0 00:00:00,000 --> 00:00:08,000 Con este vídeo vamos a ver las consecuencias más importantes de los 1 00:00:08,000 --> 00:00:12,000 criterios de semejanza de triángulos. Entre ellos se encuentran el teorema de altura y 2 00:00:12,000 --> 00:00:18,000 el teorema del cateta. Como veis hemos dibujado aquí un triángulo rectángulo 3 00:00:18,000 --> 00:00:25,000 con vértice recto en el vértice A y hemos trazado su altura. Al trazar la 4 00:00:25,000 --> 00:00:29,000 altura de este triángulo pues hemos subdividido el triángulo en dos 5 00:00:29,000 --> 00:00:37,000 triángulos más y observamos que tanto el triángulo ABH como el triángulo AHC 6 00:00:37,000 --> 00:00:42,000 también son triángulos rectángulos, es decir que el original y los dos que se 7 00:00:42,000 --> 00:00:48,000 han formado son triángulos rectángulos. ¿En qué consiste el teorema de la altura? 8 00:00:48,000 --> 00:00:53,000 El teorema de la altura nos dice que en un triángulo rectángulo el cuadrado de la 9 00:00:53,000 --> 00:00:58,000 altura sobre la hipotenusa coincide con el producto de las proyecciones de los 10 00:00:58,000 --> 00:01:03,000 catetos sobre la hipotenusa. Vamos a ver qué quiere decir eso. 11 00:01:03,000 --> 00:01:09,000 Si damos aquí pues podemos ver el desarrollo de este teorema. ¿Qué es este 12 00:01:09,000 --> 00:01:16,000 teorema que nos dice? Que el triángulo ACH, ACH, es decir, este triangulito de aquí, 13 00:01:16,000 --> 00:01:26,000 rectángulo, es semejante al triángulo BAH, BAH, es decir, este triángulo y este de aquí son 14 00:01:26,000 --> 00:01:29,000 semejantes. ¿Por qué son semejantes? Pues porque, como hemos visto anteriormente, 15 00:01:29,000 --> 00:01:34,000 porque tienen los mismos ángulos. Si os fijáis este triángulo, el recto aquí, 16 00:01:34,000 --> 00:01:40,000 aquí tiene un ángulo en color azul que es 40,9 grados y aquí tiene un ángulo en 17 00:01:40,000 --> 00:01:47,000 color rosado que es 49,1 grados. Y este de aquí que tiene un ángulo recto, un ángulo 18 00:01:47,000 --> 00:01:53,000 en color azul, exactamente el mismo color que éste, que es de 41,9 grados, y este de 19 00:01:53,000 --> 00:01:58,000 aquí que es de 49,1 grados en color rosado igual que éste. Entonces, como veis, 20 00:01:58,000 --> 00:02:03,000 tienen los mismos ángulos. Al tener los mismos ángulos quiere decir que son 21 00:02:03,000 --> 00:02:09,000 semejantes. Si yo este punto lo moviera, pues veis que aunque los ángulos cambien 22 00:02:09,000 --> 00:02:13,000 se seguiría cumpliendo que este ángulo es igual que éste y este ángulo de aquí es 23 00:02:13,000 --> 00:02:18,000 igual que éste. Por lo tanto, esto siempre se va a cumplir, que son dos triángulos 24 00:02:18,000 --> 00:02:22,000 semejantes. En dos triángulos semejantes se cumplen que los lados son 25 00:02:22,000 --> 00:02:31,000 proporcionales. Entonces, mirad, 7,44 que es la altura, en este caso, si lo divido 26 00:02:31,000 --> 00:02:36,000 entre este trocito de aquí, que es n, pues tiene que dar exactamente lo mismo 27 00:02:36,000 --> 00:02:42,000 que si en este otro triángulo divido 9,1 entre la altura, que es 7,44, debido a la 28 00:02:42,000 --> 00:02:47,000 semejanza de triángulos. Y, de hecho, esto podría ser que ocurriera solo en este 29 00:02:47,000 --> 00:02:52,000 triángulo, pero dibuje el triángulo que yo dibuje, esa relación se cumple 30 00:02:52,000 --> 00:02:58,000 siempre. Incluso aunque éste lo moviera, da exactamente igual. Por lo tanto, en 31 00:02:58,000 --> 00:03:03,000 general, se va a cumplir que h, que es la altura, dividido entre n, que es la 32 00:03:03,000 --> 00:03:09,000 proyección desde este punto hasta aquí, es igual a m, que es la proyección desde 33 00:03:09,000 --> 00:03:15,000 este punto hasta aquí, va a dar partido por