1 00:00:02,540 --> 00:00:11,080 Hola, ¿qué tal? Bienvenidos de nuevo a este curso de matemáticas de segundo de bachillerato. 2 00:00:11,539 --> 00:00:14,460 Vamos a hablar hoy sobre el teorema de Roche-Frobenius. 3 00:00:14,839 --> 00:00:18,640 El teorema de Roche-Frobenius es una manera sencillísima de discutir un sistema. 4 00:00:18,899 --> 00:00:26,940 Esto es, de mirar a ver si tiene o no tiene soluciones y si, en caso de tener soluciones, son infinitas o es una única solución. 5 00:00:27,859 --> 00:00:28,339 ¡Comenzamos! 6 00:00:28,339 --> 00:00:34,259 Primero, consideremos un sistema de ecuaciones formado por m ecuaciones y n incógnitas. 7 00:00:34,539 --> 00:00:40,520 Vamos a extraer de él la matriz de coeficientes, por un lado, la columna de términos independientes, 8 00:00:41,020 --> 00:00:48,979 la columna de incógnitas y la matriz ampliada, que consiste en las columnas de la matriz de coeficientes 9 00:00:48,979 --> 00:00:51,320 junto con la columna del término independiente. 10 00:00:51,320 --> 00:00:55,939 El sistema de ecuaciones puede escribirse por columnas de esa forma, 11 00:00:55,939 --> 00:01:05,939 en la que hemos separado las columnas de términos de la primera columna sacando factor común al x1, la segunda columna sacando factor común al x2, etc. 12 00:01:06,959 --> 00:01:19,159 ¿Por qué escribimos esto de esa forma? Bueno, pues porque vamos a ver que si suponemos que existe una solución, entonces esa columna de b puede escribirse como combinación lineal 13 00:01:19,159 --> 00:01:25,420 de las columnas de la matriz A. ¿Por qué? Pues porque x1, x2, xn van a ser los coeficientes 14 00:01:25,420 --> 00:01:30,280 de esa combinación lineal. Entonces, ¿eso qué significa? Pues que como B se puede escribir 15 00:01:30,280 --> 00:01:36,400 como combinación lineal de las anteriores columnas, el rango no aumenta al añadir la 16 00:01:36,400 --> 00:01:42,879 columna B. Por tanto, los rangos coinciden. Recordad que el rango es el máximo número 17 00:01:42,879 --> 00:01:48,760 de líneas linealmente independientes. Como B no es independiente respecto de las anteriores, 18 00:01:48,760 --> 00:01:54,219 el rango coincide. Vamos a ver recíprocamente qué ocurre si el rango de A y el rango de 19 00:01:54,219 --> 00:01:59,939 A barra coinciden. Bueno, pues por el mismo razonamiento, la columna B se puede escribir 20 00:01:59,939 --> 00:02:04,040 como combinación lineal de las columnas de la matriz A. Precisamente los coeficientes 21 00:02:04,040 --> 00:02:09,240 de esa combinación lineal es la solución del sistema de ecuaciones. ¿Qué hemos demostrado? 22 00:02:09,360 --> 00:02:13,020 Bueno, pues hemos demostrado el teorema de Rochefrobenius que dice que para que un sistema 23 00:02:13,020 --> 00:02:19,400 sea compatible, es necesario y suficiente que los rangos de la A y de la A barra coincidan. 24 00:02:19,599 --> 00:02:26,699 Bien, esto en resumen, ¿qué significa? Significa que un sistema de ecuaciones será compatible si el rango de A coincide con el de A barra 25 00:02:26,699 --> 00:02:31,759 y será incompatible si no, si el rango de A no coincide con el de A barra. 26 00:02:32,659 --> 00:02:35,620 Vamos a ver cómo se utiliza el teorema de Roche-Frobenius en un ejemplo. 27 00:02:35,960 --> 00:02:41,020 Vamos a considerar ese sistema de ecuaciones, un sistema de ecuaciones de cuatro ecuaciones con tres incógnitas. 