1 00:00:00,000 --> 00:00:03,080 que presentan comportamientos poco comunes y complicados de tratar. 2 00:00:03,680 --> 00:00:07,580 Estos sistemas, para ser caóticos, deben de tener unas características que pasen muy bien. 3 00:00:08,919 --> 00:00:11,560 Primero de todo, deben de ser matemáticamente no lineales, 4 00:00:11,740 --> 00:00:15,099 lo que se puede traducir a que deben de tener un mínimo de complejidad. 5 00:00:15,359 --> 00:00:17,059 Los sistemas lineales no presentan caóticos. 6 00:00:18,179 --> 00:00:20,480 Otra de las características importantes de estos sistemas 7 00:00:20,480 --> 00:00:22,960 es su extrema sensibilidad a las condiciones iniciales. 8 00:00:23,100 --> 00:00:25,960 Es decir, un pequeño cambio en las condiciones iniciales del sistema 9 00:00:25,960 --> 00:00:30,699 puede desembocar en un futuro lejano en situaciones completamente distintas. 10 00:00:31,359 --> 00:00:34,079 Esto sería conocer gracias a un proverbio oriental 11 00:00:34,079 --> 00:00:38,820 el cual dice que la letra de una mariposa puede desembocar un tornado en la tropa roja. 12 00:00:40,119 --> 00:00:43,479 Por último, estos sistemas deben de seguir una regla muy concreta. 13 00:00:43,700 --> 00:00:45,140 En este caso, las leyes de la física. 14 00:00:45,780 --> 00:00:47,600 Por lo tanto, son completamente deterministas 15 00:00:47,600 --> 00:00:52,979 y si fuéramos capaces en dos ocasiones de reproducir exactamente las mismas condiciones 16 00:00:52,979 --> 00:00:56,020 llegaríamos a la misma conclusión. 17 00:00:56,359 --> 00:01:00,039 Cosa que no ocurriría, por ejemplo, en un sistema aleatorio. 18 00:01:01,060 --> 00:01:05,319 En el cual, al ser regido solamente por el azar, no tiene por qué. 19 00:01:06,799 --> 00:01:10,519 Lo importante de la teoría del caos es que parece desafiar al determinismo científico 20 00:01:10,519 --> 00:01:14,099 y a la nera de la ciencia de conocer el pasado, presente y futuro de cualquier sistema. 21 00:01:14,819 --> 00:01:17,959 En los sistemas caóticos, dadas sus características, esto es imposible. 22 00:01:20,109 --> 00:01:23,189 Aunque parezca un contraintuitivo, algunos sistemas caóticos, 23 00:01:23,189 --> 00:01:37,450 Bueno, algunos sistemas caóticos aparentan ser desordenados y impredecibles, pero algunos tienden a valores o conjuntos de valores llamados atractores, los cuales se pueden ver en el espacio de espacios. 24 00:01:38,450 --> 00:01:39,909 Algunos tipos de atractores son los siguientes. 25 00:01:41,010 --> 00:01:44,689 El atractor punto fijo, que podemos ver, por ejemplo, en un péndulo, teniendo un volumen concreto. 26 00:01:45,829 --> 00:01:49,409 El atractor ciclo límite, que podemos ver, por ejemplo, en el oscilador de Van der Poel. 27 00:01:49,409 --> 00:01:51,269 y el atractor extraño. 28 00:01:51,370 --> 00:01:54,950 Nos detendremos en este último puesto que es el más característico de la teoría del caos 29 00:01:54,950 --> 00:01:56,230 y lo veremos con dos sistemas. 30 00:01:56,870 --> 00:02:00,269 El modelo atmosférico simplificado de Edward Norton-Lorenz y el circuito de Chou. 31 00:02:01,329 --> 00:02:04,250 En el modelo atmosférico simplificado de Edward Norton-Lorenz 32 00:02:04,250 --> 00:02:06,150 viene elegido por la siguiente ecuación, 33 00:02:06,969 --> 00:02:10,050 donde X, Y y Z son variables físicas del sistema, 34 00:02:10,449 --> 00:02:12,770 mientras que las letras griegas Rho, Sigma y Beta 35 00:02:12,770 --> 00:02:16,229 son parámetros que determinan el comportamiento de este sistema. 