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00:00:00,000 --> 00:00:11,400
En este vídeo estudiaremos qué son los sistemas de ecuaciones equivalentes.

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00:00:11,400 --> 00:00:14,720
Son aquellos que tienen la misma solución.

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00:00:14,720 --> 00:00:20,940
En muchas ocasiones nos interesa transformar el sistema original en un sistema equivalente

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00:00:20,940 --> 00:00:26,160
en el cual las ecuaciones sean más sencillas.

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00:00:26,160 --> 00:00:31,640
Para transformar las ecuaciones, tenemos que recordar las reglas de transformación de

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00:00:31,640 --> 00:00:35,640
las ecuaciones, que son las siguientes.

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00:00:35,640 --> 00:00:40,920
Podemos sumar o restar el mismo número a un polinomio a los dos miembros de la ecuación,

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00:00:40,920 --> 00:00:46,680
o bien podemos multiplicar o dividir los dos miembros de la ecuación por un número distinto

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00:00:46,680 --> 00:00:48,040
de cero.

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00:00:48,040 --> 00:00:54,480
Es importante fijarse si el sistema de ecuaciones original puede transformarse en un sistema

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00:00:54,760 --> 00:01:02,040
equivalente, con ecuaciones más sencillas, de la forma número por x más número por

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00:01:02,040 --> 00:01:11,040
y igual a número, antes de aplicar cualquiera de los métodos algebraicos vistos anteriormente.

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00:01:11,040 --> 00:01:22,920
Nuestro sistema de ecuaciones original 4x más 4y igual a 8 y 8x menos 8y igual a cero,

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00:01:22,920 --> 00:01:32,040
es un sistema equivalente al sistema de ecuaciones x más y igual a 2, x menos y igual a cero,

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00:01:32,040 --> 00:01:37,480
pues ambos tienen la solución x igual a 1 y igual a 1.

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00:01:37,480 --> 00:01:41,720
Para transformar el sistema nos damos cuenta que podemos dividir toda la primera ecuación

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00:01:41,720 --> 00:01:42,720
entre 4.

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00:01:42,720 --> 00:01:51,560
Así nos queda 4x entre 4, una x, 4y entre 4, y, y 8 entre 4, 2.

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00:01:52,480 --> 00:01:58,040
De la misma forma nos damos cuenta que la segunda ecuación podemos dividirla toda entre

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00:01:58,040 --> 00:02:05,160
8, dando como resultado x menos y igual a cero.

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00:02:05,160 --> 00:02:10,240
Siempre que nos den un sistema debemos fijarnos que ambas ecuaciones están dispensadas de

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00:02:10,240 --> 00:02:19,320
la forma número por x más número por y igual a número, para la primera ecuación, y número

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00:02:19,320 --> 00:02:23,000
por x más número por y igual a número para la segunda ecuación.

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00:02:23,000 --> 00:02:33,160
a, b, c, a' , b' , c' representan números enteros, lo más pequeños posibles, y no

25
00:02:33,160 --> 00:02:38,400
fuese así debemos transformar el sistema en otro sistema equivalente, antes de aplicar

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00:02:38,400 --> 00:02:43,200
cualquier método algebraico.

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00:02:43,200 --> 00:02:49,040
Como ejemplo vamos a resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales, el objetivo

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00:02:49,040 --> 00:02:55,720
es simplificarlo de la forma número por x más número por y igual a número, en ambas

29
00:02:55,720 --> 00:02:59,540
ecuaciones, siendo los coeficientes números enteros.

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00:02:59,540 --> 00:03:07,040
Como podemos observar la primera ecuación es una ecuación que tiene denominadores.

31
00:03:07,040 --> 00:03:11,560
Para quitar los denominadores calculamos el mínimo como múltiplo de 2 y 4, que nos da

32
00:03:11,560 --> 00:03:21,280
4, y ponemos denominador 4 en todos los términos de la ecuación.

33
00:03:21,280 --> 00:03:28,800
Una vez realizado esto vamos a calcular los nuevos numeradores, para ello dividimos 4

34
00:03:28,800 --> 00:03:34,280
entre el denominador antiguo que era un 2, nos queda como resultado 2.

35
00:03:34,280 --> 00:03:39,640
Multiplicamos 2 por los términos x más y, fijaros que lo escribimos entre paréntesis.

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00:03:39,720 --> 00:03:47,040
A continuación vamos a dividir 4 entre el denominador 4, que nos queda 1, por lo tanto

37
00:03:47,040 --> 00:03:51,400
el numerador se queda como estaba, x menos y.

38
00:03:51,400 --> 00:03:57,720
Para el término de la derecha del igual dividimos 4 entre el denominador que tiene el 17, que

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00:03:57,720 --> 00:04:05,000
es un 1, porque es un número entero, eso nos queda 4, por lo tanto 4 por 17 da como

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00:04:05,000 --> 00:04:07,480
resultado 68.

41
00:04:07,480 --> 00:04:14,040
La segunda ecuación es una ecuación con paréntesis, comenzamos quitando el paréntesis,

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00:04:14,040 --> 00:04:29,880
para ello multiplicamos 2 por x y 2 por 3, es decir, nos queda 2x más 6 igual a 4y.

43
00:04:29,880 --> 00:04:35,320
Continuamos transformando el sistema en otro equivalente, para ello la primera ecuación

44
00:04:35,320 --> 00:04:40,880
quitamos los denominadores, multiplicando todos los términos por 4, y nos queda la

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00:04:40,880 --> 00:04:46,480
ecuación 2 por x más y más x menos y igual a 68.

