1
00:00:00,880 --> 00:00:09,800
A ver, seguimos. Igual que vimos la ecuación de la recta en el espacio, vamos a ver la ecuación del plano.

2
00:00:12,320 --> 00:00:18,140
Pero para no complicarnos, solamente vamos a ver la más sencilla.

3
00:00:20,059 --> 00:00:25,920
Entonces, imaginaos lo que es un plano en el espacio.

4
00:00:27,079 --> 00:00:29,760
Digamos que tiene una dimensión más que una recta.

5
00:00:29,760 --> 00:01:01,240
Entonces, para definir un plano en el espacio, necesitamos un plano que está determinado por un punto que pertenece a ese plano, por un punto P, y en este caso lo que vamos a tener son dos vectores, directores, y dos vectores, que los vamos a llamar U y V.

6
00:01:01,240 --> 00:01:22,859
Por ejemplo, lo que estamos utilizando siempre en nuestro sistema de referencia de los ejes de coordenadas, pues están definidos por un punto, que es el origen de coordenadas, que es el 0,0, y después un vector en este sentido y un vector en este sentido.

7
00:01:22,859 --> 00:01:25,840
entonces con esos tres componentes

8
00:01:25,840 --> 00:01:26,799
ya tenemos un plano

9
00:01:26,799 --> 00:01:29,219
en el plano de la pizarra

10
00:01:29,219 --> 00:01:31,260
plano de la hoja de papel

11
00:01:31,260 --> 00:01:33,959
bueno, pues la ecuación del plano

12
00:01:33,959 --> 00:01:58,620
fijaos, el punto P

13
00:01:58,620 --> 00:02:08,500
está determinado por un vector

14
00:02:08,500 --> 00:02:11,099
que se llama OP

15
00:02:11,099 --> 00:02:14,639
plano de P0

16
00:02:14,639 --> 00:02:18,979
este es el vector

17
00:02:18,979 --> 00:02:20,979
de posición

18
00:02:20,979 --> 00:02:23,360
del punto P

19
00:02:23,360 --> 00:02:27,849
que vamos a usar para definir

20
00:02:27,849 --> 00:02:28,550
el plano

21
00:02:28,550 --> 00:02:35,780
es la distancia desde el origen

22
00:02:35,780 --> 00:02:37,680
al sitio

23
00:02:37,680 --> 00:02:39,379
donde se encuentra el punto P

24
00:02:39,379 --> 00:02:41,419
y como estamos en el espacio pues tendrá

25
00:02:41,419 --> 00:02:42,500
tres coordenadas

26
00:02:42,500 --> 00:02:46,110
sus coordenadas

27
00:02:46,110 --> 00:02:48,250
las vamos a poner con un cero

28
00:02:48,250 --> 00:02:50,509
sus coordenadas serán x cero

29
00:02:50,509 --> 00:02:52,229
y cero y z cero

30
00:02:52,229 --> 00:02:55,939
y es un vector

31
00:02:55,939 --> 00:03:03,210
y los dos vectores que van a delimitar el plano

32
00:03:03,210 --> 00:03:08,110
pues los vamos a llamar u y v

33
00:03:08,110 --> 00:03:15,909
y u va a tener de coordenadas u1, u2 y u3

34
00:03:15,909 --> 00:03:16,949
tres coordenadas

35
00:03:16,949 --> 00:03:29,379
y v es el otro vector y va a tener de coordenadas v1, v2, v3

36
00:03:29,379 --> 00:04:11,939
Entonces, la ecuación vectorial de un plano es la posición de un punto P, cualquiera que pertenece al plano, esto será X y Z.

37
00:04:11,939 --> 00:04:32,379
Cualquier punto de ese plano tiene que ser el resultado de el punto de partida, que es x0, y0, z0, y ahora más un número cualquiera, el que para la recta le llamábamos k, ¿os acordáis?

