1 00:00:04,980 --> 00:00:08,519 Estudiemos ahora las áreas y volúmenes de cuerpos geométricos. 2 00:00:08,640 --> 00:00:13,880 Recordar que un prisma es un poliedro limitado por dos polígonos iguales que llamamos bases 3 00:00:13,880 --> 00:00:21,660 y tantos paralelogramos o caras laterales como lados tenga la base. 4 00:00:22,460 --> 00:00:28,339 En este ejemplo tenemos un prisma de base pentagonal. 5 00:00:29,500 --> 00:00:34,560 Fijaros que la altura es la distancia perpendicular entre la base inferior y la base superior. 6 00:00:37,700 --> 00:00:45,380 observamos también el desarrollo plano de este prisma pentagonal está constituido 7 00:00:45,380 --> 00:00:56,179 por cinco rectángulos que son las caras laterales y dos pentágonos que son las bases el área del 8 00:00:56,179 --> 00:01:06,939 prisma lo podemos calcular de esta forma sumando todo el área lateral más dos veces el área de la 9 00:01:06,939 --> 00:01:18,019 base. El volumen del prisma siempre es el producto del área de la base, que en este caso vemos que es 10 00:01:18,019 --> 00:01:25,579 un pentágono regular, multiplicado por la altura. Recordad la distancia perpendicular entre la base 11 00:01:25,579 --> 00:01:40,750 inferior y la base superior. Vamos a resolver el siguiente ejemplo. Calcular el área total y el 12 00:01:40,750 --> 00:01:46,230 volumen de un prisma que mide 5 centímetros de altura y cuya base es un triángulo equilátero 13 00:01:46,230 --> 00:01:54,390 de 3 centímetros de lado. Comenzamos realizando un dibujo aproximado de nuestro prisma. Para 14 00:01:54,390 --> 00:02:00,469 ello dibujo la base aproximadamente un triángulo equilátero y por cada uno de los vértices 15 00:02:00,469 --> 00:02:06,890 levanto rectas perpendiculares. La de atrás la coloco con líneas discontinuas porque 16 00:02:06,890 --> 00:02:07,890 que no va a ser visible. 17 00:02:09,550 --> 00:02:11,370 Después coloco la base superior. 18 00:02:16,129 --> 00:02:22,689 Dibujamos la altura como la distancia perpendicular entre el centro de la base inferior y la base superior 19 00:02:22,689 --> 00:02:32,090 y colocamos los datos del problema, que son 3 centímetros del lado de la base y 5 centímetros la altura. 20 00:02:32,090 --> 00:02:41,270 Para resolver el problema también nos ayudarán a dibujar el desarrollo plano de nuestro prisma 21 00:02:41,270 --> 00:02:48,949 Está constituido por tres rectángulos que son las caras laterales y dos triángulos equiláteros que son las bases 22 00:02:48,949 --> 00:02:54,569 Colocamos los datos también del problema en el desarrollo plano 23 00:02:54,569 --> 00:03:13,180 El área total es igual a la suma del área lateral más dos veces el área de las bases 24 00:03:13,180 --> 00:03:27,449 Para calcular el área lateral tenemos que hallar tres veces el área de unos rectángulos 25 00:03:27,449 --> 00:03:31,270 que tienen 5 centímetros de largo y 3 centímetros de ancho 26 00:03:31,270 --> 00:03:41,090 Eso nos da como resultado 3 por 15 que es igual a 45 centímetros cuadrados 27 00:03:41,090 --> 00:03:45,849 Muy importante no olvidar las unidades de superficie 28 00:03:45,849 --> 00:03:49,590 A continuación vamos a calcular el área de la base 29 00:03:49,590 --> 00:03:54,349 Dibujamos la base que es el triángulo equilátero 30 00:03:54,349 --> 00:03:58,229 Y colocamos los datos 31 00:03:58,229 --> 00:04:02,430 Sabemos que el lado de este triángulo equilátero son 3 centímetros 32 00:04:02,430 --> 00:04:10,590 Para calcular el área de la base como es un triángulo, recordamos que la fórmula es base por altura entre dos. 33 00:04:11,770 --> 00:04:13,969 El problema es que no tenemos la altura. 34 00:04:16,050 --> 00:04:21,069 Dibujamos la altura como la distancia perpendicular entre la base y el vértice opuesto. 35 00:04:22,529 --> 00:04:25,189 Observamos que aparecen dos triángulos rectángulos. 36 00:04:26,750 --> 00:04:31,129 Sabemos que la altura divide a la base en dos partes iguales. 37 00:04:31,129 --> 00:04:38,589 Así que conocemos un cateto de 1,5 centímetros y la hipotenusa de 3 centímetros. 38 00:04:40,870 --> 00:04:48,829 Recordando el teorema de Pitágoras, la hipotenusa al cuadrado, es decir, 3 al cuadrado, tiene que ser igual a la suma de los cuadrados de los catetos. 39 00:04:56,069 --> 00:05:00,850 Realizando las operaciones tenemos que 9 es igual a 2,25 más h al cuadrado. 40 00:05:01,829 --> 00:05:09,529 Ahora pasamos el término 2,25 a la izquierda que pasa restando y nos queda esta igualdad. 41 00:05:10,110 --> 00:05:16,329 Nos queda h cuadrado igual a 6,75 y ahora realizamos la raíz cuadrada para saber la altura. 