1
00:00:00,690 --> 00:00:06,990
Bien, veamos un resumen de los métodos que hemos aprendido para calcular determinantes.

2
00:00:07,809 --> 00:00:23,070
Vale, el primero, por la definición, por los adjuntos, recordad que un determinante se definía como la suma de todos los elementos de una fila o columna cualquiera multiplicados por sus respectivos adjuntos, para cualquier fila o para cualquier columna.

3
00:00:23,269 --> 00:00:30,250
Bueno, pues bien, este método es especialmente útil cuando la fila o la columna por la que se desarrolla tiene muchos elementos nulos.

4
00:00:31,670 --> 00:00:39,219
En esta línea podemos describir una guía práctica para calcular el determinante de una matriz cuadrada.

5
00:00:40,020 --> 00:00:44,780
Entonces podríamos decir que si el determinante es de orden 2 o de orden 3, se puede aplicar Sarros directamente.

6
00:00:45,340 --> 00:00:51,359
Incluso alguna propiedad si vemos alguna característica especial en ese determinante.

7
00:00:52,359 --> 00:01:00,439
Si el determinante es de orden 3 o mayor de orden 3, podemos transformar la matriz en otra de igual determinante.

8
00:01:00,439 --> 00:01:03,619
con varios ceros en una fila o una columna

9
00:01:03,619 --> 00:01:06,239
y desarrollar por esa fila o esa columna.

10
00:01:07,659 --> 00:01:10,859
¿Qué transformaciones voy a poderle hacer al determinante?

11
00:01:11,260 --> 00:01:15,680
Para que no varíe, sumarle o restarle otra línea,

12
00:01:15,859 --> 00:01:18,540
es decir, otra fila o columna paralela

13
00:01:18,540 --> 00:01:20,859
y que esté multiplicada por un número.

14
00:01:23,280 --> 00:01:25,920
Venga, calculamos el valor de este determinante.

15
00:01:26,540 --> 00:01:30,159
Vale, yo podría elegir, por ejemplo, la fila 2 o la columna 2

16
00:01:30,159 --> 00:01:35,620
y desarrollar por adjuntos, multiplicando cada uno de los elementos no nulos por su adjunto.

17
00:01:36,000 --> 00:01:41,060
Obtendría tres sumandos, pero pienso, bueno, pues a lo mejor me interesa aprovechar esta columna

18
00:01:41,060 --> 00:01:44,579
que ya tiene un cero, intentar hacer más ceros por transformaciones,

19
00:01:45,140 --> 00:01:49,200
intentar hacer más ceros en esa columna y desarrollar por esa columna.

20
00:01:50,040 --> 00:01:53,140
Vale, estas formaciones que hacen que el determinante esté invariante

21
00:01:53,140 --> 00:02:00,900
es que a una fila o a una columna le sumo o le resto otra multiplicada por un número,

22
00:02:01,019 --> 00:02:02,799
otra paralela multiplicada por un número.

23
00:02:03,719 --> 00:02:12,639
Entonces, por ejemplo, yo me fijo que a esta fila de aquí, a la primera fila, la fila 1,

24
00:02:13,879 --> 00:02:22,159
le puedo sumar la fila 3 multiplicada por 2 y entonces al sumarlo aquí se me haría un 0.

25
00:02:22,159 --> 00:02:29,500
O sea, que la fila 1 la transformo como la fila 1 más dos veces la fila 3.

26
00:02:30,080 --> 00:02:38,500
¿Vale? Si yo hago esto, me queda, en la fila 1 me quedaría la fila 1 más dos veces la fila 3, me queda aquí un 0 también.

27
00:02:39,139 --> 00:02:43,060
La fila 1 más dos veces la fila 3, me queda aquí un 0.

28
00:02:43,060 --> 00:02:54,360
La fila 1 más 2 veces la fila 3, 2 menos 6, me queda menos 4, y menos 4 más 6, me queda 2.

