1
00:00:01,649 --> 00:00:04,370
En este vídeo vamos a hablar de los números decimales.

2
00:00:05,490 --> 00:00:09,910
Un número decimal expresa una cantidad comprendida entre dos números enteros.

3
00:00:10,410 --> 00:00:16,070
Diferenciamos dos partes, a la izquierda de la coma la parte entera y a la derecha de la coma la parte decimal.

4
00:00:16,710 --> 00:00:23,929
Para leer un número decimal hacemos lo siguiente, leemos la parte entera, 25, leemos la coma,

5
00:00:23,929 --> 00:00:27,850
Leemos la parte decimal, 345

6
00:00:27,850 --> 00:00:33,829
Terminamos diciendo el nombre de la posición de la última cifra decimal, milésimas

7
00:00:33,829 --> 00:00:38,130
25,345 milésimas

8
00:00:38,130 --> 00:00:42,829
Vamos a recordar el nombre de las posiciones de los decimales

9
00:00:42,829 --> 00:00:49,539
Todas las posiciones que ocupan las cifras de un número tienen nombre

10
00:00:49,539 --> 00:00:59,140
Veamos, en esta tabla podemos observar como las cifras que ocupan lugares a la izquierda de la coma

11
00:00:59,140 --> 00:01:03,920
se les nombra como unidad, decena, centena, unidad de millar

12
00:01:03,920 --> 00:01:08,540
mientras que las posiciones a la derecha de la coma

13
00:01:08,540 --> 00:01:12,620
que son las posiciones que ocupan los números decimales

14
00:01:12,620 --> 00:01:21,920
se llamarán décima, centésima, milésima, diezmilésima, cienmilésima, millonésima y así continuamos.

15
00:01:23,180 --> 00:01:27,840
De esta manera, este número que aquí tenemos lo leeremos de la siguiente forma.

16
00:01:30,200 --> 00:01:34,980
478,2309 diezmilésimas.

17
00:01:36,939 --> 00:01:43,040
Clasificamos los números decimales dependiendo del número de decimales que tienen

18
00:01:43,040 --> 00:01:50,120
Y así obtenemos los decimales exactos, aquellos que tienen un número limitado de cifras decimales,

19
00:01:50,219 --> 00:01:58,760
por ejemplo, menos 56,7845 diezmilésimas, decimales periódicos,

20
00:01:59,000 --> 00:02:02,099
tienen infinitas cifras decimales que se repiten periódicamente.

21
00:02:02,659 --> 00:02:11,740
Distinguimos dos tipos, los periódicos puros, observad que vienen escritos con tres puntos suspensivos al final

22
00:02:11,740 --> 00:02:26,099
para indicar que el número continúa hasta el infinito, observar que tenemos la parte entera y en la parte decimal hay un grupo de cifras que se repiten.

23
00:02:26,400 --> 00:02:33,639
En este caso el bloque de cifras que se repite es 57. Esta es la manera extendida de escribirlo,

24
00:02:33,639 --> 00:02:38,639
pero se puede escribir de manera abreviada utilizando la parte entera, la coma,

25
00:02:39,020 --> 00:02:45,919
y ese bloque de cifras que se repite, que es lo que se conoce como periodo, con un gorrito encima.

26
00:02:46,780 --> 00:02:48,780
También tenemos los periódicos mixtos.

27
00:02:49,939 --> 00:02:52,000
La apariencia es parecida pero no es igual.

28
00:02:52,280 --> 00:02:55,419
Mirad, tiene los tres puntos suspensivos, los veis ahí en rojo.

29
00:02:56,300 --> 00:03:04,659
Tenemos la parte entera, pero hay unas cifras entre la coma y el periodo que no se repiten,

30
00:03:04,740 --> 00:03:07,139
no pertenecen al bloque de cifras que se repiten.

31
00:03:07,699 --> 00:03:09,159
Está antes del periodo.

32
00:03:09,400 --> 00:03:13,259
Esto se puede escribir de manera abreviada como la parte entera, 27 coma.

33
00:03:14,099 --> 00:03:22,280
Está ese conjunto de cifras que está antes del periodo, 45, y el periodo, 91, bajo el gorrito.

34
00:03:23,099 --> 00:03:27,000
Fijaos que en este número se ven las partes.

35
00:03:27,300 --> 00:03:32,300
Estas cifras que están antes del periodo se llaman exactamente así, anteperiodo.

36
00:03:32,300 --> 00:03:36,879
Y las cifras, ese bloque que se repite, que se conoce como periodo.

37
00:03:37,460 --> 00:03:41,539
¿Hay más números decimales? Sí, tenemos los irracionales.

