1
00:00:02,540 --> 00:00:14,689
Hola, ¿qué tal? Empezamos con una serie de vídeos sobre integrales, problemas de

2
00:00:14,689 --> 00:00:19,089
integral definida. Vamos a resolver estos cuatro problemas. En este primer caso

3
00:00:19,089 --> 00:00:23,489
vamos a resolver en este primer vídeo el primer problema. Se trata de la integral

4
00:00:23,489 --> 00:00:27,949
definida entre menos 1 y 1 de la función raíz de 1 menos x cuadrado y nos piden

5
00:00:27,949 --> 00:00:32,630
que lo interpretemos geométricamente. Para integrar la integral indefinida va

6
00:00:32,630 --> 00:00:37,929
a haber que realizar este cambio de variable x igual a seno de t. Pues vamos con ello.

7
00:00:38,429 --> 00:00:48,289
En primer lugar, lo que vamos a hacer, escribimos la función y realizamos el cambio de variable

8
00:00:48,289 --> 00:00:59,780
que nos piden para calcular la integral indefinida. Para ello, x igual a seno de t. Tenemos que

9
00:00:59,780 --> 00:01:03,399
tener en cuenta que siempre que queramos calcular un cambio de variable hay que calcular el

10
00:01:03,399 --> 00:01:09,159
diferencial ya lo sabemos en este caso sería coseno de t diferencial de t

11
00:01:09,159 --> 00:01:14,140
tenemos que tener en cuenta siempre que tengamos relaciones trigonométricas pues

12
00:01:14,140 --> 00:01:21,659
la fórmula fundamental de la trigonometría de donde se deduce que

13
00:01:21,659 --> 00:01:34,920
pues seno pues que seno de x va a ser raíz de 1 menos coseno cuadrado de x o

14
00:01:34,920 --> 00:01:41,500
Al revés, la que necesitemos, coseno de x igual a raíz cuadrada de 1 menos seno cuadrado de x.

15
00:01:41,620 --> 00:01:43,200
Alguna de las dos la podemos necesitar.

16
00:01:43,700 --> 00:01:46,519
Y luego, esto es una diferencia con las integrales indefinidas.

17
00:01:46,519 --> 00:01:52,939
Cuando tenemos integrales definidas, va a haber que cambiar también los límites de integración.

18
00:01:53,400 --> 00:02:00,439
El menos 1 y el 1 son límites para la x, límite inferior y límite superior.

19
00:02:01,000 --> 00:02:03,379
Pero ahora tenemos que calcular los correspondientes de la y.

20
00:02:03,459 --> 00:02:04,319
¿Y cómo lo vamos a hacer?

21
00:02:04,319 --> 00:02:08,080
pues con esta ecuación, la relación que hay entre la x y la y.

22
00:02:08,479 --> 00:02:13,000
Es decir, que si la x vale 1, es el seno de t el que vale 1,

23
00:02:13,680 --> 00:02:18,639
con lo que la t tiene que valer necesariamente para que el seno valga 1,

24
00:02:18,840 --> 00:02:24,159
sabemos que la t pues tiene que valer pi medios, por ejemplo, vamos, pi medios más 2kpi.

25
00:02:24,840 --> 00:02:28,460
Y este sería el primer caso, límite superior y el límite inferior,

26
00:02:28,460 --> 00:02:32,460
si la x vale menos 1, es decir, el seno de t vale menos 1,

27
00:02:32,460 --> 00:02:44,139
calculamos el correspondiente valor de t que será pues por ejemplo menos pi medios, eso es, entonces con todos estos datos sustituimos, tenemos que aplicar todo esto para sustituir en la integral

28
00:02:44,139 --> 00:02:56,219
y tendríamos la integral ahora ya entre menos pi medios y pi medios, observamos que han cambiado los límites de integración de la raíz cuadrada de 1 menos x cuadrado, es decir, sería 1 menos seno cuadrado de x,

29
00:02:56,219 --> 00:03:07,719
1 menos seno cuadrado de x y luego diferencial de x que va a ser coseno de t, diferencial de t, perdón, aquí esto es 1 menos seno cuadrado pues de t.

30
00:03:08,479 --> 00:03:15,319
Aquí evidentemente tenemos no seno de x sino seno de t, así que aquí en estas letras serían todo t.

31
00:03:15,800 --> 00:03:21,939
Bien, y después vamos a tener diferencial de x, decía que era coseno de t, diferencial de t.

32
00:03:21,939 --> 00:03:25,000
bueno, de acuerdo, ojo importante

33
00:03:25,000 --> 00:03:26,580
en todas estas letras

34
00:03:26,580 --> 00:03:28,699
no vamos a utilizar en todas estas fórmulas

35
00:03:28,699 --> 00:03:29,979
que son ciertas para X también

36
00:03:29,979 --> 00:03:32,819
pero también para T y vamos a utilizar la T seno de T

37
00:03:32,819 --> 00:03:33,860
y coseno de T, bien

38
00:03:33,860 --> 00:03:37,099
entonces ahora esta integral la simplificamos

39
00:03:37,099 --> 00:03:37,639
un poquillo

40
00:03:37,639 --> 00:03:54,849
esta integral la vamos a simplificar un poquillo

41
00:03:54,849 --> 00:03:56,710
y como quedaría

42
00:03:56,710 --> 00:03:57,469
pues quedaría

43
00:03:57,469 --> 00:04:01,250
raíz cuadrada de coseno cuadrado de T

44
00:04:01,250 --> 00:04:03,250
por coseno de T

45
00:04:03,250 --> 00:04:04,849
diferencial de T, es decir

46
00:04:04,849 --> 00:04:12,629
es la integral entre menos pi medios y pi medios de coseno de t por coseno de t,

47
00:04:13,509 --> 00:04:19,149
o lo que es lo mismo, será la integral entre menos pi medios y pi medios de coseno cuadrado de t.

