1
00:00:01,070 --> 00:00:04,349
Interacción gravitatoria. Empezamos con la física.

2
00:00:06,290 --> 00:00:13,869
Bueno, en este tema vamos a ver leyes de Kepler, ley de gravitación universal, campo gravitatorio, todas estas cosas.

3
00:00:14,330 --> 00:00:17,350
Lo he dividido en dos quincenas porque es muchísimo contenido.

4
00:00:18,949 --> 00:00:23,969
Entonces vamos a ver esto en la primera quincena y esto en la segunda quincena.

5
00:00:26,289 --> 00:00:27,589
Bueno, pues empezamos.

6
00:00:29,329 --> 00:00:30,089
Leyes de Kepler.

7
00:00:31,070 --> 00:00:44,829
Históricamente, pues desde siempre se pensaba que la Tierra era el centro del universo y de todo, siempre tenemos que pensar que somos nosotros lo más, somos muy egocéntricos.

8
00:00:44,829 --> 00:01:11,189
Y bueno, entonces se pensaba que había algo que hacía pensar que no se explicaba, porque había unas estrellas que giraban todas a la vez y luego había otras estrellas que llamaron planetas, los griegos, porque eran astros errantes,

9
00:01:11,189 --> 00:01:18,569
porque tenían este movimiento en el cielo, que las estrellas normales van todas para el mismo sitio,

10
00:01:18,689 --> 00:01:23,269
pero los planetas iban para adelante y para atrás. Es el movimiento retrógrado de los planetas que se llama.

11
00:01:24,510 --> 00:01:30,709
Copérnico es el primero que propone que esto es porque es el Sol el que está en el centro y no la Tierra

12
00:01:30,709 --> 00:01:39,269
y lo que tenemos es que la proyección de cómo vemos el planeta según quién esté más avanzado en la órbita

13
00:01:39,269 --> 00:01:44,129
Nos parece que el planeta va para adelante o para atrás

14
00:01:44,129 --> 00:01:47,010
Cuando el planeta va en su órbita normal y ya está

15
00:01:47,010 --> 00:01:50,510
Copérnico lo dijo como modelo matemático para explicarlo

16
00:01:50,510 --> 00:01:52,930
Y punto, no se metió en jardines para nada

17
00:01:52,930 --> 00:01:56,890
El que sí se metió en jardines fue Galileo

18
00:01:56,890 --> 00:02:02,930
Que este es el primero que se toma en serio el modelo de Copérnico

19
00:02:02,930 --> 00:02:05,590
Y consigue observar las fases de Venus

20
00:02:05,590 --> 00:02:17,090
O sea que Venus tendría fases como la Luna, de Luna creciente, Venus creciente, Venus menguante, todas estas cosas, y lo consigue ver con un telescopio.

21
00:02:17,090 --> 00:02:40,620
Entonces dice esto es porque algo le hace sombra, porque la Tierra le hace sombra y es capaz de convencerse del sistema copernicano y querer convencer de ello.

22
00:02:40,620 --> 00:02:58,840
Además, con su telescopio encuentra más estrellas de las que nunca se habían visto, descubre que la Luna no es perfecta, no es una esfera perfecta, sino que es rugosa, porque en tiempos antiguos el cielo era como la perfección.

23
00:02:58,840 --> 00:03:07,419
Entonces, bueno, pues él descubre que no. Además, descubre satélites en Júpiter, con lo cual ya no todo gira alrededor de la Tierra siquiera.

24
00:03:07,599 --> 00:03:11,620
O sea, si hay cosas que giran alrededor de otro planeta, pues tú fíjate.

25
00:03:13,039 --> 00:03:18,020
Entonces publica una obra que se llama Diálogo sobre los dos grandes sistemas del mundo.

26
00:03:19,139 --> 00:03:22,879
Y por esto se gana un juicio de la Inquisición.

27
00:03:22,879 --> 00:03:30,120
No le matan porque era amigo del Papa, pero le condenan a estar encerrado en su casa toda su vida.

