1 00:00:12,400 --> 00:00:17,780 Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES 2 00:00:17,780 --> 00:00:22,399 Arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases 3 00:00:22,399 --> 00:00:34,100 de la unidad AR1 dedicada a los números reales. En la videoclase de hoy estudiaremos conjuntos 4 00:00:34,100 --> 00:00:50,229 de números y operaciones con ellos. En esta videoclase vamos a definir y vamos a ver cómo 5 00:00:50,229 --> 00:00:55,369 se representan distintos conjuntos de números reales que van a ser realmente importantes 6 00:00:55,369 --> 00:00:59,170 puesto que nos van a aparecer continuamente en los siguientes bloques. 7 00:00:59,450 --> 00:01:04,569 Estoy pensando, por ejemplo, en la forma en la que se van a representar las soluciones de las ecuaciones 8 00:01:04,569 --> 00:01:08,129 o la forma en la que se van a representar las soluciones de las inequaciones, 9 00:01:08,310 --> 00:01:11,010 o bien los sistemas de ecuaciones o los sistemas de inequaciones. 10 00:01:12,310 --> 00:01:16,670 Estos, a su vez, van a ser importantes a la hora de hablar del dominio de funciones 11 00:01:16,670 --> 00:01:19,829 o bien de aspectos relevantes de las funciones. 12 00:01:19,989 --> 00:01:24,670 Como veis, estoy hablando del bloque de álgebra y estoy hablando del bloque de funciones. 13 00:01:24,670 --> 00:01:27,069 Esto va a ser, insisto, realmente importante. 14 00:01:27,829 --> 00:01:33,390 Vamos a comenzar con conjuntos discretos que van a estar formados por un conjunto finito de números reales, 15 00:01:33,450 --> 00:01:37,129 como vemos aquí, por ejemplo, este conjunto ABC, tres números reales y ya, 16 00:01:37,829 --> 00:01:39,790 o bien un conjunto infinito numerable. 17 00:01:40,569 --> 00:01:43,750 Aquí tenemos un x1, un x2, un x3, etc. 18 00:01:43,969 --> 00:01:49,849 Y estos puntos suspensivos nos van a indicar una cantidad infinita de números. 19 00:01:50,030 --> 00:01:53,730 O bien aquí tenemos puntos suspensivos por delante, puntos suspensivos por detrás 20 00:01:53,730 --> 00:01:56,469 y una muestra de unos ciertos conjuntos. 21 00:01:58,549 --> 00:02:05,790 Un ejemplo de conjunto finito podría ser el conjunto formado por el número 2 y el número 5, sin más. 22 00:02:06,489 --> 00:02:10,530 Un ejemplo de conjunto infinito numerable de este estilo podría ser, por ejemplo, 23 00:02:11,150 --> 00:02:16,509 el conjunto formado por los números 2, 4, 6, 8 puntos suspensivos. 24 00:02:16,689 --> 00:02:18,930 Aquí vemos que tenemos los números pares positivos. 25 00:02:18,930 --> 00:02:33,569 O bien podríamos pensar en el conjunto formado por puntos suspensivos, menos 5, menos 3, menos 1, 1, 3, 5 y en ese caso, puntos suspensivos por cierto, 26 00:02:34,129 --> 00:02:40,009 en ese caso lo que tengo es el conjunto de los números impares, de los números enteros impares. 27 00:02:40,169 --> 00:02:42,729 Tenemos los números negativos, tenemos los números positivos. 28 00:02:42,729 --> 00:02:59,129 A la hora de representar los conjuntos discretos lo que vamos a hacer es representar la recta real, la recta numérica y lo que vamos a hacer es utilizar las técnicas que había comentado en la videoclase 2.1 hablando de la representación en la recta numérica para ello. 29 00:02:59,550 --> 00:03:06,030 Podemos, por ejemplo, tomar aquí el número a y representarlo donde queramos y utilizarlo como referencia. 