36 00:02:16,770 --> 00:02:19,389 En Rho igual a 28 podemos ver el atractor que vemos en pantalla. 37 00:02:20,110 --> 00:02:23,449 Como podemos ver, tiene forma de mariposa y se le denomina atractor de Lorentz. 38 00:02:24,409 --> 00:02:30,250 Y se cree que es uno de los principales causantes por los que a la teoría del caos se le llame también efecto mariposado. 39 00:02:31,250 --> 00:02:33,469 En cuanto al circuito de Choa podemos ver lo que consiste. 40 00:02:33,969 --> 00:02:41,449 Dos condensadores C1 y C2, una resistencia R, un inductor L y un resistor no lineal N sub R denominado el diodo de Choa. 41 00:02:41,849 --> 00:02:45,090 Las ecuaciones que rigen el comportamiento de este sistema son las siguientes. 42 00:02:45,090 --> 00:02:50,189 donde podemos fijarnos en la primera ecuación en una función gvc1 43 00:02:50,189 --> 00:02:54,270 la cual es no lineal y propicia el comportamiento caótico de este sistema. 44 00:02:55,090 --> 00:03:00,050 En este caso variaremos el valor de la resistencia para ver los diferentes casos que nos propicia este sistema. 45 00:03:01,110 --> 00:03:05,090 En R igual a 1300 ohmios podemos ver el primero de los atractores de este sistema 46 00:03:05,090 --> 00:03:06,770 que se denomina tipo Rosler. 47 00:03:07,409 --> 00:03:12,789 Si seguimos variando el valor de la resistencia hasta R igual a 1423,78 ohmios 48 00:03:12,789 --> 00:03:16,710 veremos el segundo tipo de atractor, que se le denomina doble scroll o doble drift. 49 00:03:17,409 --> 00:03:20,490 Para ver la extrema sensibilidad a las condiciones iniciales de este sistema, 50 00:03:21,469 --> 00:03:23,889 con solo variar una centésima el valor de la resistencia, 51 00:03:24,030 --> 00:03:26,150 volveremos a ver el primer atractor en lugar del segundo. 52 00:03:28,030 --> 00:03:31,389 Aparte de atractores, algunos gráficos de sistemas caóticos 53 00:03:31,389 --> 00:03:34,229 presentan otro tipo de objetos matemáticos llamados fractales, 54 00:03:34,229 --> 00:03:37,050 los cuales son característicos por su dimensión fraccionaria, 55 00:03:37,270 --> 00:03:39,949 también calculada en el proyecto, y mediante dos métodos. 56 00:03:39,949 --> 00:03:43,689 en función de su autosemejanza, que es otra característica de estos objetos, 57 00:03:43,969 --> 00:03:46,490 las partes se parecen al objeto en completo, 58 00:03:47,430 --> 00:03:50,590 y en función de su capacidad para cubrir espacio. 59 00:03:51,229 --> 00:03:55,009 Algunos de los fractales que hemos tratado en el proyecto son los siguientes. 60 00:03:55,770 --> 00:03:59,469 El conjunto de Cantor, que hemos calculado su dimensión fractal con los dos métodos, 61 00:04:00,530 --> 00:04:04,490 la curva e isla de Koch, esta última con perímetro infinito y área finita, 62 00:04:04,490 --> 00:04:08,389 y el triángulo de Sierpinski, que también hemos calculado su dimensión fractal. 63 00:04:08,389 --> 00:04:16,149 En cuanto a la parte práctica, en este proyecto hemos tratado las células de convección de Rayleigh-Bennard, 64 00:04:16,230 --> 00:04:18,610 tanto de manera experimental como a modo de simulación. 