1
00:00:01,139 --> 00:00:09,580
Bueno, vamos a aprender a resolver sistemas de ecuaciones con tres incógnitas y entre otros métodos tenemos el método de Gauss.

2
00:00:10,500 --> 00:00:20,679
Gauss, alemán del siglo XIX y la verdad es que bastante importante en todo lo que estudiamos nosotros en el colegio ya que aparece varias veces en matemáticas y en física.

3
00:00:21,140 --> 00:00:30,460
Bueno, lo que es un sistema de ecuaciones, creo que está claro, dos ecuaciones, dos incógnitas y tenemos que encontrar los valores que nos valgan para la X y la Y en los dos a la vez.

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00:00:31,140 --> 00:00:42,880
¿Vale? Por igualación, sustitución, reducción o de forma gráfica y ahí os dejo unos enlaces a unos vídeos míos donde explico cómo son, pero entiendo que ya a estas alturas no los necesitamos.

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00:00:42,880 --> 00:00:48,259
Eso sí, recuerdo que dependiendo del número de soluciones que tenga nuestro sistema

6
00:00:48,259 --> 00:00:51,399
Será compatible determinado si tiene una única solución

7
00:00:51,399 --> 00:00:54,119
Que es un poco lo que hasta ahora no solía ocurrir

8
00:00:54,119 --> 00:00:58,140
Compatible indeterminado cuando tiene infinitas soluciones

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00:00:58,140 --> 00:01:01,500
Y será incompatible cuando no tenga solución

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00:01:01,500 --> 00:01:05,900
Estos dos casos, el indeterminado y el incompatible, empiezan a aparecer ahora

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00:01:05,900 --> 00:01:10,700
Dos sistemas son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones

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00:01:10,700 --> 00:01:23,120
Estos dos sistemas que parecen totalmente diferentes, si comprobáis en ambos casos la x igual a 1 y la y igual a menos 1 cumplen los dos sistemas, por lo tanto son equivalentes.

13
00:01:25,260 --> 00:01:39,159
¿Y cómo obtenemos esos sistemas equivalentes? Bueno, pues sumamos o restamos la misma cantidad a los dos miembros, como veis en 3x menos 5 igual a 1, si sumamos 4 a los dos lados, x igual a 2 sigue siendo solución de ese sistema.

14
00:01:39,159 --> 00:01:43,760
Si multiplicamos una ecuación por un número distinto de 0

15
00:01:43,760 --> 00:01:46,620
El mismo valor de la x sigue siendo solución

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00:01:46,620 --> 00:01:48,640
Y podéis echar las cuentas

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00:01:48,640 --> 00:01:53,939
Y además si multiplico una de ellas por un número

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00:01:53,939 --> 00:01:55,560
Y luego la sumo la resto

19
00:01:55,560 --> 00:01:58,280
Pues también tiene el mismo valor, ¿vale?

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00:01:58,400 --> 00:02:00,519
Esto es básicamente lo que hacemos en reducción

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00:02:00,519 --> 00:02:02,439
Ahora, ¿qué ocurre?

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00:02:02,560 --> 00:02:04,579
Cuando en lugar de dos ecuaciones y dos incógnitas

23
00:02:04,579 --> 00:02:07,019
Esto crece y tengo tres ecuaciones y tres incógnitas

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00:02:07,019 --> 00:02:08,560
Pues aplicamos el método de Gauss

25
00:02:08,560 --> 00:02:12,479
que no es más que nada que una reducción muy estructurada

26
00:02:12,479 --> 00:02:16,300
y lo que quiero es un sistema triangular que sea equivalente, es decir, con las mismas soluciones

27
00:02:16,300 --> 00:02:20,840
esto es un sistema triangular, que la primera ecuación se quede igual

28
00:02:20,840 --> 00:02:25,080
la segunda me falte la X y la tercera me falte la X y la Y

29
00:02:25,080 --> 00:02:29,379
de manera que me queda solo una incógnita, la Z la puedo resolver

30
00:02:29,379 --> 00:02:32,000
en una ecuación de primer grado, de primero de la ESO

31
00:02:32,000 --> 00:02:36,800
y de ahí voy subiendo las soluciones que ya sé y voy calculando el resto de soluciones

