1
00:00:08,109 --> 00:00:11,929
Según los valores de A, determina el rango de esa matriz A, 3 por 3.

2
00:00:12,070 --> 00:00:18,989
Bueno, como mucho puede tener rango 3, que sería que el determinante de A fuese distinto de 0.

3
00:00:19,309 --> 00:00:20,489
Entonces vamos a empezar por ahí.

4
00:00:20,769 --> 00:00:26,570
Vamos a ver para qué valores el determinante de A es distinto de 0 y por lo tanto el rango de A sería 3.

5
00:00:27,629 --> 00:00:29,530
Venga, pues entonces, determinante de A.

6
00:00:29,530 --> 00:00:36,189
El determinante 1, 2, 4, 1A, 4, 1A, A cuadrado.

7
00:00:36,189 --> 00:00:54,609
Vale, con la regla de Sarrus, pues nos queda a al cubo más 8 más 4a menos 4a menos 4a y menos 2a al cuadrado.

8
00:00:55,729 --> 00:01:04,250
Vale, 4a y menos 4a se me van y entonces me queda el polinomio a cubo menos 2a al cuadrado menos 4a más 8.

9
00:01:04,250 --> 00:01:09,530
Vale, tenemos que ver cuando el determinante de A es 0

10
00:01:09,530 --> 00:01:16,189
Es decir, ver cuáles son las soluciones de esta ecuación de grado 3

11
00:01:16,189 --> 00:01:21,090
Bueno, pues para resolver una ecuación de grado 3, una ecuación polinómica de grado 3

12
00:01:21,090 --> 00:01:23,250
Lo que hacíamos era factorizarla

13
00:01:23,250 --> 00:01:26,670
Vamos a factorizarla buscando las raíces por Ruffini

14
00:01:26,670 --> 00:01:33,129
Y las posibles raíces enteras son el 1 menos 1, más menos 2, más menos 4 y más menos 8

15
00:01:33,129 --> 00:01:35,010
que son los divisores del término independiente

16
00:01:35,010 --> 00:01:38,989
vale, el 1 no sirve, no nos sirve porque si sumo los coeficientes

17
00:01:38,989 --> 00:01:43,049
1 menos 2 menos 1 menos 4 menos 5 más 8

18
00:01:43,049 --> 00:01:45,829
me sale 3, que es distinto de 0

19
00:01:45,829 --> 00:01:49,849
luego por el teorema del resto, el resto de ese polinomio no sería 0

20
00:01:49,849 --> 00:01:53,569
luego no es divisible por a igual a 1

21
00:01:53,569 --> 00:01:57,629
por el menos 1 lo podemos probar pero tampoco va a ser

22
00:01:57,629 --> 00:02:00,890
lo probamos por Ruffini de una forma rápida

23
00:02:00,890 --> 00:02:10,830
me quedaría 1, menos 1, menos 3, 3 menos 1, 1, 9

24
00:02:10,830 --> 00:02:17,110
este es distinto de 0, por lo tanto no es divisible, no tiene como raíz la igual a menos 1

25
00:02:17,110 --> 00:02:18,930
vale, probamos con el 2

26
00:02:18,930 --> 00:02:23,169
1, menos 2, menos 4, 8 y con el 2

27
00:02:23,169 --> 00:02:31,590
bajamos el 1, 1, 2, 0, 0, menos 4, menos 8, 0

28
00:02:31,590 --> 00:02:38,969
Pues sí, nos sale, luego este polinomio se puede factorizar como a menos 2 por a cuadrado menos 4

29
00:02:38,969 --> 00:02:40,770
Y esto justo es una identidad notable

30
00:02:40,770 --> 00:02:46,370
Luego es a menos 2 por a menos 2 o más 2 por a menos 2

31
00:02:46,370 --> 00:02:51,210
Agrupando a menos 2 al cuadrado por a más 2

32
00:02:51,210 --> 00:03:01,810
Por tanto, si A distinto de 2 y A distinto de menos 2

33
00:03:01,810 --> 00:03:08,150
Entonces el determinante de A es distinto de 0

34
00:03:08,150 --> 00:03:14,550
Con lo cual el rango de la matriz A vale 3

35
00:03:14,550 --> 00:03:20,090
Hemos encontrado un menor de orden 3 distinto de 0, no nulo

