1
00:00:02,220 --> 00:00:11,019
Vamos a resolver el ejercicio 4, ejercicio 4 de la página 170 y 1, que es muy completito y tiene un poquito de todo.

2
00:00:11,019 --> 00:00:27,559
Nos dan tres vectores, v que tiene coordenadas 1, 5, w que tiene coordenadas menos 3, 4 y u que tiene coordenadas 5, 12.

3
00:00:27,559 --> 00:00:34,039
Vale, nos pide lo primero los módulos de estos tres vectores

4
00:00:34,039 --> 00:00:37,979
En el apartado A, así que el módulo de V

5
00:00:37,979 --> 00:00:41,340
El módulo de W

6
00:00:41,340 --> 00:00:44,079
Y el módulo de U

7
00:00:44,079 --> 00:00:48,659
Lo vamos a dejar ordenadito porque nos va a servir, va a ser muy útil para los siguientes apartados

8
00:00:48,659 --> 00:00:53,070
Vale, módulo de cualquier vector, ¿cómo se llama?

9
00:00:53,070 --> 00:01:01,189
La raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus coordenadas

10
00:01:01,189 --> 00:01:05,150
es decir, 1 al cuadrado más 5 al cuadrado

11
00:01:05,150 --> 00:01:09,650
esto de aquí sería la raíz cuadrada de menos 3 al cuadrado

12
00:01:09,650 --> 00:01:12,109
que os recuerdo que cualquier número elevado al cuadrado es positivo

13
00:01:12,109 --> 00:01:15,109
más 4 al cuadrado

14
00:01:15,109 --> 00:01:19,569
y esto de aquí sería la raíz cuadrada de 5 al cuadrado más 12 al cuadrado

15
00:01:19,569 --> 00:01:23,549
nos quedaría raíz cuadrada de 26

16
00:01:23,549 --> 00:01:26,629
lo podemos dejar así, no hay falta que calculemos y digamos

17
00:01:26,629 --> 00:01:27,930
vale 5, no sé qué

18
00:01:27,930 --> 00:01:30,290
lo podemos dejar como raíz cuadrada de 26

19
00:01:30,290 --> 00:01:34,129
aquí tenemos 9 y 16 raíz cuadrada de 25

20
00:01:34,129 --> 00:01:36,049
que esto sí que tenemos que simplificarlo

21
00:01:36,049 --> 00:01:40,409
y aquí tenemos la raíz cuadrada de 25

22
00:01:40,409 --> 00:01:43,370
más 146, 169

23
00:01:43,370 --> 00:01:45,430
que esto es 3

24
00:01:45,430 --> 00:01:58,069
bien, los módulos fáciles

25
00:01:58,069 --> 00:02:00,170
vamos a lo siguiente, nos dice

26
00:02:00,170 --> 00:02:03,909
el coseno del ángulo que forman 2 a 2

27
00:02:03,909 --> 00:02:06,230
pues aquí vamos a tener

28
00:02:06,230 --> 00:02:09,289
el coseno de alfa

29
00:02:09,289 --> 00:02:17,189
Y vamos a definir alfa es igual al ángulo entre V y W

30
00:02:17,189 --> 00:02:18,870
Por ejemplo, ¿vale?

