1
00:00:00,110 --> 00:00:05,209
Otro caso es otro de los casos típicos del uso del teorema de Bolzano.

2
00:00:06,309 --> 00:00:10,470
Vamos a ver, ¿por qué sé que tengo que usar Bolzano?

3
00:00:10,810 --> 00:00:13,390
Porque es que aquí tengo un hermosísimo cero.

4
00:00:14,650 --> 00:00:16,489
Y me es para ver cuando algo vale cero.

5
00:00:16,829 --> 00:00:22,649
Entonces me pregunta, ¿se puede afirmar que esta ecuación tiene al menos una raíz real?

6
00:00:22,929 --> 00:00:28,350
Es decir, me está preguntando si existe algún valor de x, algún número real, tal que se cumple esta ecuación.

7
00:00:28,350 --> 00:00:32,829
Dice, si es así, haya un intervalo en el cual se encuentre dicha raíz

8
00:00:32,829 --> 00:00:37,549
Bien, pues este es un caso en el que tengo que aplicar un teorema en un determinado intervalo

9
00:00:37,549 --> 00:00:38,729
Y el intervalo no me lo dan

10
00:00:38,729 --> 00:00:41,149
Entonces, ¿qué tengo que hacer? Buscarlo yo

11
00:00:41,149 --> 00:00:45,149
Entonces, vamos a ver cuáles son las hipótesis del teorema de Bolzano

12
00:00:45,149 --> 00:00:48,630
El teorema de Bolzano habla de que yo tengo

13
00:00:48,630 --> 00:00:49,469
Vamos a ponerlo

14
00:00:49,469 --> 00:00:52,009
Esto sería lo que se llama enunciar un teorema

15
00:00:52,009 --> 00:00:53,350
Que a veces se pide

16
00:00:53,350 --> 00:01:06,590
¿Qué es lo que dice? Que si yo tengo una función continua en un intervalo cerrado, llámalo a b.

17
00:01:07,329 --> 00:01:14,810
De manera que el valor de la función en a y el valor de la función en b tienen signos contrarios.

18
00:01:14,950 --> 00:01:19,049
Que eso, una forma de abreviarlo, es que su producto sea negativo.

19
00:01:19,049 --> 00:01:38,430
Bien, pues el teorema establece que en estas condiciones existe un valor de x, llamémoslo c, en el interior del intervalo, en el interior, o sea, ni es justo a ni es justo b, tal que, eso se puede poner con punto y coma o así con una barrita inclinada, ¿vale?

20
00:01:39,409 --> 00:01:44,650
El valor de la función en ese punto, en ese valor de x, es igual a 0.

21
00:01:46,620 --> 00:01:47,079
¿Vale?

22
00:01:47,620 --> 00:01:47,900
Bien.

23
00:01:48,620 --> 00:01:53,799
Entonces, ¿cómo llevamos esto, este teorema, para aplicarlo en esta situación?

24
00:01:53,980 --> 00:01:56,739
Bueno, pues entonces lo que necesito es una determinada función.

25
00:01:57,040 --> 00:01:57,780
¿Quién va a ser mi función?

26
00:01:58,500 --> 00:02:01,040
Lo que está a la izquierda en esta ecuación.

27
00:02:01,359 --> 00:02:03,260
Es decir, lo que tenemos que igualar a 0.

28
00:02:04,200 --> 00:02:06,140
Entonces digo, vale, pues defino mi función.

29
00:02:06,140 --> 00:02:17,680
Es típico, sea, que nos encantan los matemáticos, sea f de x igual a seno de x más 2x menos 1, ¿vale?

30
00:02:17,699 --> 00:02:26,500
Esto es una función continua en todo R, porque está formada por funciones continuas en R, una función seno y un polinomio, ¿vale?

31
00:02:26,500 --> 00:02:33,780
Pues en particular es continua en cualquier intervalo, pues ahora buscaremos el intervalo en cuestión, ¿vale?

32
00:02:33,780 --> 00:02:35,979
Dejo el en aquí esperando

33
00:02:35,979 --> 00:02:37,740
Y ahora, ¿a qué te vas?

34
00:02:37,919 --> 00:02:39,099
Pues que hay que tantear

35
00:02:39,099 --> 00:02:41,240
Pero tampoco comiéndose mucho la cabeza

36
00:02:41,240 --> 00:02:44,000
A ver, nuestro gran amigo el cero

37
00:02:44,000 --> 00:02:45,219
Que aquí es un buen amigo

38
00:02:45,219 --> 00:02:47,439
Lo sustituimos porque es fácil de sustituir

39
00:02:47,439 --> 00:02:48,939
Y fácil de calcular

40
00:02:48,939 --> 00:02:51,039
Es una buena referencia, un punto de partida

41
00:02:51,039 --> 00:02:52,740
Entonces vamos a ver

42
00:02:52,740 --> 00:02:54,960
Con cero tendría el seno de cero

43
00:02:54,960 --> 00:02:58,800
Que es cero más cero menos uno

44
00:02:58,800 --> 00:02:59,879
Pues esto es menos uno

45
00:02:59,879 --> 00:03:00,960
Me ha salido negativo

46
00:03:00,960 --> 00:03:03,000
Pues ahora me tengo que buscar la vida

47
00:03:03,000 --> 00:03:11,919
para encontrar un valor de x, un valor de x, de forma que si lo sustituyo aquí, el resultado de esto me salga positivo y no negativo, ¿vale?