29
00:02:55,419 --> 00:03:03,500
Vale, aquí ya tengo 0, pues esta la voy a dejar aquí igual, menos 4, 0, 1, menos 7.

30
00:03:03,500 --> 00:03:06,319
Esta la dejamos como el 1

31
00:03:06,319 --> 00:03:09,460
Y lo que voy a intentar es hacer aquí un 0

32
00:03:09,460 --> 00:03:13,520
Menos 3, 3

33
00:03:13,520 --> 00:03:16,240
Vale, quiero hacer aquí un 0

34
00:03:16,240 --> 00:03:19,520
Bueno, pues puedo decir

35
00:03:19,520 --> 00:03:21,340
A ver, ¿cómo transformamos esta fila?

36
00:03:24,759 --> 00:03:26,460
Vale, la fila

37
00:03:26,460 --> 00:03:28,599
Lo puedo hacer también por filas y por columnas

38
00:03:28,599 --> 00:03:31,300
Pues podría decir

39
00:03:31,300 --> 00:03:40,580
que a la fila 4 lo que hago es

40
00:03:40,580 --> 00:03:47,439
a la fila 4 le resto 5 veces la fila 3

41
00:03:47,439 --> 00:03:52,000
a la fila 4 le resto 5 veces la fila 3

42
00:03:52,000 --> 00:03:56,400
luego sería a la fila 4 9 menos 15

43
00:03:56,400 --> 00:03:59,379
y esto me queda menos 6

44
00:03:59,379 --> 00:04:18,399
9 menos 15, menos 6, 5 menos 5, ya tengo aquí un 0, 2 más 15, 17, y 8 menos 15, luego menos 7, ¿vale?

45
00:04:18,399 --> 00:04:51,089
Ya he encontrado una columna donde tengo todos los ceros menos un elemento, pues desarrollo por la segunda columna, desarrollo por la segunda columna, vale, pues empezaríamos, si lo hacemos por ejemplo con la alternancia de signos, más, menos, más, menos, pues empezaríamos con menos 1, el elemento 1, por el determinante de orden 3,

46
00:04:51,089 --> 00:04:56,930
que se forma eliminando los elementos de la segunda columna,

47
00:04:57,430 --> 00:05:04,290
tercera fila, luego me queda 0, menos 4, 2, menos 4, 1, menos 7,

48
00:05:04,990 --> 00:05:08,089
y menos 6, 17, menos 7.

49
00:05:10,319 --> 00:05:10,540
Vale.

50
00:05:11,699 --> 00:05:13,600
Esto también podría seguir desarrollando,

51
00:05:14,319 --> 00:05:19,600
y podría desarrollar por esta...

52
00:05:19,600 --> 00:05:25,199
Bueno, voy a desarrollar por esta columna de aquí.

53
00:05:25,480 --> 00:05:33,959
Quedaría menos 1 por el primer elemento 0, positivo.

54
00:05:34,259 --> 00:05:42,180
¿Esto es negativo? Pues menos 4 por el menor que se forma de eliminar esta fila y esta columna.

55
00:05:42,180 --> 00:05:46,100
Es decir, menos 4, 2, 17, menos 7.

56
00:05:46,100 --> 00:05:50,420
Más, menos, más, luego menos 6

57
00:05:50,420 --> 00:05:55,399
Y por el determinante que se forma al eliminar esta columna y esta fila

58
00:05:55,399 --> 00:05:58,480
Menos 4, 2, 1, menos 7

59
00:05:58,480 --> 00:06:01,740
Cierro corchete y me queda

60
00:06:01,740 --> 00:06:04,519
Esto multiplicado por menos 1, cambiamos de signo

61
00:06:04,519 --> 00:06:07,800
Menos por menos más, por menos menos

62
00:06:07,800 --> 00:06:14,759
4 que multiplica a 28 menos 34

63
00:06:14,759 --> 00:06:26,579
menos por menos más 6 que multiplica a 28 menos 2, 28 menos 2

64
00:06:26,579 --> 00:06:36,300
luego me queda menos 4 por menos 6 y más 6 por 6, por 26, perdón