28
00:03:34,840 --> 00:03:42,159
Años después, cuando ya la Inquisición no estaba tan fuerte, Kepler se pone a observar

29
00:03:42,159 --> 00:03:47,900
y tras cuatro años de observaciones sobre Marte tomando muchas medidas de su órbita,

30
00:03:47,900 --> 00:04:12,560
se da cuenta de que el esquema de las órbitas no es exactamente circular, hay una diferencia de 8 minutos de arco, o sea, 8 minutos de arco, si estos son 360 grados y cada grado son 60 minutos de arco, pues 8 minutos de esos 60,

31
00:04:12,560 --> 00:04:32,720
Es la diferencia que hay. Es muy pequeña, pero es capaz de medirla. Entonces dice, no son circulares. Lo vio que esto le pasaba a todos los planetas. Tenían una diferencia que se desviaba del circular.

32
00:04:32,720 --> 00:04:39,240
Entonces lo que descubre es que es la elipse la curva que mejor se adecua a este movimiento

33
00:04:39,240 --> 00:04:44,680
Es verdad que no es una elipse como esta, que es una elipse casi casi circular

34
00:04:44,680 --> 00:04:51,500
Los focos están muy cerca y entonces parece circular

35
00:04:51,500 --> 00:04:54,319
Por eso luego podemos tratarla como circular

36
00:04:54,319 --> 00:04:57,319
Y por eso porque el error es muy pequeño

37
00:04:57,319 --> 00:05:02,800
pero para corregir ese error se da cuenta de que las órbitas son elípticas

38
00:05:02,800 --> 00:05:07,339
entonces en una elipse cosas importantes que tenemos

39
00:05:07,339 --> 00:05:11,639
tenemos el eje mayor que es como de lado a lado mayor

40
00:05:11,639 --> 00:05:16,259
y este cachito de aquí se llama A que es el semieje mayor

41
00:05:16,259 --> 00:05:26,540
por otro lado este sería el eje menor y de aquí a aquí es el semieje menor OB

42
00:05:26,540 --> 00:05:54,100
Vale, la distancia entre focos es la distancia focal y podemos decir que podemos llamar a C a la mitad de la distancia focal y entonces por geometría, que no nos vamos a meter, pero bueno, esto es B, que ya lo habíamos visto, esto se puede ver por geometría que es A

43
00:05:54,100 --> 00:05:59,980
Y por Pitágoras tenemos esta ecuación de la elipse que hay veces que en problemas nos viene bien saberla.

44
00:06:00,660 --> 00:06:15,720
Bueno, pero ¿qué dice en su primera ley Kepler? Pues Kepler dice que los planetas describen órbitas elípticas alrededor del Sol, que esto lo descubre ya con este error, estando el Sol situado en uno de los focos.

45
00:06:15,720 --> 00:06:21,620
O sea que el Sol está situado en uno de los focos de la elipse y los planetas van girando alrededor.

46
00:06:22,480 --> 00:06:26,180
Hay dos puntos importantes en la órbita.

47
00:06:26,300 --> 00:06:31,860
El punto en el que está más cerca del Sol, que se llama perihelio, peri de cerca, helio de Sol.

48
00:06:32,379 --> 00:06:37,399
Y el punto que está más lejos, que se llama afelio, más lejos porque es el que mayor distancia tiene.

49
00:06:39,720 --> 00:06:42,819
Esta es la primera ley, que las órbitas son elípticas.

50
00:06:43,560 --> 00:06:49,220
También observó Kepler que la velocidad de los planetas dependía de su posición en la órbita.

51
00:06:50,500 --> 00:06:59,079
Es decir, que no siempre iban igual. Fijaos, un mes pasa. Desde el 1 de enero hasta el 30 de enero es un mes.

52
00:06:59,279 --> 00:07:05,480
Y desde el 1 de julio hasta el 30 de julio es un mes. O sea, vamos a recorrer esta distancia y esta distancia.

