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00:00:00,000 --> 00:00:07,000
Vamos a ver un vídeo más dentro de esta colección de vídeos sobre progresiones aritméticas.

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00:00:07,000 --> 00:00:15,000
En este caso se trata de ilustrar, de explicar, la famosa anécdota que nos relaciona a las progresiones aritméticas con Gauss.

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00:00:15,000 --> 00:00:26,000
Gauss, nacido en el año 1777 y muerto en el año 1855, está considerado como el príncipe de las matemáticas

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00:00:26,000 --> 00:00:32,000
y forma, junto con Newton y Arquímedes, el trío de matemáticos más relevante de la historia.

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00:00:32,000 --> 00:00:40,000
Tenemos aquí un retrato de Gauss, ya mayor, y lo que vamos ahora a explicar es una anécdota bastante conocida

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00:00:40,000 --> 00:00:46,000
dentro de lo que pueden ser conocidas las anécdotas sobre personajes relacionadas con las matemáticas.

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00:00:47,000 --> 00:00:57,000
Son conocidas bastantes anécdotas relativas a Gauss, ya que era un niño prodigio.

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00:00:57,000 --> 00:01:04,000
Esta anécdota refiere cómo en una clase de unos 50 niños, de alrededor de 10 años de edad,

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00:01:04,000 --> 00:01:12,000
el profesor que estaba con ellos quería un rato de tranquilidad y se les ocurrió proponerles una actividad

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00:01:12,000 --> 00:01:17,000
que pensó que iba a llevarles bastante tiempo, de manera que podrían descansar un rato.

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00:01:17,000 --> 00:01:25,000
Este problema, esta actividad, consistía en que sumaran los 100 primeros números naturales.

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00:01:25,000 --> 00:01:31,000
El profesor les dijo, además, que conforme fueran terminando, dejaran el pizarrín,

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00:01:31,000 --> 00:01:38,000
con el que trabajaban en esta época los niños, que dejaran el pizarrín encima de su mesa,

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00:01:38,000 --> 00:01:41,000
que luego lo corregiría, ¿verdad?

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00:01:41,000 --> 00:01:45,000
Gauss resolvió el problema extraordinariamente rápido, en muy poco tiempo.

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00:01:45,000 --> 00:01:49,000
Tenía la solución en su pizarrín y lo llevó al profesor.

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00:01:49,000 --> 00:01:54,000
Tan rápido fue que el profesor pensó que estaría mal y ni siquiera lo miró.

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00:01:54,000 --> 00:01:57,000
Ni siquiera miró la pizarra. La dejó allí encima de la mesa.

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00:01:57,000 --> 00:02:00,000
Y cuando ya después de mucho tiempo terminaron los demás,

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00:02:00,000 --> 00:02:07,000
comprobó el profesor que el resultado de Gauss era el único correcto.

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00:02:07,000 --> 00:02:11,000
¿Cómo lo hizo? Pues vamos a explicarlo.

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00:02:11,000 --> 00:02:17,000
Bueno, lo que tenía que sumar Gauss, ¿qué era?

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00:02:17,000 --> 00:02:19,000
Pues lo que tenía que sumar era esto.

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00:02:19,000 --> 00:02:23,000
Esa suma que tenemos ahí, con puntos suspensivos para no escribir todos los números.

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00:02:23,000 --> 00:02:26,000
Tenía que sumar todos los números del 1 al 100.

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00:02:26,000 --> 00:02:28,000
1 más 2 más 3 más 4 más 5 más 6 más 7.

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00:02:28,000 --> 00:02:33,000
Hacer esa suma, sumarlo, todos esos números y calcular lo que le daba.

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00:02:33,000 --> 00:02:39,000
Bueno, una manera de hacer esta suma, claro, sin hacer la suma directamente de 1 a 1,

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00:02:39,000 --> 00:02:43,000
término a término, ¿cuál es?

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00:02:43,000 --> 00:02:48,000
Bien, si nos fijamos resulta que el primer término de esta progresión aritmética,

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00:02:48,000 --> 00:02:54,000
puesto que esos 100 números pueden interpretarse, pueden verse como una progresión aritmética

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00:02:54,000 --> 00:02:58,000
de diferencia 1, que empieza en el número 1 y termina en el 100,

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00:02:58,000 --> 00:03:03,000
resulta que si sumamos el primero de los términos de la progresión y el último, el 1 con el 100,

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00:03:03,000 --> 00:03:05,000
pues nos da 101.

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00:03:05,000 --> 00:03:09,000
Si sumamos el 2 con el 99 nos da también 101.