28 00:02:41,680 --> 00:02:48,620 Vemos que si lo tuviésemos que resolver a mano sería bastante tedioso y nos podríamos perder, no sabríamos si es compatible o no. 29 00:02:48,979 --> 00:02:57,400 Vamos a verlo utilizando rangos. Para ello, cogemos las dos matrices, la matriz de coeficientes y la ampliada, y vamos a calcular los rangos. 30 00:02:57,939 --> 00:03:04,960 En primer lugar, para calcular el rango de la matriz A, pues partimos de un menor de orden 2, como es distinto de 0, pues el rango como mínimo será 2. 31 00:03:04,960 --> 00:03:08,300 las dos primeras filas o columnas son linealmente independientes. 32 00:03:08,699 --> 00:03:11,620 Orlamos, sacamos menores de orden 3 a partir de este. 33 00:03:11,939 --> 00:03:18,199 El primer menor que sacamos es nulo, así que no nos sirve para calcular o para demostrar al menos que el rango es 3, 34 00:03:18,599 --> 00:03:25,340 pero con el siguiente menor de orden 3 vemos que es distinto de 0 y por lo tanto el rango de la matriz A concluimos que es 3. 35 00:03:25,800 --> 00:03:26,979 Ya tenemos la mitad del ejercicio. 36 00:03:27,379 --> 00:03:31,719 Ahora, ¿qué queda? Pues queda calcular el rango de la matriz A. 37 00:03:31,719 --> 00:03:42,740 barra. Para ello, como es una matriz 4x4 y como sabemos que como mínimo el rango va a ser 3, porque el rango de la matriz A era 3, vamos a ver si puede ser 4. 38 00:03:42,879 --> 00:03:52,699 Para ello calculamos el determinante, que es el único menor de orden 4. Entonces, ese determinante, como es un determinante de orden 4, no se puede calcular tal cual. 39 00:03:52,840 --> 00:04:00,099 Vamos a tener que hacerlo haciendo ceros y desarrollando por los elementos de una fila o columna. Para ello, ¿qué es lo que hemos hecho ahí? 40 00:04:00,099 --> 00:04:07,139 Y como veis, pues es a la tercera fila restarle la segunda y a la cuarta fila restarle el doble de la segunda. 41 00:04:07,280 --> 00:04:11,560 Y así hemos obtenido una columna que tiene solo un 1 y el resto ceros. 42 00:04:12,080 --> 00:04:18,420 Desarrollamos por esa columna y eso a la postre lo que significa es que vamos a calcular un determinante de orden 3. 43 00:04:18,420 --> 00:04:29,040 Lo calculamos, vemos que vale 43, por lo tanto no es 0 y deducimos que el rango de la matriz ampliada es 4. 44 00:04:29,040 --> 00:04:39,279 no coincide con el rango de la matriz A y por tanto podemos demostrar, hemos demostrado de hecho, que el sistema de ecuaciones no tiene soluciones incompatibles. 45 00:04:40,000 --> 00:04:49,079 Bueno, vamos a pasar ahora a analizar el caso de los sistemas compatibles cuando son indeterminados y cuando son determinados en función del rango de la matriz de coeficientes 46 00:04:49,079 --> 00:04:50,920 y de la matriz ampliada. 47 00:04:51,579 --> 00:04:54,819 Analicemos el caso de los sistemas compatibles. 48 00:04:55,420 --> 00:04:59,180 Imaginemos que tenemos un sistema que tiene m ecuaciones y n incógnitas. 49 00:04:59,339 --> 00:05:04,759 Imaginemos que el rango de la matriz de coeficientes y el de la ampliada vale k. 50 00:05:05,639 --> 00:05:10,399 Imaginemos que ese k son las formadas por las k primeras filas, 51 00:05:10,740 --> 00:05:17,220 de manera que ahí tenemos un menor principal de orden k que no se anula, que no vale 0. 