1
00:00:00,050 --> 00:00:03,810
Hola, en este vídeo vamos a ver cómo resolver este ejercicio.

2
00:00:04,429 --> 00:00:12,330
Nos piden hallar los valores a, b y c para que la función f verifique las hipótesis del teorema de ROLL en el intervalo 0,4.

3
00:00:13,150 --> 00:00:16,230
Y además nos piden encontrar el dicho punto.

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00:00:16,230 --> 00:00:47,490
ROLL nos dice que si f es continua en 0,4 y derivable en 0,4

5
00:00:47,490 --> 00:01:13,590
y además f de 0 igual a f de 4, entonces podemos garantizar que existe un número c perteneciente a 0,4 tal que f' de c es igual a 0.

6
00:01:13,590 --> 00:01:18,489
Venga, pues tenemos que garantizar que la función sea continua en el intervalo 0,4

7
00:01:18,489 --> 00:01:22,150
Bueno, como son polinomios, son continuos y son derivables

8
00:01:22,150 --> 00:01:24,810
El único punto conflictivo va a ser el 2

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00:01:24,810 --> 00:01:27,069
Bien, hacemos f de 2

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00:01:27,069 --> 00:01:32,090
Cogemos el trozo en el que está el 2, que es el de aquí abajo

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00:01:32,090 --> 00:01:35,170
Y esto nos da 2c más 1

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00:01:35,170 --> 00:01:40,010
Vale, el siguiente paso es calcular el límite cuando x tiende a 2

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00:01:40,010 --> 00:01:58,930
Como la función cambia de expresión en 2, tendremos que hacer los límites laterales, límite cuando x tiende a 2 por la izquierda y 2 por la izquierda tendremos que coger esta expresión ax cuadrado más bx más 5,

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00:01:58,930 --> 00:02:23,449
lo cual nos da el límite 4a más 2b más 5 y por el otro lado el límite cuando x tiende a 2 por la derecha de cx más 1, esto va a ser 2c más 1.

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00:02:23,449 --> 00:02:38,550
Para que sea continua el límite tiene que existir y de aquí sacamos la ecuación 4a más 2b más 5 igual a 2c más 1.

16
00:02:38,550 --> 00:02:59,949
Si la queremos simplificar, 4a más 2b menos 2c igual a menos 4. Como son todos divisores de múltiples de 2, la puedo simplificar poniendo 2a más b menos c igual a menos 2.

17
00:02:59,949 --> 00:03:08,050
Y la enmarco porque tengo una ecuación con tres incógnitas. Eso me tiene que dar la pista de que tengo que hacer otras cosas.

18
00:03:09,250 --> 00:03:24,009
La otra cosa es derivable. Bueno, pues derivo, puesto que yo sé que son derivables en todos los trozos, la derivada va a ser 2ax más b y aquí abajo va a ser c.

19
00:03:24,009 --> 00:03:32,909
Esto sí, x menor que 2 y sí, x mayor que 2.

20
00:03:33,129 --> 00:03:35,870
Bueno, me ha quedado un churro.

21
00:03:37,270 --> 00:03:42,050
x menor que 2, x mayor que 2.

22
00:03:42,229 --> 00:03:43,810
No pongo el igual porque no lo sé.

23
00:03:44,710 --> 00:03:51,810
Para hacerlo del igual tendré que hacer la derivada de 2 por la izquierda,

24
00:03:51,810 --> 00:04:24,519
La derivada lateral, que como ya sabéis, es el límite cuando h tiende a 0 por la izquierda de f de 2 más h menos f de 2 partido de h.

25
00:04:25,420 --> 00:04:33,310
Sustituyendo y calculando el límite, esto me va a dar que es 4a más b.

26
00:04:34,350 --> 00:04:44,790
Si hago lo mismo, f de 2, f' de 2 por la derecha, ya sabéis que esto es el límite lateral cuando h tiende a 0 por la derecha,

27
00:04:44,790 --> 00:04:50,990
df de 2 más 2 más h

28
00:04:50,990 --> 00:04:56,670
menos f de 2 partido por h

29
00:04:56,670 --> 00:04:59,589
y esto va a salir c

30
00:04:59,589 --> 00:05:05,550
fijaros que cuadra con lo que tiene que salir

31
00:05:05,550 --> 00:05:10,290
bien, para que sea derivable en ese entorno

32
00:05:10,290 --> 00:05:13,870
esto tiene que coincidir

33
00:05:13,870 --> 00:05:18,490
4a más b tiene que ser igual a c

34
00:05:18,490 --> 00:05:21,290
Ya tengo la segunda ecuación, como podéis ver.

