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00:00:12,339 --> 00:00:17,300
Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES

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00:00:17,300 --> 00:00:21,679
Arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares, y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases

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00:00:21,679 --> 00:00:33,250
de la unidad AR4 dedicada a las técnicas de conteo. En la videoclase de hoy estudiaremos

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00:00:33,250 --> 00:00:37,509
las combinaciones sin repetición y los números combinatorios y resolveremos el ejercicio

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00:00:37,509 --> 00:00:49,340
propuesto 8. En esta videoclase vamos a estudiar el siguiente

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00:00:49,340 --> 00:00:54,920
patrón regular que son las combinaciones sin repetición. Son similares en cierta medida

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00:00:54,920 --> 00:00:59,460
a las variaciones sin repetición que veíamos en la videoclase anterior. Al igual que en

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00:00:59,460 --> 00:01:04,579
las variaciones, disponemos de n elementos, de los cuales vamos a tomar un subconjunto

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00:01:04,579 --> 00:01:11,439
menor de m. En las variaciones contábamos de cuántas formas posibles podíamos elegir

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00:01:11,439 --> 00:01:17,120
esos m elementos teniendo en cuenta que el orden era importante. En el caso de las combinaciones

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00:01:17,120 --> 00:01:23,060
es lo mismo, vamos a tomar m elementos, pero ahora el orden no importa. Si en el ejemplo

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00:01:23,060 --> 00:01:30,900
anterior elegíamos de 15 estudiantes tres personas para que fueran delegado, subdelegado y encargado

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00:01:30,900 --> 00:01:37,900
de reciclaje, os decía que enero a lo mismo A como delegado, B como subdelegado y C como encargado

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00:01:37,900 --> 00:01:45,659
de reciclaje, A, C como delegado, B como subdelegado y A como encargado de reciclaje. En este caso, de

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00:01:45,659 --> 00:01:51,340
los 15 elementos seleccionamos, pongamos tres, A, B, C y el orden en el que los hayamos seleccionado

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00:01:51,340 --> 00:01:58,120
No importa, A, B, C, C, B, A, B, A, C son la misma combinación, puesto que no vamos a tener en cuenta el orden.

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00:01:59,239 --> 00:02:02,519
¿Cómo podemos calcular esas combinaciones sin repetición?

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00:02:02,819 --> 00:02:14,199
Bueno, en primer lugar, se denotan de la manera que veis aquí, C sub nm, combinaciones de n elementos, es el tamaño del conjunto inicial, tomado de mnm, m es el tamaño del subconjunto que tomo.

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00:02:14,939 --> 00:02:19,319
Bueno, pues lo que vamos a hacer es partir de las variaciones de n elementos tomados de mnm.

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00:02:19,319 --> 00:02:30,840
Aquí estamos tomando de los n elementos m, igual que en el caso de las combinaciones. La diferencia está en que aquí tenemos contado las distintas ordenaciones.

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00:02:31,479 --> 00:02:40,139
a, b, c, b, a, c, c, b, a cuentan o computan como variaciones distintas, cuando desde el punto de vista de las combinaciones son todas iguales.

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00:02:40,139 --> 00:02:50,000
¿Qué es lo que debo hacer? Pues eliminar de las variaciones de elementos tomados de m en m las distintas ordenaciones de esos m elementos que he extraído.

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00:02:50,479 --> 00:02:54,340
Voy a dividir entre las permutaciones de m elementos, que es este m factorial.

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00:02:55,300 --> 00:03:02,159
Si las variaciones de n elementos tomados de m en m se escribían como n factorial entre n menos m factorial,

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00:03:02,699 --> 00:03:07,020
aquí lo que tengo es esa misma expresión, habiendo añadido en el denominador m factorial.

