1 00:00:05,740 --> 00:00:12,060 Entre peras, manzanas y naranjas, Mario ha comprado hoy 10 kilogramos de fruta y se ha 2 00:00:12,060 --> 00:00:18,280 gastado 19 euros. Sabemos que un kilo de peras cuesta dos euros y medio, un kilo de manzanas 3 00:00:18,280 --> 00:00:23,739 dos euros y un kilo de naranjas un euro y medio. Si sumamos el número de kilos de peras 4 00:00:23,739 --> 00:00:30,019 y el de manzanas obtenemos el kilo de naranjas. Apartado A plantea un sistema lineal de ecuaciones 5 00:00:30,019 --> 00:00:35,020 para hallar la cantidad de kilogramos comprados por Mario de cada tipo de fruta y apartado 6 00:00:35,020 --> 00:00:40,380 B calcula el número de kilogramos de cada tipo de fruta. En el apartado A ya nos está indicando 7 00:00:40,380 --> 00:00:46,219 que lo tenemos que resolver planteando un sistema de ecuaciones, ¿vale? Aunque no nos lo hubieran 8 00:00:46,219 --> 00:00:51,259 puesto en el apartado A, lo tendríamos que haber deducido nosotros leyendo el enunciado. Habríamos 9 00:00:51,259 --> 00:00:56,399 visto que me estaba dando diferentes pistas y luego siempre tenemos que buscar qué es lo que 10 00:00:56,399 --> 00:01:06,189 me pregunta y ahí veríamos que diría que calculemos, claro justo nos lo pone aquí en el 11 00:01:06,189 --> 00:01:13,129 apartado B. Calcula el número de kilogramos de cada tipo de fruta. ¿Cuántos tipos de fruta tenemos? 12 00:01:13,329 --> 00:01:18,790 Tenemos peras, manzanas y naranjas, tres tipos distintos, con lo cual ya nos daríamos cuenta 13 00:01:18,790 --> 00:01:25,590 que tendríamos tres incógnitas. X podrían ser las peras, ya que es la primera mencionada, Y los 14 00:01:25,590 --> 00:01:31,590 kilos de manzanas y Z los kilos de naranjas. En el momento en que nos damos cuenta de que tengo 15 00:01:31,590 --> 00:01:37,510 tres incógnitas quiere decir que voy a necesitar tres ecuaciones. Mi sistema va a estar formado por 16 00:01:37,510 --> 00:01:43,370 tres ecuaciones y esas tres ecuaciones las tenemos que ir deduciendo entre las pistas que nos va 17 00:01:43,370 --> 00:01:49,670 dando por aquí. Hay una muy sencilla que es Mario ha comprado hoy 10 kilos de fruta. En total ha 18 00:01:49,670 --> 00:01:56,569 comprado 10 kilos. Si hemos llamado x a los kilos de peras y de manzana y z de naranja quiere decir 19 00:01:56,569 --> 00:02:02,849 que x más y más z tiene que ser 10, el total de kilos que he comprado. Esos son cantidades. 20 00:02:03,609 --> 00:02:08,129 Aquí luego ya me habla de otro total, pero este ya no es un total de cantidades, es total 21 00:02:08,129 --> 00:02:13,590 de dinero que he gastado, ¿vale? Y aquí me va diciendo lo que cuesta el kilo de cada 22 00:02:13,590 --> 00:02:18,870 fruta. Esto sería el cartel que tendríamos allí en la frutería, donde me dice que cada 23 00:02:18,870 --> 00:02:24,849 kilo de peras cuesta dos euros y medio. ¿Cuántos kilos de pera he comprado yo? X. Por lo tanto, 24 00:02:24,849 --> 00:02:31,889 por las peras, ¿cuánto me van a cobrar? Dos euros y medio que cuesta un kilo por X que compro yo, más 25 00:02:31,889 --> 00:02:39,569 dos euros que cuesta uno de manzana por Y kilos de manzanas que compro yo, más un euro y medio que 26 00:02:39,569 --> 00:02:47,289 cuesta un kilo de naranjas por Z kilos de naranjas que compro yo y en total tiene que ser los 19 27 00:02:47,289 --> 00:02:52,590 euros que me he gastado. Con eso ya tendríamos dos ecuaciones y ahora nos faltaría la tercera y la 28 00:02:52,590 --> 00:02:57,969 tercera la tenemos aquí a continuación en esta frase que todavía no hemos traducido al lenguaje 29 00:02:57,969 --> 00:03:06,530 algebraico donde me dice si sumamos, hay una suma, el número de kilo de peras, x, y el de manzanas, 30 00:03:07,509 --> 00:03:15,889 por lo tanto x más y, obtenemos, será el igual, el número de kilo de naranjas, será la z, por lo 31 00:03:15,889 --> 00:03:23,409 tanto esta ecuación va a ser x más y igual a z veamos las ecuaciones estas serían nuestras 32 00:03:23,409 --> 00:03:29,509 incógnitas es importante que pongamos aquí con precisión que es lo que me están pidiendo vale 33 00:03:29,509 --> 00:03:34,050 como aquí son cantidades pongo kilogramos porque otras veces a lo mejor lo que me está pidiendo 34 00:03:34,050 --> 00:03:39,710 es el precio de un kilo de peras entonces aquí tendría que haber puesto euros un kilo de peras 35 00:03:39,710 --> 00:03:45,389 vale lo digo porque a veces solamente ponemos peras manzanas y naranjas y luego se nos olvida 36 00:03:45,389 --> 00:03:50,310 si nuestras incógnitas son cantidades o es dinero. En este caso habíamos dicho que eran 37 00:03:50,310 --> 00:03:56,930 cantidades. Y aquí tendríamos las tres ecuaciones que hemos comentado antes. La de la suma de 38 00:03:56,930 --> 00:04:02,669 las cantidades que yo compro tiene que ser 10 kilos en total, el precio de un kilo por 39 00:04:02,669 --> 00:04:07,509 los kilos que yo compro, así con cada tipo de fruta, tiene que ser el dinero en total 40 00:04:07,509 --> 00:04:12,469 que pago y luego la relación que me daban de que si sumaba peras más manzanas eran 41 00:04:12,469 --> 00:04:19,389 igual a naranjas. Al tener un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas siempre podemos 42 00:04:19,389 --> 00:04:25,050 recurrir a la guía que nos va proponiendo el método de Gauss. Si conocemos el método de Gauss 43 00:04:25,050 --> 00:04:32,029 sabemos que lo que queremos es tener ordenadas las tres ecuaciones para luego ir haciendo ceros 44 00:04:32,029 --> 00:04:37,370 eliminando incógnitas de una manera ordenada. Eso es lo que nos propondía el método de Gauss. El 45 00:04:37,370 --> 00:04:42,470 método Gauss nos propone. Una vez que tenemos las tres ecuaciones ordenadas, siempre estas 46 00:04:42,470 --> 00:04:47,470 ecuaciones han aparecido así porque es como yo he ido traduciendo las frases que aparecían 47 00:04:47,470 --> 00:04:52,290 aquí arriba, ¿vale? Pero obviamente en el sistema yo las puedo cambiar de orden. Si 48 00:04:52,290 --> 00:04:56,649 yo quiero esta, ponerla a la tercera, la puedo poner sin problema. Siempre conviene que la 49 00:04:56,649 --> 00:05:00,949 que utilicemos arriba, que es la que más se va a utilizar, la que esté arriba, sea 50 00:05:00,949 --> 00:05:05,769 la más sencilla. La de coeficientes unos, a ser posible, o más pequeñitos, la más 51 00:05:05,769 --> 00:05:12,129 sencilla posible. Entonces, en este caso, si yo quisiera utilizar el método de Gauss, lo que 52 00:05:12,129 --> 00:05:17,689 tendría que hacer es seguir la propuesta de cómo conseguir un sistema en forma de escalón, de 53 00:05:17,689 --> 00:05:24,430 escalera, escalonado. Entonces, Gauss, lo que me guía el método de Gauss es que primero elimine y 54 00:05:24,430 --> 00:05:30,129 haga cero aquí. ¿Cómo voy a hacer cero aquí? Siempre jugando con la primera ecuación y con la 55 00:05:30,129 --> 00:05:34,949 segunda y también que haga cero a esta de aquí jugando con la primera y con la 56 00:05:34,949 --> 00:05:41,029 tercera. Entonces estas dos se tienen que eliminar utilizando la primera 57 00:05:41,029 --> 00:05:46,129 ecuación. Después el método de Gauss en un siguiente paso cuando aquí ya he 58 00:05:46,129 --> 00:05:50,670 conseguido que estas dos sean cero, que ya no estén, que hayan desaparecido, nos 59 00:05:50,670 --> 00:05:55,310 propone que eliminemos esta incógnita de aquí y para eliminar esta incógnita de 60 00:05:55,310 --> 00:06:00,769 aquí ya es con la segunda. Cuidado, nunca puede reutilizar ya la primera porque si utilizó la 61 00:06:00,769 --> 00:06:07,470 primera y la tercera, recordad que esto ya era cero, pues al utilizar estas dos haría que apareciese 62 00:06:07,470 --> 00:06:12,629 otra vez la x. Esa sería mi pista de que me he despistado y que no tenía que haber utilizado la 63 00:06:12,629 --> 00:06:17,509 primera ecuación. Cuando vaya a eliminar la y de aquí yo ya tengo que trabajar con la segunda 64 00:06:17,509 --> 00:06:23,430 porque estas dos son las que tienen aquí cero y por lo tanto ya evito que vuelvan a aparecer las x. 65 00:06:23,889 --> 00:06:31,670 De esta manera ya juego con estas dos, aquí conseguiría un 0, obviamente todos estos coeficientes habrían ido cambiando, ¿vale? 66 00:06:31,689 --> 00:06:38,930 Porque ya hemos hecho algunos cambios, pero lo que sí que habría conseguido es que la ecuación de aquí abajo ya solo tendría una zeta, 67 00:06:39,350 --> 00:06:45,649 aquí ya posiblemente habría un número distinto de 0, si hubiese un 0 no pasaría nada, pues sería que es que zeta vale 0, 68 00:06:46,209 --> 00:06:51,050 pero después de los cambios que ya hemos ido haciendo aquí seguramente aparece otra cantidad. 69 00:06:51,850 --> 00:06:58,149 Entonces, ¿qué es lo que he conseguido? He conseguido conseguir el valor de la z en la ecuación de aquí abajo. 70 00:06:58,370 --> 00:07:10,610 Con ese valor de z ya podría ir a la ecuación que tenga aquí arriba y sustituir ese valor por la z, hacer las operaciones y recuerdo que ya aquí solamente habría y, porque esto de aquí ya se habría eliminado. 71 00:07:11,149 --> 00:07:13,529 Entonces, ya sería muy fácil conseguir el valor de y. 72 00:07:13,529 --> 00:07:19,129 entonces en estos momentos ya tendría el valor de z el valor de y podría ir a la ecuación de aquí 73 00:07:19,129 --> 00:07:27,490 arriba cambiar la z por su valor la y por su valor despejar y ya tendríamos x vale eso es lo que me 74 00:07:27,490 --> 00:07:32,689 propone el método de gauss no es obligatorio utilizarlo simplemente es una guía cuando 75 00:07:32,689 --> 00:07:38,050 estamos perdidos y no sabemos por dónde empezar pero no siempre es necesario utilizar el método 76 00:07:38,050 --> 00:07:44,610 de Gauss. Entonces, por ejemplo, en este tipo de ejercicio yo observo y me doy cuenta que la primera 77 00:07:44,610 --> 00:07:51,850 ecuación y la tercera son muy parecidas. De hecho, x e y son exactamente iguales. Entonces, ¿qué 78 00:07:51,850 --> 00:07:57,589 ocurriría si yo trabajo justo con la primera ecuación y la tercera y las agrupo y trabajo 79 00:07:57,589 --> 00:08:05,670 como si fuera el método de reducción? Bueno, pues yo en el método de reducción normalmente lo que 80 00:08:05,670 --> 00:08:11,449 yo hago es fijarme en una incógnita la que yo quiero una en concreto y eliminarla pero es que 81 00:08:11,449 --> 00:08:16,290 aquí observo que puedo eliminar dos de golpe entonces esto va a hacer que vaya mucho más rápido 82 00:08:16,290 --> 00:08:21,670 porque puedo eliminar dos de golpe porque estas dos tienen exactamente los mismos coeficientes si 83 00:08:21,670 --> 00:08:29,009 yo la resto por lo que es lo mismo a una la cambio entera de signo la multiplico por menos uno he 84 00:08:29,009 --> 00:08:34,809 multiplicado por menos uno a toda la ecuación de abajo