31
00:02:18,949 --> 00:02:20,289
Bueno, espérate, me los voy a dibujar todos

32
00:02:20,289 --> 00:02:25,590
Tenemos V que va a ser el 1, 5

33
00:02:25,590 --> 00:02:28,729
Este de aquí es V

34
00:02:28,729 --> 00:02:31,270
W es el menos 3, 4

35
00:02:31,270 --> 00:02:33,449
Pues menos 3, 4

36
00:02:33,449 --> 00:02:36,219
W

37
00:02:36,219 --> 00:02:39,039
Y U es 5, 12

38
00:02:39,039 --> 00:02:40,800
pues 5

39
00:02:40,800 --> 00:02:44,979
12

40
00:02:44,979 --> 00:02:46,379
madre mía que feo

41
00:02:46,379 --> 00:02:51,460
entonces vamos a definir

42
00:02:51,460 --> 00:02:53,539
alfa como este primer ángulo

43
00:02:53,539 --> 00:02:55,080
alfa

44
00:02:55,080 --> 00:02:57,400
este de aquí pequeñito puede ser beta

45
00:02:57,400 --> 00:02:58,939
y este de aquí

46
00:02:58,939 --> 00:02:59,960
va a ser gamma

47
00:02:59,960 --> 00:03:03,419
¿vale? siempre recordamos que vamos a

48
00:03:03,419 --> 00:03:05,500
definir los ángulos pequeños, que nadie me dé la vuelta

49
00:03:05,500 --> 00:03:05,879
por aquí

50
00:03:05,879 --> 00:03:09,599
entonces el coseno de alfa

51
00:03:09,599 --> 00:03:11,659
es igual al coseno

52
00:03:11,659 --> 00:03:12,460
entre

53
00:03:12,460 --> 00:03:14,219
como lo hemos definido así

54
00:03:14,219 --> 00:03:16,039
v y w

55
00:03:16,039 --> 00:03:18,979
entre v y w

56
00:03:18,979 --> 00:03:21,139
¿cómo se hacía esto?

57
00:03:21,520 --> 00:03:26,689
con la formulita de qué?

58
00:03:27,349 --> 00:03:28,990
de lo que al final se hacía

59
00:03:28,990 --> 00:03:29,729
por coseno

60
00:03:29,729 --> 00:03:31,270
del producto escalar

61
00:03:31,270 --> 00:03:34,449
vale, recordamos aquí, producto escalar

62
00:03:34,449 --> 00:03:41,259
el producto escalar entre dos vectores

63
00:03:41,259 --> 00:03:43,560
había dos maneras de hallarlo y se marcaba con un puntito

64
00:03:43,560 --> 00:04:09,120
Entonces en este caso el producto escalar entre v y w puede ser o la multiplicación de sus coordenadas, es decir, vx por wx más vi por wi, o puede ser la multiplicación de sus módulos por el coseno del ángulo que forman.

65
00:04:09,120 --> 00:04:11,960
como estas dos cosas valen lo mismo

66
00:04:11,960 --> 00:04:13,819
nosotros podemos despejar el coseno

67
00:04:13,819 --> 00:04:16,199
y nos queda que el coseno del ángulo que forman es

68
00:04:16,199 --> 00:04:18,259
la operación

69
00:04:18,259 --> 00:04:19,699
de sus coordenadas

70
00:04:19,699 --> 00:04:22,220
es decir, queréis que os escriba la fórmula

71
00:04:22,220 --> 00:04:23,720
por si acaso, la primera vez

72
00:04:23,720 --> 00:04:24,360
luego ya veremos

73
00:04:24,360 --> 00:04:27,560
vx por wx

74
00:04:27,560 --> 00:04:29,819
más vi por wi

75
00:04:29,819 --> 00:04:32,540
partido todo ello del producto de módulos

76
00:04:32,540 --> 00:04:35,500
v por w

77
00:04:35,500 --> 00:04:39,360
y ahora ya empezamos a sustituir

78
00:04:39,360 --> 00:04:45,300
La primera coordenada de X es 1 por menos 3, menos 3.

79
00:04:45,939 --> 00:04:50,720
La primera coordenada de Y es 5 por 4, 12.

80
00:04:51,420 --> 00:04:57,680
Y aquí abajo tenemos la raíz de 26 por, podemos dejarlo, la raíz de 25.

81
00:04:57,680 --> 00:05:01,740
Me da igual, o podemos dejarlo como 5 raíz de 26.

82
00:05:02,319 --> 00:05:04,579
Me da igual, se están multiplicando los dos módulos.