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00:03:07,020 --> 00:03:13,439
esta expresión n factorial dividido entre m factorial y n menos m factorial las combinaciones

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00:03:13,439 --> 00:03:20,479
de elementos tomados de m en m son tan importantes que se representan de una forma especial entre

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00:03:20,479 --> 00:03:26,680
paréntesis arriba la n y abajo la m y no es numerador y denominador tened cuidado porque

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00:03:26,680 --> 00:03:33,879
esto no es una fracción esto se llama número combinatorio con base n y orden n y se lee n

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00:03:33,879 --> 00:03:41,449
sobre m. Es importante no poner la raya de fracción y es importante sí poner estos paréntesis. El

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00:03:41,449 --> 00:03:46,389
número combinatorio n sobre m, que se calcula con esta fórmula que vemos aquí, tiene una serie de

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00:03:46,389 --> 00:03:51,629
propiedades que en un momento dado pueden llegar a ser importantes. En primer lugar, n sobre 0 o bien

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00:03:51,629 --> 00:03:59,990
n sobre n son idénticamente igual a 1. n sobre 1 es igual a n sobre n menos 1 y es idénticamente

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00:03:59,990 --> 00:04:06,629
igual a n. Existe una relación de simetría entre los números combinatorios que se encuentran con

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00:04:06,629 --> 00:04:13,030
la misma base y en concreto n sobre m va a ser igual a n sobre n menos m con independencia de

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00:04:13,030 --> 00:04:19,050
cuánto valgan n y m. Hay una serie de propiedades generativas también que me permiten calcular los

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00:04:19,050 --> 00:04:25,769
números combinatorios en función de otros y por ejemplo n sobre m se puede calcular a partir de

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00:04:25,769 --> 00:04:34,189
dos números combinatorios con una base inferior, sería n-1 sobre m-1 más n-1 sobre m. Si

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00:04:34,189 --> 00:04:40,769
aplico reiteradamente esta propiedad, podría escribir n sobre m como una suma de números

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00:04:40,769 --> 00:04:50,430
combinatorios que tengan como orden m-1 y podría ser n-1 sobre m-1 más n-2 sobre m-1

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00:04:50,430 --> 00:04:54,889
y así sucesivamente hasta completar con m-1 sobre m-1.

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00:04:56,449 --> 00:04:59,069
Utilizando estas propiedades, utilizando las definiciones,

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00:04:59,670 --> 00:05:03,029
resulta que hay una forma muy rápida, muy gráfica,

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00:05:03,350 --> 00:05:07,430
de determinar los números combinatorios sin necesidad de usarlos factoriales.

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00:05:07,930 --> 00:05:12,870
Es utilizando lo que se denomina triángulo de Pascal o bien también triángulo de Tartaglia.

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00:05:13,790 --> 00:05:15,930
Vamos a formar un triángulo de la siguiente manera.

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00:05:16,250 --> 00:05:18,370
En la primera fila ponemos 0 sobre 0.

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00:05:18,970 --> 00:05:21,149
Tenemos como base 0, como orden 0.

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00:05:21,670 --> 00:05:28,730
En la siguiente fila, formando un triángulo con el anterior, vamos a colocar los números combinatorios que tienen como base no 0, sino 1.

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00:05:29,089 --> 00:05:30,550
1 sobre 0 y 1 sobre 1.

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00:05:31,110 --> 00:05:35,230
En la siguiente fila, los que tienen como base el número 2, también formando un triángulo.

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00:05:35,389 --> 00:05:37,410
2 sobre 0, 2 sobre 1, 2 sobre 2.

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00:05:38,009 --> 00:05:39,089
Y así sucesivamente.

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00:05:39,509 --> 00:05:47,870
Lo que tenemos es, en filas sucesivas, bases crecientes empezando por 0, 1, 2, 3, 4, hasta 5, como veis aquí.

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00:05:48,370 --> 00:05:52,949
Y lo que hago es poner en orden los órdenes crecientes.

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00:05:53,370 --> 00:05:58,990
Aquí tengo 0, 0 y 1, 0, 1 y 2, 0, 1, 2 y 3, y así sucesivamente.

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00:06:00,290 --> 00:06:04,949
¿Cómo puedo formar el triángulo de Pascal con los valores de estos números combinatorios?

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00:06:05,310 --> 00:06:06,389
Pues de la siguiente manera.

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00:06:07,110 --> 00:06:11,089
0 sobre 0 es 1, porque la base y el orden coinciden.

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00:06:11,470 --> 00:06:15,910
1 sobre 0 y 1 sobre 1 también son igual a 1, es una de las probabilidades que hemos visto antes.