53
00:07:05,620 --> 00:07:11,500
Pero no es la misma. Aunque ha pasado el mismo tiempo, aquí la distancia es más corta que aquí.

54
00:07:11,500 --> 00:07:17,160
luego quiere decir que aquí recorre más distancia en el mismo tiempo

55
00:07:17,160 --> 00:07:18,660
con lo cual va más rápido

56
00:07:18,660 --> 00:07:26,300
la velocidad en el perihelio es mayor que la velocidad en el afelio

57
00:07:26,300 --> 00:07:29,279
va más rápido cuanto más cerca del Sol está

58
00:07:29,279 --> 00:07:32,699
eso es lo que descubre Kepler

59
00:07:32,699 --> 00:07:36,600
que la velocidad no es constante, depende de su posición en la órbita

60
00:07:36,600 --> 00:07:38,300
¿y qué más?

61
00:07:38,699 --> 00:07:40,319
¿cómo lo justifica?

62
00:07:40,319 --> 00:07:56,819
Lo justifica con la ley de las áreas. Aquí está puesto como el radiovector dirigido desde el Sol, ¿vale? Radiovector dirigido desde el Sol a un planeta, barre, esto es lo que nos importa, barre áreas iguales en tiempos iguales.

63
00:07:56,819 --> 00:08:06,319
O sea que este área y este área son iguales y además las ha hecho en el mismo tiempo, en un mes.

64
00:08:07,199 --> 00:08:12,740
¿Vale? Barreáreas iguales en tiempos iguales. Con esto podemos definir la velocidad areolar.

65
00:08:17,220 --> 00:08:28,180
Areolar. De área, la velocidad areolar sería el área que recorre entre el tiempo que lo recorre.

66
00:08:28,579 --> 00:08:42,740
Pero bueno, la diferencia de áreas, ¿vale? Porque cogido bien sería igual que decimos que v es igual a la diferencia de posición con respecto al tiempo,

67
00:08:42,740 --> 00:08:47,559
la derivada de la posición con respecto al tiempo, pues aquí sería la derivada del área con respecto a t.

68
00:08:48,299 --> 00:08:56,940
En los problemas vamos a necesitar simplemente, lo vamos a poner con incrementos, entonces va a ser incremento de a partido por incremento de t.

69
00:08:56,940 --> 00:09:18,759
Y esto es constante, porque recorre áreas iguales en tiempos iguales, o sea, si yo cojo este área de aquí, este cachito de aquí, que sería esto, entre el tiempo que lo recorre, pues siempre va a ser lo mismo, va a ser lo mismo que esto entre este tiempo, entonces va a ser una constante.

70
00:09:18,759 --> 00:09:37,100
La velocidad areolar es constante. Esto por una parte. Es casi limpio, sin tener que limpiar. Aquí la demostración está como muy profesional, con vectores y tal.

71
00:09:37,100 --> 00:09:51,539
¿Qué me interesa de aquí? Pues me interesa la demostración por conservación de un momento angular, ¿vale? Para poder aplicar en los problemas. Entonces, esta ley, ¿vale? Vamos a tener dos conclusiones con esta ley.

72
00:09:51,539 --> 00:10:36,029
Una, que la velocidad areolar es igual a constante, siendo la velocidad areolar esto que hemos dicho, esta es una de las conclusiones.

73
00:10:36,029 --> 00:10:58,610
Y la otra va a ser que la velocidad en el afelio por el radio en el afelio, o mejor dicho, el radio en el afelio por la velocidad en el afelio es igual a el radio en el perihelio por v en el perihelio.

74
00:10:58,610 --> 00:11:18,590
Vale, ¿y cómo lo podemos ver esto? Pues, vamos a ver. Si yo necesito coger ahora un blanco para borrar esto. Bueno, aquí está una deducción como muy profesional, pero todavía no sabéis ni vectores ni nada.

75
00:11:18,590 --> 00:11:28,529
Entonces, bueno, porque es tema de segundo de bachillerato, entonces todo esto del producto vectorial no lo habéis dado.

