1
00:00:03,799 --> 00:00:07,620
Cálculo del rango de una matriz aplicando los determinantes.

2
00:00:09,480 --> 00:00:16,879
Recordamos la definición de rango de una matriz que se definía como el número de filas o columnas linealmente independientes.

3
00:00:17,519 --> 00:00:19,460
Vamos a pensar en matrices cuadradas.

4
00:00:19,460 --> 00:00:29,019
Si una matriz es cuadrada y tiene alguna fila o columna linealmente dependiente de las restantes,

5
00:00:29,019 --> 00:00:34,719
mejor dicho, entonces su determinante es cero. Esto era una de las propiedades que vimos en vídeos anteriores.

6
00:00:36,479 --> 00:00:46,219
Recíprocamente, si yo tengo que el determinante de una matriz es cero, entonces la conclusión era que sus filas o sus columnas eran linealmente dependientes.

7
00:00:47,060 --> 00:00:55,340
Entonces, pensando en esto, o sea, viendo esto, vamos a averiguar cuál es el rango de una matriz, bien sea cuadrada o no sea cuadrada.

8
00:00:58,130 --> 00:01:01,329
Necesitamos un nuevo concepto que es el de menor de orden k.

9
00:01:01,530 --> 00:01:06,030
Entonces, dada una matriz a la dimensión m por n, fijaos, no tiene por qué ser cuadrada.

10
00:01:06,530 --> 00:01:12,069
Así que voy a definir el menor de orden k como un determinante de la matriz cuadrada de orden k

11
00:01:12,069 --> 00:01:17,189
que resulta de eliminar m menos k filas y n menos k columnas.

12
00:01:18,090 --> 00:01:25,530
Este numerito k tiene que ser siempre un número menor o igual que el número de filas y el número de columnas que tenga.

13
00:01:25,530 --> 00:01:31,250
Fijaos que voy a definir determinantes de orden K

14
00:01:31,250 --> 00:01:39,370
Luego, por ejemplo, en esta matriz, en la matriz general 3x4

15
00:01:39,370 --> 00:01:43,269
No voy a poder nunca construir menores de orden 4

16
00:01:43,269 --> 00:01:49,030
Porque aquí nunca voy a poder con estos elementos formar o sacar o construir

17
00:01:49,030 --> 00:01:52,950
Eliminando filas y columnas ningún determinante de orden 4

18
00:01:52,950 --> 00:01:59,310
Luego, por eso ese k hemos dicho que tenía que ser siempre menor o igual que el número de filas y el número de columnas.

19
00:01:59,790 --> 00:02:05,390
En este caso, como mucho k podrá valer 3, o sea, el rango de esta matriz como mucho será 3.

20
00:02:06,450 --> 00:02:09,270
Menores de orden 1 de esta matriz, por ejemplo.

21
00:02:09,969 --> 00:02:19,550
Vale, pues son los determinantes de orden 1 que vamos a formar eliminando 3 menos 1, 2 filas, y 4 menos 1, 3 columnas.

22
00:02:19,550 --> 00:02:21,389
Eliminando 2 filas, 3 columnas.

23
00:02:21,389 --> 00:02:32,830
Pues venga, si eliminamos por ejemplo segunda fila, tercera fila, segunda columna, tercera columna y cuarta columna, me ha quedado este elemento que con él forma un determinante de orden 1.

24
00:02:34,590 --> 00:02:40,349
¿Cuántos determinantes de orden 1 o menores de orden 1 voy a tener en una matriz? Pues tantos como elementos tenga esa matriz.

25
00:02:41,069 --> 00:02:44,770
En este caso voy a tener 12 menores de orden 1.