36
00:03:20,090 --> 00:03:21,969
Luego el rango de A es 3

37
00:03:21,969 --> 00:03:26,650
Vamos a ver qué pasa si A es igual a 2

38
00:03:26,650 --> 00:03:32,139
Si A es igual a 2, vamos a cambiar la matriz A

39
00:03:32,139 --> 00:03:35,759
Me queda la forma 1, 2, 4

40
00:03:35,759 --> 00:03:37,599
1, 2, 4

41
00:03:37,599 --> 00:03:39,479
1, 2, 4

42
00:03:39,479 --> 00:03:42,180
Pues me doy cuenta que las tres filas son iguales

43
00:03:42,180 --> 00:03:46,560
Por lo tanto, el rango de A es 1

44
00:03:46,560 --> 00:03:49,039
Rango de A vale 1

45
00:03:49,039 --> 00:03:55,080
Y si A es igual a menos 2, pues vamos a ver quién es A

46
00:03:55,080 --> 00:03:57,020
¿Quién nos queda la matriz A?

47
00:03:57,020 --> 00:04:01,699
La matriz A nos queda 1, 2, 4

48
00:04:01,699 --> 00:04:03,979
1 menos 2, 4

49
00:04:03,979 --> 00:04:07,319
Y 1 menos 2, 4

50
00:04:07,319 --> 00:04:11,860
Estas dos filas son iguales y estas son independientes

51
00:04:11,860 --> 00:04:17,279
Pues entonces nos queda que el rango de A vale 2

52
00:04:17,279 --> 00:04:23,810
Vale, lo he hecho viendo las filas, el número de filas o columnas

53
00:04:23,810 --> 00:04:26,329
Lo podríais haber visto también, linealmente independientes

54
00:04:26,329 --> 00:04:30,790
En este caso, por si lo hubiera visto por columnas

55
00:04:30,790 --> 00:04:33,329
Las tres columnas son proporcionales, el rango es 1

56
00:04:33,329 --> 00:04:37,129
En este caso, esta y esta son proporcionales

57
00:04:37,129 --> 00:04:41,269
Pero esta y esta no, o esta y esta no lo son

58
00:04:41,269 --> 00:04:42,910
Por lo tanto, el rango es 2

59
00:04:42,910 --> 00:04:46,230
Si lo quiero ver por menores, aquí buscaríamos

60
00:04:46,230 --> 00:04:47,810
Como ya no puede ser rango 3

61
00:04:47,810 --> 00:04:51,209
Buscaríamos un menor de orden 2 distinto de 0

62
00:04:51,209 --> 00:04:54,430
Por ejemplo, este menor de aquí sería distinto de 0

63
00:04:54,430 --> 00:04:56,970
Tengo el 1, 2, 1, menos 2

64
00:04:56,970 --> 00:05:03,250
Este sería, valdría menos 2, menos 2, menos 4, distinto de 0

65
00:05:03,250 --> 00:05:06,449
Ya he encontrado un menor de orden 2 distinto de 0

66
00:05:06,449 --> 00:05:07,850
Luego el rango 2

67
00:05:07,850 --> 00:05:12,129
Aquí nunca encontraría un rango

68
00:05:12,129 --> 00:05:13,709
Bueno, porque las tres líneas son iguales

69
00:05:13,709 --> 00:05:17,149
Nunca encontraría un menor de orden 2 distinto de 0

70
00:05:17,149 --> 00:05:20,850
Todos los menores de orden 2 son iguales a 0, por lo tanto el rango 1.

71
00:05:28,829 --> 00:05:31,750
Bien, determina según M el rango de esa matriz.

72
00:05:32,050 --> 00:05:36,589
Lo primero de todo, yo observo que es una matriz de dimensión 3 por 4.

73
00:05:37,149 --> 00:05:43,730
Luego, como mucho, el rango de esta matriz va a ser 3, es decir, el rango es menor o igual que 3.

74
00:05:44,410 --> 00:05:49,810
Vale, ahora no puedo ir como antes, como en el ejemplo anterior, calculando el determinante de A,

75
00:05:49,889 --> 00:05:51,209
puesto que no es una matriz cuadrada.