65
00:06:36,300 --> 00:06:46,779
luego me queda menos 24 más 6 por 6, 36, llevo 3, 156

66
00:06:46,779 --> 00:06:51,379
no, menos no, más 24 más 156

67
00:06:51,379 --> 00:06:53,399
luego me queda 180

68
00:06:53,399 --> 00:06:56,379
este determinante es 180

69
00:06:56,379 --> 00:07:01,930
bien, cuando la matriz sea triangular

70
00:07:01,930 --> 00:07:04,230
una matriz especial

71
00:07:04,230 --> 00:07:06,649
entonces el determinante de esa matriz

72
00:07:06,649 --> 00:07:10,589
es igual al producto de los elementos de la diagonal principal.

73
00:07:13,060 --> 00:07:15,600
Calcula el determinante de esta matriz triangular.

74
00:07:16,860 --> 00:07:20,500
Desarrollamos por Sarrus, 2 por 2, 4 por 3, 12,

75
00:07:21,899 --> 00:07:28,339
más 0 por 0 y por 7, 0, más 5 por 4 y por 0, 0,

76
00:07:28,660 --> 00:07:34,879
menos 7 por 2 y por 0, 0, 4 por 0, menos 4 por 0 y por 2, 0,

77
00:07:34,879 --> 00:07:38,759
y menos cinco por cero y por tres, cero.

78
00:07:39,579 --> 00:07:43,639
Luego, realmente, el determinante de un áudio triangular

79
00:07:43,639 --> 00:07:46,300
es el producto de los elementos de la diagonal.

80
00:07:47,879 --> 00:07:53,660
Y entonces, en vista a lo fácil que es calcular el determinante de un áudio triangular,

81
00:07:54,339 --> 00:07:59,019
es bastante interesante calcular entonces el determinante por el método de Gauss.

82
00:07:59,740 --> 00:08:03,600
Entonces, el método de Gauss consiste en estos casos,

83
00:08:03,600 --> 00:08:07,300
en el caso de los determinantes, en transformar la matriz de nota triangular

84
00:08:07,300 --> 00:08:11,779
aplicando transformaciones cuyos efectos sobre el determinante conozcamos

85
00:08:11,779 --> 00:08:17,120
y ya calcular el determinante de la matriz triangular multiplicando los elementos de la diagonal principal.

86
00:08:17,500 --> 00:08:20,519
Entonces, tenemos que tener muy claras las transformaciones elementales

87
00:08:20,519 --> 00:08:26,959
que efectos producen sobre los determinantes. Esto es lo que se deduce de todas las propiedades.

88
00:08:27,579 --> 00:08:30,720
Por ejemplo, si intercambiamos dos filas o dos columnas,

89
00:08:30,720 --> 00:08:34,059
tenemos que tener claro que lo que vamos a hacer es cambiar el signo del determinante.

90
00:08:34,580 --> 00:08:39,879
Que se multiplique una fila en una columna por un número, pues el determinante quedará multiplicado por ese número.

91
00:08:40,659 --> 00:08:47,139
Que si a una columna o a una fila le sumamos otra multiplicada por un número, el determinante no varía.

92
00:08:47,659 --> 00:08:50,779
Que si transponemos la matriz, el determinante tampoco va a variar.

93
00:08:51,299 --> 00:08:58,559
Y que si sumamos a una fila o a una columna una combinación lineal de sus paralelas, el determinante no varía.

94
00:08:58,559 --> 00:09:02,720
Calcula este determinante de orden 4

95
00:09:02,720 --> 00:09:05,799
Este determinante lo vamos a calcular por el método de Gauss

96
00:09:05,799 --> 00:09:09,559
Es decir, vamos a hacer 0 por debajo de la diagonal principal

97
00:09:09,559 --> 00:09:13,419
Para que sea mucho más fácil en los cálculos

98
00:09:13,419 --> 00:09:18,340
La manera de hacer 0 es intentar que en la primera fila haya un 1

99
00:09:18,340 --> 00:09:21,980
La primera fila haya un 1

100
00:09:21,980 --> 00:09:23,759
Luego lo que vamos a hacer es intercambiar

101
00:09:23,759 --> 00:09:30,620
Vamos a intercambiar, por ejemplo, la segunda fila con la primera fila.