76
00:11:28,909 --> 00:11:39,710
Sí que necesito que sepáis que el momento angular, la definición del momento angular es r por p, siendo r la posición, el vector posición, ¿vale?

77
00:11:39,710 --> 00:11:46,850
P, el vector posición donde se encuentra algo, y P, la cantidad de movimiento o momento lineal.

78
00:11:47,529 --> 00:11:53,210
P es m por v, o sea, la masa que tiene un objeto por la velocidad que lleva ese objeto.

79
00:11:54,769 --> 00:11:58,429
Estas dos cosas hay que sabérselas para los problemas porque hay veces que las piden.

80
00:11:59,009 --> 00:12:05,370
Entonces esto es momento angular y esto es momento lineal.

81
00:12:05,370 --> 00:12:12,799
vale, pues lo que sabemos es que en el sistema no actúan fuerzas centrales

82
00:12:12,799 --> 00:12:14,360
no actúan fuerzas externas

83
00:12:14,360 --> 00:12:19,460
entonces el momento es cero y por tanto él se conserva

84
00:12:19,460 --> 00:12:23,379
y de aquí se puede deducir muchas cosas

85
00:12:23,379 --> 00:12:30,320
pero voy a hacerme una página en blanco para poder explicarlo

86
00:12:30,320 --> 00:12:34,419
bueno, lo voy a poner para acá

87
00:12:34,419 --> 00:12:36,440
entonces lo que vamos a poner

88
00:12:36,440 --> 00:12:38,259
ahora hay que aprender solo un poco de memoria

89
00:12:38,259 --> 00:12:40,899
pero hay que poner esta ley de memoria entera deducida

90
00:12:40,899 --> 00:12:46,500
porque no se puede no deducir la ley de Kepler para usarla.

91
00:12:47,240 --> 00:12:52,279
Si no existen fuerzas externas, si el momento de las fuerzas es cero,

92
00:12:52,919 --> 00:12:57,519
que es lo que se dice aquí, si el momento de las fuerzas es cero,

93
00:12:59,320 --> 00:13:04,679
el momento angular se mantiene constante, se conserva, que se dice,

94
00:13:04,679 --> 00:13:07,000
que también está aquí.

95
00:13:08,259 --> 00:13:19,360
Eso quiere decir que si el momento angular es constante, quiere decir que su módulo, o bien escrito como lo hacen los matemáticos o como hacemos los físicos,

96
00:13:19,360 --> 00:13:26,840
que es que le quitamos la flecha y ya está, es constante. ¿Qué quiere decir que el módulo de L es constante?

97
00:13:26,840 --> 00:13:41,779
Pues si sabemos que L, he dicho que es R vectorial por P, pues esto sería que R vectorial por P es igual a constante.

98
00:13:43,179 --> 00:13:47,480
¿Qué quiere decir eso? Esto no lo sabéis, hay que aprenderlo de memoria.

99
00:13:48,039 --> 00:13:56,679
Pero el módulo del producto vectorial es R por P por el seno del ángulo que forman R y P.

100
00:13:56,840 --> 00:14:09,139
Y esto es igual a constante. Vale. Esto es como en el producto escalar, que en el producto escalar es por el coseno y en el producto vectorial es por el seno.

101
00:14:09,139 --> 00:14:24,100
Bueno. Vale. Poniendo lo que vale el momento lineal, esto sería r por m por v por seno de teta es igual a constante.

102
00:14:24,100 --> 00:14:35,600
Y como la masa es una constante, la podemos pasar al otro lado dividiendo y poner que r por v por el seno de teta es igual a la constante partido por m.

103
00:14:36,059 --> 00:14:45,200
Pero m será 5 kilos, 8, 500, lo que sea, es una constante también. Así que todo esto va a ser una nueva constante, constante prima, si queréis.

104
00:14:45,200 --> 00:14:54,139
O sea que R por V por el seno de teta es igual a constante.

105
00:14:55,419 --> 00:14:59,659
¿Eso qué quiere decir? Si yo lo aplico en el afelio y en el perihelio.