76
00:05:51,209 --> 00:05:59,509
luego ahora el proceso que vamos a seguir es el que hemos aprendido con la definición o explicación

77
00:05:59,509 --> 00:06:04,529
de cómo calcular el rango de una matriz utilizando determinantes por menores

78
00:06:04,529 --> 00:06:10,329
vale, como la matriz es no nula, puesto que hay elementos distintos de 0

79
00:06:10,329 --> 00:06:12,730
por ejemplo la 1,1 es un elemento distinto de 0

80
00:06:12,730 --> 00:06:17,529
puedo asegurar que el rango de esta matriz es mayor o igual que 1

81
00:06:17,529 --> 00:06:21,230
Puesto que hay menores de orden 1 distintos de 0

82
00:06:21,230 --> 00:06:27,810
Vamos a buscar un menor de orden 2 distinto de 0

83
00:06:27,810 --> 00:06:28,790
Vamos a ver si lo encontramos

84
00:06:28,790 --> 00:06:32,029
Y si yo me fijo aquí en este menor

85
00:06:32,029 --> 00:06:37,009
Me aparecería que el menor 1, 2, menos 1, 1

86
00:06:37,009 --> 00:06:40,589
Tiene como valor 1 más 2, 3

87
00:06:40,589 --> 00:06:41,750
Distinto de 0

88
00:06:41,750 --> 00:06:47,209
Lo cual me dice que entonces el rango de esta matriz

89
00:06:47,209 --> 00:06:52,910
es al menos 2, bueno, que el rango es 2,

90
00:06:53,649 --> 00:06:56,009
o sea, al menos 2,

91
00:06:57,069 --> 00:06:59,269
que el rango de esa matriz al menos es 2,

92
00:06:59,790 --> 00:07:02,509
porque he encontrado un menor de orden 2 distinto de 0.

93
00:07:03,050 --> 00:07:04,949
Bueno, pues a partir de ese menor de orden 2,

94
00:07:05,149 --> 00:07:07,389
añadiendo elementos de otra fila y columna,

95
00:07:07,389 --> 00:07:10,850
vamos a formar un menor de orden 3.

96
00:07:11,029 --> 00:07:14,389
Por ejemplo, vamos a añadir los elementos de primera fila y tercera columna,

97
00:07:14,389 --> 00:07:24,769
columna, formando el menor, 2m menos 1, 3, 1, 2, m más 1, menos 1, 1, 0. Vamos a calcular

98
00:07:24,769 --> 00:07:40,050
este valor, nos queda 0 menos m menos 1 por m más 1, más 3, más 6, menos 2 por m más

99
00:07:40,050 --> 00:07:47,329
1 y 0. Bueno, hacemos las operaciones, nos damos cuenta de que aquí tenemos una identidad

100
00:07:47,329 --> 00:07:53,350
notable, m menos 1 por m más 1, que es m cuadrado menos 1, esta identidad notable es

101
00:07:53,350 --> 00:07:58,870
m cuadrado menos 1, con ese menos por delante tendríamos, a ver, vamos a hacerlo bien,

102
00:07:59,529 --> 00:08:08,990
menos m cuadrado más 1. Ahora sumamos estos dos elementos, dos sumandos, más 9 y quitamos

103
00:08:08,990 --> 00:08:21,009
este paréntesis, menos 2m, menos 2. Agrupando tenemos menos m cuadrado, menos 2m, 1 más

104
00:08:21,009 --> 00:08:30,050
8. Vale, vamos a estudiar este determinante. Entonces, vamos a ver cuándo este determinante

105
00:08:30,050 --> 00:08:34,570
es 0 y cuándo no es 0. De momento vamos a factorizar, vamos a ver cuándo este determinante,

106
00:08:34,570 --> 00:08:36,950
cuando este menor es 0.

107
00:08:37,070 --> 00:08:42,610
Para ello vamos a resolver la ecuación de segundo grado que tenemos aquí.

108
00:08:43,230 --> 00:08:51,730
Y nos quedaría que m igual a 2 más menos la raíz de 4 más 32 y partido de menos 2.

109
00:08:52,250 --> 00:08:55,529
Luego 2 más menos 6 partido de menos 2.

110
00:08:56,049 --> 00:08:58,710
2 más 6, 8 partido de menos 2, menos 4.

111
00:08:58,970 --> 00:09:01,330
2 menos 6, menos 4 partido de menos 2, 2.

112
00:09:01,330 --> 00:09:15,909
Por lo tanto, la factorización de este menor o de este determinante, cuidado con ese menos, quedaría m si menos 4 es raíz, m más 4 es el factor, y si 2 es raíz, m menos 2 es el factor.

113
00:09:18,330 --> 00:09:18,929
Concluimos.

114
00:09:20,590 --> 00:09:21,549
Vamos a ver.

115
00:09:21,549 --> 00:09:32,789
Ahora, si m distinto de menos 4 y m distinto de 2, cuando tenga valores de m distintos de menos 4 y distintos de 2,

116
00:09:33,009 --> 00:09:36,309
este menor es distinto de 0, ese valor es distinto de 0.

