1 00:00:00,320 --> 00:00:02,080 Continuamos con el tema de matrices. 2 00:00:02,720 --> 00:00:05,200 Vimos en la última clase lo que era una matriz cuadrada 3 00:00:05,200 --> 00:00:07,440 y hoy vamos a ver tipos de matrices cuadradas. 4 00:00:08,199 --> 00:00:11,839 La primera que vamos a ver se llama matriz triangular superior 5 00:00:11,839 --> 00:00:15,339 y por el nombre, pues, podemos saber lo que es. 6 00:00:15,640 --> 00:00:19,019 Todos los elementos por debajo de la diagonal principal son ceros. 7 00:00:19,579 --> 00:00:22,600 Es diagonal superior, triangular superior, 8 00:00:22,739 --> 00:00:25,460 porque solo hay elementos en el triángulo superior. 9 00:00:25,879 --> 00:00:28,679 En el resto son todos ceros, ¿vale? Más o menos. 10 00:00:30,000 --> 00:00:41,240 De la misma manera, una matriz es triangular inferior si todos los elementos por encima de la diagonal principal son ceros. 11 00:00:41,240 --> 00:00:48,039 Es decir, en este caso tenemos datos por aquí abajo y por arriba todo ceros. 12 00:00:48,259 --> 00:00:54,219 Bueno, me ha salido un poco mal, pero esa sería la matriz triangular inferior. 13 00:00:56,679 --> 00:00:58,899 Continuamos con la matriz diagonal. 14 00:00:58,899 --> 00:01:04,459 es aquella en la que todos los elementos situados fuera de la diagonal principal son ceros. 15 00:01:04,719 --> 00:01:07,900 Solo es distinto de cero los elementos de la diagonal principal. 16 00:01:08,260 --> 00:01:10,620 ¿Y qué les pasa a los elementos de la diagonal principal? 17 00:01:11,040 --> 00:01:18,000 Que i es igual a j, vale lo mismo, serían el 1, 1, a sub 2, 2, a sub 3, 3, a sub 4, 4. 18 00:01:18,439 --> 00:01:20,500 Es decir, solo los de la diagonal principal. 19 00:01:21,060 --> 00:01:24,219 Entonces, estos de aquí son distintos de cero. 20 00:01:24,219 --> 00:01:30,239 Y todos los demás, ceros. Fuera de aquí, ceros, ceros, ceros. ¿Vale? 21 00:01:31,939 --> 00:01:42,680 Esto matemáticamente se escribe como vemos aquí. Cuando i es distinto de j, cuando i es distinto de j, el elemento vale cero. 22 00:01:42,819 --> 00:01:50,799 Fuera de la diagonal principal, cero. Cuando el elemento vale lo mismo, la fila y la columna están en la diagonal principal, entonces vale alguna cosa. 23 00:01:50,799 --> 00:02:01,739 Bueno, pues de todas las matrices diagonales hay una en concreto súper importante que se llama la matriz identidad y que se denota por una I mayúscula. 24 00:02:02,140 --> 00:02:08,879 Acordaos que dijimos las matrices se denotan por letras mayúsculas y en principio cualquier letra empezando por la A, 25 00:02:09,800 --> 00:02:16,319 pero hay algunas letras concretas que reservamos a matrices importantes como la matriz nula que vimos y la matriz identidad. 26 00:02:16,900 --> 00:02:19,819 Esta se designa por la letra I mayúscula. 27 00:02:19,819 --> 00:02:36,180 Bueno, pues la matriz identidad es una matriz diagonal en la que todos sus elementos valen 1 y es la que veis aquí. Tiene solamente distinto de 0 los de la diagonal principal y además el único valor que toman es 1. 28 00:02:36,180 --> 00:02:50,800 Pues vemos ejemplos y vemos que esta matriz A es una matriz diagonal porque solamente tiene elementos distintos de cero, los de la diagonal principal. 29 00:02:51,659 --> 00:03:01,000 La matriz B es una matriz identidad porque es del tipo de esta, es diagonal y además los elementos de la diagonal valen 1. 30 00:03:01,000 --> 00:03:17,520 Y si vemos los otros ejemplos, que se ven bien, pues la C es triangular inferior porque todos los elementos que son distintos de cero están en este triángulo inferior. 31 00:03:17,520 --> 00:03:27,780 En cambio, los que están fuera son cero y la D es triangular superior porque este triángulo superior es distinto de cero 32 00:03:27,780 --> 00:03:32,080 y lo que está por debajo de la diagonal es igual a cero, como habíamos visto en la definición. 33 00:03:33,599 --> 00:03:40,240 Pues continuamos y vamos a ver ahora lo que es una matriz traspuesta. 34 00:03:41,060 --> 00:03:46,479 Es otro concepto de matrices muy importante que vamos a utilizar con bastante frecuencia. 35 00:03:47,219 --> 00:03:59,159 Si A es una matriz de dimensión m por n, la matriz traspuesta de A, que se designa por A con un superíndice t minúscula, se dice así, 36 00:03:59,979 --> 00:04:06,699 y se obtiene al cambiar en A las filas por las columnas, y su dimensión es n por m. ¿Por qué? 37 00:04:07,199 --> 00:04:14,099 Porque si la primera era m por n, la tumbo, le doy la vuelta, y lo que eran filas ahora son columnas, lo que eran columnas ahora son filas. 38 00:04:14,099 --> 00:04:23,980 vemos este ejemplo tan sencillito que dice, esta matriz A es la primera fila 3 menos 3, 3, la segunda 0, 1, 2 y es de dimensión 2 por 3. 