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00:06:16,449 --> 00:06:23,389
En general, toda esta diagonal va a estar formada por unos, puesto que lo que tengo es la base sobre cero,

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00:06:23,529 --> 00:06:25,850
y eso veíamos que como propiedad era igual a uno.

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00:06:26,509 --> 00:06:32,310
Al igual, esta otra diagonal también está formada por unos, porque lo que tengo es la base del orden con el mismo número,

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00:06:32,430 --> 00:06:35,129
y eso veíamos que como propiedad era igual a uno.

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00:06:35,949 --> 00:06:39,589
Este elemento que tengo aquí, 2 sobre 1, es 2.

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00:06:39,589 --> 00:06:46,529
Y lo puedo determinar de dos maneras, con los factoriales o aplicando esa propiedad generativa que habíamos visto.

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00:06:47,149 --> 00:06:52,810
Yo puedo expresar cualquier número combinatorio como la suma de dos números combinatorios con la base menor,

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00:06:53,170 --> 00:06:55,490
que son los que se encuentran en estas dos diagonales.

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00:06:55,810 --> 00:06:57,910
Y este 2 es este 1 más este 1.

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00:06:58,889 --> 00:07:01,910
Aquí tengo un 3, es la suma de este 1 y este 2.

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00:07:02,490 --> 00:07:05,089
Y aquí tengo este 3, es la suma de este 2 y este 1.

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00:07:05,769 --> 00:07:08,269
Aquí tengo un 4, es la suma de este 1 y este 3.

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00:07:08,990 --> 00:07:15,149
Este 6 es la suma de estos dos 3, y este 4 es la suma de este 3 y este 1, y así sucesivamente.

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00:07:15,850 --> 00:07:25,709
En cuanto a la propiedad de simetría que os comentaba antes, si os fijáis y leemos los números combinatorios en una fila de izquierda a derecha o de derecha a izquierda, me encuentro con lo mismo.

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00:07:26,370 --> 00:07:32,470
Este 1 es igual a este 1, este 5 es igual a este 5, este 10 es igual a este 10, y así sucesivamente.

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00:07:32,470 --> 00:07:50,430
Como ejemplo, supongamos que queremos hacer zumos de frutas y tenemos en casa naranjas, limones, kiwis, fresas y pomelos. Tenemos estas cinco frutas distintas. Queremos hacer un zumo con tres frutas y la pregunta es ¿cuántos zumos podríamos formar?

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00:07:50,430 --> 00:08:18,329
La idea es que tengo que seleccionar tres de esas frutas y el orden no importa porque cuando vaya a hacer el zumo de naranjas, limones y kiwis es lo mismo que si hago limones, kiwis y naranjas. Haré los tres zumos y los mezclaré y una vez hecha la mezcla el orden en el que los he vertido no importa. Así que tengo cinco elementos de los que seleccionar tres sin importar el orden. Lo que tengo que calcular son las combinaciones de cinco elementos tomados de tres en tres.

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00:08:19,129 --> 00:08:30,029
Esos son 5 sobre 3, que puedo calcular utilizando factoriales como 5 factorial dividido entre 3 factorial y 5 menos 3 factorial, que es 2 factorial.

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00:08:30,850 --> 00:08:40,990
Sería 5 factorial 5 por 4 por 3 por 2 y por 1, 3 factorial 3 por 2 por 1, 2 factorial 2 por 1, y si hago las operaciones lo que me queda es 10.

80
00:08:41,950 --> 00:08:46,129
Este 10, por cierto, lo puede haber determinado leyendo en el triángulo de Pascal.

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00:08:46,129 --> 00:08:54,570
Yo puedo construir hasta aquí y puesto que quiero buscar cuánto es 5 sobre 3, que es este elemento de aquí, sería este 10 que tengo aquí.

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00:08:55,090 --> 00:09:04,269
De una u otra manera, con el triángulo de Pascal o bien con las fórmulas de los factoriales, resulta que con 5 frutas y seleccionando 3 puedo formar un total de 10 zumos.

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00:09:07,299 --> 00:09:12,840
En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios.

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00:09:13,559 --> 00:09:17,700
Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web.

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00:09:18,539 --> 00:09:23,259
No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual.

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00:09:23,820 --> 00:09:25,220
Un saludo y hasta pronto.