h, da esta relación. Entonces, de aquí yo 34 00:03:15,000 --> 00:03:21,000 podría despejar y veis que obtengo que h cuadrado es m por h. Esta n pasa allí 35 00:03:21,000 --> 00:03:25,000 multiplicando. O, con los números que tenemos ahora mismo, pues éste por éste al 36 00:03:25,000 --> 00:03:29,000 cuadrado da lo mismo que éste número por éste. Entonces, el teorema cátedro que me dice 37 00:03:29,000 --> 00:03:38,000 que si yo hago h al cuadrado, va a dar lo mismo que multiplicar m por n. 38 00:03:38,000 --> 00:03:44,000 O, lo que es lo mismo que h dividido por n, da lo mismo que m dividido por h. 39 00:03:44,000 --> 00:03:50,000 Ese es el teorema de la altura. Vamos a ver ahora el teorema del cateto. El teorema del cateto nos 40 00:03:50,000 --> 00:03:55,000 dice que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de un cateto es igual al 41 00:03:55,000 --> 00:03:59,000 producto de la hipotenusa por la proyección de dicho cateto sobre la 42 00:03:59,000 --> 00:04:05,000 hipotenusa. Vamos a ver ahora su comprobación. En este caso, ¿qué se cumple? 43 00:04:05,000 --> 00:04:15,000 Pues se cumple que el triángulo ACH, ACH, es semejante al BCA. BCA es el mayor. 44 00:04:15,000 --> 00:04:19,000 El mayor, si os fijáis, tiene también los mismos ángulos, porque tiene aquí un 45 00:04:19,000 --> 00:04:25,000 ángulo recto, aquí un ángulo en color azul, y otro en color rosado, que son los 46 00:04:25,000 --> 00:04:29,000 mismos ángulos que comparten con los otros dos. Por eso se cumplen estas dos 47 00:04:29,000 --> 00:04:35,000 relaciones de semejanza. Si comparo primero este con este de aquí, obtengo 48 00:04:35,000 --> 00:04:39,000 esta relación, y si comparo este con este, obtengo esta otra relación por 49 00:04:39,000 --> 00:04:45,000 semejanza, igual que hemos hecho antes. Entonces, se cumple en general, como 50 00:04:45,000 --> 00:04:51,000 veis aquí, b por b es b cuadrado, b cuadrado es igual a por m, y se cumple que c por c es c 51 00:04:51,000 --> 00:04:58,000 cuadrado, a por n. Luego, en general, en cualquier triángulo de igual este, o yo 52 00:04:58,000 --> 00:05:03,000 pusiera otro distinto, se va a cumplir también ese teorema. 53 00:05:03,000 --> 00:05:08,000 Este es el término del cateto. ¿En general qué me dice? Que este cateto, porque del 54 00:05:08,000 --> 00:05:13,000 triángulo original este es su cateto, que este cateto elevado al cuadrado va a dar 55 00:05:13,000 --> 00:05:21,000 lo mismo que la hipotenusa multiplicada por la proyección m, que es esta de aquí. 56 00:05:21,000 --> 00:05:27,000 ¿Y qué se va a cumplir en el otro caso? Pues se va a cumplir que c al cuadrado, que 57 00:05:27,000 --> 00:05:34,000 es este de aquí, c al cuadrado, el otro cateto, va a ser igual a toda la hipotenusa por la 58 00:05:34,000 --> 00:05:39,000 otra proyección de aquí. Entonces, el teorema del cateto en realidad tiene dos versiones, 59 00:05:39,000 --> 00:05:45,000 esta y esta otra. En cambio, el teorema de altura solo tiene una versión en concreto. 60 00:05:45,000 --> 00:05:51,000 Podéis aquí mover este punto, podéis mover este otro punto, y veréis que siempre se 61 00:05:51,000 --> 00:05:59,000 va a hacer de la misma manera. Este punto no vais a poderlo mover porque, tal y como 62 00:05:59,000 --> 00:06:03,000 he hecho la construcción de la figura, pues no se puede mover, pero en cualquier caso, 63 00:06:03,000 --> 00:06:10,000 al mover este punto y este de aquí, puedo dibujar cualquier tipo de triángulo o rectángulo 64 00:06:10,000 --> 00:06:17,000 y se puede poner en cualquier sitio. Al moverle este también se mueven los demás. Bueno, 65 00:06:17,000 --> 00:06:22,000 pues espero que lo hayáis entendido y nos vemos en el siguiente vídeo. Venga, hasta 66 00:06:22,000 --> 00:06:22,000 luego.