117
00:09:36,769 --> 00:09:43,690
Entonces, el rango de la matriz sería 3, y habría encontrado un menor 2 de 3 distinto de 0.

118
00:09:44,549 --> 00:09:48,110
Vamos a ver qué pasa si m igual a menos 4.

119
00:09:48,110 --> 00:09:51,840
Vamos a ver qué podemos decir

120
00:09:51,840 --> 00:09:53,440
Si m igual a menos 4

121
00:09:53,440 --> 00:09:55,299
Bueno, aquí hemos encontrado

122
00:09:55,299 --> 00:09:57,740
O sea, hemos trabajado con un menor de orden 3

123
00:09:57,740 --> 00:10:00,899
Que lo hemos conseguido a ese menor de orden 2

124
00:10:00,899 --> 00:10:03,740
Añadiéndole elementos de esta fila y esta columna

125
00:10:03,740 --> 00:10:05,779
Pero yo puedo construir otro menor de orden 3

126
00:10:05,779 --> 00:10:07,899
A partir de ese menor de orden 2

127
00:10:07,899 --> 00:10:11,899
Añadiendo elementos de la primera fila y de la tercera columna

128
00:10:11,899 --> 00:10:14,620
Luego construiríamos el determinante

129
00:10:14,620 --> 00:10:17,539
Teniendo en cuenta que m vale menos 4

130
00:10:17,539 --> 00:10:26,279
2, menos 4, menos 1, menos 5, menos 1, 1, 2, menos 1, 1, 1, menos 4

131
00:10:26,279 --> 00:10:29,279
Fijaos, qué determinante que he añadido

132
00:10:29,279 --> 00:10:33,559
Estos elementos de la primera fila y de la cuarta columna

133
00:10:33,559 --> 00:10:36,620
Calculamos su valor y esto me queda

134
00:10:36,620 --> 00:10:48,379
menos 16 más 5 menos 1 menos 2 menos 2 y menos 20

135
00:10:48,379 --> 00:10:52,720
este determinante sin hacer los cálculos ya se ve que va a salir distinto de 0

136
00:10:52,720 --> 00:10:53,740
pero hacemos los cálculos

137
00:10:53,740 --> 00:10:59,000
menos 16 más 5 menos 11 menos 1 menos 12 menos 2 menos 14

138
00:10:59,000 --> 00:11:02,500
menos 2 menos 16 y menos 20 menos 36

139
00:11:02,500 --> 00:11:03,720
distinto de 0

140
00:11:03,720 --> 00:11:16,500
Luego si la m vale menos 4, aunque este menor de orden 3 era 0, este otro menor que hemos conseguido añadiendo elementos de la primera fila pero de la cuarta columna es distinto de 0

141
00:11:16,500 --> 00:11:21,700
Luego aquí también se cumple que el rango de a también vale 3

142
00:11:21,700 --> 00:11:31,419
Y por último lugar, bueno voy a hacerlo por aquí arriba para aprovechar pizarra

143
00:11:31,419 --> 00:11:42,200
Ahora, por último lugar, vamos a ver qué ocurre si m igual a 2 y vamos a seguir el mismo proceso.

144
00:11:42,720 --> 00:11:49,000
Vamos a añadirle a este menos 2 en 2 los elementos de primera fila, cuarta columna, dándole el valor a m igual a 2.

145
00:11:49,659 --> 00:11:55,399
Luego 2, 1, menos 1, 1, 2, 1, menos 1, 1, 2.

146
00:11:55,399 --> 00:12:05,700
Si calculamos este determinante, me queda 8 menos 1, menos 1, menos 2, menos 2 y menos 2.

147
00:12:06,179 --> 00:12:13,139
Haciendo esta operación nos sale 8 menos 1, 7, menos 1, 6, menos 2, 4, menos 2, 2, menos 2, 0.

148
00:12:13,639 --> 00:12:18,519
Nos sale que también ese otro menor de orden 3 es 0.

149
00:12:18,700 --> 00:12:24,039
O sea, luego todos los menores de orden 3 que he construido a partir de este menor de orden 2 me dan 0.

150
00:12:24,039 --> 00:12:30,220
Por lo tanto, el rango de aquí, yo concluyo que el rango es 2.

151
00:12:31,159 --> 00:12:41,460
En definitiva, teníamos, en resumen, si m distinto de 2, rango 3.

152
00:12:42,340 --> 00:12:47,600
Y si m igual a 2, el rango 2.