1
00:00:06,450 --> 00:00:23,120
Hola, buenas tardes. Vamos a ver esta presentación donde podemos repasar un poco las funciones

2
00:00:23,120 --> 00:00:28,379
y las diferentes formas y características que hemos estudiado de las funciones.

3
00:00:28,660 --> 00:00:35,460
Lo primero, vamos a recordar lo que era una función. Una función hay que recordar que es una correspondencia

4
00:00:35,460 --> 00:00:41,500
entre dos conjuntos, tal que a cada valor de la variable independiente x le corresponde

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00:00:41,500 --> 00:00:47,799
un único valor de su variable independiente y recordamos todos que habíamos dicho que una

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00:00:47,799 --> 00:00:54,759
función no la podíamos imaginar como si fuera pues una caja negra o un robot de cocina en la

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00:00:54,759 --> 00:01:01,259
que nosotros introducimos algo como pueden ser unos ingredientes que sería la variable

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00:01:01,259 --> 00:01:07,659
independiente dependiendo de lo que queramos cocinar pues cada uno elegirá unos ingredientes

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00:01:07,659 --> 00:01:14,219
independientemente vale por eso llamamos a la variable x la llamamos independiente porque cada

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00:01:14,219 --> 00:01:20,620
uno elegirá una cosa distinta y le va a corresponder un único valor es decir le va a

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00:01:20,620 --> 00:01:28,159
fabricar le va a producir con esos ingredientes un único valor de esa variable que hemos llamado

12
00:01:28,159 --> 00:01:36,219
dependiente que es la y de acuerdo como podemos representar una función pues muy bien una función

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00:01:36,219 --> 00:01:43,859
podemos expresarla de diferentes formas. Una de ellas, como hemos visto, puede ser un enunciado.

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00:01:44,439 --> 00:01:55,219
Recordar un enunciado es una serie de palabras que nos van a hacer pensar un poquito más y tendremos que traducirla.

15
00:01:55,219 --> 00:02:02,120
Entonces, ponemos aquí un ejemplo en el que dice que tenemos un coche que va a una velocidad constante de 100 km hora

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00:02:02,120 --> 00:02:09,340
Y nos preguntan que cuál es la función que estudia el espacio que recorre ese coche en función del tiempo.

17
00:02:09,979 --> 00:02:16,819
Pues bien, nosotros tenemos un enunciado y ahí hay una forma de expresar una función.

18
00:02:18,039 --> 00:02:20,879
A lo mejor lo que tenemos que hacer es traducir.

19
00:02:21,020 --> 00:02:25,379
¿Y cómo traducimos? Pues traducimos a través de una fórmula.

20
00:02:25,379 --> 00:02:31,639
esa fórmula que sería otra forma de expresar una función pues sería escribir f de x

21
00:02:31,639 --> 00:02:38,759
recordamos que la y es una función que depende de una variable independiente llamada x

22
00:02:38,759 --> 00:02:42,620
y entonces nosotros lo que hacemos es escribir una expresión algebraica

23
00:02:42,620 --> 00:02:50,080
que relaciona todas las cosas que nos viene explicada en el enunciado que hemos leído anteriormente

24
00:02:50,080 --> 00:03:16,520
Por ejemplo, tenemos esta expresión algebraica que dice que f de x es igual a 100 por x, donde 100 es un valor constante y que nos indica que la x va a ser el tiempo que va a ir pasando para que podamos saber cuál es el espacio que ha recorrido.

25
00:03:16,520 --> 00:03:27,719
¿De acuerdo? Bien, una vez que hemos visto la fórmula, nosotros si quisiéramos representar una función, otra forma de hacerlo sería a través de una tabla de valores.

26
00:03:29,240 --> 00:03:40,340
Seguimos utilizando el mismo ejemplo del coche en el que ahora lo que vamos a hacer es traducir esa variable dependiente e independiente en unos valores que nosotros podamos conocer.

27
00:03:40,340 --> 00:03:54,879
Por ejemplo, hemos dicho que la variable independiente es el tiempo, en este caso las horas, y la variable dependiente es el espacio que yo voy a recorrer cuando voy con una velocidad constante.

28
00:03:54,879 --> 00:04:02,259
Por eso mi variable dependiente, la y, es medida en kilómetros.