106
00:14:59,659 --> 00:15:16,980
En el afelio tengo la velocidad del afelio y el radio del afelio, y en el perihelio tengo la velocidad del perihelio y el radio del perihelio.

107
00:15:20,019 --> 00:15:29,759
Fijaos lo que pasa, que forman 90 grados, porque justo están formando 90 grados, y el seno de 90 es 1.

108
00:15:29,759 --> 00:15:37,279
así que eso quiere decir que en cualquier punto de la órbita

109
00:15:37,279 --> 00:15:43,899
el radio por el vector por el seno del ángulo que forman vale lo mismo

110
00:15:43,899 --> 00:15:51,220
es decir que en el punto A va a valer lo mismo que en el punto P que en cualquier otro punto

111
00:15:51,220 --> 00:15:59,299
por lo tanto eso quiere decir que R de A por V de A por el seno del ángulo en el afelio

112
00:15:59,299 --> 00:16:04,860
tiene que ser igual a R de P por V de P por el seno del ángulo en el perihelio.

113
00:16:07,350 --> 00:16:21,480
Como hemos dicho que el seno de 90 es igual a 1 y el ángulo que tenemos, este 90, es el ángulo del afelio y el ángulo del perihelio,

114
00:16:21,480 --> 00:16:29,149
pues esto sería que esto es 1, esto también es 1

115
00:16:29,149 --> 00:16:35,090
y me queda que r por a por v por a es igual a r por p por v por p

116
00:16:35,090 --> 00:16:40,370
y ya tengo aquí la fórmula para usar en problemas muy facilita

117
00:16:40,370 --> 00:16:49,409
por último nos quedaría aquí el que sea constante el momento angular es importante

118
00:16:49,409 --> 00:16:54,029
porque eso es lo que hace que siempre giren en órbitas planas y en el mismo sentido.

119
00:16:54,909 --> 00:16:59,549
Y la conservación del módulo es la que justifica la ley de las áreas.

120
00:17:01,409 --> 00:17:08,970
La tercera ley dice que el cuadrado del periodo de revolución de un planeta alrededor del Sol

121
00:17:08,970 --> 00:17:16,529
es proporcional al cubo del semieje mayor de su órbita A, lo pone aquí,

122
00:17:16,529 --> 00:17:19,390
siendo K una constante igual para todos los planetas.

123
00:17:20,250 --> 00:17:32,170
Vale, esto es lo que le sirve a Newton para hacer su ley. ¿Cómo? Pues fijaos, o sea, esta es la ley de Kepler.

124
00:17:37,940 --> 00:17:53,849
Vale, pues entonces lo que tenemos aquí es, bueno, no quería, sí, quiero llegar a la ley de Kepler.

125
00:17:53,849 --> 00:18:06,789
es que para explicar la ley de Kepler necesito poner la ley de Newton primero, que no la hemos visto

126
00:18:06,789 --> 00:18:13,130
pero bueno, es que históricamente Kepler viene antes, entonces bueno, la ley de Newton

127
00:18:13,130 --> 00:18:18,690
la ley de la gravitación universal de Newton es como seguramente habéis visto ya

128
00:18:18,690 --> 00:18:24,789
que la fuerza con la que se atraen dos masas, una masa grande y una masa pequeña

129
00:18:24,789 --> 00:18:32,309
que se están ahí multiplicando, es F es igual a G por M por M partido por R al cuadrado.

130
00:18:32,509 --> 00:18:34,089
Esta es la fuerza gravitatoria.

131
00:18:35,809 --> 00:18:38,789
Y entonces, esta es la ley universal de la gravitación.

132
00:18:40,289 --> 00:18:42,029
O sea, ley de la gravitación universal.

133
00:18:42,230 --> 00:18:48,109
Lo que dice Newton es que esta fuerza, como todas las fuerzas, va a cumplir la segunda ley de Newton,

134
00:18:48,369 --> 00:18:54,109
la del principio fundamental de la dinámica, que es que todas las fuerzas son iguales a M por A.