83
00:05:04,579 --> 00:05:09,360
Resultado, y nos va a dar negativo

84
00:05:09,360 --> 00:05:11,319
Vamos a ver por qué

85
00:05:11,319 --> 00:05:14,920
Tenemos menos 3 más 12

86
00:05:14,920 --> 00:05:15,980
Ah, no, nos va a dar positivo

87
00:05:15,980 --> 00:05:17,379
Madre mía, estoy más cerca yo

88
00:05:17,379 --> 00:05:19,259
5 raíz de 26

89
00:05:19,259 --> 00:05:23,470
Nos está pidiendo el coseno

90
00:05:23,470 --> 00:05:25,629
Ya en el apartado C nos pedirá el ángulo

91
00:05:25,629 --> 00:05:27,310
Por ahora, el coseno

92
00:05:27,310 --> 00:05:29,050
Y lo dejamos ahí

93
00:05:29,050 --> 00:05:31,350
Que nos va a servir para averiguar directamente

94
00:05:31,350 --> 00:05:32,709
En el siguiente apartado el ángulo

95
00:05:32,709 --> 00:05:35,430
Vale, siguiente

96
00:05:35,430 --> 00:05:37,149
No vamos a hacer ya todo esto

97
00:05:37,149 --> 00:05:39,410
ya dejamos de copiar las fórmulas, pero vamos directamente

98
00:05:39,410 --> 00:05:41,209
coseno de beta

99
00:05:41,209 --> 00:05:44,430
que en este caso es el coseno

100
00:05:44,430 --> 00:05:47,009
entre v y u

101
00:05:47,009 --> 00:05:50,110
v y u

102
00:05:50,110 --> 00:05:53,649
pues serían las coordenadas de v por las coordenadas de u

103
00:05:53,649 --> 00:05:55,129
partido del módulo de los dos

104
00:05:55,129 --> 00:05:58,170
1 por 5, 5

105
00:05:58,170 --> 00:06:01,629
5 por 12, 60

106
00:06:01,629 --> 00:06:05,009
partido de raíz de 26 por 13

107
00:06:05,009 --> 00:06:07,069
13 raíz de 26

108
00:06:07,069 --> 00:06:10,790
Nos quedaría 65 partido de 13

109
00:06:10,790 --> 00:06:12,350
Raíz de 26

110
00:06:12,350 --> 00:06:15,529
Este si queremos podemos simplificarlo

111
00:06:15,529 --> 00:06:17,529
Pero si alguien no se da cuenta, no hace falta simplificarlo

112
00:06:17,529 --> 00:06:20,310
Y tenemos, por último, el coseno de gamma

113
00:06:20,310 --> 00:06:25,610
Que es el coseno entre W y U

114
00:06:25,610 --> 00:06:27,329
Por aquí no he perdido a nadie, ¿no?

115
00:06:28,110 --> 00:06:28,430
Bien

116
00:06:28,430 --> 00:06:32,189
Menos 3 por 5, menos 15

117
00:06:32,189 --> 00:06:37,939
4 por 12, 48

118
00:06:37,939 --> 00:06:42,899
Partido de todo ello de 5 por 13, 65

119
00:06:42,899 --> 00:06:50,720
Operamos, menos 15 más 48 son 33, ¿no?

120
00:06:51,720 --> 00:06:53,160
Partido de 65

121
00:06:53,160 --> 00:06:57,329
Bien, apartado B completo

122
00:06:57,329 --> 00:07:00,529
Ahora, el C, los ángulos que forman 2 a 2

123
00:07:00,529 --> 00:07:05,670
C, pues alfa va a ser una cosa, beta va a ser otra y gamma va a ser otra

124
00:07:05,670 --> 00:07:11,430
Y aquí lo único que tenemos que hacer es el arco coseno de lo que nos haya dado