65 00:04:19,329 --> 00:04:26,149 El experimento consiste en calentar un recipiente con las paredes aislantes por debajo y tapado por encima, 66 00:04:26,610 --> 00:04:34,149 en el cual dentro hay un fluido viscoso y si se dan las condiciones ideales, 67 00:04:34,149 --> 00:04:42,550 el calor pasa de transmitirse por conducción, que es cuando el fluido está completamente quieto, a por convección. 68 00:04:43,230 --> 00:04:47,009 En la convección el fluido forma una especie de rodillos, como ven en pantalla, 69 00:04:47,870 --> 00:04:50,129 en los cuales se denominan células de convección. 70 00:04:50,970 --> 00:04:56,569 Estos rodillos se forman dado que el fluido de la base es calentado y que es de densidad, 71 00:04:56,569 --> 00:05:02,509 por lo tanto sube a la parte superior del recipiente para posteriormente enfriarse, ganar densidad y volver a bajar. 72 00:05:03,310 --> 00:05:08,370 Este fenómeno se repite de manera indefinida sin ningún cambio en las condiciones del sistema. 73 00:05:09,730 --> 00:05:12,230 Cuando se llega a este fenómeno se le dice que ha llegado al estado de estación. 74 00:05:13,050 --> 00:05:19,689 Las ecuaciones que rigen el comportamiento de este experimento son muy complicadas y algunas han sido nombradas en el proyecto. 75 00:05:20,269 --> 00:05:24,350 En este caso nos detendremos en una igualdad que responde al nombre del número de Rayleigh. 76 00:05:25,050 --> 00:05:33,290 El número de Rayleigh es un número dimensional, es decir, que carece de unidades de medidas que responden a la siguiente igualdad. 77 00:05:34,250 --> 00:05:39,550 El número de Rayleigh indica una relación entre los factores a favor de la convección, 78 00:05:39,550 --> 00:05:44,589 como puede ser, por ejemplo, la diferencia de temperaturas, o los que están en contra, como puede ser, por ejemplo, la viscosidad. 79 00:05:46,050 --> 00:05:49,430 Lo importante del número de Rayleigh es que para algunos valores tiene asociado un fenómeno. 80 00:05:49,629 --> 00:05:52,509 El que buscamos está en Rayleigh igual a 1.708 aproximadamente. 81 00:05:54,350 --> 00:06:09,529 La relación entre la teoría del caos y este experimento es que podemos ver perfectamente la transición del orden, que es cuando el fluido está en reposo, a pasar a un estado de caos, que es cuando se empieza a calentar y se alborota hasta llegar al estado estacionario que vuelve a ser el orden. 82 00:06:09,529 --> 00:06:16,730 En cuanto a la simulación, ha sido realizada con el programa OpenFOAM 83 00:06:16,730 --> 00:06:22,350 que es un programa que realiza una simulación del comportamiento temporal del fluido 84 00:06:22,350 --> 00:06:27,089 dados una serie de parámetros como por ejemplo las propiedades del fluido o el número de rayos a simular 85 00:06:27,089 --> 00:06:34,350 El programa como respuesta calcula una diferencia de temperaturas para cumplir con ese rayo deseado y simula 86 00:06:35,189 --> 00:06:43,350 A continuación veremos una de las simulaciones que hemos realizado con un raíz igual a 1800 y una incidencia de temperatura de 20 grados. 87 00:06:44,370 --> 00:06:48,009 Cabe mencionar que se ven un poco más las fechas del campo de evolución. 88 00:06:49,069 --> 00:06:56,290 Como podemos ver, mientras que se forman los rodillos por los laterales, en el centro hay una situación completamente caótica hasta que se forman todos los rodillos. 