38
00:04:32,379 --> 00:04:36,560
Pues ahora, como estamos en el espacio, en vez de un número va a haber dos.

39
00:04:37,120 --> 00:04:50,839
Un A que va a multiplicar al vector U y otro número B que va a multiplicar al vector V.

40
00:04:56,970 --> 00:05:07,529
Digamos que esto se parece muchísimo a la ecuación de la recta, pero con un miembro más en la ecuación, porque estamos ahora en tres dimensiones en vez de en dos.

41
00:05:11,060 --> 00:05:26,959
Entonces, cualquier punto perteneciente al plano tiene que salir del primer punto, aplicarle un número A que multiplica al vector director U y un número B que multiplica al vector director V.

42
00:05:29,120 --> 00:05:38,620
Y aquí vamos a añadir que A y B son números pertenecientes a R, números reales.

43
00:05:38,620 --> 00:05:48,800
Bueno, pues solo vamos a escribir esta y la paramétrica

44
00:05:48,800 --> 00:05:56,980
Que la paramétrica es expresarlos por coordenadas

45
00:05:56,980 --> 00:06:14,170
La paramétrica sería x es x sub 0 más a por u sub 1 más b por v1

46
00:06:14,170 --> 00:06:25,430
Y es I0 más A por U2 más B por V2.

47
00:06:26,170 --> 00:06:37,149
Y Z es Z0 más A por U3 más B por V3.

48
00:06:44,120 --> 00:06:47,220
Y ya, esta es la ecuación paramétrica.

49
00:06:47,220 --> 00:07:12,350
No podemos, es imposible dar toda la geometría del espacio ahora. Y esto lo estamos viendo porque justo en el examen del año pasado, del 2024, en uno de los problemas, pedían una cosa y también la ecuación del plano.

50
00:07:12,350 --> 00:08:29,600
Vamos a ver dos cositas más que requieren estudiar. Vamos a ver ahora el producto vectorial. Esto en física se utiliza muchísimo.

51
00:08:29,600 --> 00:08:56,289
Bien, hacemos aquí un inciso para recordar el producto escalar. Imaginaos que tenemos dos vectores, u y v. Vamos a considerar estos dos vectores.

52
00:08:56,289 --> 00:09:22,289
Pues recordad que el producto escalar era un número, ¿eh? El resultado era un número y era, se representa así, u por v y era el módulo de u por el módulo de v por el coseno del ángulo que forman u y v, ¿vale?

53
00:09:22,289 --> 00:09:45,350
Bueno, pues es importante que esto era un punto, ¿vale? Había que poner un puntito así entre ellos. Bueno, pues el producto vectorial le vamos a poner una X. Si veis que hay dos vectores y que están separados por una X pequeña, eso implica que es el producto vectorial.

54
00:09:45,350 --> 00:10:04,259
Y el producto vectorial no es un número, es otro vector, ¿vale? Lo voy a apuntar aquí. El resultado es un vector y un vector necesita que digamos tres cosas.

55
00:10:04,259 --> 00:10:28,870
El módulo, o sea, el valor de ese vector va a ser el módulo de un vector por el módulo del otro vector, pero ahora en vez de por el coseno, ahora es por el seno, ¿vale?

56
00:10:28,870 --> 00:10:44,370
O sea, muy parecido, el producto escalar y el producto vectorial. Pero ahora estamos hablando solo del módulo. El módulo es el módulo de u por el módulo de v por el seno del ángulo que forman los dos vectores.