30 00:03:07,110 --> 00:03:14,050 Tomar el número b, que en este caso va a ser mayor que el número a, y representarlo donde queramos a la derecha del número a. 31 00:03:14,710 --> 00:03:20,909 Y a partir de ahí ya tenemos una unidad de medida, tenemos la distancia definida entre el numerito a y el numerito b, 32 00:03:21,569 --> 00:03:28,069 tomando b menos a y el valor absoluto, en este caso si b es mayor que a, b menos a ya va a ser un número positivo, 33 00:03:28,069 --> 00:03:31,449 y buscar cuál es la posición que le correspondería al número C, 34 00:03:32,030 --> 00:03:36,629 utilizando A como referencia y utilizando la unidad de longitud, 35 00:03:37,189 --> 00:03:39,009 la distancia que separa B y A. 36 00:03:39,729 --> 00:03:45,610 Por ejemplo, o otra posibilidad sería, independientemente de los valores A, B y C, 37 00:03:46,150 --> 00:03:48,710 representar el número 0 como origen, donde queramos, 38 00:03:49,469 --> 00:03:52,770 representar el número 1 a su derecha como escala, 39 00:03:53,449 --> 00:03:57,650 a partir de ahí tendremos el número 2, 3, 4, 5 a igual separación, 40 00:03:57,650 --> 00:04:05,770 hacia la derecha del número 1 y hacia la izquierda del 0 tendríamos menos 1 menos 2 menos 3 y ahora que tenemos esa especie de regla por así decirlo 41 00:04:05,770 --> 00:04:13,509 donde tenemos marcados los números enteros podemos buscar dónde pintar el número A, el número B y el número C 42 00:04:13,509 --> 00:04:18,209 utilizando esa escala graduada, esa especie de regla y sobre ella pintar estos números. 43 00:04:19,310 --> 00:04:25,189 Utilizando cualquiera de estas dos técnicas podríamos representar el conjunto infinito numerable, viene el primero, viene el segundo 44 00:04:25,189 --> 00:04:32,949 Y lo que se suele hacer habitualmente para indicar que hay más números aparte de estos que yo he podido pintar en esta representación finita, 45 00:04:33,069 --> 00:04:40,829 puesto que no puedo pintar infinitos números en la recta real, habitualmente se indican estos puntos suspensivos que se van a corresponder con estos. 46 00:04:42,269 --> 00:04:48,430 Aparte de conjuntos discretos, también van a ser relevantes conjuntos que se denominan intervalos. 47 00:04:48,430 --> 00:05:00,529 Son números reales comprendidos entre dos, un límite inferior y un límite superior, o bien un límite a la izquierda, un límite a la derecha, tal y como estamos representando los números dentro de la recta real. 48 00:05:01,310 --> 00:05:10,769 Tenemos intervalos abiertos que están formados por todos los números comprendidos entre dos valores, un límite inferior y un límite superior, pero sin incluirlos. 49 00:05:10,769 --> 00:05:24,310 Aquí vemos números X mayores que A, mayor estricto, menores que B, menor estricto. Se representan de esta manera, número A, número B, con un círculo abierto indicando que no se toma el número A, el número A y el número B. 50 00:05:24,310 --> 00:05:30,610 en este caso, no están incluidos en el conjunto y se marca, de alguna manera, todos los números comprendidos entre A y B. 51 00:05:30,949 --> 00:05:37,949 En este caso he elegido el color y se ve claramente como el número A no está incluido, círculo abierto, el número B no está incluido 52 00:05:37,949 --> 00:05:44,490 y se ve que me estoy refiriendo a todos estos números que hay aquí, puesto que estoy utilizando un símbolo distinto, en este caso un color distinto. 53 00:05:45,670 --> 00:05:50,509 Cuando sí se toman los extremos del intervalo, lo que tenemos es un intervalo cerrado. 54 00:05:50,509 --> 00:05:53,589 Aquí vemos las desigualdades, que ya no son estrictas. 55 00:05:54,050 --> 00:05:57,810 Vamos a coger x mayores o iguales que a, menores o iguales que b. 56 00:05:58,250 --> 00:06:04,230 Y esto se va a representar de la misma manera, pero para indicar que a y b, si fue conjunto, lo que se utilizan son puntos rellenos. 