1 00:00:12,400 --> 00:00:18,199 Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES 2 00:00:18,199 --> 00:00:23,260 arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases 3 00:00:23,260 --> 00:00:34,439 de la unidad AL2 dedicada a los determinantes. En la videoclase de hoy estudiaremos la matriz 4 00:00:34,439 --> 00:00:52,509 adjunta. En esta videoclase vamos a estudiar la matriz adjunta de una matriz que no necesariamente 5 00:00:52,509 --> 00:00:59,090 tiene por qué ser cuadrada. Aquí vemos una matriz n por m, n filas y m columnas. Para el cálculo de 6 00:00:59,090 --> 00:01:03,869 la matriz adjunta tenemos que, en primer lugar, definir el menor complementario de un elemento 7 00:01:03,869 --> 00:01:10,969 de esta matriz. Dado un cierto elemento a sub ij en la fila iésima y en la columna jésima, se define 8 00:01:10,969 --> 00:01:16,530 su menor complementario como la submatriz que resulta de eliminar su fila y su columna, en este 9 00:01:16,530 --> 00:01:23,150 caso, la fila iésima y la columna jésima. Va a ser una submatriz que va a tener una fila y una columna 10 00:01:23,150 --> 00:01:28,849 menos que la matriz original, así que si esta matriz hubiera sido 3 por 4, los menores complementarios 11 00:01:28,849 --> 00:01:34,489 van a ser todos 2 por 3. Si esta matriz fuera cuadrada de orden 4, todos los menores complementarios 12 00:01:34,489 --> 00:01:40,989 serán cuadrados, también serán submatrices también cuadradas de orden 3, una unidad menos, y estos 13 00:01:40,989 --> 00:01:47,829 menores complementarios se van a denotar como alfa sub ij. No va a ser una letra del alfabeto 14 00:01:47,829 --> 00:01:52,510 latino sino que va a ser la letra del alfabeto griego que corresponde a esta letra minúscula 15 00:01:53,209 --> 00:02:00,230 e ij la misma posición que la del elemento. Si por ejemplo aquí tenemos esta matriz a cuadrada 16 00:02:00,230 --> 00:02:07,810 casualmente y queremos determinar alfa sub 1 1 el menor complementario del elemento a sub 1 1 es 17 00:02:07,810 --> 00:02:13,270 la submatriz que resulta de eliminar primera fila y primera columna, 1, 3, 8, 9. Es una 18 00:02:13,270 --> 00:02:18,330 submatriz cuadrada de orden 2, puesto que A es una submatriz cuadrada de orden 3. Si 19 00:02:18,330 --> 00:02:24,590 en lugar de alfa, 1, 1, quisiéramos ver cuál es alfa, 2, 1, segunda fila y primera columna 20 00:02:24,590 --> 00:02:28,870 sería el menor complementario de este elemento que hay aquí, tachamos su fila, tachamos 21 00:02:28,870 --> 00:02:34,650 su columna y lo que tenemos es una submatriz cuadrada de orden 2, 4, 6, 8, 9. Bastante 22 00:02:34,650 --> 00:02:40,389 sencillo. A partir de los menores complementarios lo que vamos a definir es lo que se llama el 23 00:02:40,389 --> 00:02:48,990 adjunto de un cierto elemento. La forma de notación del adjunto de un elemento también es ligeramente 24 00:02:48,990 --> 00:02:54,169 distinta, ya no es una letra minúscula sino que en este caso sigue siendo una letra latina pero 25 00:02:54,169 --> 00:03:00,430 en este caso es mayúscula. Cuidado en no confundir a sub ij, a sub 1 1, a sub 1 2 con una matriz. 26 00:03:00,430 --> 00:03:09,430 A sub 2 por 3, cuidado, siempre con el por explícito me indica una matriz porque es una letra mayúscula 27 00:03:09,430 --> 00:03:14,310 y lo que tengo en el subíndice son sus dimensiones porque tengo este por explícito 2 por 3 28 00:03:14,310 --> 00:03:24,389 Si yo leyera A sub 2 3 sin el por, lo que tengo es por definición el elemento adjunto del elemento A sub 2 3 29 00:03:24,389 --> 00:03:29,310 La anotación es un poco complicada pero la tenemos que aceptar 30 00:03:30,289 --> 00:03:38,889 Ese adjunto del elemento sub ij, que denotamos a mayúscula sub ij, se calcula como el determinante del menor complementario, 31 00:03:38,949 --> 00:03:45,449 que hemos visto hace un momento, afectado por un signo, que se calculará como menos 1 elevado a i más j, la suma de fila de columna. 32 00:03:46,409 --> 00:03:51,650 Supongamos que quiero calcular el adjunto de, en esta matriz A, el elemento a sub 1, 1. 33 00:03:52,090 --> 00:03:57,669 ¿Qué es lo que debo hacer? Bueno, pues en primer lugar voy al elemento 1, 1, tacho su fila y su columna. 