1 00:00:00,000 --> 00:00:04,500 ¡Hola! Os damos la bienvenida a este repaso a fondo donde vamos a descifrar la anatomía 2 00:00:04,500 --> 00:00:08,939 de una gráfica. Hoy nos ponemos la bata del laboratorio para entender algo que es absolutamente 3 00:00:08,939 --> 00:00:13,160 fundamental si estáis en cuarto de la ESO o si simplemente queréis refrescar vuestras 4 00:00:13,160 --> 00:00:17,500 bases matemáticas, las funciones. Vamos a dejar atrás esos números aburridos en un 5 00:00:17,500 --> 00:00:22,219 papel para empezar a leer gráficas como si fueran auténticos mapas del tesoro. Literalmente 6 00:00:22,219 --> 00:00:26,559 vamos a traducir fórmulas abstractas en líneas y curvas con un significado superreal. 7 00:00:26,559 --> 00:00:30,000 ¿Por qué nos molestamos en dibujar todo esto en un plano cartesiano? 8 00:00:30,239 --> 00:00:31,500 Bueno, ya conocéis el dicho 9 00:00:31,500 --> 00:00:33,920 Más vale una imagen que mil palabras 10 00:00:33,920 --> 00:00:37,899 Imaginad por un momento una tabla infinita llena de números sobre, no sé 11 00:00:37,899 --> 00:00:41,159 Cómo sube y baja el precio de un videojuego a lo largo de los años 12 00:00:41,159 --> 00:00:44,020 Leer eso número a número es un dolor de cabeza, ¿verdad? 13 00:00:44,020 --> 00:00:47,119 Pero, si ponemos esos mismos puntos en un plano 14 00:00:47,119 --> 00:00:47,799 ¡Pum! 15 00:00:48,340 --> 00:00:53,000 La imagen nos revela al instante cuándo estuvo tirado de precio o cuándo se disparó 16 00:00:53,000 --> 00:00:54,159 Por eso las dibujamos 17 00:00:54,159 --> 00:00:57,939 nos ahorra muchísimos cálculos y nos da la información de un solo vistazo. 18 00:00:58,520 --> 00:01:01,719 Para que no nos perdamos, este es nuestro plan de clase para hoy. 19 00:01:02,340 --> 00:01:03,899 1. ¿Qué es una función? 20 00:01:04,439 --> 00:01:06,760 2. Dominio y continuidad. 21 00:01:07,439 --> 00:01:09,719 3. Crecimiento y periodicidad. 22 00:01:10,480 --> 00:01:12,439 4. La función lineal. 23 00:01:13,060 --> 00:01:14,540 5. La cuadrática. 24 00:01:15,219 --> 00:01:18,620 Y 6. Echaremos un ojo a otras funciones elementales. 25 00:01:19,340 --> 00:01:19,980 ¡Vamos a ello! 26 00:01:20,480 --> 00:01:21,859 Empezamos por el principio. 27 00:01:22,200 --> 00:01:25,239 Sección 1. ¿Qué es exactamente una función? 28 00:01:25,760 --> 00:01:28,480 Imaginad un plano lleno de garbatos y curvas rarísimas. 29 00:01:28,760 --> 00:01:33,379 ¿Cómo sabemos cuáles son funciones matemáticas de verdad y cuáles son simples dibujos sin sentido? 30 00:01:33,980 --> 00:01:36,640 Pues resulta que la regla de oro es súper estricta. 31 00:01:36,920 --> 00:01:43,480 A cada valor de entrada, es decir, a nuestra X, le puede corresponder única y exclusivamente un solo valor de salida, la Y. 32 00:01:43,799 --> 00:01:45,219 Ni uno más, ni uno menos. 33 00:01:45,920 --> 00:01:49,340 Si a un valor de X le tocan dos valores de Y distintos, se acabó. 34 00:01:49,340 --> 00:01:54,900 el sistema se rompe por completo y deja de ser una función. Y para cazar esas funciones impostoras, 35 00:01:55,140 --> 00:02:00,280 tenemos un truco buenísimo, la regla de la línea vertical. Pensad en ello como un escáner láser de 36 00:02:00,280 --> 00:02:05,439 altísima tecnología que barre la gráfica de izquierda a derecha. Si ese láser imaginario 37 00:02:05,439 --> 00:02:11,520 toca el dibujo en un solo punto a la vez durante todo el trayecto, bingo, es una función auténtica. 38 00:02:11,960 --> 00:02:17,400 Pero cuidado, si en algún momento ese escáner toca dos o más puntos a la vez, tenemos un error fatal. 