57 00:06:05,089 --> 00:06:11,589 Fijaos que en el caso de un extremo abierto se ponen paréntesis, en el extremo de un intervalo cerrado se ponen corchetes. 58 00:06:11,810 --> 00:06:17,250 Así que un intervalo de esta manera con paréntesis es abierto, así con corchetes es cerrado. 59 00:06:17,810 --> 00:06:22,930 ¿Qué ocurre si tenemos un intervalo semiabierto o semicerrado con un extremo abierto y un extremo cerrado? 60 00:06:23,089 --> 00:06:27,209 Pues que nos encontraremos en un extremo un paréntesis y en el otro extremo un corchete. 61 00:06:27,790 --> 00:06:32,769 Donde tengamos el corchete, el intervalo está cerrado y ese extremo sí está incluido en el intervalo. 62 00:06:33,269 --> 00:06:40,730 Donde tengamos un paréntesis, en ese extremo el intervalo está abierto y ese elemento no forma parte del conjunto. 63 00:06:41,410 --> 00:06:46,509 En forma de desigualdades, pues en el caso del paréntesis tendremos la desigualdad estricta, como veis aquí y aquí. 64 00:06:47,069 --> 00:06:50,230 En el caso del corchete la tendremos no estricta, como veis aquí y aquí. 65 00:06:50,910 --> 00:06:54,290 Con el paréntesis tendremos en la representación gráfica un punto abierto, 66 00:06:54,790 --> 00:06:57,089 con el corchete tendremos un punto cerrado. 67 00:06:59,379 --> 00:07:03,620 Además de intervalos, utilizaremos en ciertos contextos semirrectas. 68 00:07:04,540 --> 00:07:07,600 Podemos pensar en que una semirrecta se corresponde con un intervalo 69 00:07:07,600 --> 00:07:10,939 en el que uno de los extremos va a más infinito o bien a menos infinito. 70 00:07:11,399 --> 00:07:14,579 Aquí tenemos una semirrecta, por ejemplo, abierta a la derecha. 71 00:07:15,319 --> 00:07:20,259 Comienza en menos infinito, son todos los números reales comenzando por menos infinito, 72 00:07:20,379 --> 00:07:23,860 o sea, tan a la izquierda como yo quiera, tan pequeños como yo quiera, 73 00:07:24,560 --> 00:07:27,879 hasta llegar al valor a, que es el extremo derecho. 74 00:07:28,879 --> 00:07:33,000 Y en este caso decimos que es una semirrecta abierta, abierta a la derecha, 75 00:07:33,079 --> 00:07:36,379 porque a la derecha tenemos un límite con un paréntesis. 76 00:07:36,379 --> 00:07:42,500 En este caso, desde menos infinito hasta abierto, son todos los números reales menores estrictos que a. 77 00:07:42,500 --> 00:07:48,759 y se van a representar de esta manera, A como un punto abierto, puesto que en ese extremo la semirrecta está abierta, 78 00:07:49,040 --> 00:07:50,759 y son todos los números menores que A. 79 00:07:51,720 --> 00:07:56,740 El representar aquí esta cabeza de flecha es algo que no es estándar, es una mera cuestión estética, 80 00:07:56,740 --> 00:08:05,160 una forma de que quede bien claro que nos estamos extendiendo a la izquierda tanto como queramos, tanto como podamos, 81 00:08:05,279 --> 00:08:08,800 eso es lo que representa este menos infinito, es utilizar una flecha. 82 00:08:09,639 --> 00:08:11,839 Aquí tenemos una semirrecta abierta a la derecha. 83 00:08:12,500 --> 00:08:23,160 Podemos tener una semirrecta abierta a la izquierda, con el límite izquierdo que sea abierto y hacia la derecha alcanzando más infinito, números tan grandes como queramos, tan grandes como podamos. Eso es lo que representaría este más infinito. 84 00:08:23,779 --> 00:08:39,940 Al igual que tenemos semirrectas abiertas, podemos tener semirrectas cerradas, en las que el extremo sí se incluye. Y en ese caso no utilizaremos paréntesis, sino que utilizaremos corchetes en ese extremo, en este caso A, que representa el límite de la semirrecta. 