57
00:10:44,370 --> 00:10:49,389
la dirección que tiene este vector

58
00:10:49,389 --> 00:10:54,600
perpendicular a los otros dos

59
00:10:54,600 --> 00:10:56,659
al plano formado por los otros dos

60
00:10:56,659 --> 00:11:15,259
y el sentido se determina

61
00:11:15,259 --> 00:11:26,190
con el avance que haría un sacacorcho

62
00:11:26,190 --> 00:11:28,409
se llama la regla del sacacorcho

63
00:11:28,409 --> 00:11:42,440
que gira de U a V

64
00:11:42,440 --> 00:12:01,299
O sea, el que ponemos primero al que ponemos segundo. Luego no es conmutativo. Nos da lo mismo u por v que v por u. Eso, si me saliese dibujarlo en dos dimensiones, pues imaginaos. Imaginaos que este es el vector u y este es el vector v.

65
00:12:01,299 --> 00:12:13,659
Pues el producto vectorial, recordad, en este caso es un nuevo vector, que es este. Es perpendicular a los dos.

66
00:12:19,059 --> 00:12:31,460
Y la dirección, si yo giro un sacacorchos desde u hasta v, os tenéis que imaginar mentalmente que estamos girando en este sentido, desde u hasta v.

67
00:12:31,460 --> 00:12:39,659
Pues el sagacocho se está saliendo. El sagacocho sale para afuera. Por eso la flechita va para arriba y no para abajo.

68
00:12:44,860 --> 00:13:01,279
Bueno, pero lo más importante, sobre todo para nosotros, ¿cuál es el sentido físico del significado del producto vectorial?

69
00:13:01,279 --> 00:13:30,789
Pues el producto vectorial nos da el área del paralelogramo encerrado por los dos vectores.

70
00:13:30,789 --> 00:14:06,240
Es decir, ¿cómo nos vamos a encontrar nosotros en el ejercicio? Pues como os enseño el que salió el año pasado, en las pruebas de acceso, ¿vale? Cuando terminéis de copiar, me lo decís.

71
00:14:06,240 --> 00:14:41,490
Y valía ni más ni menos que 2,5 puntos

72
00:14:41,490 --> 00:14:50,149
Y decía, dado los vectores U con estas coordenadas 2, 1,5, menos 1 y V, 0, 3, menos 5

73
00:14:50,149 --> 00:14:58,009
Y apartado A calcula el área del paralelogramo que tiene como dos de sus lados los vectores U y V

74
00:14:58,009 --> 00:15:03,710
O sea, nos están diciendo que amamos el producto vectorial de estos dos vectores

75
00:15:03,710 --> 00:15:08,389
Luego nos piden el perímetro, el dicho paralelogramo

76
00:15:08,389 --> 00:15:13,169
Entonces ahí se convierte en un problema como el primero que hacíamos en la clase

77
00:15:13,169 --> 00:15:15,590
Y aquí es donde iba yo

78
00:15:15,590 --> 00:15:18,029
Dice, escribe la ecuación del plano

79
00:15:18,029 --> 00:15:23,549
Que pasa por el punto este y contiene al paralelogramo

80
00:15:23,549 --> 00:15:27,409
Entonces acabamos de ver cómo es la ecuación general de un plan

81
00:15:27,409 --> 00:15:30,750
Y nos da justamente un punto y estos dos vectores

82
00:15:30,750 --> 00:15:34,769
entonces por lo menos la ecuación vectorial y la paramétrica

83
00:15:34,769 --> 00:15:37,909
ya la podríamos saber dibujar

84
00:15:37,909 --> 00:15:41,289
más cosas, pues acordáis

85
00:15:41,289 --> 00:15:45,690
he guardado por aquí el ejercicio 1

86
00:15:45,690 --> 00:15:50,210
¿os acordáis que en este ejercicio de la hoja 3

87
00:15:50,210 --> 00:15:53,389
el enunciado dice que calculemos

88
00:15:53,389 --> 00:15:56,870
el área de este

89
00:15:56,870 --> 00:16:10,049
Pues, si cogemos dos vectores cualquiera, por ejemplo, el AB y el AC, y hacemos el producto vectorial, calcularíamos el área del paralelogramo.