39 00:04:24,639 --> 00:04:32,639 Su traspuesta es como girarla 90 grados hacia la derecha, tumbarla, ¿vale? O ponerla de pie en este caso sería, ¿no? 40 00:04:33,540 --> 00:04:40,879 Entonces, la primera fila se convierte en la primera columna y la segunda fila se convierte en la segunda columna. 41 00:04:40,879 --> 00:04:49,560 y hemos pasado de una matriz 2x3 a una matriz 3x2, luego la dimensión de A y la de A traspuesta están cambiadas, 42 00:04:49,639 --> 00:04:51,959 y la primera es m por n y la segunda n por n. 43 00:04:53,579 --> 00:05:02,139 Cuando tenemos una, sabiendo ya lo que es el concepto de matriz traspuesta, podemos seguir viendo otros tipos de matrices cuadradas, 44 00:05:02,779 --> 00:05:08,660 que es la matriz cuadrada simétrica y la matriz cuadrada antisimétrica. 45 00:05:08,660 --> 00:05:09,819 Vamos con la primera. 46 00:05:09,819 --> 00:05:26,560 Una matriz cuadrada es simétrica si coincide con su traspuesta. Eso significa que cada elemento a su bijota es igual al que tiene cambiando el número de la fila y de la columna. 47 00:05:26,560 --> 00:05:39,639 Quizás se entiende mejor al revés. Si en una matriz cada elemento es igual que su simétrico, esa matriz coincide con su traspuesta. 48 00:05:39,819 --> 00:05:41,339 Y lo vemos en este ejemplo A. 49 00:05:42,019 --> 00:05:46,800 Esta es la diagonal principal y tenemos que pensar que doblamos el papel por esa línea. 50 00:05:47,939 --> 00:05:53,360 Como aquí hay un 5 y aquí también, coincidirían al doblar el 3 con el 3 y el 1 con el 1, 51 00:05:53,620 --> 00:05:56,540 pues esta matriz se dice que es simétrica. 52 00:05:57,800 --> 00:06:01,699 Y además si la transponéis, veis que os queda la misma matriz, es decir, que se cumple esto. 53 00:06:02,800 --> 00:06:05,259 ¿Qué pasa en la matriz antisimétrica? 54 00:06:05,259 --> 00:06:15,480 Pues vamos a ver. Una matriz cuadrada es antisimétrica cuando su opuesta coincide con su traspuesta. 55 00:06:16,120 --> 00:06:19,879 Aunque os parezca un trabalenguas, lo vemos despacito. Fijaos que es igual que esto. 56 00:06:21,540 --> 00:06:26,519 Y esto, o sea, es parecido. Hay un signo menos y aquí hay un signo menos también. Vamos con la segunda parte. 57 00:06:27,540 --> 00:06:32,540 Aquí vemos que cada elemento es igual a su simétrico cambiado de signo. 58 00:06:32,540 --> 00:06:36,480 En lugar de igual a subsimétrico como aquí, a subsimétrico cambiado el signo, ¿vale? 59 00:06:37,379 --> 00:06:44,819 Bueno, pues cuando ocurre eso, resulta que si a la matriz A le cambio todos sus elementos de signo, 60 00:06:45,220 --> 00:06:49,300 que esa sería la opuesta menos A, coincidiría con la traspuesta. 61 00:06:49,680 --> 00:06:56,759 Y vamos a ver en el ejemplo A cómo sería esta matriz si fuera antisimétrica. 62 00:06:56,759 --> 00:07:04,680 Lo primero, tendría que doblar por aquí y tendría que ser, si aquí hay un 5, aquí tendría que haber un menos 5. 63 00:07:05,100 --> 00:07:07,860 Imaginaos que esto fuera un menos 3, pues aquí tendría que haber un 3. 64 00:07:08,319 --> 00:07:10,420 Y si aquí hubiera un 1, pues aquí un menos 1. 65 00:07:11,240 --> 00:07:13,560 ¿Entendéis la definición de antisimétrica? 66 00:07:13,959 --> 00:07:15,680 ¿Y qué ocurre con la diagonal principal? 67 00:07:16,480 --> 00:07:19,180 Pues que siempre es 0. ¿Por qué? 68 00:07:19,800 --> 00:07:22,339 Porque tiene que ser antisimétrico cada elemento. 69 00:07:22,339 --> 00:07:40,860 Es decir, que el a sub 1, 1 sea igual a menos el mismo, el único número que cumple que es igual a su opuesto es el 0, por eso en una matriz antisimétrica la diagonal principal es 0 y el resto de valores cumplen que los simétricos son opuestos, ¿de acuerdo? 70 00:07:40,860 --> 00:07:53,540 Bueno, pues hemos visto que la primera matriz del ejemplo es simétrica y vemos que en el ejemplo B, el enunciado sería, 71 00:07:54,120 --> 00:07:58,939 dice si es simétrica o antisimétrica, pues no es ninguna de las dos cosas. ¿Por qué? Porque es que no es ni cuadrada. 72 00:07:59,060 --> 00:08:08,279 Y hemos dicho que las simétricas y las antisimétricas son cuadradas. Por cierto, hay matrices cuadradas que tampoco son ni simétricas ni antisimétricas, 73 00:08:08,279 --> 00:08:11,399 porque tienen valores que no tienen ninguna simetría de ningún tipo, ¿vale? 74 00:08:12,040 --> 00:08:15,500 Bueno, pues hasta aquí, ah, tenemos un ejemplo más, el c. 75 00:08:16,120 --> 00:08:21,040 Esta matriz es antisimétrica porque la diagonal principal son ceros 76 00:08:21,040 --> 00:08:26,120 y los valores simétricos 7 y menos 7 son opuestos 77 00:08:26,120 --> 00:08:30,620 y entonces vemos que menos c coincide con la traspuesta de c 78 00:08:30,620 --> 00:08:37,120 y decimos que es antisimétrica, pues hasta aquí la clase de hoy.