32
00:02:36,800 --> 00:02:39,240
Bueno, pues vamos a empezar por este ejemplo

33
00:02:39,240 --> 00:02:45,060
Es decir, lo que vamos a pretender es de la segunda y de la tercera ecuación quitar las x en un primer paso

34
00:02:45,060 --> 00:02:50,539
En un segundo paso, en la tercera ecuación quitar la y y ya solo me quedará la z

35
00:02:50,539 --> 00:02:57,879
Es importante que vayamos indicando las operaciones que hacemos en cada ecuación para obtener ese sistema equivalente

36
00:02:57,879 --> 00:03:02,860
¿Vale? Pues para quitar la x de la segunda multiplico la primera por dos y la resto

37
00:03:02,860 --> 00:03:04,479
Hemos visto que eso se podía hacer

38
00:03:04,479 --> 00:03:10,300
y para quitar la x de la tercera multiplico la primera por 3 y se la resto

39
00:03:10,300 --> 00:03:15,139
y obtenemos ese nuevo sistema equivalente en el que solo la primera ecuación tiene x

40
00:03:15,139 --> 00:03:19,819
ahora vamos a quitar de la segunda ecuación la y que es lo que se llama triangular

41
00:03:19,819 --> 00:03:28,639
eso es hacer ceros, así que multiplico la segunda por 7, la tercera por 3 y la resto

42
00:03:28,639 --> 00:03:32,500
y me quedo con solo la z en la última ecuación

43
00:03:32,500 --> 00:03:35,159
de donde deduzco que la z vale menos uno

44
00:03:35,159 --> 00:03:38,639
y voy subiendo para arriba, sustituyo ese z menos uno en la segunda

45
00:03:38,639 --> 00:03:41,780
menos tres y menos cinco, seré menos ocho

46
00:03:41,780 --> 00:03:44,580
y cuando ya tenga la y y la z subo para arriba

47
00:03:44,580 --> 00:03:46,500
y las voy sacando todas

48
00:03:46,500 --> 00:03:50,860
así que nos quedaría que la x vale dos

49
00:03:50,860 --> 00:03:52,740
la y vale uno y la z vale menos uno

50
00:03:52,740 --> 00:03:56,620
con lo cual sistema compatible determinado porque tiene solución única

51
00:03:56,620 --> 00:03:58,199
como hemos visto antes

52
00:03:58,199 --> 00:04:01,340
En los pasos de una manera más general

53
00:04:01,340 --> 00:04:05,099
Reducimos la x en la segunda y la tercera ecuación

54
00:04:05,099 --> 00:04:06,080
Utilizando la primera

55
00:04:06,080 --> 00:04:09,080
Reducimos la y de la tercera ecuación

56
00:04:09,080 --> 00:04:10,520
Para que me quede solo la z

57
00:04:10,520 --> 00:04:12,219
Calculo esa z

58
00:04:12,219 --> 00:04:13,520
Me voy para arriba

59
00:04:13,520 --> 00:04:14,699
Calculo la y

60
00:04:14,699 --> 00:04:16,339
Y ya tengo la z en la y

61
00:04:16,339 --> 00:04:17,220
Sustituyo en la primera

62
00:04:17,220 --> 00:04:19,579
Serían un poco los pasos genéricos

63
00:04:19,579 --> 00:04:22,160
Lo bueno que tiene Gauss es que lo puede ampliar

64
00:04:22,160 --> 00:04:23,980
En este ejemplo quitaría

65
00:04:23,980 --> 00:04:26,939
Segunda, tercera y cuarta ecuación la x

66
00:04:26,939 --> 00:04:29,759
de la tercera y cuarta la Y y de la cuarta la Z

67
00:04:29,759 --> 00:04:33,459
y me quedaría solo la W, me voy arriba que solo tenía WZ

68
00:04:33,459 --> 00:04:36,319
sustituyo y ya tengo WZ, me voy a la segunda

69
00:04:36,319 --> 00:04:38,980
sustituyo WZ y solo me quedará la Y

70
00:04:38,980 --> 00:04:41,300
y voy hacia arriba sustituyendo, vale

71
00:04:41,300 --> 00:04:45,500
bueno, pues ahí os dejo unos cuantos ejemplos resueltos para que podáis ir practicando