidad de ese suceso, que en este caso la intersección la hemos calculado en el apartado C, justamente si vamos al apartado C era 0,25. 55 00:09:47,509 --> 00:10:18,769 Por lo tanto, en este caso me da 0,75. Este ejercicio es un ejercicio básico de aplicar las propiedades de las probabilidades, pero puede ser que en otro ejercicio, como es el caso del ejercicio 17, me pidan algo más concreto y un suceso más aplicado a una situación real. 56 00:10:18,769 --> 00:10:37,909 En este caso, si leemos el enunciado, yo lo que tengo es la probabilidad de que un estudiante apruebe matemáticas es 0,7. O sea que aprobar matemáticas 0,7. La probabilidad de que apruebe lengua es 0,8. Perfecto. 57 00:10:37,909 --> 00:10:43,730 Y la probabilidad de que apruebe lengua y no matemáticas es 0,2. 58 00:10:44,610 --> 00:10:50,129 En este caso me pide Naya la probabilidad de que no apruebe ninguna de las dos. 59 00:10:50,970 --> 00:10:55,629 Bueno, pues lo primero que tengo que hacer es definir los sucesos que voy a utilizar. 60 00:10:56,450 --> 00:10:58,570 Únicamente voy a utilizar dos sucesos. 61 00:10:58,570 --> 00:11:14,240 A prueba matemáticas, que lo voy a poner con una M. A prueba matemáticas y a prueba lengua, que lo voy a poner con una L. A prueba lengua. 62 00:11:15,759 --> 00:11:27,379 Únicamente con la definición de estos dos voy a poder escribir en forma de suceso o de operaciones de sucesos el resto de los sucesos que me piden. 63 00:11:27,379 --> 00:11:55,379 Bueno, antes de nada, los datos que me dan serían, aprueba matemáticas, la probabilidad de aprobar matemáticas sería PDM es 0,7, la probabilidad de que apruebe lengua es 0,8 y la probabilidad de este suceso, apruebe lengua y no matemáticas, bueno, pues lo puedo definir como la probabilidad de L sería aprueba lengua. 64 00:11:55,379 --> 00:12:14,779 Y esto sería una intersección porque se tienen que cumplir las dos condiciones que apruebe lengua y no matemáticas. Y no matemáticas es justamente el contrario de M, ¿de acuerdo? Bueno, pues estas dos condiciones se tienen que cumplir, aprobar lengua y no matemáticas y esta probabilidad sería 0,2. 65 00:12:14,779 --> 00:12:20,159 Perfecto, luego veremos cómo las utilizamos, todo depende de lo que nos pidan 66 00:12:20,159 --> 00:12:22,960 Lo primero que tenemos que ver es qué es lo que nos pidan 67 00:12:22,960 --> 00:12:27,080 Pues lo que nos piden es que no apruebe ninguna de las materias 68 00:12:27,080 --> 00:12:37,620 Esto es, la probabilidad de que matemáticas no la apruebe y lengua no la apruebe 69 00:12:37,620 --> 00:12:44,340 Como no tiene que aprobar ni una ni otra, es decir, se tiene que cumplir este suceso y este 70 00:12:44,340 --> 00:12:48,220 pues lo que me piden es una intersección 71 00:12:48,220 --> 00:12:50,559 se tienen que cumplir estos dos sucesos a la vez 72 00:12:50,559 --> 00:12:53,799 bueno, pues como he dicho en el ejercicio anterior 73 00:12:53,799 --> 00:12:56,759 yo en cuanto vea que estoy utilizando 74 00:12:56,759 --> 00:12:58,659 una operación con sucesos contrarios 75 00:12:58,659 --> 00:12:59,679 me tengo que acordar 76 00:12:59,679 --> 00:13:02,259 voy a poner en verde 77 00:13:02,259 --> 00:13:04,960 de las leyes de Morgan 78 00:13:04,960 --> 00:13:06,500 ¿de acuerdo? 79 00:13:07,559 --> 00:13:10,320 vale, pues en estas leyes decíamos que cuando tenga 80 00:13:10,320 --> 00:13:11,419 vuelvo a repetir 81 00:13:11,419 --> 00:13:15,960 una operación unión o intersección de sucesos contrarios, 82 00:13:16,720 --> 00:13:22,779 esta operación es igual a otro suceso contrario. 