39 00:02:17,400 --> 00:02:21,199 La regla se rompe y podemos descartar ese dibujo al instante 40 00:02:21,199 --> 00:02:23,120 Pasamos a la sección 2 41 00:02:23,120 --> 00:02:24,780 Dominio y continuidad 42 00:02:24,780 --> 00:02:27,759 Vamos a ver por dónde se mueven estos trazados 43 00:02:27,759 --> 00:02:30,819 Vale, una vez que sabemos que tenemos una función de verdad 44 00:02:30,819 --> 00:02:33,039 Hay que ver cómo se comporta en su entorno 45 00:02:33,039 --> 00:02:35,419 La continuidad es súper intuitiva 46 00:02:35,419 --> 00:02:38,500 Básicamente, si podemos trazar toda la gráfica de principio a fin 47 00:02:38,500 --> 00:02:40,740 Sin levantar el lápiz del papel en ningún momento 48 00:02:40,740 --> 00:02:42,020 Decimos que es continua 49 00:02:42,020 --> 00:02:44,159 Es un camino suave y sin cortes 50 00:02:44,159 --> 00:02:45,379 Y luego está el dominio 51 00:02:45,379 --> 00:02:47,360 Que es un concepto absolutamente clave 52 00:02:47,360 --> 00:02:51,419 Pensad en el dominio como el territorio exclusivo donde la función existe 53 00:02:51,419 --> 00:02:55,780 Son todos esos valores de la X donde la maquinaria matemática funciona sin problemas 54 00:02:55,780 --> 00:02:58,199 Fuera de ahí, simplemente no hay función 55 00:02:58,199 --> 00:03:00,979 Pero claro, a veces toca levantar el lápiz 56 00:03:00,979 --> 00:03:04,060 Cuando la continuidad falla nos topamos con baches en el camino 57 00:03:04,060 --> 00:03:05,580 Hay tres tipos principales 58 00:03:05,580 --> 00:03:09,620 Primero, la discontinuidad evitable, que es como un pequeño socavón en el asfalto 59 00:03:09,620 --> 00:03:12,500 Solo falta un puntito exacto que podemos esquivar 60 00:03:12,500 --> 00:03:15,419 Luego tenemos el salto finito, que ya es un poco más radical 61 00:03:15,419 --> 00:03:20,060 como llegar a un puente roto donde la carretera sigue, sí, pero a una altura totalmente distinta. 62 00:03:20,479 --> 00:03:25,360 Y, finalmente, el salto infinito. Esto es literalmente asomarse al abismo. Ocurre cuando 63 00:03:25,360 --> 00:03:29,319 el camino se dispara hacia arriba o hacia abajo sin parar, perdiéndose en el infinito. 64 00:03:29,919 --> 00:03:34,699 Avanzamos a la sección 3, crecimiento y periodicidad. Toca estudiar los comportamientos 65 00:03:34,699 --> 00:03:40,159 a lo largo del tiempo. Igual que en una montaña rusa, necesitamos ver la trayectoria. Si la 66 00:03:40,159 --> 00:03:46,199 vagoneta sube la cuesta, la función crece. Si baja en picado, decrece. Pero hay funciones a 67 00:03:46,199 --> 00:03:51,280 las que les encanta la rutina estricta, las funciones periódicas. Fijaos en este par de 68 00:03:51,280 --> 00:03:57,439 ejemplos tan visuales. A un lado tenemos unas ondas súper suaves, la función seno, repitiéndose como 69 00:03:57,439 --> 00:04:02,460 el vaivén de las olas del mar. Al otro lado vemos algo mucho más puntiagudo, clavado a los picos de 70 00:04:02,460 --> 00:04:07,639 un electrocardiograma, monitorizando un corazón. Aunque se vean muy distintas, ambas son periódicas, 71 00:04:07,639 --> 00:04:12,800 porque repiten exactamente el mismo ciclo una y otra vez de forma rítmica e incansable. 72 00:04:13,379 --> 00:04:18,600 Llegamos a la sección 4, la función lineal, o lo que es lo mismo, la proporcionalidad directa. 