29
00:04:02,780 --> 00:04:08,219
Por tanto, nosotros lo que vamos a hacer son diferentes, para diferentes valores de x,

30
00:04:08,479 --> 00:04:16,019
para diferentes valores de esa variable independiente, vamos a ir calculando su correspondiente valor y.

31
00:04:16,019 --> 00:04:25,240
por ejemplo tenemos el 1, para el 1 cuando nosotros lo sustituimos en esa fórmula que hemos creado a través del enunciado

32
00:04:25,240 --> 00:04:29,519
pues podemos saber cuánto va a valer la Y que le corresponde

33
00:04:29,519 --> 00:04:35,160
si cogemos el valor 2, lo mismo, podemos calcular su valor Y

34
00:04:35,160 --> 00:04:42,319
y si cogemos 4, que es otro valor distinto, podemos encontrar su correspondiente valor Y

35
00:04:42,319 --> 00:04:52,100
Y por último tendríamos otro valor, cualquiera, en este caso hemos puesto 10 y obtenemos también su valor y correspondiente.

36
00:04:53,740 --> 00:05:02,720
Bien, pues una vez que tenemos el enunciado, hemos podido traducirlo a una fórmula, esa fórmula nos ha permitido generar una tabla de valores.

37
00:05:03,360 --> 00:05:07,100
La última forma de expresar una función sería a través de la gráfica.

38
00:05:07,100 --> 00:05:26,439
En esa gráfica nosotros vamos a utilizar lo que llamamos ejes coordenados y para ello dibujamos dos rectas perpendiculares, el eje X, conocido también como eje de abscisas, es donde vamos a representar esa variable independiente.

39
00:05:26,439 --> 00:05:38,220
Y luego tendríamos el eje y que correspondería a esa variable de pendiente y en el ejemplo que estamos utilizando sería el espacio que yo he recorrido.

40
00:05:38,220 --> 00:05:46,579
puedo situar en mi plano los diferentes valores que he generado en mi tabla de valores

41
00:05:46,579 --> 00:05:56,779
y cuando yo los lleve a mi gráfica podré unirlos y por tanto podré dibujar

42
00:05:56,779 --> 00:06:07,660
la gráfica que me permite identificar esa relación que hay entre el espacio y el tiempo

43
00:06:07,660 --> 00:06:18,360
¿De acuerdo? Pues bien, una vez que hemos visto las diferentes formas de expresarla, pues vamos a estudiar algo que es muy importante en cualquier tipo de función.

44
00:06:18,860 --> 00:06:24,060
¿Y eso qué es? Pues el dominio y el recorrido. ¿Qué es el dominio?

45
00:06:24,060 --> 00:06:38,620
Vamos a pensar que el dominio es esa sombra que me genera mi función cuando yo puedo poner un foco que esté paralelo al eje x.

46
00:06:38,620 --> 00:06:53,860
Por tanto, dominio va a ser todos esos valores de x, todos esos valores de esa variable independiente x, para los cuales yo voy a poder tener un valor y.

47
00:06:54,060 --> 00:07:11,819
¿De acuerdo? Si nosotros pusiéramos un foco aquí arriba, pues mi dominio sería la sombra que me genera sobre ese eje x, la función f, cuando yo coloco un foco aquí arriba.

48
00:07:12,259 --> 00:07:23,740
¿De acuerdo? ¿Cómo lo vamos a expresar? Pues expresaremos siempre el dominio de esa función como los valores que pertenecen a los números reales para los cuales esa función va a existir.

49
00:07:24,060 --> 00:07:29,300
A veces será la recta real, a veces serán intervalos de esa recta real

50
00:07:29,300 --> 00:07:34,819
o varios intervalos que tendremos que representar mediante uniones.

51
00:07:35,959 --> 00:07:39,720
A continuación lo que vamos a ver es el recorrido.

52
00:07:39,720 --> 00:07:47,920
El recorrido es la imagen de esa función proyectada sobre el eje Y.

53
00:07:48,220 --> 00:07:52,939
Es decir, en este caso lo que estamos haciendo es poner un foco paralelo al eje Y

54
00:07:52,939 --> 00:08:12,779
Y la sombra que me va a generar esta función que tenemos aquí sobre el eje Y, es decir, este trocito es su sombra, es lo que nosotros vamos a llamar recorrido o imagen de esa función, ¿vale?