35
00:05:22,730 --> 00:05:24,829
¿Dónde está la tercera pista que va a hacer falta?

36
00:05:24,949 --> 00:05:25,970
Porque hay tres letras.

37
00:05:26,209 --> 00:05:32,089
Pues en el hecho de que f de 0 tiene que ser igual a f de 4.

38
00:05:33,649 --> 00:05:46,029
f de 0 va a ser 5, porque fijaros que al sustituir aquí la x por 0 sale 5.

39
00:05:46,029 --> 00:05:56,129
Y en el otro lado, f de 4, que es mayor que 2, esto va a ser 4c más 1.

40
00:05:56,870 --> 00:06:03,649
Como el teorema de Rolle tiene que coincidir, tengo 4c más 1, que es igual a 5.

41
00:06:04,769 --> 00:06:09,470
De aquí puedo deducir que c es igual a 1. Ya tengo mi primera variable.

42
00:06:09,470 --> 00:06:34,560
Bien, fijaros, la otra ecuación que teníamos, si la copio, pues está aquí, y junto con esta, pues tenemos un sistema.

43
00:06:35,199 --> 00:06:49,639
Como ya sabemos que lo que vale la c, podemos cambiarlo, así que de aquí tendremos que 2a más b menos 1, que es lo que vale la c, es igual a menos 2.

44
00:06:49,639 --> 00:06:59,800
Y de aquí tenemos que 4a más b igual a 1.

45
00:07:01,060 --> 00:07:06,600
Por ejemplo, podemos restar para que se vayan las b y ¿qué me va a quedar?

46
00:07:06,600 --> 00:07:29,290
Pues arriba me va a quedar 2a más b menos 1 igual a menos 2, 2a menos 4a menos 2a, las b se van, menos 1 igual, esto se resta menos 3.

47
00:07:29,290 --> 00:07:38,329
Luego, menos 2a es igual a menos 2, la a me sale que vale 1.

48
00:07:47,430 --> 00:07:55,810
Y si la a vale 1, de esta misma ecuación, resulta que la b vale menos 3.

49
00:07:55,810 --> 00:08:24,410
Por lo tanto nuestra función va a ser f de x igual a x cuadrado menos 3x más 5 si x menor que 2 y x más 1 si x mayor o igual que 2.

50
00:08:32,080 --> 00:08:53,500
Por tanto, la derivada de f de x es igual a 2x menos 3 si x es menor que 2 y 1 si x es mayor o igual que 2.

51
00:08:53,500 --> 00:08:56,279
Y ahora sí pongo el mayor igual porque sé que es derivable.

52
00:08:57,980 --> 00:09:06,379
Bien, si me piden c, pues obviamente hay que hacer f' de x igual a cero.

53
00:09:07,779 --> 00:09:16,980
Entonces la única opción es igualar a 2x menos 3 igual a cero.

54
00:09:17,580 --> 00:09:21,779
Y aquí saco que x es igual a 3 medios.

55
00:09:23,500 --> 00:09:37,299
Luego, por tanto, existe c perteneciente a 0, 4, tal que f' de c es igual a 0.

56
00:09:37,679 --> 00:09:43,460
Esto me lo garantiza el teorema de Rolle, pero es que además sé que c, por esto que acabo de hacer aquí,

57
00:09:43,460 --> 00:09:54,490
c, por esto que acabo de hacer aquí, c es igual a 3 medios.

58
00:09:54,490 --> 00:09:57,090
luego por tanto

59
00:09:57,090 --> 00:09:59,690
el teorema de Rolle me dice que existe

60
00:09:59,690 --> 00:10:01,570
y además la derivada y la función

61
00:10:01,570 --> 00:10:02,889
permiten encontrarlo

62
00:10:02,889 --> 00:10:04,909
y eso es todo