83 00:13:22,899 --> 00:13:26,600 En este caso, como la operación era intersección de sucesos contrarios, 84 00:13:27,320 --> 00:13:29,639 es el contrario de la unión. 85 00:13:34,460 --> 00:13:38,539 Ahora, siguiendo la aplicación de las propiedades, 86 00:13:38,539 --> 00:13:51,620 Yo sé que cuando me piden la probabilidad de un suceso contrario, pues si no la conozco, puedo utilizar que es la probabilidad total 1 menos la probabilidad de ese suceso, en este caso, de la unión. 87 00:13:52,919 --> 00:13:55,179 Perfecto. Ya estoy casi, casi, casi acabando. 88 00:13:55,700 --> 00:13:57,700 La probabilidad de la unión no la tengo. 89 00:13:57,700 --> 00:14:25,759 Pero como he dicho en el ejercicio anterior, yo lo que sí que puedo hacer es desglosarla por una de las propiedades que conozco que me dice que, a ver que lo voy a poner, dejo el 1, la probabilidad total, este 1 de aquí es este 1 de aquí y ahora abro paréntesis porque voy a definir la probabilidad de la unión, esta de aquí, como la probabilidad del primer suceso, 90 00:14:25,759 --> 00:14:41,279 es decir, de la probabilidad de que apruebe matemáticas, más la probabilidad de que apruebe lengua, el segundo suceso, menos la probabilidad de la intersección de estos dos sucesos, m intersección l. 91 00:14:41,279 --> 00:14:52,700 Vale, todo esto de aquí, toda esta definición, bueno, toda esta fórmula sería justamente la probabilidad de la unión. 92 00:14:52,700 --> 00:15:03,080 Bueno, pues yo tengo casi casi casi, llegados a este punto, voy a seguir por aquí, igual, tengo casi casi casi todas las probabilidades. 93 00:15:03,240 --> 00:15:16,740 La probabilidad de M sería, hemos dicho, 0,7 más la probabilidad de L sería 0,8 menos, me falta la probabilidad de la intersección, no la tengo. 94 00:15:16,740 --> 00:15:22,580 Y la única pista que no he utilizado, la voy a poner aquí en naranja, es esta de aquí. 95 00:15:22,700 --> 00:15:41,700 Así que supongo que tendré que utilizar esta pista para ver si puedo sacar la probabilidad de la intersección. Voy a intentarlo. Voy a venir un poquito abajo, aquí, y voy a volver a escribir lo que tenía. Probabilidad de la intersección, aprueba lengua y no aprueba matemáticas. 96 00:15:41,700 --> 00:15:59,460 Esto de aquí es, bueno, lo voy a poner para arriba, 0,2. Y voy a intentar desarrollarlo. Para desarrollarlo lo mejor es saber cuál es este suceso. Bueno, en realidad este suceso ya apareció en el ejercicio anterior, pero vamos a recordarlo. 97 00:16:00,460 --> 00:16:10,500 Vuelvo otra vez. Este es el espacio muestral. Imaginaros que aquí están los alumnos que han aprobado lengua y aquí están los alumnos que han aprobado matemáticas. Vamos a definirlo bien. 98 00:16:11,700 --> 00:16:20,720 Perfecto. ¿Cuál sería mi suceso? Pues es la intersección de dos sucesos. Así que lo que voy a hacer es cada uno de los sucesos definirlo con un color. 99 00:16:20,720 --> 00:16:38,980 Por ejemplo, que apruebe lengua en este caso sería este espacio, ¿verdad? Y que no apruebe matemáticas, pues en verde, ¿de acuerdo? Aquí, bueno, que no apruebe matemáticas sería justamente todo el espacio muestral, ¿sí? 100 00:16:38,980 --> 00:16:56,720 A excepción del circulito, ¿vale? Del circulito de la M, ¿vale? Toda esta gente es justamente los que no aprueban matemáticas, ¿vale? Bueno, a ver que quede claro por aquí. 101 00:16:56,720 --> 00:17:12,099 Aquí también voy a pintar. Perfecto. Como yo lo que tengo que averiguar en este caso es la intersección, lo que necesito es saber qué espacio justamente está dibujado de naranja y de verde. 