90
00:16:11,509 --> 00:16:26,049
Y luego la dividiríamos por dos y nos daría directamente, si cogemos el AB y el AC, nos daría el área de este paralelogramo.

91
00:16:26,870 --> 00:16:43,679
Entonces, el área del triángulo es la mitad. Y lo mismo en el otro ejercicio, en este, que pedía el área del rectángulo.

92
00:16:44,440 --> 00:16:52,980
Nosotros lo hemos hecho con el producto escalar porque era así relativamente fácil, pero lo podíamos haber hecho también con el producto vectorial, el 1 y el 2.

93
00:16:53,980 --> 00:17:03,480
Vamos a hacer un ejercicio ahora para aplicar todo esto.

94
00:17:11,750 --> 00:17:16,990
Posible ejercicio de examen.

95
00:17:16,990 --> 00:17:42,529
Vamos a hallar el área del triángulo de vértices.

96
00:17:43,089 --> 00:17:48,220
Vamos a hacer en el espacio.

97
00:17:49,859 --> 00:17:53,160
Menos 1, 2, 3.

98
00:17:57,029 --> 00:17:59,289
Este es el punto A.

99
00:17:59,289 --> 00:18:25,980
B, 1, menos 2, 1, y C, 2, 1, menos 4.

100
00:18:34,130 --> 00:18:36,589
Recordad, solo se pide el área.

101
00:18:38,549 --> 00:18:46,769
Entonces, solamente tenemos que hacer el producto vectorial y eso nos daría el área del paralelogramo.

102
00:18:46,769 --> 00:18:48,809
Entonces hay que dividirla por 2.

103
00:18:48,809 --> 00:18:51,109
hay que acordarse de hacer eso porque me piden

104
00:18:51,109 --> 00:18:52,809
el área de un triángulo

105
00:18:52,809 --> 00:18:57,200
bueno, pues

106
00:18:57,200 --> 00:19:00,359
¿qué es lo que me falta?

107
00:19:00,460 --> 00:19:01,700
lo de siempre, si me dan puntos

108
00:19:01,700 --> 00:19:03,420
tengo que saber vectores

109
00:19:03,420 --> 00:19:06,180
imaginaos, esta vez no lo voy a hacer

110
00:19:06,180 --> 00:19:08,279
no tengo aquí

111
00:19:08,279 --> 00:19:10,180
la posibilidad de hacer tres dimensiones

112
00:19:10,180 --> 00:19:11,720
voy a poner los puntos

113
00:19:11,720 --> 00:19:13,660
donde a mí me dé la gana

114
00:19:13,660 --> 00:19:17,559
pero por ejemplo

115
00:19:17,559 --> 00:19:19,700
puedo coger el vector

116
00:19:19,700 --> 00:19:21,279
AB, sería este

117
00:19:21,279 --> 00:19:28,119
y el vector AC sería este

118
00:19:28,119 --> 00:19:33,210
¿estamos?

119
00:19:34,430 --> 00:19:36,890
entonces, el producto vectorial

120
00:19:36,890 --> 00:19:40,130
me daría el área de todo esto

121
00:19:40,130 --> 00:19:44,250
y yo la tengo que dividir por 2

122
00:19:44,250 --> 00:19:44,890
¿vale?

123
00:19:44,890 --> 00:19:49,849
o sea, sería el área del paralelogramo

124
00:19:49,849 --> 00:19:54,069
partido por 2

125
00:19:54,069 --> 00:20:03,190
entonces voy a hacer el producto vectorial de AB por AC

126
00:20:03,190 --> 00:20:15,220
¿cuál es el problema?

127
00:20:15,579 --> 00:20:19,500
que me falta saber cuánto vale el ángulo

128
00:20:19,500 --> 00:20:26,559
cuánto vale el ángulo A para poder hacerle el seno del producto

129
00:20:26,559 --> 00:20:32,900
y entonces eso sé que lo puedo sacar del producto escalar

130
00:20:32,900 --> 00:20:37,539
entonces, primer paso

131
00:20:37,539 --> 00:20:40,680
Vamos a calcular los vectores

132
00:20:40,680 --> 00:20:45,720
¿Cómo hacemos AB?