55
00:08:12,779 --> 00:08:20,660
Y vamos a decir que son los valores que toma esa variable dependiente y, ¿de acuerdo?

56
00:08:21,139 --> 00:08:29,240
Es decir, todos esos valores de y que yo voy a coger y para los cuales yo he podido calcular su valor.

57
00:08:30,660 --> 00:08:39,360
A continuación vamos a ver algo también necesario para poder entender lo que es una función y en este caso son los puntos de corte.

58
00:08:39,360 --> 00:08:53,039
Vamos a estudiar los puntos de corte con los ejes. ¿Y qué ejes tenemos? Tenemos el eje X o eje de abscisas y el eje Y o conocido también como eje de ordenadas.

59
00:08:53,039 --> 00:09:10,519
Entonces, cuando nosotros queremos calcular el punto cuando corta este eje, el eje x, nosotros lo que vamos a hacer es decir que la y, que la función de esa x vale c.

60
00:09:10,519 --> 00:09:16,139
Y por tanto, lo que nos va a quedar es una ecuación que tendremos que resolver.

61
00:09:16,779 --> 00:09:25,759
Dependiendo de la expresión algebraica de esa función, pues tendremos una ecuación más o menos fácil de resolver.

62
00:09:26,299 --> 00:09:33,559
Si tenemos una expresión algebraica que es un polinomio, pues si es un polinomio de primer grado al igualar a cero,

63
00:09:34,139 --> 00:09:37,500
obtenemos una ecuación de primer grado que todos sabemos resolver.

64
00:09:37,500 --> 00:09:41,600
si lo que tenemos es un polinomio de segundo grado

65
00:09:41,600 --> 00:09:44,700
pues entonces lo que tendremos será una ecuación de segundo grado

66
00:09:44,700 --> 00:09:46,240
que tendremos que resolver

67
00:09:46,240 --> 00:09:49,840
y así sucesivamente dependiendo de las expresiones

68
00:09:49,840 --> 00:09:50,480
¿de acuerdo?

69
00:09:51,100 --> 00:09:53,820
todos estos puntos de corte con el eje x

70
00:09:53,820 --> 00:09:57,500
van a tener una forma característica de ellos

71
00:09:57,500 --> 00:09:58,779
y siempre son iguales

72
00:09:58,779 --> 00:10:01,799
siempre la primera coordenada

73
00:10:01,799 --> 00:10:02,980
es decir, la x

74
00:10:02,980 --> 00:10:06,919
va a ser el valor que nosotros hayamos calculado

75
00:10:06,919 --> 00:10:09,200
hayamos obtenido al resolver la ecuación

76
00:10:09,200 --> 00:10:13,320
y la coordenada y siempre tiene el mismo valor

77
00:10:13,320 --> 00:10:14,720
siempre, ¿vale? 0

78
00:10:14,720 --> 00:10:18,779
cortes con el eje x puede tener muchos

79
00:10:18,779 --> 00:10:20,519
puede tener muchos, ¿de acuerdo?

80
00:10:22,000 --> 00:10:25,240
cuando cortan la función al eje y

81
00:10:25,240 --> 00:10:29,419
¿vale? pues ese punto tiene que ser único

82
00:10:29,419 --> 00:10:31,100
¿de acuerdo? para que sea

83
00:10:31,100 --> 00:10:33,100
si es una función solamente puede cortar

84
00:10:33,100 --> 00:10:35,559
una sola vez al eje y

85
00:10:35,559 --> 00:10:44,700
Y como vamos a obtener ese valor, pues vamos a calcular ese punto dando la condición que indica que corta ese eje.

86
00:10:44,980 --> 00:10:48,200
¿Cuál es esa condición? Pues que la x vale 0.

87
00:10:48,460 --> 00:10:54,120
Si la x vale 0, entonces nosotros podremos calcular cuánto vale la y,

88
00:10:54,559 --> 00:11:04,220
porque se transforma en lo que hemos trabajado ya, que es el cálculo del valor numérico de un polinomio cuando la x vale 0.

89
00:11:04,220 --> 00:11:13,759
Entonces, calcularíamos a través de esa expresión algebraica el valor de la y sustituyendo en esa expresión el valor de la x cuando vale cero.