26
00:02:44,770 --> 00:02:51,509
Menores de orden 2 son los que se van a formar eliminando 3 menos 2 igual una fila

27
00:02:51,509 --> 00:02:55,849
Eliminando una fila y eliminando 4 menos 2, dos columnas

28
00:02:55,849 --> 00:02:58,770
Algunos de estos elementos serían estos de aquí

29
00:02:58,770 --> 00:03:06,949
Por ejemplo, este de aquí lo hemos formado eliminando la tercera fila y la tercera y cuarta columna

30
00:03:06,949 --> 00:03:09,990
Se nos ha formado este determinante de orden 2

31
00:03:09,990 --> 00:03:17,949
Este de aquí lo formaría eliminando la segunda fila y la segunda y tercera columna, etc.

32
00:03:19,370 --> 00:03:28,210
Menos de eso hacen tres, pues los que se forman eliminando tres menos tres, cero fila, o sea, no puedo eliminar ninguna fila, pero sí que puedo eliminar cuatro menos tres, una columna.

33
00:03:28,889 --> 00:03:30,689
Entonces, algunos serían estos.

34
00:03:32,569 --> 00:03:34,090
Dos de ellos serían estos.

35
00:03:35,210 --> 00:03:39,050
Este primero de aquí lo hemos formado eliminando la cuarta columna.

36
00:03:39,050 --> 00:03:53,289
Este de aquí lo hemos formado eliminando la segunda columna. ¿De acuerdo? Vale, pues con esto definimos el rango de una matriz como el orden del mayor menor distinto de cero.

37
00:03:53,870 --> 00:04:06,270
El orden del mayor menor distinto de cero. Vale, vamos a ver ejemplos. Rango de esta matriz. Vamos a hallar el rango de esta matriz.

38
00:04:06,270 --> 00:04:14,030
Lo primero de todo, nos fijamos, la dimensión de esta matriz es 4 por 2, luego el rango no puede ser nunca mayor que 2, como mucho puede ser 2.

39
00:04:15,169 --> 00:04:25,769
Como la matriz es no nula basta con escoger cualquier elemento no nulo para comprobar que al menos el rango de la matriz es 1, porque va a haber un menor de orden 1 distinto de 0.

40
00:04:25,769 --> 00:04:34,069
Por ejemplo, el primer elemento, el A11, el determinante formado por ese elemento, es 1, que es distinto de 0.

41
00:04:34,529 --> 00:04:36,910
El rango, al menos, es 1.

42
00:04:38,910 --> 00:04:47,709
A partir de ese elemento vamos a formar menores de orden superior, añadiendo elementos de otra fila y de otra columna.

43
00:04:47,709 --> 00:04:55,709
Por ejemplo, vamos a añadir estos dos elementos de esta segunda columna y este elemento de la segunda fila.

44
00:04:55,769 --> 00:05:03,310
Formamos ese menor de orden 2, cuyo determinante, o sea, cuyo valor es menos 2 distinto de 0.

45
00:05:03,449 --> 00:05:09,509
Por lo tanto, como he encontrado un menor de orden 2 distinto de 0, el rango es 2.

46
00:05:09,709 --> 00:05:11,069
No puede ser más que 2, hemos dicho.

47
00:05:13,500 --> 00:05:16,040
Otro ejemplo. Vamos a hallar el rango de esta matriz B.

48
00:05:16,500 --> 00:05:18,540
Esta matriz B es una matriz 4 por 3.

49
00:05:19,019 --> 00:05:22,899
Aquí el rango de esta matriz, como mucho, puede ser 3, como mucho.

50
00:05:22,899 --> 00:05:28,759
Vale, como la matriz es no nula ya sabemos que el rango va a ser al menos 1

51
00:05:28,759 --> 00:05:32,699
Pues empezamos a trabajar con menores de orden 2

52
00:05:32,699 --> 00:05:36,620
Bueno, pues empezamos por ejemplo con este primer menor de orden 2

53
00:05:36,620 --> 00:05:40,420
El que está formado por estos cuatro elementos

54
00:05:40,420 --> 00:05:44,339
Los dos primeros de la primera fila y los dos primeros de la segunda fila

55
00:05:44,339 --> 00:05:46,899
Ese determinante es distinto de 0

56
00:05:46,899 --> 00:05:51,379
Por lo tanto ya puedo concluir que al menos será de rango 2

57
00:05:51,379 --> 00:06:02,990
Bueno, pues a partir de este menor de orden 2 vamos a añadir elementos de otra fila o de otra columna para construir menores de orden 3.