42 00:05:18,790 --> 00:05:24,449 Obtenemos que la altura es aproximadamente 2,60 centímetros. 43 00:05:24,449 --> 00:05:31,730 Hallamos ahora el área de la base con la fórmula base por altura entre 2 44 00:05:31,730 --> 00:05:38,430 Sustituyendo la base que mide 3 centímetros por la altura 2,60 dividido entre 2 45 00:05:38,430 --> 00:05:48,009 Obtenemos que el área de la base son 3,9 centímetros al cuadrado 46 00:05:48,009 --> 00:06:01,730 Así, el área total pedida será igual al área lateral, que eran 45 centímetros cuadrados, más dos veces por el área de la base, que nos ha dado 3,9 centímetros cuadrados. 47 00:06:03,069 --> 00:06:13,209 Es decir, 45 más 7,8 centímetros cuadrados, y así obtenemos el resultado. 48 00:06:13,209 --> 00:06:18,089 El área total es de 52,8 centímetros cuadrados 49 00:06:18,089 --> 00:06:22,990 Allá del volumen aplicamos la fórmula área de la base por altura 50 00:06:22,990 --> 00:06:29,990 El área de la base son 3,9 centímetros cuadrados multiplicado por la altura que son 5 centímetros 51 00:06:29,990 --> 00:06:41,850 El volumen es por tanto de 19,5 centímetros cúbicos 52 00:06:41,850 --> 00:06:47,970 Dentro de los prismas son de especial importancia los paralelepípedos 53 00:06:47,970 --> 00:06:51,610 que son aquellos en los cuales las bases son paralelogramos 54 00:06:51,610 --> 00:06:54,610 Por ejemplo, en el cubo la base son cuadrados 55 00:06:54,610 --> 00:07:01,610 y en el ortoedro tenemos que la base puede ser un cuadrado o por ejemplo un rectángulo 56 00:07:04,079 --> 00:07:08,300 Vamos a calcular ahora el área total y el volumen de un prisma rectangular 57 00:07:08,300 --> 00:07:14,779 rectangular, ortoedro, de 5 centímetros por 7 centímetros de base y 10 centímetros de altura. 58 00:07:20,740 --> 00:07:25,319 Comenzamos realizando un dibujo aproximado de nuestro prisma. Coloco las dos bases 59 00:07:25,319 --> 00:07:32,300 rectangulares y ahora voy a conectar los vértices de la base inferior con los de la superior con 60 00:07:32,300 --> 00:07:39,420 rectas perpendiculares al plano de la base inferior. Observar que la última arista no 61 00:07:39,420 --> 00:07:47,100 queda visible, por ello la dibujo con líneas discontinuas. Sobre el dibujo voy colocando los 62 00:07:47,100 --> 00:07:54,839 datos. La base tiene 5 centímetros por 7 centímetros de largo y la altura, que es la distancia 63 00:07:54,839 --> 00:08:08,660 perpendicular entre la base inferior y la base superior, es de 10 centímetros. También dibujamos 64 00:08:08,660 --> 00:08:14,800 el desarrollo plano aproximado de nuestro ortoedro. Las caras laterales son rectángulos de base 7 65 00:08:14,800 --> 00:08:23,480 centímetros, 5 centímetros, 7 centímetros y 5 centímetros y la altura es la altura del ortoedro 66 00:08:23,480 --> 00:08:32,200 que son 10 centímetros. Las bases son dos rectángulos de largo 7 centímetros y ancho 5 67 00:08:32,200 --> 00:08:47,080 centímetros. Vamos a calcular el área total como la suma del área lateral más dos veces el área 68 00:08:47,080 --> 00:09:00,419 de la base. El área lateral está constituido por estos cuatro rectángulos. Para calcular el área 69 00:09:00,419 --> 00:09:08,740 de todos estos rectángulos lo que vamos a hacer es sumar todas las bases, es decir, 7 más 5 más 7 70 00:09:08,740 --> 00:09:14,299 más 5, que fijaros que constituye el perímetro de la base, es decir, la suma de todos los lados de 71 00:09:14,299 --> 00:09:25,809 la base, multiplicado por la altura de estos rectángulos, que es la altura del ortoedro, 72 00:09:26,070 --> 00:09:32,730 es decir, los 10 centímetros. Realizando las operaciones obtenemos que el área lateral 73 00:09:32,730 --> 00:09:43,620 es de 240 centímetros cuadrados. Para calcular el área de una base, que es un rectángulo 74 00:09:43,620 --> 00:10:00,049 de dimensiones 7 por 5, multiplicamos 7 por 5 y nos da 35 centímetros cuadrados. Escribimos 75 00:10:00,049 --> 00:10:05,570 entonces que el área total es igual al área lateral que nos había dado 240 centímetros 76 00:10:05,570 --> 00:10:12,850 cuadrados más dos veces por el área de la base, porque hay dos bases, es decir, 2 por 77 00:10:12,850 --> 00:10:24,110 35 centímetros cuadrados. Realizando los cálculos tenemos 240 más 70 igual a 310 centímetros 78 00:10:24,110 --> 00:10:35,379 cuadrados. Finalizamos calculando el volumen del ortoedro con la fórmula área de la base por 79 00:10:35,379 --> 00:10:41,580 altura. El área de la base es 7 por 5 que es el área del rectángulo y la altura es 10 así que 80 00:10:41,580 --> 00:10:47,019 nos queda 35 por 10 igual a 350 centímetros cúbicos.