90
00:11:14,299 --> 00:11:27,179
Los puntos de corte con el eje y tienen siempre la misma forma, cero y el valor de ese polinomio, de esa expresión algebraica cuando la x vale cero.

91
00:11:27,179 --> 00:11:44,759
¿De acuerdo? Aquí vemos un ejemplo en el que podemos ver una función que corta al eje x y al eje y. Corta el eje x en un punto, dos y tres, en tres puntos.

92
00:11:44,759 --> 00:11:49,240
cada uno de ellos tendrá las coordenadas que indique el valor de la X

93
00:11:49,240 --> 00:11:52,039
en este caso será el menos 2, 0

94
00:11:52,039 --> 00:11:56,299
en este caso será el un medio, 0

95
00:11:56,299 --> 00:11:59,580
y en este otro caso será el 3, 0

96
00:11:59,580 --> 00:12:05,000
por otro lado si nosotros quisiéramos ver cuál es el punto de corte con el eje Y

97
00:12:05,000 --> 00:12:10,200
tendríamos que fijarnos dónde corta la gráfica a este eje que corta en este punto

98
00:12:10,200 --> 00:12:18,080
Ese punto lo obtendríamos cuando hubiéramos sustituido en la expresión algebraica el valor x igual a 0

99
00:12:18,080 --> 00:12:19,659
Y obtendríamos ese valor

100
00:12:19,659 --> 00:12:27,779
Pues fenomenal, vamos con la siguiente cosa que tenemos que aprender

101
00:12:27,779 --> 00:12:30,879
Y esa siguiente cosa es la continuidad

102
00:12:30,879 --> 00:12:36,659
Esa característica que nos permite conocer mucha información sobre las funciones

103
00:12:36,659 --> 00:12:54,460
La continuidad debemos entenderla como esa capacidad que tenemos cuando nosotros dibujamos una función de poderlo hacer sin levantar el lápiz del papel. Intuitivamente es algo muy lógico y muy sencillo, pero nosotros tendremos que averiguar cuándo ocurre eso.

104
00:12:54,460 --> 00:13:03,860
Esto solamente en tercero de la ESO vamos a poder saber si la función es continua o no mirando a una gráfica

105
00:13:03,860 --> 00:13:11,799
Si no tenemos la gráfica o no hemos dibujado esa gráfica nosotros no vamos a poder decir dónde es continua o no es continua

106
00:13:11,799 --> 00:13:23,039
Si queremos saber si una función es continua lo que tenemos que ver es que cuando yo observo su gráfica la puedo dibujar sin levantar el lápiz del papel

107
00:13:23,039 --> 00:13:27,379
y por tanto, si esto ocurre, pues la función será continua.

108
00:13:28,080 --> 00:13:30,000
¿Qué va a pasar en caso contrario?

109
00:13:30,259 --> 00:13:34,440
Pues si yo tengo que levantar el lápiz del papel en algún momento,

110
00:13:35,059 --> 00:13:41,779
pues en ese punto, en ese valor de x, la función ya no es continua

111
00:13:41,779 --> 00:13:45,259
y presentará lo que se conoce como punto de discontinuidad.

112
00:13:45,840 --> 00:13:49,539
Entonces vemos en este ejemplo que yo tengo que dibujar esta función,

113
00:13:49,539 --> 00:13:53,620
llego aquí, levanto el lápiz del papel

114
00:13:53,620 --> 00:13:56,600
me vengo aquí y sigo dibujando

115
00:13:56,600 --> 00:14:00,580
si nos fijamos en este caso

116
00:14:00,580 --> 00:14:03,460
pues vemos que en el punto x igual a 1

117
00:14:03,460 --> 00:14:05,860
se produce esa discontinuidad

118
00:14:05,860 --> 00:14:09,139
en otros casos pues en vez de aparecer así

119
00:14:09,139 --> 00:14:11,980
aparecerá de otra forma y habrá que ver

120
00:14:11,980 --> 00:14:13,899
cuáles son esos puntos

121
00:14:13,899 --> 00:14:18,860
pues algo también muy sencillo

122
00:14:18,860 --> 00:14:26,840
la continuidad y por último vamos a ver qué es eso de la monotonía monotonía monotonía algo que

123
00:14:26,840 --> 00:14:34,940
es aburrido verdad bueno pues monotonía en una función pues nos va a indicar pues cuando crece