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00:03:09,000 --> 00:03:13,000
Si sumamos el 3 con el 98 nos da también 101.

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00:03:13,000 --> 00:03:16,000
Y así, 4 con 97, 101, etc.

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00:03:16,000 --> 00:03:21,000
Por ejemplo, ya si llegamos a la parte central, 49 más 52 nos da 101

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00:03:21,000 --> 00:03:23,000
y 50 más 51 nos da 101.

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00:03:23,000 --> 00:03:27,000
Bueno, ¿qué tenemos entonces que hacer?

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00:03:27,000 --> 00:03:31,000
Pues resulta que tendríamos que sumar, en vez de sumar 1 a 1,

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00:03:31,000 --> 00:03:35,000
resulta que nos damos cuenta de que lo que tenemos que hacer es sumar 101,

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00:03:35,000 --> 00:03:41,000
101, un total de cuántas veces tendríamos que sumar 101.

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00:03:41,000 --> 00:03:46,000
Pensamos un poquito y resulta que la cantidad de veces que tenemos que sumar 101,

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00:03:46,000 --> 00:03:50,000
teniendo en cuenta que hemos cogido por parejas y había 100,

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00:03:50,000 --> 00:03:53,000
pues sería 50 veces.

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00:03:53,000 --> 00:03:58,000
De manera que entonces esa suma lo que debe dar es 50 veces 101,

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00:03:58,000 --> 00:04:04,000
o 101 por 50, una multiplicación muy sencilla, que da como resultado 5050.

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00:04:04,000 --> 00:04:06,000
Ese sería el resultado de esa suma.

50
00:04:06,000 --> 00:04:11,000
Y hay que darse cuenta que hemos hecho la suma sin tener que sumar término a término,

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00:04:11,000 --> 00:04:13,000
número a número.

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00:04:13,000 --> 00:04:15,000
Otra manera de presentar esta misma idea,

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00:04:15,000 --> 00:04:18,000
que suele ser la más corriente que hay en los libros de texto,

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00:04:18,000 --> 00:04:23,000
es la de que nos damos cuenta que si llamamos S a la suma de los números del 1 al 100,

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00:04:23,000 --> 00:04:27,000
colocados empezando por el 1, el más pequeño, terminando por el 100,

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00:04:27,000 --> 00:04:33,000
resulta que la suma sería la misma si empezamos a sumar desde el 100 hasta el 1.

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00:04:33,000 --> 00:04:40,000
Si hacemos aquí una suma de estas dos sumas, valga la redundancia,

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00:04:41,000 --> 00:04:49,000
resulta que tendríamos que 2S es igual a lo que nos quedaría en este lado,

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00:04:49,000 --> 00:04:56,000
que sería 101, más 101, más 101, más 101, más 101, más 101, etc.

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00:04:56,000 --> 00:04:59,000
¿Y cuántas veces hay aquí 101?

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00:04:59,000 --> 00:05:03,000
Hay que tener en cuenta que aquí está 101 100 veces,

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00:05:03,000 --> 00:05:08,000
porque aquí sí hemos sumado 101 100 veces, una por cada sumando.

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00:05:08,000 --> 00:05:11,000
Entonces tendríamos 100 por 101, que eso es muy sencillo,

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00:05:11,000 --> 00:05:14,000
porque solo hay que añadirle 2S a 101, sería 10.100.

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00:05:14,000 --> 00:05:19,000
Como dos veces el valor de la suma es 10.100,

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00:05:19,000 --> 00:05:24,000
es fácil ver que entonces la suma sería la mitad de 10.100,

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00:05:24,000 --> 00:05:27,000
y por lo tanto 5.050.

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00:05:27,000 --> 00:05:31,000
De manera que resulta que Gauss, a una temprana edad,

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00:05:31,000 --> 00:05:35,000
había descubierto una propiedad de las progresiones aritméticas,

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00:05:35,000 --> 00:05:40,000
que es que la suma de los términos equidistantes de los extremos

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00:05:40,000 --> 00:05:44,000
es siempre igual a la suma del primero y el último.

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00:05:44,000 --> 00:05:49,000
Y esta propiedad es la que sirve para calcular o para dar la fórmula

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00:05:49,000 --> 00:05:53,000
de la suma de los n primeros términos de una progresión aritmética,

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00:05:53,000 --> 00:05:58,000
que después veremos un poco más en detalle, de una manera más rigurosa, cómo sale.

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00:05:58,000 --> 00:06:01,000
Pero es una anécdota yo creo muy curiosa, muy interesante,

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00:06:01,000 --> 00:06:07,000
que viene al caso en este tema de las progresiones aritméticas.