102
00:09:30,720 --> 00:09:33,879
O sea, intercambiamos primera y segunda fila.

103
00:09:34,200 --> 00:09:39,419
Al intercambiar hemos visto, al permutar, el determinante cambia de signo.

104
00:09:39,600 --> 00:09:43,740
Luego el determinante ya no va a ser el mismo, sino que será con signo negativo.

105
00:09:43,740 --> 00:09:56,840
Un menos, el determinante, 1, 2, menos 1, 2, 2, 3, 1, 0, 3, 1, 0, 10, menos 1, 0, 2, 3

106
00:09:56,840 --> 00:09:59,139
Vale, menos

107
00:09:59,139 --> 00:10:02,059
Y ahora lo que vamos a hacer es ceros por debajo de la diagonal

108
00:10:02,059 --> 00:10:05,139
Vamos, la primera fila la dejamos fija

109
00:10:05,139 --> 00:10:10,159
Y ahora lo que quiero hacer, la segunda fila, ¿cómo la transformo?

110
00:10:10,159 --> 00:10:16,539
Pues la segunda fila va a ser la segunda fila menos dos veces la primera

111
00:10:16,539 --> 00:10:19,980
Segunda fila menos dos veces la primera

112
00:10:19,980 --> 00:10:21,539
2 menos 2, 0

113
00:10:21,539 --> 00:10:23,799
3 menos 4, menos 1

114
00:10:23,799 --> 00:10:27,860
1 más 2, 3

115
00:10:27,860 --> 00:10:30,539
Y 0 menos 4, menos 4

116
00:10:30,539 --> 00:10:32,440
La tercera fila

117
00:10:32,440 --> 00:10:38,179
La tercera fila va a ser la tercera menos tres veces la primera

118
00:10:38,179 --> 00:10:41,000
3 menos 3, 0

119
00:10:41,000 --> 00:10:44,000
1 menos 6, menos 5

120
00:10:44,000 --> 00:10:49,019
0 más 3, 3

121
00:10:49,019 --> 00:10:52,600
Y 10 menos 6, 4

122
00:10:52,600 --> 00:10:58,240
Y ahora la cuarta fila va a ser la cuarta más la primera

123
00:10:58,240 --> 00:11:01,399
Menos 1 más 1, 0

124
00:11:01,399 --> 00:11:02,960
0 más 2, 2

125
00:11:02,960 --> 00:11:05,100
2 menos 1, 1

126
00:11:05,100 --> 00:11:07,200
3 más 2, 5

127
00:11:07,200 --> 00:11:11,559
Vale, ahora vamos a intentar conseguir aquí ceros

128
00:11:11,559 --> 00:11:12,360
Pues venga

129
00:11:12,360 --> 00:11:17,019
Menos el determinante, la primera columna se queda igual

130
00:11:17,019 --> 00:11:19,720
La primera fila también

131
00:11:19,720 --> 00:11:23,379
La segunda fila también

132
00:11:23,379 --> 00:11:27,799
Y lo que vamos a hacer es intentar poner aquí un cero

133
00:11:27,799 --> 00:11:29,139
¿Cómo consigo un cero?

134
00:11:29,740 --> 00:11:30,500
¿Qué es lo que hago?

135
00:11:31,259 --> 00:11:34,080
La tercera fila la voy a transformar como la tercera

136
00:11:34,080 --> 00:11:36,659
Menos cinco veces la segunda

137
00:11:36,659 --> 00:11:42,379
La tercera, menos cinco veces la segunda, menos cinco más cinco, cero.

138
00:11:43,580 --> 00:11:46,320
Tres menos quince, menos doce.