124
00:14:34,940 --> 00:14:42,559
cuando decrece o cuando una función es constante cuando es muy monótona verdad bueno pues creciente

125
00:14:42,559 --> 00:14:49,519
creciente lo que tenemos que entender es que la gráfica de nuestra función está creciendo

126
00:14:49,519 --> 00:14:55,480
está aumentando el valor de la y a medida que aumenta el valor de la x

127
00:14:55,480 --> 00:15:01,899
nosotros recordar que nosotros nos movemos desde la izquierda hacia la derecha del eje x

128
00:15:01,899 --> 00:15:07,919
si a medida que aumenta mi valor de x aumenta mi valor de la y

129
00:15:07,919 --> 00:15:17,200
Entonces estoy diciendo que ahí, en ese intervalo, recordad, intervalo, la función crece

130
00:15:17,200 --> 00:15:21,279
En el caso contrario, ¿vale?

131
00:15:21,860 --> 00:15:26,960
Puede ocurrir que decrezca, es decir, estemos bajando una cuesta, ¿verdad?

132
00:15:27,639 --> 00:15:31,019
¿Vale? Pues que está ocurriendo que a medida que va aumentando el valor de la x

133
00:15:31,019 --> 00:15:34,399
Lo que va disminuyendo es el valor de la y

134
00:15:34,399 --> 00:15:39,080
Bien, pues a veces ocurre ni una cosa ni la otra

135
00:15:39,080 --> 00:15:44,480
Entonces, en ese caso estaríamos, como conocemos, una función constante.

136
00:15:44,559 --> 00:15:51,039
Una función constante es una función que es siempre paralela al eje x, ¿vale?

137
00:15:51,639 --> 00:15:57,600
Puede aumentar el valor de la x, pero el valor de la y siempre es el mismo, ¿de acuerdo?

138
00:15:57,820 --> 00:16:05,860
Y esto nos generará, pues, cuando veamos los tipos de funciones, pues, funciones muy concretas, ¿de acuerdo?

139
00:16:05,860 --> 00:16:17,820
¿Verdad? Fácil, ¿no? Entender lo que es creciente, decreciente, constante, intervalos que habrá que representar de crecimiento y de decrecimiento, ¿vale?

140
00:16:17,820 --> 00:16:34,879
¿Y qué pasa cuando nosotros hablamos de que la función crece o que la función decrece? Pues si crece y luego empieza a decrecer es porque ha llegado a la cima de nuestra montaña, al máximo valor de esa montaña.

141
00:16:34,879 --> 00:16:52,200
Bueno, pues en ese punto encontraremos lo que se conoce como máximos, ¿de acuerdo? Y si yo bajo mi montaña y luego vuelvo a subir mi montaña, pues al bajar, al bajar he llegado al mínimo y volveré a subir, ¿de acuerdo?

142
00:16:52,200 --> 00:17:13,819
Vamos a ver en este ejemplo todas esas cosas que hemos dicho. Nosotros podemos crecer nuestra función y llegar a lo que se conoce como máximo y luego puedo bajar y llego a lo que se conoce como mínimo y luego puedo volver a subir.

143
00:17:13,819 --> 00:17:28,519
¿Vale? Pues esos tramos que diferencian un máximo de un mínimo nos hace ver los intervalos donde la función crece o decrece

144
00:17:28,519 --> 00:17:30,759
¿De acuerdo? Y eso habrá que tenerlo en cuenta

145
00:17:30,759 --> 00:17:36,740
Es un ejemplo donde podemos ver varias cosas, podemos ver los puntos de corte con el eje X

146
00:17:36,740 --> 00:17:42,779
Podemos ver los puntos de corte con el eje Y, que como hemos dicho solamente puede tener uno

147
00:17:42,779 --> 00:17:51,859
vemos donde crece la función y donde decrece la función

148
00:17:51,859 --> 00:17:55,380
y bueno, aparece alguna otra cosilla más que todavía no hemos visto

149
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pero que veremos en cursos posteriores

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00:17:59,259 --> 00:18:03,519
bueno, espero que con todo esto que acabamos de repasar

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00:18:03,519 --> 00:18:07,880
hayáis entendido esas características tan importantes

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00:18:07,880 --> 00:18:10,680
que necesitamos conocer de las funciones

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00:18:10,680 --> 00:18:13,839
Música