48
00:04:20,209 --> 00:04:26,009
Bien, y llegados a este punto, en este tipo de integrales, cuando tenemos la integral de coseno cuadrado o seno cuadrado,

49
00:04:26,529 --> 00:04:28,370
tenemos que utilizar la siguiente fórmula.

50
00:04:28,370 --> 00:04:38,029
coseno cuadrado de t es igual a 1 menos coseno del ángulo doble partido por 2 y esta fórmula

51
00:04:38,029 --> 00:04:44,610
recuerdo que sale de la fórmula seno cuadrado de t más coseno cuadrado de t igual a 1 es la

52
00:04:44,610 --> 00:04:51,129
fórmula fundamental de la trigonometría junto con el coseno del ángulo doble la fórmula del

53
00:04:51,129 --> 00:04:55,850
coseno del ángulo doble, que es coseno cuadrado menos seno cuadrado de t.

54
00:04:56,310 --> 00:05:02,050
Si aquí restamos, vamos a obtener, restando, que 1 menos coseno de 2t

55
00:05:02,050 --> 00:05:05,930
será igual al doble del coseno cuadrado de t.

56
00:05:06,509 --> 00:05:10,610
Y de aquí sacamos esta fórmula, que es la que vamos a utilizar para poder integrar ahí.

57
00:05:11,230 --> 00:05:16,069
Entonces esto quedaría la integral entre menos pi medios y pi medios de lo siguiente.

58
00:05:16,069 --> 00:05:47,680
Y ahora lo que hacemos es integrar, separar el 1 medio lo podemos sacar fuera de la integral y ahora tenemos aquí un 1 menos pues la integral entre menos pi medios y pi medios de coseno de 2t, diferencial de t, cierro paréntesis.

59
00:05:47,680 --> 00:06:16,889
Y ahora lo que tenemos que hacer es resolver esas dos integrales. Un medio de la integral de 1 es t entre menos pi medios y pi medios menos un medio de la integral del coseno es el seno porque la derivada del seno es el coseno pero como aquí tenemos un 2 para que nos aparezca la derivada de lo de dentro necesitaríamos tener ahí un 2 por lo que multiplicamos y dividimos por 2.

60
00:06:16,889 --> 00:06:29,569
De manera que aquí tenemos la derivada de lo de dentro, es decir, que eso es la integral, la integral del coseno de 2t por 2 sería pues seno de 2t.

61
00:06:29,829 --> 00:06:37,870
Si derivamos aquí obtenemos esto y eso tenemos que evaluarlo en los límites para la t, menos pi medios y pi medios.

62
00:06:37,870 --> 00:06:42,730
Es decir, que aquí ya sustituyo, aplico la regla de barro y se acaba.

63
00:06:49,620 --> 00:07:13,459
Quedaría un medio de pi medios menos pi medios, ojo con los dobles signos al aplicar barro, menos un medio de seno de 2t por pi medios será seno de pi menos seno menos pi medios por 2 menos pi por seno de menos pi.

64
00:07:13,980 --> 00:07:29,839
Y tened en cuenta que seno de pi y seno de menos pi es cero, así que toda esta parte es cero y aquí tenemos pi medios menos menos pi medios, es pi medios más pi medios que es pi, así que el resultado sería un medio de pi, pi partido por dos.

65
00:07:30,639 --> 00:07:41,540
Muy bien, y nos piden que interpretemos esto geométricamente. Para ello, pues nos tenemos que fijar que esto será el área de esta función y pues tendremos que representar esta función entre menos uno y uno.

66
00:07:42,259 --> 00:07:51,959
Si nosotros representásemos esa función entre menos 1 y 1, veríamos que la función y igual a raíz de 1 menos x cuadrado,

67
00:07:52,360 --> 00:07:59,259
si le vamos al cuadrado y despejamos, pues esto es un círculo de radio 1, es una circunferencia de radio 1.

68
00:07:59,259 --> 00:08:10,300
Y justo estamos integrando entre menos 1 y el 1, es decir, que estamos calculando el área de media circunferencia de radio 1.

69
00:08:10,300 --> 00:08:28,399
Y recuerdo que el área de un círculo sería pi r cuadrado, es decir, en nuestro caso pi, con lo que el área de un semicírculo de radio 1 sería pi medios.

70
00:08:28,980 --> 00:08:33,679
Es este pi medios que hemos obtenido aquí. Y esa sería la interpretación geométrica.

71
00:08:34,159 --> 00:08:39,600
Bueno, en el siguiente vídeo vamos a realizar otro problema de integral definida.

72
00:08:39,600 --> 00:08:41,299
Espero que este os haya quedado claro. ¡Hasta luego!