38
00:03:41,979 --> 00:03:46,719
Estos se caracterizan porque tienen infinitas cifras decimales no periodas.

39
00:03:47,639 --> 00:03:51,139
Algunas veces, como en este caso, en este ejemplo que tenemos,

40
00:03:52,360 --> 00:03:54,719
vemos una regularidad en las cifras decimales.

41
00:03:55,840 --> 00:03:58,199
No es un periodo, pero sigue en un patrón.

42
00:03:58,740 --> 00:04:01,280
Yo puedo saber cómo sigue este número.

43
00:04:01,659 --> 00:04:04,439
Si observáis, en la parte decimal observa,

44
00:04:04,520 --> 00:04:11,419
vemos 1, un 0, 1, 1, dos 0, 1, 1, tres 0, 1, 1, cuatro 0.

45
00:04:11,419 --> 00:04:16,319
Así que detrás del último 1, preveemos que va a haber cinco ceros.

46
00:04:16,720 --> 00:04:22,180
De esta manera, construyendo así el número, sabemos que ese número no se va a acabar nunca.

47
00:04:22,620 --> 00:04:27,139
Sabemos que tiene infinitas cifras decimales, por tanto, de las que además no son periódicas.

48
00:04:27,680 --> 00:04:29,620
Siguen un patrón, pero no son las mismas.

49
00:04:30,199 --> 00:04:33,500
No siempre son así, no siempre son tan previsibles.

50
00:04:34,079 --> 00:04:37,680
Ahí está pi, que es un número que conocemos desde hace ya varios años,

51
00:04:37,680 --> 00:04:42,800
que nosotros siempre trabajamos con una aproximación de pi con 3,14,

52
00:04:42,800 --> 00:04:48,899
pero que sabemos que este número tiene infinitas cifras decimales que nunca se acaban y que no se repiten.

53
00:04:49,620 --> 00:04:54,100
Eso nos pasa también con las raíces de los números primos, las raíces cuadradas,

54
00:04:54,240 --> 00:05:00,139
y con cualquier número que contenga una raíz cuadrada, como en este caso el menos raíz de 2.

55
00:05:01,279 --> 00:05:05,540
También es un número que tiene infinitas cifras decimales no periódicas.

56
00:05:06,980 --> 00:05:11,839
Todos los números decimales se van a poder representar, ¿dónde? En la recta real.

57
00:05:12,660 --> 00:05:17,459
Sabíamos que podíamos representar los naturales, sabíamos que podíamos representar los enteros.

58
00:05:17,459 --> 00:05:23,620
Bueno, pues entre dos enteros hay un montón de huecos que se completan con todos estos decimales.

59
00:05:24,060 --> 00:05:32,560
Observad que además, aunque yo tenga dos decimales seguidos, como en este caso que tengo el 3,7 décimas y el 3,8 décimas,

60
00:05:33,060 --> 00:05:41,420
que son dos números cuyas décimas son consecutivas, siempre puedo coger este segmento de la recta

61
00:05:41,420 --> 00:05:47,000
hacerle un zoom, ampliarlo y dentro que obtengo más números decimales.

62
00:05:47,600 --> 00:05:52,139
Observad ahora cómo hemos marcado dentro de estas dos décimas consecutivas

63
00:05:52,139 --> 00:05:54,759
dos centésimas consecutivas.

64
00:05:55,040 --> 00:05:59,600
Tengo el 3,73 centésimas y el 3,74 centésimas.

65
00:06:00,139 --> 00:06:02,800
Siempre se puede volver a hacer este zoom

66
00:06:02,800 --> 00:06:07,920
de manera que podemos afirmar que entre dos decimales siempre puedo encontrar otro decimal.

67
00:06:07,920 --> 00:06:12,439
¿Cómo? Basta con que observe en este segmento y haga un zoom.

68
00:06:12,920 --> 00:06:20,300
Esto a veces en nuestros dibujos no podemos hacerlo porque tenemos un lápiz y esto es difícil con nuestras herramientas.

69
00:06:20,740 --> 00:06:24,980
Pero mentalmente lo visualizamos claramente, que siempre puedo hacer un zoom.

70
00:06:25,199 --> 00:06:29,300
¿Paro en algún momento? No. Puedo hacerlo hasta el infinito.

71
00:06:30,620 --> 00:06:32,060
El orden en los decimales.

72
00:06:32,060 --> 00:06:38,019
Sí, efectivamente, si me dan dos números decimales siempre puedo compararlos y decidir quién es el mayor.

73
00:06:38,180 --> 00:06:43,399
Observad esta colección de números, todos muy parecidos, todos decimales, todos muy parecidos.