135
00:18:54,789 --> 00:18:56,009
Todas, todas, todas, todas.

136
00:18:56,710 --> 00:19:05,750
Entonces, si yo esto lo junto, pues me quedará que g por m por m partido por r al cuadrado es igual a m por a.

137
00:19:06,029 --> 00:19:17,450
Si me puedo simplificar una m, y entonces aquí me quedaría que g por m partido por r al cuadrado es igual a a.

138
00:19:18,349 --> 00:19:23,170
Vale, si yo ahora asumo que estoy en un movimiento circular, y si no me dicen lo contrario,

139
00:19:23,170 --> 00:19:31,269
Si no me dicen que es elíptico, yo siempre voy a asumir que es circular porque para 8 minutos de arco, que es la diferencia, tampoco me importa demasiado.

140
00:19:35,579 --> 00:19:43,940
Movimiento circular. En un movimiento circular lo que tenemos es la aceleración centrípeta.

141
00:19:44,420 --> 00:19:49,640
Que decimos que la aceleración centrípeta en un movimiento circular es v al cuadrado partido por r.

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00:19:50,599 --> 00:19:59,700
Entonces, lo que yo puedo poner es que esta aceleración realmente, en vez de poner a, pongo v al cuadrado partido por r, porque es la aceleración en un movimiento circular.

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00:20:01,220 --> 00:20:13,980
Vale. De aquí se me van una de las r, y entonces me quedaría que gm partido por r es igual a v al cuadrado, y luego tengo que ver cuál es la velocidad que lleva en la órbita.

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00:20:13,980 --> 00:20:30,079
Pues la velocidad con la que recorre esto. Esta distancia, ¿vale? La velocidad sería la distancia, el espacio partido por el tiempo. ¿Cuál es el espacio este? 2πr, la longitud de la circunferencia.

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00:20:30,079 --> 00:20:48,500
¿Y cuánto tiempo tarda en hacer una circunferencia? Un periodo, que es lo que tarda en dar una vuelta. Por lo tanto, puedo poner que g por m partido por r es igual a 2pi r partido de t al cuadrado.

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00:20:48,500 --> 00:21:00,660
Haciendo el cuadrado me quedaría que g por m partido por r es igual a 4pi cuadrado r cubo partido de t cuadrado

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00:21:00,660 --> 00:21:08,500
Y ahora si lo pongo todo en un lado, como lo tenía Kepler, t al cuadrado lo subo a la izquierda

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00:21:08,500 --> 00:21:16,079
y pongo aquí 4pi cuadrado partido por g por m por, perdón, este es un r cuadrado,

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00:21:17,660 --> 00:21:21,420
pero con la r que viene para arriba se convierte en r cubo.

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00:21:27,990 --> 00:21:31,549
Y esta es, si os fijáis, la tercera ley de Kepler.

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00:21:31,549 --> 00:21:35,089
Esto sería la constante, esto es la ley de Kepler,

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00:21:35,910 --> 00:21:41,730
salvo que para Kepler lo hizo bien matemáticamente para elipses,

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00:21:41,730 --> 00:21:44,910
donde esto es el semieje mayor

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00:21:44,910 --> 00:21:48,549
el semieje mayor, esto

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00:21:48,549 --> 00:21:53,230
y nosotros lo hemos hecho para órbitas circulares

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00:21:53,230 --> 00:21:57,230
donde hablo de R, R porque siempre es el mismo

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00:21:57,230 --> 00:22:00,690
aquí esta distancia no es el R

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00:22:00,690 --> 00:22:03,710
porque no es lo mismo que esta, no es lo mismo que esta

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00:22:03,710 --> 00:22:07,509
entonces Kepler lo hace con esto

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00:22:07,509 --> 00:22:26,430
Pero como, insisto, en nuestro caso son planetas que giran en órbitas prácticamente circulares, pues las vamos a poner como que ASR. Y con esto están las tres leyes de Kepler.