34 00:03:57,669 --> 00:04:04,469 lo que me queda es el menor complementario. Calculo el determinante, en este caso 1 por 9 menos 3 por 35 00:04:04,469 --> 00:04:10,710 8 y al resultado le tengo que afectar de un signo posiblemente, puesto que tengo que multiplicar por 36 00:04:10,710 --> 00:04:17,990 menos 1 elevado a suma de fila y columna 1 más 1 que es 2. Menos 1 al cuadrado es más 1, el signo no 37 00:04:17,990 --> 00:04:22,949 cambia. Si multiplico más 1 por el determinante del menor complementario el signo no va a cambiar. 38 00:04:22,949 --> 00:04:29,670 ¿Cuándo va a cambiar el signo? Pues cuando la suma de fila y columna no sea un número par, sino que sea un número impar 39 00:04:29,670 --> 00:04:33,970 Sería el caso del adjunto del elemento a sub 2, 1 40 00:04:33,970 --> 00:04:40,370 ¿Cómo lo calcularía? Me voy al elemento 2, 1, que está aquí, tacho su fila, tacho su columna 41 00:04:40,370 --> 00:04:45,889 Calculo el determinante del menor complementario, 4 por 9 menos 6 por 8 42 00:04:45,889 --> 00:04:51,629 Y en cuanto al signo, en este caso será menos 1 elevado a 2 más 1, suma de fila y columna 43 00:04:52,110 --> 00:04:54,509 Menos 1 al cubo, como es impar, es menos 1. 44 00:04:54,850 --> 00:05:01,230 Y aquí el determinante del menor complementario sí está afectado por un signo, puesto que estoy multiplicando por menos 1. 45 00:05:01,670 --> 00:05:09,350 En este caso, suma de fila y columna es un número impar, el determinante del menor complementario, cuando vaya a calcular el adjunto, va a cambiar de signo. 46 00:05:09,410 --> 00:05:13,550 Menos 1 por, y en este caso, 4 por 9 menos 6 por 8. 47 00:05:14,790 --> 00:05:18,870 Los determinantes de los menores complementarios hay que calcularlos todos. 48 00:05:18,870 --> 00:05:28,329 Pero para el signo, este signo que puede o no afectar al determinante del menor complementario, hay una regla mnemotécnica bastante sencilla. 49 00:05:29,189 --> 00:05:38,889 Vamos a comenzar por este primer elemento, la primera fila, primera columna. Primera fila, primera columna, 1 más 1 es igual a 2, menos 1 al cuadrado es igual a más 1. 50 00:05:40,310 --> 00:05:48,850 Todos los adjuntos de los elementos 1, 1 no van a cambiar de signo con respecto al determinante, puesto que menos 1 elevado a 2 es más 1. 51 00:05:48,870 --> 00:06:03,949 Es un signo positivo. Si con respecto de cualquier elemento con signo positivo me muevo una unidad hacia la derecha, una fila, perdón, hacia abajo o una columna hacia la derecha, el signo va a cambiar. 52 00:06:04,129 --> 00:06:11,550 Y en lugar de ser positivo va a ser negativo. ¿Por qué? Porque si me muevo a la derecha estoy en la misma fila, pero la columna es una unidad mayor. 53 00:06:11,550 --> 00:06:22,050 Al hacer la suma de fila más columna, si antes era par ahora será impar. Mientras que si me muevo hacia abajo, el número de la columna es el mismo, pero el número de la fila ha aumentado una unidad. 54 00:06:22,529 --> 00:06:33,930 Así que si antes fila más columna era par, ahora fila más columna va a ser impar. Fijaos, el elemento 1, 2, 1 más 2 es 3, impar. Y aquí será el elemento 2, 1. 2 más 1 también es 3, impar. 55 00:06:33,930 --> 00:06:43,610 Así que si desde este elemento que es par me muevo una posición a la derecha o una posición hacia abajo, voy a alcanzar una posición donde voy a tener un signo negativo. 56 00:06:43,790 --> 00:06:47,610 Y el determinante del menor complementario lo voy a afectar por un signo menos. 57 00:06:48,610 --> 00:07:00,189 Si me muevo una posición a la derecha o arriba o abajo o incluso a la izquierda de cualquier elemento con signo negativo, ahora lo que voy a alcanzar es una posición con signo positivo. 58 00:07:00,649 --> 00:07:07,389 ¿Por qué? Pues o bien estoy en la misma fila y tengo una columna con una unidad más o una unidad menos, 59 00:07:08,350 --> 00:07:12,110 y si antes la suma era impar, ahora la suma de fila más columna va a ser par, 60 00:07:12,610 --> 00:07:20,670 o bien estoy en la misma columna y lo que alcanzo es una fila, una unidad superior o una unidad inferior, 61 00:07:20,889 --> 00:07:23,310 y si antes la suma era impar, ahora la suma va a ser par. 62 00:07:24,430 --> 00:07:29,529 Lo mismo reza en el caso en el que yo esté en una posición con signo positivo, puede ser esta, por ejemplo. 