133
00:20:47,339 --> 00:20:48,380
Ya lo sabemos hacer

134
00:20:48,380 --> 00:20:51,539
La primera coordenada de B menos la primera coordenada de A

135
00:20:51,539 --> 00:20:55,579
1 menos 1 es 2

136
00:20:55,579 --> 00:20:59,859
Menos 2, menos 2, menos 4

137
00:20:59,859 --> 00:21:04,160
Y 1 menos 3, menos 2

138
00:21:04,160 --> 00:21:09,880
¿Cómo hacemos el otro vector?

139
00:21:09,880 --> 00:21:10,900
a c

140
00:21:10,900 --> 00:21:13,180
pues es 2

141
00:21:13,180 --> 00:21:15,140
menos menos 1

142
00:21:15,140 --> 00:21:16,799
es 2 más 1, 3

143
00:21:16,799 --> 00:21:19,960
1 menos 2

144
00:21:19,960 --> 00:21:20,880
menos 1

145
00:21:20,880 --> 00:21:25,890
y ahora menos 4

146
00:21:25,890 --> 00:21:28,170
menos 3, menos 7

147
00:21:28,170 --> 00:21:40,660
ya tenemos los vectores

148
00:21:40,660 --> 00:21:47,660
vamos a hacer

149
00:21:47,660 --> 00:21:49,119
los módulos

150
00:21:49,119 --> 00:21:56,910
voy a intentar hacerlo en pequeñito aquí

151
00:21:56,910 --> 00:21:58,970
el módulo de ab

152
00:21:58,970 --> 00:22:01,589
es la raíz cuadrada

153
00:22:01,589 --> 00:22:04,029
de 2 al cuadrado

154
00:22:04,029 --> 00:22:04,470
4

155
00:22:04,470 --> 00:22:07,269
más 4 por 4

156
00:22:07,269 --> 00:22:07,990
16

157
00:22:07,990 --> 00:22:10,829
más 2 por 2

158
00:22:10,829 --> 00:22:11,349
4

159
00:22:11,349 --> 00:22:13,470
esto como son al cuadrado

160
00:22:13,470 --> 00:22:15,369
siempre positivos

161
00:22:15,369 --> 00:22:17,849
aunque veáis que son aquí

162
00:22:17,849 --> 00:22:20,309
negativos

163
00:22:20,309 --> 00:22:21,369
y esto es

164
00:22:21,369 --> 00:22:24,069
16 más 4 es 20

165
00:22:24,069 --> 00:22:25,230
la raíz de 24

166
00:22:25,230 --> 00:22:31,240
es 4 por 9

167
00:22:31,240 --> 00:22:47,099
Y el módulo de AC es la raíz cuadrada de 3 por 3, 9, más 1, y 7 por 7, 49.

168
00:22:47,460 --> 00:23:01,960
Entonces la raíz de 59 es 7 con 68.

169
00:23:01,960 --> 00:23:10,150
Bueno, ya tengo los módulos pero no tengo el seno porque no conozco el ángulo

170
00:23:10,150 --> 00:23:22,289
¿Cómo puedo conocer el ángulo? Pues recurro al producto escalar

171
00:23:22,289 --> 00:23:38,420
Porque yo sé que el producto escalar, el que se representa con un puntito en vez de una X