48
00:03:11,960 --> 00:03:15,000
Pues teniendo en cuenta que aquí resto un 1, ¿vale?

49
00:03:16,639 --> 00:03:22,919
Y aquí tengo una función seno, el seno de x, acordaos que como su resultado está entre menos 1 y 1,

50
00:03:23,159 --> 00:03:28,620
bueno, pues para compensar esto que está restando, tendré que poner primero una cantidad que sea positiva,

51
00:03:28,620 --> 00:03:30,219
para que este término sea positivo

52
00:03:30,219 --> 00:03:33,159
y buscar que el seno sea lo mayor posible.

53
00:03:33,699 --> 00:03:35,539
Entonces, ¿dónde vale el seno 1?

54
00:03:36,240 --> 00:03:39,979
Pues en pi medios, pues vamos a poner pi medios.

55
00:03:40,340 --> 00:03:42,699
Acordaos que aquí ya trabajamos con radianes,

56
00:03:42,740 --> 00:03:44,120
que pi medios son 90 grados.

57
00:03:44,780 --> 00:03:46,900
Entonces, el seno de pi medios es 1,

58
00:03:47,500 --> 00:03:51,520
más 2 por pi medios, menos 1.

59
00:03:51,900 --> 00:03:52,460
Esto se va.

60
00:03:53,460 --> 00:03:55,460
Y este 2 con este también, pero me queda pi,

61
00:03:55,460 --> 00:03:58,219
que pi es un número positivo.

62
00:03:58,620 --> 00:04:18,720
Bien, pues ahora ya, ¿qué intervalo entonces es el que voy a coger? Pues desde cero hasta pi medios. Y lo pongo aquí. Así. Pues ahora sí, si comparamos, vamos a ver. El tema es bolsado que decía. Función continua y intervalo cerrado. Lo tengo. Esta función es continua en este intervalo.

63
00:04:18,720 --> 00:04:43,100
Y la función toma valores de signo contrario en ese intervalo. En cero vale menos uno, que es negativo. En pi medios vale pi, que es positivo. Signo contrario. Pues eso significa que en estas condiciones el teorema de Bolzano me asegura que existe un valor, vamos a llamarlo c,

64
00:04:43,100 --> 00:04:48,720
perteneciente al intervalo cero y medios

65
00:04:48,720 --> 00:04:54,519
tal que f de c es cero.

66
00:04:55,180 --> 00:04:57,639
Pero esto equivale completamente,

67
00:04:58,300 --> 00:04:59,620
daos cuenta que esta función,

68
00:05:00,060 --> 00:05:03,740
yo la he definido así para poder aplicar el teorema,

69
00:05:04,319 --> 00:05:06,839
pero en principio no había función, sino una ecuación.

70
00:05:06,839 --> 00:05:10,339
Entonces hay que responder en relación a cómo me plantean la pregunta.

71
00:05:10,339 --> 00:05:13,800
esto equivale a que existe

72
00:05:13,800 --> 00:05:14,339
c

73
00:05:14,339 --> 00:05:17,579
a ver si me cabe

74
00:05:17,579 --> 00:05:19,319
perteneciente a

75
00:05:19,319 --> 00:05:21,079
cero, no me cabe

76
00:05:21,079 --> 00:05:23,540
se me sale, ay perdón

77
00:05:23,540 --> 00:05:25,000
voy a

78
00:05:25,000 --> 00:05:26,839
escribirlo más abajo

79
00:05:26,839 --> 00:05:28,800
voy a poner aquí

80
00:05:28,800 --> 00:05:29,839
a ver

81
00:05:29,839 --> 00:05:34,500
eso equivale a que

82
00:05:34,500 --> 00:05:35,459
existe c

83
00:05:35,459 --> 00:05:38,100
pertenece al intervalo

84
00:05:38,100 --> 00:05:39,379
cero y medios

85
00:05:39,379 --> 00:05:43,860
solución

86
00:05:43,860 --> 00:05:48,160
de la ecuación

87
00:05:48,160 --> 00:05:50,839
perdón por la letra

88
00:05:50,839 --> 00:05:52,120
pero escribo lo mejor que puedo

89
00:05:52,120 --> 00:05:53,519
y ya está

90
00:05:53,519 --> 00:05:56,899
el caso típico de la aplicación del tema de Gonzalo