52 00:05:17,220 --> 00:05:35,660 Entonces eso significa que las K primeras ecuaciones son independientes y que significa también que las últimas M menos K ecuaciones nos podemos olvidar de ellas porque sobran en el sentido de que dependen de las anteriores y no aportan soluciones nuevas. 53 00:05:35,660 --> 00:05:37,740 Por lo tanto, las podemos eliminar. 54 00:05:38,279 --> 00:05:45,519 Bueno, pues tenemos ahora un sistema formado por k ecuaciones linealmente independientes y con n incógnitas. 55 00:05:45,699 --> 00:05:52,740 Si la k coincide con la n, eso da lugar a un sistema cuya matriz es cuadrada y de determinante no nulo. 56 00:05:52,819 --> 00:05:57,199 Es decir, es un sistema de Cramer, que por tanto podemos resolver utilizando la regla de Cramer 57 00:05:57,199 --> 00:06:02,000 y obtenemos un sistema que es compatible, determinado, con solución única. 58 00:06:02,000 --> 00:06:19,980 Si en cambio la k es menor que la n, tenemos que buscar un menor de orden máximo no nulo. Imaginemos que está formado por las k primeras columnas. Entonces las otras m menos k, las otras n menos k, las tenemos que despejar a la derecha. 59 00:06:19,980 --> 00:06:23,279 Entonces pasan con signo cambiado al lugar de los términos independientes. 60 00:06:23,939 --> 00:06:25,199 ¿Y eso qué significa? 61 00:06:25,339 --> 00:06:29,699 Bueno, pues ahora sí que tenemos una matriz cuadrada de orden máximo, 62 00:06:30,199 --> 00:06:33,920 es una matriz de dimensión k por k, y su determinante es no nulo, 63 00:06:33,920 --> 00:06:35,399 porque el rango de la matriz es k. 64 00:06:36,019 --> 00:06:38,379 Entonces, ahora sí tenemos un sistema de Cramer, 65 00:06:38,920 --> 00:06:43,319 pero ahora tenemos una serie de incógnitas n menos k, 66 00:06:43,519 --> 00:06:47,920 que son parámetros porque sus valores son libres, no tienen ninguna restricción. 67 00:06:48,500 --> 00:06:53,379 Entonces, lo que tenemos es un sistema compatible indeterminado con infinitas soluciones. 68 00:06:54,800 --> 00:07:00,500 Bueno, llegados a este punto, vamos a hacer una recapitulación, una conclusión, un resumen de todo lo visto en el vídeo. 69 00:07:01,019 --> 00:07:07,779 Si tenemos m ecuaciones y n incógnitas, podemos tener un sistema que sea compatible o puede ser incompatible. 70 00:07:08,160 --> 00:07:13,600 Si es compatible, puede ser indeterminado o determinado, es decir, con una solución única o con infinitas. 71 00:07:13,600 --> 00:07:18,100 Para que el sistema sea compatible, el rango de la matriz tiene que coincidir con el de la ampliada 72 00:07:18,100 --> 00:07:23,079 Y para que sea incompatible, el rango de A tiene que ser distinto del rango de la ampliada 73 00:07:23,079 --> 00:07:29,779 Para que el sistema sea compatible y determinado, los rangos deben coincidir con el número de incógnitas 74 00:07:29,779 --> 00:07:34,579 Mientras que para que el sistema sea compatible e indeterminado, estos rangos coinciden 75 00:07:34,579 --> 00:07:39,540 Pero su valor es menor del número de incógnitas 76 00:07:39,540 --> 00:07:41,680 Bueno, y esto ha sido todo por este vídeo 77 00:07:41,680 --> 00:07:49,019 En próximos vídeos vamos a analizar qué significa eso de que un sistema de ecuaciones tiene infinitas soluciones y cómo encontrar todas ellas. 78 00:07:49,500 --> 00:07:53,040 De momento lo dejamos aquí. Un saludo, espero que os haya gustado. ¡Hasta luego!