1
00:00:02,609 --> 00:00:29,309
Vamos a ver el siguiente ejercicio. Me dan tres vectores, el vector u de coordenadas 4 menos 3, el vector v de coordenadas 1 menos 2 y el vector w de coordenadas 5, 0.

2
00:00:29,309 --> 00:00:42,570
El apartado A me dice, razonas si los vectores u y v forman una base ortonormal.

3
00:00:51,689 --> 00:00:58,149
Para que sean base, lo primero que tienen que ser los vectores son linealmente independientes.

4
00:00:58,149 --> 00:01:09,650
Y esto lo cumplen, puesto que si formamos la proporción entre las componentes, 4 es a 1 como menos 3 es a menos 2.

5
00:01:10,670 --> 00:01:18,030
Pues vemos que no, con lo cual los vectores son Li, linealmente independientes, y sabemos que forman una base.

6
00:01:22,689 --> 00:01:24,530
Forman base de V2.

7
00:01:29,819 --> 00:01:34,680
Por otro lado, para que sea una base ortonormal, primero tiene que ser ortogonal.

8
00:01:34,680 --> 00:01:51,599
¿Es ortogonal? Si yo multiplico escalarmente u por v, suponiendo siempre que no se diga lo contrario las componentes, las coordenadas de los vectores están expresados en una base ortonormal

9
00:01:51,599 --> 00:02:03,719
Entonces puedo calcular el producto escalar como u1 por v1 más u2 por v2, es decir, 4 por 1 más menos 3 por menos 2

10
00:02:03,719 --> 00:02:08,120
Pues en este caso vemos que esto es distinto de 0

11
00:02:08,120 --> 00:02:14,340
Por lo tanto, no forman una base ortogonal

12
00:02:14,340 --> 00:02:19,840
U y V no son perpendiculares, son ortogonales

13
00:02:19,840 --> 00:02:33,449
Entonces no forman una base ortogonal

14
00:02:33,449 --> 00:02:38,009
Ya pues solamente este hecho ya no sería ortonormal

15
00:02:38,009 --> 00:02:42,069
Pero es que además, si calculamos los módulos de estos vectores

16
00:02:42,069 --> 00:02:47,909
Pues vemos que no son unitarios

17
00:02:47,909 --> 00:02:52,360
O sea, esto es distinto de 1

18
00:02:52,360 --> 00:02:54,879
Y el módulo de V también

19
00:02:54,879 --> 00:03:00,550
Así que no formarían tampoco

20
00:03:00,550 --> 00:03:04,990
Ya por esto no sería ortonormal

21
00:03:04,990 --> 00:03:08,069
Pero además U y V no son unitarios

22
00:03:08,069 --> 00:03:17,280
Que sería la otra condición para que formaran base ortonormal

23
00:03:17,280 --> 00:03:28,909
Por dos motivos, por este que hemos dicho y por este

24
00:03:28,909 --> 00:03:35,580
Bien, apartado B

25
00:03:35,580 --> 00:03:45,139
Me dicen que calcule las coordenadas del vector w en la base formada por u y por v

26
00:03:45,139 --> 00:03:48,919
Hemos dicho que eran linealmente independientes, con lo cual sí forman base

27
00:03:48,919 --> 00:03:58,500
Cualquier otro vector del espacio, v2, se puede expresar como alfa veces u más beta veces v

28
00:03:58,500 --> 00:04:03,620
Es decir, multiplicar estos vectores por sendos escalares

29
00:04:03,620 --> 00:04:08,020
y siempre hay una combinación lineal que me da w.

30
00:04:10,419 --> 00:04:21,500
Para calcular alfa y beta, pues simplemente sustituimos aquí las coordenadas y resolvemos el sistema.

31
00:04:25,709 --> 00:04:31,110
La primera ecuación nos quedaría 5 igual a 4 alfa más beta.

32
00:04:31,850 --> 00:04:37,110
Y la segunda ecuación sería menos 3 alfa menos 2 beta.

33
00:04:37,110 --> 00:05:04,009
Podemos multiplicar por ejemplo esta por 2 y sumando con la segunda nos quedaría que alfa vale

34
00:05:04,009 --> 00:05:28,850
Y sustituyendo por ejemplo aquí tendríamos que beta vale menos 3

35
00:05:28,850 --> 00:05:42,259
Entonces w como combinación lineal de u y de v sería 2 por u menos 3 por u

36
00:05:42,259 --> 00:06:05,730
Tercer apartado. Me piden del vector u un vector unitario perpendicular a u.

