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00:00:12,400 --> 00:00:17,699
Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES

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00:00:17,699 --> 00:00:22,320
arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases

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00:00:22,320 --> 00:00:34,219
de la unidad AN3 dedicada a las derivadas. En la videoclase de hoy estudiaremos la tasa

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00:00:34,219 --> 00:00:48,490
de variación instantánea y sus interpretaciones geométrica y física. En esta videoclase vamos

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00:00:48,490 --> 00:00:53,329
a estudiar la tasa de variación instantánea, así como sus interpretaciones geométrica y física.

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00:00:53,909 --> 00:01:01,310
La tasa de variación instantánea, como vamos a poder ver dentro de unos momentos, se va a relacionar con la tasa de variación media que estudiamos en la videoclase anterior.

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00:01:02,130 --> 00:01:12,989
Como podemos ver, si tenemos una cierta función real de variable real f, se nos puede pedir la tasa de variación instantánea en un cierto punto de abscisa x0 dentro de su dominio.

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00:01:13,189 --> 00:01:19,390
Y aquí vemos una de las diferencias fundamentales entre la tasa de variación media y esta tasa de variación instantánea.

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00:01:19,390 --> 00:01:32,030
La tasa de variación media se definía en un intervalo contenido dentro del dominio, mientras que las tasas de variación instantánea se definen en abstizas concretas, en abstizas puntuales dentro del dominio.

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00:01:32,609 --> 00:01:37,030
La tasa de variación instantánea se define a partir de una cierta tasa de variación media.

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00:01:37,150 --> 00:01:44,829
Lo que vamos a hacer es, a partir de esta abstisa x0 en la que queremos calcular la tasa de variación instantánea,

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00:01:45,349 --> 00:01:54,650
vamos a construir un cierto intervalo con extremo inicial esta abstisa x0 y con extremo final un punto que se encuentre,

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00:01:54,730 --> 00:01:57,709
una abstisa que se encuentre a la derecha de este valor x0.

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00:01:57,709 --> 00:02:13,169
Y lo que hacemos es al x0 sumarle un delta de x arbitrario, un delta de x positivo, de tal forma que x0, x0 más delta de x se trata de un cierto intervalo con inicio en este x0 y final a la derecha del x0 una distancia delta de x.

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00:02:13,330 --> 00:02:14,710
Será la amplitud de este intervalo.

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00:02:15,849 --> 00:02:20,110
Pues bien, en la videoclase anterior veíamos cómo definir la tasa de variación media.

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00:02:20,110 --> 00:02:24,770
Aquí tenemos, obviando un momentito este límite, tasa de variación media de la función f.

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00:02:24,770 --> 00:02:31,210
en este intervalo que hemos construido a partir de este valor de abastiza, x0, x0 más delta de x.

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00:02:32,490 --> 00:02:34,810
Recordemos la definición de la tasa de variación media.

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00:02:35,389 --> 00:02:40,349
Era el conciente incremental, en el numerador, la diferencia entre las imágenes,

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00:02:40,949 --> 00:02:47,389
la del extremo final menos la del extremo inicial del intervalo, f de x0 más delta de x menos f de x0, como veis,

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00:02:48,150 --> 00:02:53,569
dividido entre la diferencia de los orígenes, el extremo final menos el extremo inicial,

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00:02:53,569 --> 00:03:00,009
x0 más delta de x menos x0 sería este delta de x. Aquí en el denominador tenemos la amplitud

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00:03:00,009 --> 00:03:06,189
del intervalo. Pues bien, la forma de definir la tasa de variación instantánea a partir de la tasa

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00:03:06,189 --> 00:03:12,310
de variación media no es más que, si quiero que este intervalo deje de serlo y se convierta en

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00:03:12,310 --> 00:03:17,930
una abstisa puntual, lo que voy a hacer es que la amplitud del intervalo, este delta de x, se haga

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00:03:17,930 --> 00:03:23,069
tan pequeño como yo quiera. Por eso tenemos aquí esta partícula límite cuando delta de x tiende a

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00:03:23,069 --> 00:03:41,530
Así pues, a partir de la tasa de variación media, definimos la tasa de variación media en este intervalo y la tasa de variación instantánea se define como el límite cuando este delta de x tiende a 0, cuando esta amplitud de intervalo tiende a 0, de la tasa de variación media que se definiría con este intervalo que tenemos aquí.