63 00:07:30,189 --> 00:07:37,370 En ese caso, si me muevo una posición a la derecha, izquierda o arriba o abajo, voy a alcanzar una posición con signo negativo. 64 00:07:38,250 --> 00:07:49,009 Fijaos, si no cambio la fila y la columna es una unidad superior o inferior, si antes tenía una suma par, ahora tendría una suma en par. 65 00:07:49,009 --> 00:07:59,089 Lo mismo, si no cambio la fila y alcanzo una columna, una unidad superior o una unidad inferior, si antes tenía una suma par, ahora tendría una suma en par. 66 00:08:00,189 --> 00:08:14,689 A final de cuentas, ¿qué es lo que quiere esto decir? Pues que teniendo en cuenta que este primer elemento va a tener signo positivo y a partir de aquí, siempre que me mueva una posición a derecha, izquierda, arriba o abajo, va a cambiar el signo, lo único que tengo que hacer es pensar. 67 00:08:14,689 --> 00:08:29,250 Signo más, me muevo hacia la derecha. Signo menos, signo más. Ahora me muevo hacia abajo. Signo menos, me muevo hacia la izquierda. Signo más, signo menos. Me muevo hacia abajo. Signo más, me muevo hacia la derecha. Signo menos, signo más. Y así sucesivamente. 68 00:08:29,250 --> 00:08:40,470 Aquí, por ejemplo, más, menos, más, menos, me muevo a la derecha, menos, más, menos, me muevo hacia arriba, más, menos, más, da igual el orden, da igual cómo me mueva. 69 00:08:40,909 --> 00:08:44,950 Al final, lo que voy a hacer es considerar que todos estos signos van a estar siempre alternos. 70 00:08:45,070 --> 00:08:47,809 Comenzando, fijaos, siempre con un signo más en esta esquina. 71 00:08:49,250 --> 00:08:55,529 Bien, hemos definido el menor complementario de un elemento de una matriz, no necesariamente cuadrada. 72 00:08:56,429 --> 00:09:00,590 Hemos definido el adjunto de un cierto elemento, en este caso, 73 00:09:00,730 --> 00:09:02,470 sin necesariamente de una matriz cuadrada, 74 00:09:02,590 --> 00:09:05,909 puesto que vamos a calcular el determinante del menor complementario. 75 00:09:06,309 --> 00:09:08,629 Y para que el menor complementario tenga determinante, 76 00:09:08,990 --> 00:09:13,269 tiene que ser cuadrado y necesariamente la matriz originaria debe ser cuadrada. 77 00:09:14,210 --> 00:09:17,830 Bien, ¿cuál es la matriz adjunta de una matriz cuadrada? 78 00:09:17,830 --> 00:09:21,549 Bueno, pues es la matriz formada por sus elementos adjuntos. 79 00:09:21,909 --> 00:09:24,830 Una vez que calculamos todos los elementos adjuntos, 80 00:09:24,830 --> 00:09:29,850 los colocamos dentro de la posición correspondiente y la matriz que así obtenemos es la matriz adjunta. 81 00:09:30,730 --> 00:09:36,529 Nosotros vamos a representar la matriz adjunta de esta manera, como a y como superíndice un más, 82 00:09:36,590 --> 00:09:43,610 ese más va a indicar matriz adjunta. En algunas ocasiones podremos ver adj como tal cual, 83 00:09:43,710 --> 00:09:48,450 como adj de adjunta y entre paréntesis el nombre de la matriz, pero nosotros por simplicidad 84 00:09:48,450 --> 00:09:53,950 utilizaremos siempre a super más para indicar la matriz adjunta. 85 00:09:54,509 --> 00:10:00,009 Con esto que hemos visto ya se podrían calcular las matrices adjuntas de estas dos matrices cuadradas. 86 00:10:00,549 --> 00:10:02,649 En este primer caso tengo una matriz de orden 3. 87 00:10:03,230 --> 00:10:08,210 Todos los adjuntos se van a calcular como determinantes de menores complementarios de orden 2, muy sencillo. 88 00:10:08,370 --> 00:10:13,970 En este caso tengo una matriz cuadrada de orden 4 y lo que vamos a hacer es calcular todos los adjuntos 89 00:10:13,970 --> 00:10:18,330 como determinantes de menores complementarios de orden 3, factible, aunque con un poco más 90 00:10:18,330 --> 00:10:23,990 de trabajo. Esto lo veremos en clase y también lo veremos resuelto en alguna videoclase posterior. 91 00:10:26,779 --> 00:10:32,340 En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios. 92 00:10:33,080 --> 00:10:38,539 Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web. No dudéis 93 00:10:38,539 --> 00:10:43,500 en traer vuestras dudas e inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual. Un 94 00:10:43,500 --> 00:10:44,700 saludo y hasta pronto.