37
00:06:10,420 --> 00:06:15,100
El vector u era el que tenía componentes 4 menos 3.

38
00:06:20,250 --> 00:06:22,949
Un vector unitario perpendicular a u.

39
00:06:24,029 --> 00:06:29,430
Un vector perpendicular, vamos a llamarle u'.

40
00:06:29,430 --> 00:06:35,870
Uno que fuera perpendicular a u, por ejemplo, podría ser el 3, 4

41
00:06:35,870 --> 00:06:42,370
Si yo multiplico escalarmente estos dos vectores, el resultado es 0

42
00:06:42,370 --> 00:06:44,649
Sería 12 menos 12, 0

43
00:06:44,649 --> 00:06:50,110
Ahora, si yo calculo el módulo de este u'

44
00:06:50,110 --> 00:07:06,839
Y divido sus componentes por su módulo

45
00:07:06,839 --> 00:07:12,980
con lo cual tendríamos 3 quintos, 4 quintos

46
00:07:12,980 --> 00:07:18,279
Puedo asegurar que este vector, vamos a llamarle t

47
00:07:18,279 --> 00:07:25,410
es un vector que es perpendicular a u

48
00:07:25,410 --> 00:07:31,699
y además es unitario

49
00:07:31,699 --> 00:07:34,480
que era lo que me pedían

50
00:07:34,480 --> 00:07:37,060
Calcula un vector unitario

51
00:07:37,060 --> 00:07:41,560
O sea, un vector unitario que sea perpendicular a O

52
00:07:41,560 --> 00:07:44,990
Bien, apartado D

53
00:07:44,990 --> 00:07:55,699
Me piden que calcule el ángulo que forma U y V

54
00:07:55,699 --> 00:08:00,100
U es este vector

55
00:08:00,100 --> 00:08:04,420
V es este vector

56
00:08:04,420 --> 00:08:13,180
Si calculamos el producto escalar de U por V

57
00:08:13,180 --> 00:08:21,019
Por un lado tendríamos módulo de U por el módulo de V

58
00:08:21,019 --> 00:08:24,860
por el coseno del ángulo que forman, que es el que me piden.

59
00:08:26,160 --> 00:08:33,860
Y por otro lado, como u y v están expresados en una base ortonormal,

60
00:08:34,000 --> 00:08:35,259
siempre que no se diga lo contrario,

61
00:08:36,820 --> 00:08:41,559
podemos calcular el producto escalar también de esta otra forma.

62
00:08:43,120 --> 00:08:47,580
Igualando estas dos expresiones y despejando coseno de alfa,

63
00:08:47,580 --> 00:08:56,340
tendremos uso1 por v1 más uso2 por v2

64
00:08:56,340 --> 00:09:02,179
dividido por el módulo de u y por el módulo de u.

65
00:09:07,039 --> 00:09:14,259
Sustituyendo las coordenadas, esto sería 4 por 1 más menos 3 por menos 2.

66
00:09:14,639 --> 00:09:22,120
Y aquí abajo tendremos que poner el módulo de u, que el módulo de u es 5,

67
00:09:22,860 --> 00:09:37,330
Vamos a calcularle aquí, módulo de u, 16 más 9 es 25, la raíz de 25 es 5.

68
00:09:38,669 --> 00:09:50,009
Y por otro lado, el módulo de v es raíz de 5, 1 al cuadrado más 2 al cuadrado, o sea, raíz de 5.

69
00:09:51,409 --> 00:09:55,309
Entonces aquí me quedaría 5 raíz de 5, y aquí esto me daba 10.

70
00:09:55,309 --> 00:09:57,730
Vamos a simplificar el resultado

71
00:09:57,730 --> 00:10:04,100
Esto sería 2 partido de la raíz de 5

72
00:10:04,100 --> 00:10:07,100
O si queréis racionalizar sería esto

73
00:10:07,100 --> 00:10:16,899
De tal manera que entonces alfa es arco coseno de este valor

74
00:10:16,899 --> 00:10:18,740
Bueno, podemos escribirlo también así

75
00:10:18,740 --> 00:10:23,840
Para introducirlo en la calculadora y calcular cuánto vale ese ángulo

76
00:10:23,840 --> 00:10:43,490
Pues expresándolo en grados, minutos y segundos sería 26 grados, 33 minutos, 54, bueno un poco más, vamos a poner 54 segundos.

77
00:10:44,669 --> 00:10:47,750
Ese sería el ángulo formado por esos dos vectores.