85 00:08:39,940 --> 00:08:49,620 Y aquí tenemos un punto cerrado para indicar que tenemos todos los números menores o iguales que a y aquí, por ejemplo, todos los números mayores o iguales que a. 86 00:08:52,679 --> 00:08:55,440 Un concepto que también vamos a utilizar es el de entorno. 87 00:08:56,080 --> 00:09:01,259 Se define el entorno con centro en un número real a y con radio r positivo. 88 00:09:01,259 --> 00:09:12,519 Se va a denotar de esta manera entorno con centro a y radio r como el conjunto de todos los números reales cuya distancia con respecto del centro a es menor que r. 89 00:09:12,539 --> 00:09:19,960 menor estricto. Así pues, lo que vamos a tener es, en el fondo, un intervalo abierto. En el centro, 90 00:09:20,279 --> 00:09:25,559 lo que vamos a tener es el número a, nos vamos a mover hacia la izquierda una distancia igual a r, 91 00:09:25,840 --> 00:09:31,379 hacia la derecha una distancia mayor a, perdón, igual a r, de tal forma que vamos a llegar hasta 92 00:09:31,379 --> 00:09:37,019 el número a menos r y por la derecha hasta el número a más r. Estos dos números no van a estar 93 00:09:37,019 --> 00:09:41,340 incluidos porque la distancia con respecto de a es idénticamente igual a r y nosotros tenemos 94 00:09:41,340 --> 00:09:47,200 números cuya distancia sea menor que r. Así pues, tenemos el intervalo abierto con este extremo en 95 00:09:47,200 --> 00:09:56,679 a menos r y este otro extremo en a más r. Se define el entorno reducido como un entorno del cual hemos 96 00:09:56,679 --> 00:10:01,940 excluido el centro, al cual hemos eliminado el centro. Se va a representar de esta manera, e de 97 00:10:01,940 --> 00:10:09,320 entorno y esta asteris como habla de entorno reducido, con centro a y radio r, el conjunto de 98 00:10:09,320 --> 00:10:15,779 todos los números reales cuya distancia a el centro que es a es estrictamente mayor que cero 99 00:10:15,779 --> 00:10:22,659 para excluir el número a y menor que r y como veis se corresponde con lo anterior. En este caso no 100 00:10:22,659 --> 00:10:29,940 tenemos un único intervalo sino que tenemos dos, la unión de dos. Vamos a las operaciones dentro de 101 00:10:29,940 --> 00:10:37,320 un momento. Sería el intervalo que va desde a menos r hasta a abierto junto con el intervalo 102 00:10:37,320 --> 00:10:43,460 que va desde A hasta A más R. Podemos pensar en la unión de estos dos intervalos abiertos o podemos 103 00:10:43,460 --> 00:10:48,639 pensar en este intervalo del que hemos excluido el centro que sería el punto A. Esa es la forma en la 104 00:10:48,639 --> 00:10:57,360 que a partir de la definición se define el entorno reducido. Nosotros utilizaremos tanto los conjuntos 105 00:10:57,360 --> 00:11:06,159 discretos como los intervalos y las semirrectas como soluciones más adelante de situaciones en 106 00:11:06,159 --> 00:11:12,120 que estemos interesados, soluciones de ecuaciones, sistemas de ecuaciones, inequaciones, sistemas de 107 00:11:12,120 --> 00:11:18,200 inequaciones, pensando en, por ejemplo, describir elementos importantes de las funciones, dominio, 108 00:11:18,659 --> 00:11:23,279 intervalos de crecimiento, decrecimiento, etcétera. Hablaremos de todo ello en los bloques posteriores. 109 00:11:24,000 --> 00:11:28,860 El concepto de entorno y entorno reducido aparecerá en un momento dado a la hora de dar ciertas 110 00:11:28,860 --> 00:11:34,899 definiciones, pero no será algo que nosotros utilicemos expresamente para todo esto que he 111 00:11:34,899 --> 00:11:41,259 mencionado anteriormente. Podemos utilizar las representaciones que hemos visto anteriormente 112 00:11:41,259 --> 00:11:46,100 para representar, por ejemplo, la recta real completa, que sería un intervalo abierto con 113 00:11:46,100 --> 00:11:51,019 límites infinitos, desde