172
00:23:38,420 --> 00:23:43,400
De AB por AC es

173
00:23:43,400 --> 00:23:49,279
Las primeras coordenadas, 2 por 3

174
00:23:49,279 --> 00:23:54,180
Más el producto de las segundas coordenadas

175
00:23:54,180 --> 00:23:56,440
Menos 4 por menos 1

176
00:23:56,440 --> 00:24:02,079
Más el producto de las terceras coordenadas

177
00:24:02,079 --> 00:24:04,460
Menos 2 por menos 7

178
00:24:04,460 --> 00:24:07,200
Por un lado

179
00:24:07,200 --> 00:24:12,680
Que es 6 más 4 más 14

180
00:24:12,680 --> 00:24:19,160
24

181
00:24:19,160 --> 00:24:27,279
Y por otro lado sé que es los módulos por el coseno

182
00:24:27,279 --> 00:24:29,819
del ángulo

183
00:24:29,819 --> 00:24:32,099
y los módulos ya los tengo

184
00:24:32,099 --> 00:24:33,500
4,9

185
00:24:33,500 --> 00:24:36,740
por 7,68

186
00:24:36,740 --> 00:24:39,299
por el coseno

187
00:24:39,299 --> 00:24:40,819
de A

188
00:24:40,819 --> 00:24:44,380
entonces si igualo estas dos cosas

189
00:24:44,380 --> 00:24:48,240
y despejo el coseno de A

190
00:24:48,240 --> 00:24:49,579
es 24

191
00:24:49,579 --> 00:24:51,160
partido de

192
00:24:51,160 --> 00:24:55,160
4,9 por 7,68

193
00:24:55,160 --> 00:25:49,039
Entonces, ese coseno es 0, 6, 3, 8, redondeando, y el arco coseno me da 50,37.

194
00:25:49,039 --> 00:26:15,710
¿Vale? Entonces, cuando me piden un ejercicio así, el producto escalar me sirve para sacar el ángulo, pero la operación cuyo sentido es lo que estoy buscando, el área del paralelogramo, es el producto vectorial.

195
00:26:15,710 --> 00:26:33,630
Y el producto vectorial era el módulo de 1, 4,9, por el módulo del otro, 7,68, por el seno, de 50,37.

196
00:26:35,750 --> 00:26:40,329
Y si hacemos esto con la calculadora, pues da 29.

197
00:26:40,329 --> 00:26:46,029
Pero recordad, 29 es el área del paralelogramo encerrado.

198
00:26:46,289 --> 00:26:55,930
Como es un triángulo, lo que me piden, hago 29 entre 2 y me da 13 unidades al cuadrado.

199
00:26:57,250 --> 00:26:58,230
Si no me dicen nada.

200
00:27:11,299 --> 00:27:13,259
Lo último es el producto vectorial.

201
00:27:16,599 --> 00:27:21,640
De AB por AC.

202
00:27:21,640 --> 00:27:24,539
que son los módulos

203
00:27:24,539 --> 00:27:26,880
de AC y el seno

204
00:27:26,880 --> 00:27:27,779
del ángulo que son

205
00:27:27,779 --> 00:27:32,029
y esto me da el valor

206
00:27:32,029 --> 00:27:34,150
luego la dirección

207
00:27:34,150 --> 00:27:36,190
y el sentido no me sirven para nada

208
00:27:36,190 --> 00:27:37,430
cuando lo que busco es eso

209
00:27:37,430 --> 00:27:56,950
bueno, vamos a ver una cosa

210
00:27:56,950 --> 00:27:58,230
que

211
00:27:58,230 --> 00:28:00,589
es lo último ya

212
00:28:00,589 --> 00:28:02,849
que os meto

213
00:28:02,849 --> 00:28:03,730
de geometría

214
00:28:03,730 --> 00:28:05,269
y que

215
00:28:05,269 --> 00:28:08,430
podría salir en un examen

216
00:28:08,430 --> 00:28:09,549
porque no es difícil

217
00:28:09,549 --> 00:28:10,869
y

218
00:28:10,869 --> 00:28:13,769
tiene que ver con todo esto

219
00:28:13,769 --> 00:28:16,529
y el cálculo no es excesivamente complicado

220
00:28:16,529 --> 00:28:25,039
vale