46
00:04:46,480 --> 00:04:53,960
Para la segunda ecuación pasamos el término 4y que está a la derecha del igual a la izquierda,

47
00:04:53,960 --> 00:05:03,120
entonces pasa restando, así podemos escribir 2x menos 4y, fijaros que el término 6 que

48
00:05:03,320 --> 00:05:11,960
estaba a la izquierda del igual lo vamos a pasar ahora a la derecha, así nos queda que

49
00:05:11,960 --> 00:05:15,920
esto es igual a menos 6.

50
00:05:15,920 --> 00:05:21,200
Continuamos simplificando el sistema, fijaros que la primera ecuación es una ecuación

51
00:05:21,200 --> 00:05:28,400
con paréntesis, procedemos a quitar el paréntesis de la primera ecuación multiplicando 2 por

52
00:05:28,400 --> 00:05:37,480
x y 2 por y, así nos queda 2x más 2y, copiamos los demás términos, más x menos y igual

53
00:05:37,480 --> 00:05:40,000
a 68.

54
00:05:40,000 --> 00:05:44,600
La segunda ecuación ya está escrita de la forma número por x más número por y igual

55
00:05:44,600 --> 00:05:51,000
a número, no obstante podemos observar que todos sus términos son divisibles entre 2,

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00:05:51,000 --> 00:05:58,280
así que dividimos todos ellos entre 2, y nos queda x menos 2y igual a menos 3.

57
00:05:58,280 --> 00:06:02,960
De esta manera conseguimos que sus coeficientes sean más pequeños.

58
00:06:02,960 --> 00:06:08,200
A continuación terminamos de simplificar la primera ecuación del sistema sumando los

59
00:06:08,200 --> 00:06:21,600
términos semejantes, 2x más 1x nos queda 3x, 2y menos 1y nos queda 1y, esto es igual

60
00:06:21,600 --> 00:06:23,240
a 68.

61
00:06:23,240 --> 00:06:29,080
De esta manera hemos conseguido un sistema equivalente al sistema de ecuaciones original

62
00:06:29,080 --> 00:06:34,320
mucho más sencillo, con las ecuaciones escritas de la forma número por x más número por

63
00:06:34,320 --> 00:06:41,240
y igual a número, los coeficientes son números enteros lo más pequeños posibles.

64
00:06:41,240 --> 00:06:46,400
Resolveremos ahora el sistema por el método de sustitución, despejando la incógnita

65
00:06:46,400 --> 00:06:52,520
x en la segunda ecuación nos queda menos 3 más 2y, escribiremos la primera ecuación

66
00:06:52,520 --> 00:07:01,400
sustituyendo la x por la expresión menos 3 más 2y, nos queda 3 por menos 3 más 2y,

67
00:07:01,400 --> 00:07:05,920
fijaros que lo escribimos entre paréntesis porque el 3 multiplica los dos términos,

68
00:07:05,920 --> 00:07:15,840
más y igual a 68, quitamos el paréntesis multiplicando 3 por menos 3 y 3 por 2y, nos

69
00:07:15,840 --> 00:07:26,360
queda menos 9 más 6y más 1y que teníamos igual a 68, simplificamos la ecuación sumando

70
00:07:26,360 --> 00:07:34,880
los términos semejantes 6y e y, así nos queda menos 9 más 7y igual a 68, terminamos

71
00:07:34,880 --> 00:07:41,240
de resolver la ecuación de primer grado, 7y es 68 más 9, donde el menos 9 ha pasado

72
00:07:41,240 --> 00:07:51,500
a la derecha sumando, así nos queda 7 igual a 77 y ahora el 7 pasa dividiendo y nos queda

73
00:07:51,500 --> 00:07:59,280
como resultado 77 entre 7 que da igual a 11. Recordar que resolver el sistema es dar el

74
00:07:59,280 --> 00:08:04,440
valor de las dos incógnitas, así hallada la y tenemos que hallar la x a través de

75
00:08:04,440 --> 00:08:13,120
la expresión menos 3 más 2y, por tanto escribimos x igual a menos 3 más 2 por 11

76
00:08:13,120 --> 00:08:22,240
que es lo que vale la y, realizando los cálculos x es igual a menos 3 más 22, es decir x es

77
00:08:22,240 --> 00:08:32,360
igual a 19. Halladas las soluciones x igual a 19 igual a 11 vamos a realizar la comprobación

78
00:08:32,360 --> 00:08:37,800
sustituyendo en las ecuaciones originales del sistema, así en la primera ecuación

79
00:08:37,800 --> 00:08:47,520
tendremos 19 más 11 entre 2 más 19 menos 11 entre 4, esto nos tiene que dar igual a

80
00:08:47,520 --> 00:08:58,080
17, 19 más 11 da 30 entre 2 más 8 que es 19 menos 11 entre 4, esto nos tiene que dar

81
00:08:58,080 --> 00:09:10,880
17. Así tenemos 15 más 2 igual a 17, es una igualdad numérica verdadera. Sustituimos

82
00:09:10,880 --> 00:09:17,720
las soluciones en la segunda ecuación por lo tanto tenemos ahora 2 por 19 más 3 que

83
00:09:17,720 --> 00:09:24,440
nos tiene que dar igual a 4 por 11 que es el valor de la y. Realizamos la operación

84
00:09:24,440 --> 00:09:35,240
del paréntesis, nos queda 2 por 22, esto tiene que ser igual a 4 por 11 que es 44,

85
00:09:35,240 --> 00:09:42,440
2 por 22 son 44 lo cual nos queda una igualdad numérica verdadera. Hemos comprobado de esta

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00:09:42,440 --> 00:09:46,640
manera que la solución x igual a 19 igual a 11 es correcta.