58
00:06:03,410 --> 00:06:10,629
Por ejemplo, voy a añadir estos elementos, con lo cual formamos este menor de orden 3 que también es distinto de 0.

59
00:06:11,110 --> 00:06:18,629
Conclusión, el rango es 3 y he encontrado un menor de orden 3 distinto de 0. El rango es 3. El rango no podía ser mayor que 3.

60
00:06:18,629 --> 00:06:29,259
Este otro ejemplo, hallar el rango de esta matriz, esta es una matriz cuadrada de dimensión 4, como mucho el rango puede ser 4

61
00:06:29,259 --> 00:06:35,019
Lo mismo, como la matriz es no nula, pues sabemos que el rango al menos es 1

62
00:06:35,019 --> 00:06:41,990
Empezamos a trabajar con menores de orden 2, por ejemplo, el primer menor de orden 2 que encontramos

63
00:06:43,129 --> 00:06:50,230
Como es distinto de 0, concluimos que el rango es al menos 2, mayor o igual que 2

64
00:06:50,230 --> 00:07:00,329
Vale, pues a partir de este menor vamos a construir menores de orden 3, añadiendo elementos de otra fila y de otra columna.

65
00:07:02,009 --> 00:07:11,790
Por ejemplo, si añadimos estos elementos de esta fila y de esta columna, obtenemos un menor de orden 3 cuyo valor es 0.

66
00:07:11,790 --> 00:07:15,269
entonces como este menor de orden 3 es 0

67
00:07:15,269 --> 00:07:17,769
tenemos que formar otro menor de orden 3

68
00:07:17,769 --> 00:07:20,290
pero siempre partiendo del mismo menor de orden 2

69
00:07:20,290 --> 00:07:22,230
siempre partiendo de ese menor de orden 2

70
00:07:22,230 --> 00:07:25,589
hasta que encontremos un menor de orden 3 distinto de 0

71
00:07:25,589 --> 00:07:29,110
si lo hay, si todos los menores de orden 3

72
00:07:29,110 --> 00:07:32,209
que se forman a partir de ese menor de orden 2 son 0

73
00:07:32,209 --> 00:07:37,529
entonces ya el rango de esa matriz sería rango 2

74
00:07:37,529 --> 00:07:40,689
vale, pues por ejemplo

75
00:07:40,689 --> 00:07:43,930
podemos formar un menor de orden 3

76
00:07:43,930 --> 00:07:46,709
añadiendo estos dos elementos

77
00:07:46,709 --> 00:07:51,639
estos dos y este tercero

78
00:07:51,639 --> 00:07:53,399
que tendría que estar fila columna

79
00:07:53,399 --> 00:07:55,800
y veo que ese valor es 0 también

80
00:07:55,800 --> 00:07:58,959
bueno, pues formamos otro menor de orden 3

81
00:07:58,959 --> 00:08:02,439
añadiendo este elemento, estos dos y este de aquí

82
00:08:02,439 --> 00:08:05,720
y también me da determinante 0

83
00:08:05,720 --> 00:08:08,240
también me da que el menor de orden 3 es 0

84
00:08:08,240 --> 00:08:15,939
Buscamos otro, el siguiente que podemos encontrar es añadiendo estos dos elementos, estos dos y el 7 menos 7

85
00:08:15,939 --> 00:08:18,480
Y también ese determinante es 0

86
00:08:18,480 --> 00:08:25,399
Conclusión, como todos los menores de orden 3 que se pueden formar con ese menor de orden 2 son nulos

87
00:08:25,399 --> 00:08:29,800
Entonces el rango de esa matriz es 2