125
00:07:11,430 --> 00:07:14,889
Entonces, a ver si se ve estupendísimamente

126
00:07:14,889 --> 00:07:16,449
Vamos a empezar con este de aquí

127
00:07:16,449 --> 00:07:22,069
Decimos 9 partido de 5 raíz de 26

128
00:07:22,069 --> 00:07:23,149
Cerramos todo

129
00:07:23,149 --> 00:07:25,569
Esto es lo que vale el coseno

130
00:07:25,569 --> 00:07:30,790
Arco coseno de lo que nos haya dado

131
00:07:30,790 --> 00:07:33,009
69 grados

132
00:07:33,009 --> 00:07:34,170
Pues nada, lo apuntamos

133
00:07:34,170 --> 00:07:36,810
El primero que es alfa, porque ha hallado este

134
00:07:36,810 --> 00:07:39,949
69 grados

135
00:07:39,949 --> 00:07:41,949
Siguiente, el beta

136
00:07:41,949 --> 00:07:43,230
Aquí no se ve, aquí

137
00:07:43,230 --> 00:07:45,589
Que es este de aquí

138
00:07:45,589 --> 00:07:47,490
Igual hago lo mismo

139
00:07:47,490 --> 00:07:49,509
65 con cuidadito

140
00:07:49,509 --> 00:07:54,370
13 por raíz de 26

141
00:07:54,370 --> 00:07:56,910
Me da un numerito

142
00:07:56,910 --> 00:08:00,209
Arco coseno de lo que me haya dado

143
00:08:00,209 --> 00:08:02,509
Y me dice que es 11,3 grados

144
00:08:02,509 --> 00:08:06,870
Podéis ponerle comas o no, lo que os dé la gana

145
00:08:06,870 --> 00:08:09,389
En este caso la precisión no importa

146
00:08:09,389 --> 00:08:11,310
¿Veis que tiene sentido?

147
00:08:11,310 --> 00:08:12,949
Que este parecía bastante grande

148
00:08:12,949 --> 00:08:14,189
Este es súper pequeñito

149
00:08:14,189 --> 00:08:16,029
Vamos a ver este que debería estar entre los dos

150
00:08:16,029 --> 00:08:19,089
Porque en principio si lo sumamos

151
00:08:19,089 --> 00:08:20,930
Nos debería dar 69, ¿no?

152
00:08:21,790 --> 00:08:22,310
Vamos a ver

153
00:08:22,310 --> 00:08:27,050
33 partido de 65

154
00:08:27,050 --> 00:08:29,930
Arco coseno de lo que nos haya dado

155
00:08:29,930 --> 00:08:33,629
Y nos da 59,5 grados

156
00:08:33,629 --> 00:08:34,570
Más o menos

157
00:08:34,570 --> 00:08:39,509
¿Veis que quitando la precisión

158
00:08:39,509 --> 00:08:40,990
Que puede haber perdido por el camino

159
00:08:40,990 --> 00:08:43,509
El uno más el otro

160
00:08:43,509 --> 00:08:44,750
Me da el grande

161
00:08:44,750 --> 00:08:47,250
Seguimos

162
00:08:47,250 --> 00:08:48,389
Apartado D

163
00:08:48,389 --> 00:08:49,149
Nos dice

164
00:08:49,149 --> 00:08:54,700
La suma de V más W menos U

165
00:08:54,700 --> 00:08:58,659
V más W menos U

166
00:08:58,659 --> 00:09:00,580
Analítica y gráficamente

167
00:09:00,580 --> 00:09:01,539
Pues vamos a ello

168
00:09:01,539 --> 00:09:04,860
Primero, analíticamente

169
00:09:04,860 --> 00:09:13,450
Analíticamente lo que tenemos que hacer es sumar y restar sus coordenadas