y entonces ahora qué hago cuando ya voy 85 00:08:34,809 --> 00:08:41,350 agrupando? Pues lo que queríamos, nuestro objetivo, que se han eliminado x e y de golpe, esto ha sido 86 00:08:41,350 --> 00:08:45,789 en concreto para este ejemplo, ¿vale? No siempre se van a poder eliminar dos de golpe, lo normal es 87 00:08:45,789 --> 00:08:50,889 que no se pueda, que solo podamos eliminar de una en una, pero en este caso se eliminan dos de golpe, 88 00:08:51,389 --> 00:08:59,389 de aquí ya puedo conseguir el valor de z y ahora ya con este valor de z yo lo puedo sustituir, 89 00:08:59,389 --> 00:09:07,029 por ejemplo en la primera ecuación y en la segunda y ya la z va a desaparecer haciendo las operaciones 90 00:09:07,029 --> 00:09:15,840 correspondientes. Entonces lo sustituimos, hacemos las operaciones, despejamos, llevamos para el otro 91 00:09:15,840 --> 00:09:20,580 lado para que estén los números, los términos independientes juntos y en este momento lo que 92 00:09:20,580 --> 00:09:26,679 he conseguido es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que a partir de aquí lo podríamos 93 00:09:26,679 --> 00:09:32,980 ya resolver con el método de sustitución, de igualación o de reducción. Yo voy a seguir con 94 00:09:32,980 --> 00:09:40,480 reducción. Entonces, decido una de las incógnitas a eliminar. Puedo eliminar x, eliminar y. Si quiero 95 00:09:40,480 --> 00:09:47,139 eliminar x, tendría que haber multiplicado toda la ecuación de arriba por menos 2,5. Para evitar 96 00:09:47,139 --> 00:09:52,879 tener tantos números decimales, decido eliminar y. Por lo tanto, multiplico toda la ecuación de 97 00:09:52,879 --> 00:09:58,440 arriba por menos 2 incluido el que está a la derecha de la igualdad, este obligatorio. Aquí 98 00:09:58,440 --> 00:10:04,580 no se notó porque como era 0 no notábamos que habíamos multiplicado por menos 1 porque vuelve 99 00:10:04,580 --> 00:10:10,299 a salir 0 pero también había que multiplicar el de la derecha y aparece menos 10. Vamos agrupando 100 00:10:10,299 --> 00:10:17,480 y de esta manera ya conseguimos despejar x. Ya tenemos el valor de x entonces como ya tengo el 101 00:10:17,480 --> 00:10:23,840 de x, puedo ir a una de estas ecuaciones de aquí, esta que es la más sencilla, por 102 00:10:23,840 --> 00:10:31,340 ejemplo, donde está la x poner un 3 y ya conseguir la y, donde está la x pongo un 103 00:10:31,340 --> 00:10:37,820 3 y despejo y, y de esta manera ya habría obtenido los tres valores de las tres incógnitas 104 00:10:37,820 --> 00:10:44,379 que me habían pedido, x es igual a 3 kilos de peras, y es igual a 2 kilos de manzanas 105 00:10:44,379 --> 00:10:53,519 y z es igual a 5 kilos de naranjas. Vamos a resolver ahora este mismo ejercicio pero de otra 106 00:10:53,519 --> 00:11:01,320 manera. Esto no es para complicaros, es para que os deis cuenta de que ante un problema de este tipo 107 00:11:01,320 --> 00:11:07,019 no nos tenemos que quedar bloqueados y pensar que no sabemos avanzar. Hay muchísimas maneras. Ya 108 00:11:07,019 --> 00:11:12,860 hemos comentado que si sabemos utilizar bien el método de Gauss nunca falla porque ya nos va 109 00:11:12,860 --> 00:11:18,919 guiando y ahora yo lo que estoy proponiendo son alternativas en ejercicios donde a lo mejor es 110 00:11:18,919 --> 00:11:24,139 más sencillo y más rápido haciéndolo de otra manera entonces con el método anterior en la 111 00:11:24,139 --> 00:11:30,759 propuesta anterior era casualidad que yo observé que x más y era igual en las dos ecuaciones y 112 00:11:30,759 --> 00:11:35,779 que así con reducción podía eliminar las dos de golpe vale pero insisto que eso ha sido un caso 113 00:11:35,779 --> 00:11:40,620 muy concreto de este ejercicio entonces vamos a ver ahora una manera un poquito más general 114 00:11:40,620 --> 00:11:44,279 si no hubieran sido esas dos iguales? 