74
00:06:44,240 --> 00:06:54,519
Lo mejor para poder compararlos es que los escriba uno encima de otro poniendo todas las comas unas encima de otras,

75
00:06:54,579 --> 00:06:58,000
de tal manera que las posiciones de las cifras coincidan.

76
00:06:58,000 --> 00:07:02,819
Todas las unidades estén con todas las unidades, todas las décimas con todas las décimas

77
00:07:02,819 --> 00:07:07,000
¿Cómo empezamos? Vamos a empezar comparando la parte entera, toda ella

78
00:07:07,000 --> 00:07:11,500
Comparamos la parte entera, vemos que todas igual, hay empate

79
00:07:11,500 --> 00:07:16,000
¿Cómo desempatamos? Mirando la posición siguiente, mirando las décimas

80
00:07:16,000 --> 00:07:19,199
En las décimas vemos que hay dos valores, el 2 y el 3

81
00:07:19,199 --> 00:07:25,980
El más pequeño es el 2, así que el número al que pertenezca el 2 ha desempatado y ese es el más pequeño

82
00:07:25,980 --> 00:07:29,779
Lo colocamos a la izquierda, perdón, a la derecha.

83
00:07:30,459 --> 00:07:32,819
Vamos a ver las centésimas.

84
00:07:33,360 --> 00:07:35,860
En las centésimas todos son 5, hay empate.

85
00:07:36,399 --> 00:07:44,019
Desempatamos con las milésimas, colocamos ese 0 porque no hay nada, pero cuando no hay nada podemos poner un 0.

86
00:07:44,620 --> 00:07:51,660
Los ceros a la derecha del número detrás de la coma no valen para nada, no aportan nada.

87
00:07:51,819 --> 00:07:54,040
Se pueden poner o no poner, es lo mismo.

88
00:07:54,040 --> 00:07:59,959
vale, en las milésimas vemos que el 0 es más pequeño que el 3, más pequeño que el 4

89
00:07:59,959 --> 00:08:06,540
así que el 72,35 centésimas será el más pequeño

90
00:08:06,540 --> 00:08:15,180
y el 72,354 milésimas será el mayor de todos

91
00:08:15,180 --> 00:08:20,199
le ponemos lo más posible a la izquierda

92
00:08:20,699 --> 00:08:25,000
Vamos a ver qué pasa en las diez milésimas.

93
00:08:25,220 --> 00:08:32,659
Completamos con ceros donde no haya número y el cero es más pequeño que el cinco, así que ya los tenemos ordenados.

94
00:08:33,200 --> 00:08:38,899
Ya tenemos todos colocatitos para ordenar números, sean enteros, naturales, decimales.

95
00:08:39,679 --> 00:08:45,120
Siempre utilizamos los operadores de orden, estos símbolos que me indican quién es mayor que quién.

96
00:08:45,120 --> 00:08:47,240
Hay que poner cuidado en qué me piden.

97
00:08:47,240 --> 00:08:54,139
Si me piden colocarlos de menor a mayor o de mayor a menor, no es lo mismo y hay que tener cuidado en los ejercicios.

98
00:08:56,539 --> 00:09:00,500
Ya hemos dicho que trabajamos siempre con aproximaciones, lo hemos dicho cuando hemos nombrado aquí.

99
00:09:00,980 --> 00:09:05,460
Así que vamos a ver cómo aproximamos decimales.

100
00:09:06,340 --> 00:09:09,720
Para aproximar números decimales necesitamos tres cosas.

101
00:09:10,019 --> 00:09:16,740
El número que queremos aproximar, el orden de aproximación, que es esto, esto es la posición a la que vamos a aproximar,

102
00:09:16,740 --> 00:09:21,799
es decir, aproximar a las décimas, a las centésimas, a las centenas, a las unidades.

103
00:09:22,559 --> 00:09:26,360
Y lo último que vamos a necesitar es el método por el que vamos a aproximar.

104
00:09:27,000 --> 00:09:29,980
Vamos a ver dos métodos, el redondeo o el truncamiento.

105
00:09:30,539 --> 00:09:36,440
Aunque si no nos dicen nada, si nos dicen que aproximemos sin decir nada, usamos el redondeo, es el más habitual.

106
00:09:38,019 --> 00:09:39,980
Vamos a explicar el método del truncamiento.

107
00:09:39,980 --> 00:09:49,240
Me dicen trunca 234,662.834 millonésimas a las milésimas.

108
00:09:49,659 --> 00:09:55,429
Bien, nos fijamos en el número que vamos a aproximar.

109
00:09:56,450 --> 00:09:58,509
Vamos a ver cuál es el orden de aproximación.