menos infinito hasta menos infinito. Y podemos representar cualquier 114 00:11:51,019 --> 00:11:58,059 conjunto vacío como un intervalo abierto que tenga el mismo inicio que final. Este es el conjunto de 115 00:11:58,059 --> 00:12:04,919 todos los números, comenzando por x sin cogerlo y acabando en el mismo x sin cogerlo. Este es el 116 00:12:04,919 --> 00:12:12,279 conjunto vacío y eso valdría para cualquier valor de x real. He hablado hace un momento de la unión 117 00:12:12,279 --> 00:12:19,620 de dos intervalos. Bueno, pues dados dos conjuntos cualesquiera, a1 y a2, cualesquiera, contenidos en 118 00:12:19,620 --> 00:12:24,539 la recta real, nosotros vamos a utilizar las siguientes operaciones. Vamos a hablar de la 119 00:12:24,539 --> 00:12:28,700 unión, vamos a hablar de la intersección y en algún momento también vamos a hablar de la diferencia. 120 00:12:29,340 --> 00:12:37,179 La unión de dos conjuntos va a estar formado por todos aquellos elementos que forman parte bien del primero o bien del segundo. 121 00:12:37,840 --> 00:12:46,700 Así que solo en uno, solo en otro o bien en los dos, todos aquellos elementos que cumplan con esto se van a encontrar dentro de este conjunto unión. 122 00:12:47,419 --> 00:12:54,899 Este símbolo que vemos aquí, que parece que es en realidad una especie de V, es el operador lógico O. 123 00:12:54,899 --> 00:13:06,440 Así que en la unión de A1 y A2 se van a encontrar todos los elementos reales, puesto que hablamos de la recta real, que se encuentren en A1 o se encuentren en A2. 124 00:13:06,559 --> 00:13:16,360 Y ese O no es exclusivo, no es o bien en uno o bien en otro, tiene que encontrarse en alguno de ellos, o bien en el primero o bien en el segundo, nos vale que estuvieran en los dos. 125 00:13:17,159 --> 00:13:21,299 Que estuvieran los dos se refiere a la intersección, que se representa de esta manera. 126 00:13:21,440 --> 00:13:25,440 Y aquí tenemos la intersección de este conjunto A1 y A2. 127 00:13:25,600 --> 00:13:34,379 Y aquí sí, en la intersección, se van a encontrar únicamente aquellos elementos reales que estén simultáneamente en los dos conjuntos. 128 00:13:34,440 --> 00:13:35,539 Y aquí tenemos la definición. 129 00:13:36,200 --> 00:13:40,259 Este símbolo que vemos aquí, es una V invertida, se lee como I. 130 00:13:40,259 --> 00:13:52,840 De tal forma que aquí tenemos los números reales que se encuentran en a1 y se encuentran en a2. Aquí sí tenemos los números que simultáneamente cumplen, que están en uno y están en el otro. 131 00:13:54,019 --> 00:14:07,299 En cuanto a la diferencia, lo que vamos a hacer es, aquí por ejemplo tenemos a1 menos a2. Vamos a leerlo de esa manera, como si fuera una resta. La diferencia entre a1 y a2. 132 00:14:07,299 --> 00:14:18,039 Lo que vamos a hacer es empezar tomando los elementos de A1 y de él eliminar aquellos elementos que también se encuentren en A2. 133 00:14:18,539 --> 00:14:28,820 Aquí tenemos esa definición que acabo de dar. Son los números reales que se encuentran en A1 y no se encuentran en A2. 134 00:14:29,679 --> 00:14:40,460 Fijaos que nos centramos en A1, dentro de A1 miramos cuáles son los elementos que además están en A2, esto es la intersección, y esos elementos se excluyen. 135 00:14:41,019 --> 00:14:45,379 Y lo que tenemos son elementos que están en A1 y que no están en A2. 136 00:14:46,179 --> 00:14:52,620 Esto también lo podríamos representar de esta otra manera. Son los elementos de A1 que además no están en A2. 137 00:14:52,620 --> 00:15:03,019 Con esto que hemos visto ya podemos resolver estos ejercicios que veremos en clase, probablemente veremos en alguna videoclase posterior.