73 00:04:19,259 --> 00:04:24,019 Esta es la auténtica piedra angular de todo el plano cartesiano. Geométricamente es una línea 74 00:04:24,019 --> 00:04:29,279 recta perfecta. Y un detalle súper importante, siempre, siempre tiene que cruzar exactamente 75 00:04:29,279 --> 00:04:35,180 por el origen por el 0,0. Pensad en ir a comprar manzanas. Cero manzanas te cuestan 0 euros. Una 76 00:04:35,180 --> 00:04:40,759 manzana, un euro. Dos, dos euros. Es proporcionalidad directa. ¿Veis esa letra M minúscula en la 77 00:04:40,759 --> 00:04:46,279 fórmula? Es vital. Se llama pendiente y es la que nos chiva exactamente cómo de empinadas la cuesta, 78 00:04:46,600 --> 00:04:53,060 marcando el ritmo de crecimiento. Subimos de nivel con la sección 5. La función cuadrática y sus 79 00:04:53,060 --> 00:04:59,240 famosas parábolas simétricas. Aquí dejamos atrás las líneas rectas y nos metemos con las curvas 80 00:04:59,240 --> 00:05:03,899 elegantes. ¿Os suena el arco que hace un balón de baloncesto al lanzar un tiro libre? ¿O la 81 00:05:03,899 --> 00:05:08,740 trayectoria de un pájaro al jugar al Angry Birds? Pues eso es, ni más ni menos que una parábola. 82 00:05:09,040 --> 00:05:14,399 Y el secreto de su forma está en el coeficiente principal, la letra A. Si ese número es positivo, 83 00:05:14,759 --> 00:05:19,540 la parábola sonríe y se abre hacia arriba con forma de copa. Si es negativo, se pone triste y 84 00:05:19,540 --> 00:05:24,279 mira hacia abajo. Con unas fórmulas muy sencillas que vemos en clase, podemos encontrar justo su 85 00:05:24,279 --> 00:05:29,699 punto más alto o más bajo, el vértice, y ver por dónde corta los ejes. Y para ir completando el 86 00:05:29,699 --> 00:05:35,319 temario sección 6. Otras funciones elementales de la familia. Para tener el kit completo de 87 00:05:35,319 --> 00:05:40,399 herramientas de cuarto de la ESO, tenemos que hablar de las funciones exponenciales. ¿Sabéis 88 00:05:40,399 --> 00:05:45,420 cuando un vídeo de TikTok se vuelve viral de la noche a la mañana? Eso es crecimiento exponencial 89 00:05:45,420 --> 00:05:51,420 puro y duro. Aquí la base lo domina todo. Si la base es mayor que 1, la gráfica explota hacia 90 00:05:51,420 --> 00:05:56,579 arriba a una velocidad de vértigo. Pero si está atrapada entre el 0 y el 1, ocurre lo contrario, 91 00:05:56,579 --> 00:06:01,759 cae en picado. Y el detalle más alucinante es lo que pasa en la parte de abajo. La curva se 92 00:06:01,759 --> 00:06:06,519 acerca infinitamente a la línea horizontal del cero, casi rozándola, pero jamás llega a cruzarla, 93 00:06:06,620 --> 00:06:11,620 como si hubiera un campo de fuerza repeliéndola. Y para no pedernos en este universo matemático, 94 00:06:11,779 --> 00:06:16,620 tenemos el resumen definitivo. Fijaos en cómo esta matriz organiza toda la teoría de golpe. 95 00:06:17,240 --> 00:06:22,420 Nos da los dominios, recorridos y asíntotas para funciones exponenciales, logarítmicas y también 96 00:06:22,420 --> 00:06:27,680 para la trigonometría. Podríamos considerarla la tabla periódica de las matemáticas visuales. Es 97 00:06:27,680 --> 00:06:32,379 la chuleta mental perfecta para tener clarísimo cómo se comporta cada familia de funciones antes 98 00:06:32,379 --> 00:06:37,220 de enfrentarse a un examen. De un solo vistazo lo tenéis todo bajo control. Así que, como veis, 99 00:06:37,620 --> 00:06:42,519 estas gráficas no se quedan encerradas en el papel ni son solo dibujos aburridos en una pizarra. Son 100 00:06:42,519 --> 00:06:47,439 las formas matemáticas precisas que modelan nuestra realidad. Nos sirven para absolutamente 101 00:06:47,439 --> 00:06:53,240 todo, desde predecir cómo se propaga velozmente un virus usando exponenciales, hasta entender los 102 00:06:53,240 --> 00:06:57,199 ciclos inmutables de las mareas mediante las periódicas. Una vez que aprendéis a leer el 103 00:06:57,199 --> 00:07:01,939 idioma de las funciones, empezáis a ver el mundo que pisáis estructurado en coordenadas. Con esta 104 00:07:01,939 --> 00:07:05,879 potente visión analítica ya instalada en la mente, ¿qué otros patrones ocultos de este 105 00:07:05,879 --> 00:07:08,360 universo seremos capaces de descifrar a continuación?