102 00:17:12,099 --> 00:17:25,920 Bueno, pues ese espacio es justamente, vuelve a aparecer esa lunita, aquí la tenemos, esta de aquí, que es parte del suceso L. 103 00:17:26,559 --> 00:17:32,960 Como veis, en realidad lo que he hecho es al suceso L le he quitado una parte de él. 104 00:17:32,960 --> 00:17:43,299 Por tanto, esta intersección la puedo definir como una diferencia. Al suceso L le quito la parte que comparte con M. 105 00:17:43,539 --> 00:18:07,559 Es decir, es justamente L menos M, ¿de acuerdo? Y esto, pues ya sabemos que por una de las propiedades, justamente sería la probabilidad de L, es decir, todo el espacio que está aquí, a excepción de esto, que es justamente el espacio que comparten L y M, es decir, la intersección. 106 00:18:07,559 --> 00:18:20,819 Y aquí es donde aparece lo que necesitaba. Mirad, yo incluso recomendaría, lo vamos a poner en rojo, que esto como ya habéis visto ha aparecido en dos problemas y aparecerá en muchísimos más. 107 00:18:20,819 --> 00:18:47,079 Entonces, yo creo que merece la pena saber esta fórmula. Es decir, cuando yo tenga la probabilidad de un suceso, intersección, otro contrario, en realidad lo que me están pidiendo es la probabilidad de todo ese suceso, a excepción, quitándole la probabilidad que corresponde a la intersección. 108 00:18:47,079 --> 00:19:03,440 Pero justamente lo que me piden es todo el suceso L, pero que cumpla que no está en M. Es decir, fijaros, en este caso en concreto, aquí lo que me están pidiendo son los alumnos que han aprobado lengua y que no han aprobado matemáticas. 109 00:19:03,440 --> 00:19:29,119 Por lo tanto, pues a los que han aprobado lengua tengo que quitarles la parte de los que han aprobado lengua y matemáticas, ¿de acuerdo? Bueno, pues mira chicos, aquí tengo que conozco, bueno, bastantes cosas porque, por ejemplo, esto de aquí me lo habían dado en el enunciado, es 0,2, la probabilidad de L también me la habían dado, es 0,8. 110 00:19:29,119 --> 00:19:55,069 Por lo tanto, si lo que quiero hallar es esta probabilidad, probabilidad de la intersección, lo único que tengo que hacer es despejar en esta fórmula. Y por tanto, la probabilidad de la intersección, los alumnos que aprueban lengua y matemáticas, pues aprueban con una probabilidad de 0,8 menos 0,2 y esto es 0,6. 111 00:19:55,069 --> 00:20:12,069 Entonces, chicos, he despejado rápido, por favor aseguraros de que esto está más que trilla, ¿de acuerdo? Bueno, pues ya tengo que no se os olvide que la probabilidad de la intersección es 0,6 y voy a sustituirla justamente donde me había quedado. 112 00:20:12,069 --> 00:20:25,250 vale, la probabilidad de la intersección es 0,6. Ya bueno, realizo los cálculos, primero voy a realizar los cálculos del paréntesis, esto sería 0,5 menos 0,6 es 0,9 113 00:20:25,250 --> 00:20:36,230 y por tanto la probabilidad que me pedían es 0,1. Esta es la probabilidad de que un alumno no apruebe ni matemáticas ni lengua. 114 00:20:36,230 --> 00:20:44,190 Bueno, espero que hayáis entendido los dos problemas y que ahora se os clarifiquen cómo utilizar las propiedades de la probabilidad.