115 00:11:45,000 --> 00:11:47,480 Bueno, pues partiendo del mismo sistema de ecuaciones, 116 00:11:48,440 --> 00:11:54,940 ahora una propuesta que yo os hago, por ejemplo, sería siempre que hay que emparejarlas de dos en dos. 117 00:11:54,940 --> 00:11:58,960 Por ejemplo, la primera con la segunda, por empezar de alguna manera, 118 00:11:59,100 --> 00:12:02,399 como la primera es sencilla, emparejamos primera con segunda. 119 00:12:02,940 --> 00:12:06,919 Y aquí yo decido eliminar una de las incógnitas, ¿vale? 120 00:12:06,919 --> 00:12:17,139 Puede ser x, y o z. ¿Por qué he elegido y? Pues porque es la que tiene un valor entero para no trabajar con tantos decimales, pero se podría haber hecho exactamente igual con la x o con la z. 121 00:12:17,480 --> 00:12:29,039 Si yo quiero eliminar aquí la y, necesito multiplicar la ecuación de arriba toda por menos 2. Multiplicamos arriba todo por menos 2, incluido el 10, que no se nos olvide. 122 00:12:29,639 --> 00:12:38,139 Hacemos las operaciones y aquí lo que pasa es que no consigo ningún valor, pero sí que he conseguido mi objetivo que era eliminar y. 123 00:12:38,779 --> 00:12:43,120 Ahora lo que tengo ya simplemente es una ecuación con x y con z. 124 00:12:43,679 --> 00:12:51,940 Entonces ahora lo que debería hacer es trabajar con la primera, por ejemplo, que es la más sencilla, pero ahora ya con la tercera, que la tercera todavía no la hemos utilizado. 125 00:12:51,940 --> 00:13:03,019 Y nuestro objetivo sería también eliminar la misma incógnita y para así conseguir una ecuación donde ya no esté y y ya pueda trabajar también con esta que sólo tiene x y z. 126 00:13:03,620 --> 00:13:15,399 Entonces vamos aquí a nuestro objetivo, cogemos la primera y la tercera, tenemos que multiplicar una de ellas toda por menos uno, por ejemplo la de abajo, y nuestro objetivo era eliminar y, lo hemos conseguido. 127 00:13:15,399 --> 00:13:20,840 Lo que pasa es que en este caso en concreto, como ya sabíamos, también de casualidad se ha eliminado la x. 128 00:13:21,080 --> 00:13:26,179 Como se ha eliminado la x es mucho más rápido porque de esta manera ya puedo conseguir el valor de z. 129 00:13:26,720 --> 00:13:31,620 Y con este valor de z puedo ir, por ejemplo, a esta ecuación y conseguir ya el valor de x. 130 00:13:32,120 --> 00:13:36,399 ¿Qué hubiera pasado en otras circunstancias donde normalmente no se me elimina la x? 131 00:13:36,860 --> 00:13:41,720 Bueno, pues que en vez de conseguir el valor de z todavía yo no podría despejar z. 132 00:13:41,720 --> 00:13:49,580 pero sí que habría obtenido una ecuación solamente con x y con z que la podría emparejar con esta y 133 00:13:49,580 --> 00:13:54,659 ya estaría trabajando con un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas y ya podría seguir 134 00:13:54,659 --> 00:14:04,149 avanzando con el método que yo quisiera. En este caso sí que obtengo el valor de z, utilizo ya esta 135 00:14:04,149 --> 00:14:12,389 ecuación que sólo tiene x y z con este valor de z, cambio la z, hago las operaciones y obtengo x. 136 00:14:12,389 --> 00:14:30,389 Cuando ya tengo z y x pues ahora ya puedo ir a cualquiera de las ecuaciones donde también estaba y, cambiar la x por su valor, la z por su valor y conseguimos y y de esta manera obtenemos los mismos valores que con el método anterior.