110
00:09:58,730 --> 00:10:02,409
Las milésimas, lo marcamos en el número, lo veis ahí en azul.

111
00:10:03,070 --> 00:10:09,049
El cígito que está colocado en la posición de las milésimas es S2 azul.

112
00:10:09,049 --> 00:10:15,049
Bien, el método de aproximación ya nos lo han dicho en el enunciado, truncamiento.

113
00:10:15,669 --> 00:10:21,009
¿Qué vamos a hacer? Vamos a hacer ceros las cifras siguientes a la milésima.

114
00:10:22,009 --> 00:10:31,529
Ponemos el número igual hasta la milésima pero a partir de ahí el 8 se convierte en un 0, el 3 se convierte en un 0 y el 4 se convierte en un 0.

115
00:10:31,529 --> 00:10:34,750
Es más, los tachamos, no los vamos a poner.

116
00:10:35,590 --> 00:10:42,590
Así que la aproximación va a ser 234,662 milésimas.

117
00:10:43,509 --> 00:10:44,570
Ahí lo tenemos.

118
00:10:44,990 --> 00:10:50,269
Siempre que hacemos ceros a partir de una cifra, decimos que estamos truncando un número.

119
00:10:50,669 --> 00:10:50,950
¿De acuerdo?

120
00:10:51,769 --> 00:10:54,549
Eso es truncar.

121
00:10:55,750 --> 00:11:00,350
Vamos a ver ahora el mismo ejercicio, pero lo vamos a hacer por el método del remontaje.

122
00:11:01,529 --> 00:11:06,049
Así que, ¿cuál es la cifra que ocupa el lugar de las milésimas?

123
00:11:06,669 --> 00:11:08,009
Efectivamente, es el 2.

124
00:11:09,490 --> 00:11:15,870
Nos vamos a fijar, ya lo hemos marcado, la cifra siguiente, la que ocupa el lugar de las milésimas, es decir, el 8.

125
00:11:16,970 --> 00:11:18,409
La hemos pintado en rojo.

126
00:11:19,389 --> 00:11:29,230
Vamos a comparar ese 8, esa cifra siguiente al orden de aproximación, con el 5.

127
00:11:29,830 --> 00:11:38,009
Si esta cifra es menor que 5, entonces la que está en el orden de aproximación, la que está en las milésimas, se deja constar.

128
00:11:38,429 --> 00:11:45,730
Si esta cifra es mayor que 5, entonces la cifra que ocupa el orden de aproximación se le suma a 1.

129
00:11:45,730 --> 00:11:58,730
En este caso, como 8 es mayor que 5, entonces la aproximación por redondeo será 234,663 milésimas.

130
00:11:59,529 --> 00:12:02,110
Al 2 que ocupa las milésimas se le suma 1.

131
00:12:03,850 --> 00:12:08,350
Bien, me dicen, ¿por qué tengo que comparar con 5?

132
00:12:09,269 --> 00:12:10,889
¿Por qué comparamos con ese 5?

133
00:12:10,889 --> 00:12:14,970
Vale, vamos a ver, me dicen en el mismo ejercicio.

134
00:12:15,730 --> 00:12:22,269
Que redondee el número, que lo aproxime a las milésimas y que lo haga por redondo.

135
00:12:22,750 --> 00:12:26,190
Bien, este número va a estar entre dos milésimas seguidas.

136
00:12:26,669 --> 00:12:27,669
Lo vemos en la recta.

137
00:12:28,230 --> 00:12:36,870
Va a estar entre la milésima, 234,662 milésimas y el 234,663 milésimas.

138
00:12:37,730 --> 00:12:41,149
Lo que hemos hecho ha sido separar ese espacio en diez partes iguales.

139
00:12:41,149 --> 00:12:44,629
Así que cada uno de esos puntos es una diez milésima.

140
00:12:44,909 --> 00:12:45,649
¿Quién está en el centro?

141
00:12:46,590 --> 00:12:54,929
Efectivamente, en el centro está doscientos treinta y cuatro más seiscientos, seis mil seiscientos veinticinco, diez milésimas.

142
00:12:55,289 --> 00:12:55,690
¿Qué hacemos?

143
00:12:57,830 --> 00:13:01,610
Queremos saber si nuestro número está en la primera mitad o en la segunda mitad.

144
00:13:02,049 --> 00:13:02,990
¿Cómo lo vemos?

145
00:13:02,990 --> 00:13:10,690
Pues comparando la diez milésima de nuestro número con la diez milésima que se encuentra en el centro, con ese cinco.

