1
00:00:00,910 --> 00:00:06,349
Bueno, pues vamos a por el segundo examen de álgebra, determinantes y matrices.

2
00:00:06,469 --> 00:00:11,429
Vamos a resolver seis ejercicios que entraron en el primer examen de la segunda evaluación, ¿verdad?,

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00:00:11,429 --> 00:00:14,910
de este curso 2020-2021 en uno de los grupos de Matemáticas II.

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00:00:15,269 --> 00:00:21,629
Vamos a practicar con estos ejercicios. Para ello empezamos, si os parece, con el primero de ellos, que lo tenéis aquí.

5
00:00:22,030 --> 00:00:26,670
Es una cuestión teórica en la que nos hablan de una matriz que verifica que A por menos A es la identidad

6
00:00:26,670 --> 00:00:32,770
y nos piden que justifiquemos si pueden ser o no verdaderas las siguientes matrices.

7
00:00:33,250 --> 00:00:36,469
La primera de ellas es que la matriz A no sea cuadrada.

8
00:00:36,969 --> 00:00:41,030
Pues en fin, esto es una cuestión que tiene que ver con que se pueda multiplicar A por menos A.

9
00:00:41,030 --> 00:00:47,189
Tened en cuenta que A por menos A es como, en realidad, menos A por A.

10
00:00:47,630 --> 00:00:53,429
Y si se puede multiplicar una matriz por sí misma, necesariamente fijaos que tiene que tener,

11
00:00:53,429 --> 00:01:07,450
Si tuviese dimensión rectangular, no podría multiplicarse, puesto que el número de columnas de la de la izquierda tendría que ser igual al número de filas de la de la derecha,

12
00:01:07,510 --> 00:01:14,030
que como son la misma, necesariamente tienen que ser iguales, es decir, A tiene que ser cuadrada.

13
00:01:19,700 --> 00:01:22,799
Y por tanto, la primera es FAPS.

14
00:01:25,920 --> 00:01:28,540
Vamos con la segunda. El determinante de A es 0.

15
00:01:28,540 --> 00:01:47,620
Pero, fijaos, nos están diciendo que a por, esta es la primera, vamos con la segunda, a por menos a es igual a la identidad. Eso quiere decir que al calcular determinantes, el determinante de a por el determinante de menos a, vale el determinante de la identidad, que es 1.

16
00:01:47,620 --> 00:01:54,700
Lo que quiere decir que el determinante de A, ¿por cuánto vale el determinante de menos la identidad?

17
00:01:54,819 --> 00:02:00,099
Pues menos 1 elevado a la n, donde n es la dimensión de la matriz.

18
00:02:04,420 --> 00:02:12,379
Y eso tiene que ser igual a 1, lo que quiere decir que el determinante de A al cuadrado es más menos 1.

19
00:02:13,020 --> 00:02:15,580
Es decir, que es distinto de 0.

20
00:02:16,060 --> 00:02:20,099
Luego, la matriz A no puede tener determinante 0.

21
00:02:20,099 --> 00:02:28,780
Eso es imposible. Luego, el determinante de la A es distinto de 0. Luego, la 2 es falsa de toda falsedad.

22
00:02:29,439 --> 00:02:35,919
La matriz A tiene inversa. Bueno, pues la matriz A tiene inversa, en realidad nos lo están diciendo.

23
00:02:36,439 --> 00:02:46,919
Si A por A por menos A es la identidad, lo que quiere decir es que menos A es precisamente la matriz que va a multiplicar la por A de la identidad,

24
00:02:46,919 --> 00:03:02,860
Es decir, es la inversa. Claro que A tiene inversa, puesto que la inversa es la opuesta. A sí es invertible. Luego la 3 era falsa también.

25
00:03:04,319 --> 00:03:18,919
Y nos dice A no puede tener dimensión 3 por 3. Y esto es por lo siguiente. Fijaos que de aquí deducíamos que el determinante de A al cuadrado es igual a más menos 1.

26
00:03:18,919 --> 00:03:28,300
Pero ¿cuánto vale? Fijaos en esta ecuación de aquí. Hemos sacado que menos 1 elevado a la n por determinante de a al cuadrado es igual a 1.

27
00:03:28,800 --> 00:03:39,960
Eso quiere decir que si la n valiese 3, pues tendríamos que menos determinante de a al cuadrado sería igual a 1.

28
00:03:39,960 --> 00:03:48,319
Lo que quiere decir que el determinante de a al cuadrado valdría menos 1. Luego, el determinante no puede ser menos 1.

29
00:03:48,319 --> 00:04:01,479
el determinante al cuadrado, puesto que el determinante de a tendría que valer raíz de menos 1, que es imposible. Luego, el determinante de a no puede ser raíz cuadrada de menos 1,

30
00:04:01,919 --> 00:04:22,790
quiere decir, perdón, que a no puede tener dimensión 3. De hecho, a tiene que tener dimensión ¿qué? Pues para que este valor se haga, este número no puede ser,

31
00:04:22,790 --> 00:04:30,250
como hemos visto, menos 1, porque entonces llegaríamos a, si esto es menos 1, a esta contradicción de aquí de que el cuadrado es negativo,

32
00:04:30,850 --> 00:04:34,329
tendría que ser más 1, y si esto tiene que ser más 1, n tiene que ser par.

33
00:04:34,709 --> 00:04:38,870
Es decir, que básicamente lo que hemos demostrado es que a tiene dimensión par.

34
00:04:45,779 --> 00:04:51,819
¿De acuerdo? Bueno, pues esto ha sido todo. Vamos a por el segundo, que será algo menos teórico.

35
00:04:52,319 --> 00:04:53,699
Vamos a por él. Hasta ahora.