89 00:06:57,009 --> 00:07:02,129 Podemos confirmar que se ha llegado a la convicción cuando se empiezan a formar esta especie de múltiplos, 90 00:07:02,790 --> 00:07:05,930 los cuales, si fuese con un raíz más alto, tendrían forma de ser. 91 00:07:07,470 --> 00:07:11,930 En cuanto a la parte experimental, ha sido realizada y financiada por la Universidad de Juan Carlos. 92 00:07:12,629 --> 00:07:16,370 Aquí podemos ver un croquis hecho a mano por mí de la situación experimental, 93 00:07:16,829 --> 00:07:23,829 la cual nos ayudó tanto a la compra de los materiales como a montar la situación experimental. 94 00:07:24,629 --> 00:07:30,370 Cabe mencionar que debido a que era imposible medir la temperatura del fluido con el termopar 95 00:07:30,370 --> 00:07:33,589 y a la vez mantener el recipiente cerrado, hemos tenido que prescindir de la tapa. 96 00:07:34,089 --> 00:07:39,230 Y en lugar de la convección de la líquida, hemos hecho la convección de marangón, que en esencia es un ámbito. 97 00:07:40,769 --> 00:07:47,250 Tras una serie de intentos fallidos con problemas como que el líquido en recipientes pequeños se calentaba muy rápido 98 00:07:47,250 --> 00:07:52,110 y todo tenía su completitud, el hornillo era muy potente 99 00:07:52,110 --> 00:07:57,750 o que el fluido comenzaba a hervir, conseguimos ver por primera vez lo que podían ser las células de convicción, 100 00:07:58,269 --> 00:08:02,269 con el problema de que el hornillo no calentaba el recipiente de manera uniforme 101 00:08:02,269 --> 00:08:05,449 y se puede ver perfectamente la zona de la resistencia del hornillo. 102 00:08:07,050 --> 00:08:11,410 Tras comenzar a hervir el fluido, lo tuvimos que retirar del hornillo para enfriarlo. 103 00:08:13,050 --> 00:08:19,410 Tras unos segundos, el calor residual almacenado en el vidrio y la mesa hizo que se repartiera de manera uniforme. 104 00:08:20,029 --> 00:08:24,350 Por lo tanto, tienen las condiciones ideales para que se pudiera ver el fenómeno, casi de manera fortuita. 105 00:08:24,990 --> 00:08:28,629 Como podemos ver, cada uno de estos círculos es una célula de convección. 106 00:08:29,230 --> 00:08:33,809 En el centro podemos ver el fluido caliente y ascendente con un color más oscuro, 107 00:08:33,809 --> 00:08:41,590 mientras que en los bordes de cada célula podemos ver el fluido descendente y más frío con un color más oscuro. 108 00:08:42,490 --> 00:08:47,049 En cuanto a las conclusiones, en este proyecto hemos tratado la teoría del caos desde numerosos puntos de vista, 109 00:08:47,049 --> 00:08:49,409 desde calcular la dimensión de un fractal 110 00:08:49,409 --> 00:08:51,850 hasta ver la transición de orden al caos 111 00:08:51,850 --> 00:08:53,929 y nuevamente al orden con las células de conversión 112 00:08:53,929 --> 00:08:55,590 de Rayleigh-Mennon. Siempre intentando 113 00:08:55,590 --> 00:08:57,629 explicarlo de una manera sencilla de entender. 114 00:08:58,830 --> 00:08:59,809 Por último, agradecer 115 00:08:59,809 --> 00:09:01,490 a la Universidad de Ares Juan Carlos y en especial 116 00:09:01,490 --> 00:09:03,850 al profesor Agustín Villa, el cual 117 00:09:03,850 --> 00:09:05,669 ha estado involucrado en toda la parte experimental. 118 00:09:07,409 --> 00:09:08,049 Muchas gracias 119 00:09:08,049 --> 00:09:09,490 por su atención y queda a su disposición 120 00:09:09,490 --> 00:09:10,769 para cualquier pregunta que nos surja.