146
00:13:11,090 --> 00:13:14,110
Y obviamente nuestro número va a estar en la segunda mitad.

147
00:13:14,710 --> 00:13:18,649
Nuestro número va a estar en todo ese espacio.

148
00:13:20,029 --> 00:13:25,309
No hace falta que haga el dibujo, basta con que compare la cifra del siguiente orden,

149
00:13:25,889 --> 00:13:29,809
al de aproximación, con el 5.

150
00:13:30,429 --> 00:13:35,629
Y ya está, ya sé en cuál de las dos mitades está y ya sé de quién está más cerca.

151
00:13:37,629 --> 00:13:42,190
Realmente nuestro número estaría directamente en este.

152
00:13:42,190 --> 00:13:45,690
Vamos a ver los tipos de aproximaciones.

153
00:13:45,690 --> 00:13:51,450
Vamos a ver cuándo una aproximación es por exceso y cuándo una aproximación es por defecto.

154
00:13:51,730 --> 00:14:00,250
Vamos a aprovechar todo lo que hemos visto hasta ahora porque tenemos un número aproximado por dos métodos diferentes y nos ha dado dos resultados distintos.

155
00:14:00,789 --> 00:14:09,370
Cuando este número lo aproximábamos por truncamiento nos daba esta aproximación y cuando lo aproximábamos por redondeo nos daba esta otra aproximación.

156
00:14:09,370 --> 00:14:25,309
Si comparamos el valor real y el valor aproximado, tenemos que en la primera aproximación mi número, el valor real, es mayor que el valor aproximado.

157
00:14:26,110 --> 00:14:30,129
O sea que el valor aproximado es más pequeño que el valor real.

158
00:14:30,590 --> 00:14:35,190
Así que la aproximación va a ser por defecto, porque es menor.

159
00:14:35,809 --> 00:14:41,210
Sin embargo, la otra aproximación es más grande que el valor real.

160
00:14:41,850 --> 00:14:46,149
Así que el valor aproximado es mayor, la aproximación será por exceso.

161
00:14:46,830 --> 00:14:47,169
¿De acuerdo?

162
00:14:47,769 --> 00:14:55,750
Comparando la aproximación con el valor real, va a pasar que esta aproximación es o más grande o más pequeña.

163
00:14:55,850 --> 00:15:01,230
Cuando es más grande la aproximación es por exceso, cuando es más pequeña la aproximación es por perfecto.

164
00:15:01,950 --> 00:15:03,669
Cometemos un error al aproximar.

165
00:15:03,669 --> 00:15:13,389
¿Siempre cometemos un error? Siempre. Vamos a intentar controlar ese error. Sabiendo que se comete, vamos a cuantificarlo.

166
00:15:13,850 --> 00:15:20,490
Para ello, vamos a llamar error absoluto a la distancia que hay entre el valor real y el valor aproximado.

167
00:15:21,009 --> 00:15:31,809
El valor real ya sabemos que es este número y el valor aproximado vamos a coger la aproximación que hemos obtenido por redondeo, que es una aproximación por exceso.

168
00:15:32,629 --> 00:15:34,850
Queremos calcular la distancia entre ambos.

169
00:15:35,009 --> 00:15:36,149
Para ello hacemos una resta.

170
00:15:37,269 --> 00:15:40,350
Vamos a restar al valor real el valor aproximado.

171
00:15:41,210 --> 00:15:44,029
Pero la distancia siempre tiene que ser un número positivo.

172
00:15:44,210 --> 00:15:49,490
Para asegurarnos de que ese número salga positivo, vamos a usar el valor absoluto.

173
00:15:49,490 --> 00:15:50,470
Y ya lo tenemos.

174
00:15:50,929 --> 00:16:00,309
Definimos el error absoluto como el valor absoluto de la diferencia entre el valor real y el valor aproximado.

175
00:16:00,970 --> 00:16:03,830
Esa es la definición, eso es lo que vamos a calcular.

176
00:16:04,809 --> 00:16:09,490
Tenemos valor real, el que nos han dado, valor aproximado, el que hemos calculado.

177
00:16:09,889 --> 00:16:11,350
Vamos a realizar la resta.

178
00:16:11,509 --> 00:16:21,649
Hacemos esta resta y nos queda que el error absoluto es el valor absoluto de menos 166 millonésimas.

179
00:16:22,350 --> 00:16:30,190
Quitamos ese signo negativo porque aplicamos el valor absoluto y tenemos que el error que hemos cometido es de 166 millonésimas.

180
00:16:30,309 --> 00:16:31,090
Es bastante pequeño.

181
00:16:32,509 --> 00:16:34,669
Bueno, pues hasta aquí el tema.