170
00:09:13,450 --> 00:09:14,750
Entonces sería

171
00:09:14,750 --> 00:09:18,669
V se suma con W y se resta con U

172
00:09:18,669 --> 00:09:20,370
pues quedaría la primera

173
00:09:20,370 --> 00:09:22,809
1 menos 3

174
00:09:22,809 --> 00:09:24,330
porque es más menos 3

175
00:09:24,330 --> 00:09:26,029
menos 5

176
00:09:26,029 --> 00:09:27,750
y la coordenada ahí sería

177
00:09:27,750 --> 00:09:30,590
5 más 4

178
00:09:30,590 --> 00:09:33,750
menos 12

179
00:09:33,750 --> 00:09:36,399
resultado

180
00:09:36,399 --> 00:09:39,240
1 menos 3 es menos 2

181
00:09:39,240 --> 00:09:40,679
menos 5 es menos 7

182
00:09:40,679 --> 00:09:42,100
5 más 4 es 9

183
00:09:42,100 --> 00:09:43,299
menos 12 es menos 3

184
00:09:43,299 --> 00:09:46,279
gráficamente

185
00:09:46,279 --> 00:09:49,279
lo que se suma se pone a continuación

186
00:09:49,279 --> 00:09:51,019
lo que se resta se pone a continuación

187
00:09:51,019 --> 00:10:04,759
pero se le da la vuelta, entonces nos dibujamos nuestro vector v, que es el 1, 5, pues avanza 1, sube 5, este es nuestro vector v,

188
00:10:05,320 --> 00:10:16,059
le sumamos w, es decir, lo copiamos desde el final siguiendo las instrucciones que nos estén dando, menos 3, pues menos 3, y sube 4,

189
00:10:16,059 --> 00:10:20,159
Este es nuestro vector W

190
00:10:20,159 --> 00:10:22,779
Y le restamos U

191
00:10:22,779 --> 00:10:24,759
Vamos a hacerlo tal cual

192
00:10:24,759 --> 00:10:27,059
Pero con las coordenadas en negativo

193
00:10:27,059 --> 00:10:28,580
Si era 5, 12, ahora es

194
00:10:28,580 --> 00:10:30,000
Menos 5, menos 12

195
00:10:30,000 --> 00:10:31,500
Pues menos 5

196
00:10:31,500 --> 00:10:33,539
1, 2, 3, 4 y 5

197
00:10:33,539 --> 00:10:35,919
Y a ver si no me como nada

198
00:10:35,919 --> 00:10:37,039
Menos 12

199
00:10:37,039 --> 00:10:42,259
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 y 12

200
00:10:42,259 --> 00:10:43,720
Hasta aquí

201
00:10:43,720 --> 00:10:47,409
Resultado

202
00:10:47,409 --> 00:10:51,029
Nuestro vector resultado es

203
00:10:51,029 --> 00:10:53,190
Uniendo desde donde empezamos hasta donde acabamos

204
00:10:53,190 --> 00:10:54,950
Es decir, desde aquí hasta aquí

205
00:10:54,950 --> 00:10:58,460
¿Vale?

206
00:10:59,200 --> 00:11:01,600
Vemos que retrocedemos

207
00:11:01,600 --> 00:11:04,779
1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7

208
00:11:04,779 --> 00:11:05,539
¡Qué sorpresa!

209
00:11:06,100 --> 00:11:08,240
Y bajamos 1, 2 y 3

210
00:11:08,240 --> 00:11:10,000
Perfecto, ¿no?

211
00:11:10,600 --> 00:11:11,200
Gráficamente

212
00:11:11,200 --> 00:11:13,340
Y analíticamente coinciden

213
00:11:13,340 --> 00:11:21,779
Bien, voy a ponerle nombre a las cositas

214
00:11:21,779 --> 00:11:22,919
V

215
00:11:22,919 --> 00:11:25,000
W

216
00:11:25,000 --> 00:11:27,299
Y menos U

217
00:11:27,299 --> 00:11:32,179
De tal manera que esto es v más v doble menos u.

218
00:11:33,679 --> 00:11:36,299
Bien, y nos quedan dos puntitos.

219
00:11:36,299 --> 00:11:41,100
El e nos dice menos 3 por v.

220
00:11:44,529 --> 00:11:49,690
Analíticamente nos quedaría menos 3 por el vector v que es 1, 5.

221
00:11:50,509 --> 00:11:53,570
Es decir, menos 3 menos 15.