139
00:11:48,240 --> 00:11:51,360
Cuatro más veinte, veinticuatro.

140
00:11:53,539 --> 00:11:54,600
Y la cuarta fila.

141
00:11:55,120 --> 00:12:01,940
La cuarta fila, yo quiero ir a un cero, la voy a transformar como la cuarta fila, más dos veces la segunda.

142
00:12:04,899 --> 00:12:07,139
Dos menos dos, cero.

143
00:12:07,139 --> 00:12:11,320
1 más 6

144
00:12:11,320 --> 00:12:12,360
7

145
00:12:12,360 --> 00:12:15,019
y 5

146
00:12:15,019 --> 00:12:17,220
menos 8

147
00:12:17,220 --> 00:12:18,240
menos 3

148
00:12:18,240 --> 00:12:21,659
y ahora lo que voy a hacer

149
00:12:21,659 --> 00:12:23,320
quiero aquí un 0

150
00:12:23,320 --> 00:12:25,899
pues entonces dejamos fijas

151
00:12:25,899 --> 00:12:26,840
vamos a ponerlo un poquito

152
00:12:26,840 --> 00:12:29,659
voy a borrar

153
00:12:29,659 --> 00:12:31,080
vamos a poner aquí esto seguido

154
00:12:31,080 --> 00:12:33,039
F3 igual a F3

155
00:12:33,039 --> 00:12:34,899
menos 3 F1

156
00:12:34,899 --> 00:12:37,440
y F4

157
00:12:37,440 --> 00:12:40,500
Igual a F4 más F1

158
00:12:40,500 --> 00:12:45,419
Entonces, ahora, menos

159
00:12:45,419 --> 00:12:48,740
Ya la primera fila se queda igual, invariante

160
00:12:48,740 --> 00:12:51,179
La segunda también

161
00:12:51,179 --> 00:12:52,820
0 menos 1

162
00:12:52,820 --> 00:12:54,620
3 menos 4

163
00:12:54,620 --> 00:12:56,299
La tercera también

164
00:12:56,299 --> 00:13:02,039
Bueno, podríamos hacer, para hacer más fácil

165
00:13:02,039 --> 00:13:03,580
Vamos a hacer antes una transformación

166
00:13:03,580 --> 00:13:06,059
Lo que voy a sacar es factor común el menos 12

167
00:13:06,059 --> 00:13:06,519
¿Vale?

168
00:13:06,659 --> 00:13:08,740
Entonces, si saco factor común el menos 12

169
00:13:08,740 --> 00:13:10,980
Aquí me queda un 1

170
00:13:10,980 --> 00:13:15,320
Y aquí me queda 1 menos 2

171
00:13:15,320 --> 00:13:17,620
Venga, de momento no transformo nada

172
00:13:17,620 --> 00:13:20,940
El determinante ha salido el factor común

173
00:13:20,940 --> 00:13:22,379
Vale, menos menos más

174
00:13:22,379 --> 00:13:24,340
Luego 12, que multiplica

175
00:13:24,340 --> 00:13:27,580
1, 2, menos 1, 2

176
00:13:27,580 --> 00:13:30,919
0, menos 1, 3, menos 4

177
00:13:30,919 --> 00:13:34,379
0, 0, 1, menos 2

178
00:13:34,379 --> 00:13:37,980
Y ahora vamos a transformar la cuarta fila

179
00:13:37,980 --> 00:13:40,779
Como la cuarta fila, menos 7 veces

180
00:13:40,779 --> 00:13:42,220
La tercera

181
00:13:42,220 --> 00:13:45,159
Luego 0, 0

182
00:13:45,159 --> 00:13:48,379
7 menos 7, 0

183
00:13:48,379 --> 00:13:52,639
Menos 3 más 14, 11

184
00:13:52,639 --> 00:13:54,419
Luego, ¿qué me queda?

185
00:13:55,460 --> 00:13:58,480
12 por el determinante de una base triangular

186
00:13:58,480 --> 00:13:59,179
Es decir