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00:03:42,409 --> 00:03:44,150
Fijaos en la forma en la que está denotado.

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00:03:44,729 --> 00:03:51,030
Tasa de variación instantánea con las siglas de la función f en la abscisa x0 igual a...

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00:03:51,030 --> 00:03:57,469
Recordemos que la tasa de variación media también se puede denotar recordándose el cociente incremental como delta de f partido por delta de t.

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00:03:57,969 --> 00:04:03,590
En este caso, para indicar que la tasa de variación es instantánea, que no hay intervalo finito, sino que tenemos un límite,

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00:04:04,210 --> 00:04:09,389
ponemos estas d, diferencial de f, diferencial de t, en el valor x0.

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00:04:09,389 --> 00:04:26,389
Y veis que es límite cuando delta de x tiende a cero de la tasa de variación media en ese intervalo que hemos construido, ficticio, con inicio en el punto donde queremos determinar la tasa de variación instantánea y con amplitud este delta de x, así pues con extremo final en x cero más delta de x.

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00:04:27,329 --> 00:04:38,189
Aquí tengo la coletilla siempre que este límite exista, puesto que nos podemos encontrar con una determinación cero partido por cero y habrá que ver en qué condiciones este límite es finito y en qué condiciones este límite es divergente.

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00:04:39,170 --> 00:04:50,009
En lo que respecta a la interpretación geométrica, recordemos que la tasa de variación media nos daba la pendiente de la recta que unía dos puntos separados dentro de la función.

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00:04:50,730 --> 00:04:57,730
Aquellos que tenían el inicio y el final en el inicio y el final del intervalo en el que estábamos calculando la tasa de variación media.

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00:04:58,310 --> 00:05:07,649
Así que en el intervalo x1, x2 era la pendiente de la recta que unía los puntos x1, f de x1, x2, f de x2, los que tienen abscisas x1 y x2.

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00:05:08,350 --> 00:05:11,209
Pues bien, en este caso no tenemos un intervalo, tenemos un único punto.

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00:05:11,810 --> 00:05:19,250
Así pues, la tasa de variación instantánea va a ser la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto con abscisa x0.

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00:05:19,389 --> 00:05:22,410
Así que será el punto x0, f de x0.

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00:05:23,069 --> 00:05:34,170
Fijaos que pasamos de tasa de variación media, la pendiente de la recta que une dos puntos, a tasa de variación instantánea, la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en un único punto.

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00:05:34,949 --> 00:05:43,870
En lo que respecta a la interpretación física, recordemos que la tasa de variación media, en el caso en el que la función era la posición de un móvil en función del tiempo,

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00:05:44,509 --> 00:05:48,870
nos daba la velocidad media en el intervalo de tiempo en el que estamos calculando la tasa.

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00:05:49,189 --> 00:05:53,750
Mientras que en el caso en el que la función fuera la velocidad de un móvil en función del tiempo,

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00:05:54,170 --> 00:05:58,269
la tasa de variación media nos daba la aceleración del móvil en ese mismo intervalo de tiempo.

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00:05:58,269 --> 00:06:19,050
Pues bien, en este caso lo que tendremos es que la tasa de variación instantánea, si la función es la posición en función de tiempo, nos va a dar la velocidad instantánea del móvil en ese instante de tiempo y si la función fuera la velocidad, la tasa de variación instantánea de la velocidad nos va a dar la aceleración instantánea en ese instante de tiempo.

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00:06:19,649 --> 00:06:27,550
Con esto que hemos visto ya podemos completar la segunda parte de este ejercicio calculando ciertas tasas de variación instantánea en estas funciones.

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00:06:28,149 --> 00:06:31,129
Esto lo haremos en clase, probablemente lo haremos en alguna videoclase a posterior.

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00:06:31,129 --> 00:06:39,779
En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios.

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00:06:40,500 --> 00:06:44,620
Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web.

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00:06:45,439 --> 00:06:50,180
No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual.

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00:06:50,740 --> 00:06:52,139
Un saludo y hasta pronto.