222
00:11:54,389 --> 00:11:55,909
Gráficamente, que no nos lo piden,

223
00:11:55,909 --> 00:12:00,830
Tendríamos que copiar este vector, el 1, 5, del revés

224
00:12:00,830 --> 00:12:02,669
Tres veces sobre el mismo, ¿no?

225
00:12:03,970 --> 00:12:05,850
Y lo último, optimísimo, el F

226
00:12:05,850 --> 00:12:09,389
Dice un vector normal a W

227
00:12:09,389 --> 00:12:13,470
Es decir, lo voy a llamar W sub n, W normal

228
00:12:13,470 --> 00:12:17,210
De tal manera que W normal es perpendicular a W

229
00:12:17,210 --> 00:12:19,090
Esto es perpendicular, ¿vale?

230
00:12:21,500 --> 00:12:24,740
Un vector normal, es decir, que sea perpendicular

231
00:12:24,740 --> 00:12:34,159
La condición que tiene es que sus coordenadas se cambian de sitio y una solo se cambia de signo

232
00:12:34,159 --> 00:12:44,309
Entonces, si mi vector W es el menos 3, 4, tiene dos posibles vectores normales

233
00:12:44,309 --> 00:12:50,289
Voy a hacer por aquí el 1, voy a hacer por aquí el 2, y estos son dos posibles

234
00:12:50,289 --> 00:12:51,490
hay infinitos

235
00:12:51,490 --> 00:12:54,509
porque todos los proporcionales van a ser exactamente igual

236
00:12:54,509 --> 00:12:56,090
de perpendiculares

237
00:12:56,090 --> 00:12:57,470
entonces

238
00:12:57,470 --> 00:12:59,590
cambio de signo las coordenadas

239
00:12:59,590 --> 00:13:02,809
y me quedarían 4 y 3

240
00:13:02,809 --> 00:13:04,529
y cambio una de signo

241
00:13:04,529 --> 00:13:06,429
pues el 3 lo paso a positivo

242
00:13:06,429 --> 00:13:09,409
el vector 4, 3

243
00:13:09,409 --> 00:13:10,509
es perpendicular

244
00:13:10,509 --> 00:13:11,350
y menos 3, 4

245
00:13:11,350 --> 00:13:12,990
opción B

246
00:13:12,990 --> 00:13:14,769
los cambio el signo

247
00:13:14,769 --> 00:13:16,169
4, 3

248
00:13:16,169 --> 00:13:18,870
y le cambio el signo a 1, en este caso a 4

249
00:13:18,870 --> 00:13:21,789
así que se me quedarían negativas las dos

250
00:13:21,789 --> 00:13:24,629
vamos a comprobar que esto es verdad

251
00:13:24,629 --> 00:13:26,970
que los dos son perpendiculares

252
00:13:26,970 --> 00:13:30,570
voy a dibujarme mi vector W que es el menos 3

253
00:13:30,570 --> 00:13:32,830
menos 3, 4

254
00:13:32,830 --> 00:13:37,679
este es mi vector W

255
00:13:37,679 --> 00:13:41,879
voy a dibujar el vector normal 1

256
00:13:41,879 --> 00:13:44,419
que dice que avanza 4 y sube 3

257
00:13:44,419 --> 00:13:46,980
avanza 4 y sube 3

258
00:13:46,980 --> 00:13:50,840
este es el vector normal 1

259
00:13:50,840 --> 00:13:51,940
Veis que

260
00:13:51,940 --> 00:13:54,320
Sí, que es perpendicular

261
00:13:54,320 --> 00:13:56,299
Y el otro

262
00:13:56,299 --> 00:13:58,779
Retrocede 4 y baja 3

263
00:13:58,779 --> 00:14:00,899
Retrocede 4 y baja 3

264
00:14:00,899 --> 00:14:06,049
Vector normal 2

265
00:14:06,049 --> 00:14:07,730
Pues también es perpendicular

266
00:14:07,730 --> 00:14:11,440
Bien

267
00:14:11,440 --> 00:14:14,500
Y hasta aquí el ejercicio 4 completito