1
00:00:00,620 --> 00:00:21,120
bienvenidos a otro nuevo vídeo de la web del profe de mates en esta ocasión vamos a realizar el

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00:00:21,120 --> 00:00:27,660
ejercicio b2 de la convocatoria ordinaria de la evau madrid 2022 en su convocatoria

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00:00:27,660 --> 00:00:34,159
ordinaria en junio y dice así sea f de x igual a x partido de x cuadrado más uno todo ello en

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00:00:34,159 --> 00:00:40,700
el denominador apartado a compruebe si f de x verifica la hipótesis del teorema de bolzano en

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00:00:40,700 --> 00:00:47,920
el intervalo menos 1 1 cerrado apartado b calcule y clasifique los extremos relativos de f de x en

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00:00:47,920 --> 00:00:53,299
r o sea que habrá que calcular los máximos y los mínimos si es que los tiene la función y en el

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00:00:53,299 --> 00:01:00,100
apartado c determine el área comprendida entre la gráfica de la función f de x y el eje o x en el

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00:01:00,100 --> 00:01:14,140
intervalo menos 1, 1. Apartado A. ¿Qué dice el teorema de Bolzano? Vamos a ello. Dice

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00:01:14,140 --> 00:01:23,060
que si tenemos una función que va del intervalo AB en principio a todos los reales, de tal

10
00:01:23,060 --> 00:01:39,079
modo, que es continua, ¿en dónde? Pues en el intervalo AB, ¿vale? Y además ocurre que f de A por f de B es menor que 0,

11
00:01:39,879 --> 00:01:49,000
entonces, ¿qué es lo que ocurre? Entonces existe un valor C que pertenece al interior del intervalo AB,

12
00:01:49,000 --> 00:01:54,060
en el que f de c es 0

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00:01:54,060 --> 00:01:57,379
recordar que es un teorema de existencia

14
00:01:57,379 --> 00:01:59,439
no te dice cómo se calcula este valor c

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00:01:59,439 --> 00:02:01,840
tampoco te dice que sea único

16
00:02:01,840 --> 00:02:05,540
por lo tanto el teorema de Bolzano no nos otorga la unicidad

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00:02:05,540 --> 00:02:07,400
de la existencia de este valor

18
00:02:07,400 --> 00:02:09,159
pueden ser varios valores

19
00:02:09,159 --> 00:02:14,419
bueno, pues vamos a ver si cumple las hipótesis del teorema de Bolzano

20
00:02:14,419 --> 00:02:17,879
es decir, la función es continua en el intervalo

21
00:02:17,879 --> 00:02:24,020
menos 1, 1. La función cumple que f de a por f de b es menor que 0. Bueno, pues vamos a verlo.

22
00:02:24,639 --> 00:02:35,060
Primero, f de x es continua en el intervalo menos 1, 1. Pues sí, claramente. F de x, que es x partido

23
00:02:35,060 --> 00:02:48,599
de x cuadrado más 1, es continua al ser cociente, división de funciones continuas.

24
00:02:54,050 --> 00:02:58,430
El numerador es x, que es un polinomio, es una recta.

25
00:02:58,849 --> 00:03:04,909
x cuadrado más 1, que es el denominador, es una función cuadrática, que también es un polinomio, que es continua.

26
00:03:05,449 --> 00:03:10,889
Y además, observar que si hubiera algún tipo de problema, tendría que darse a nivel denominador.

27
00:03:10,889 --> 00:03:16,810
Cuando x cuadrado más 1 fuera 0, ahí es donde se daría el problema.

28
00:03:17,009 --> 00:03:21,409
Pero eso entonces sería equivalente a que x cuadrado sería igual a menos 1.

29
00:03:21,409 --> 00:03:26,629
o sea que x sería más menos la raíz de menos 1

30
00:03:26,629 --> 00:03:29,509
que eso no existe en los reales

31
00:03:29,509 --> 00:03:33,909
así que es continua al ser cociente de funciones continuas

32
00:03:33,909 --> 00:03:38,250
en el que x cuadrado más 1 igual a 0 nos lleva a una solución que no es real

33
00:03:38,250 --> 00:03:42,289
así que podemos asegurar la continuidad de f de x

34
00:03:42,289 --> 00:03:46,210
y ahora calculemos cuánto es f de menos 1

35
00:03:46,210 --> 00:03:49,469
y multipliquemos por f de 1

36
00:03:49,469 --> 00:03:56,349
F de menos 1 es menos 1 partido de menos 1 al cuadrado más 1.

37
00:03:56,509 --> 00:04:03,490
Ahora, multipliquemos por F de 1, que sería 1, 1 al cuadrado más 1.

38
00:04:03,990 --> 00:04:07,710
Uno de ellos da menos 1 medio, ¿verdad?

39
00:04:07,830 --> 00:04:09,930
Porque menos 1 al cuadrado es 1 y 1 más 1 es 2.

40
00:04:10,430 --> 00:04:13,669
Y el otro es 1 partido de 2.

41
00:04:14,110 --> 00:04:17,069
Esto da menos 1 cuarto, que es negativo.

42
00:04:17,069 --> 00:04:22,430
Así que se dan las dos condiciones, las dos hipótesis

43
00:04:22,430 --> 00:04:25,550
Que se tienen que dar las dos condiciones del teorema de Bolzano

44
00:04:25,550 --> 00:04:27,970
No nos dicen nada de cuál es la consecuencia

45
00:04:27,970 --> 00:04:33,230
Pero vamos, que podemos afirmar que existe un valor c que está en el intervalo

46
00:04:33,230 --> 00:04:39,149
Menos 1, 1 abierto, de tal modo que f de c es igual a 0

47
00:04:39,149 --> 00:04:46,029
Es decir, que existe un valor que está entre menos 1 y 1

48
00:04:46,029 --> 00:04:53,269
De tal modo que x partido por 1 más x cuadrado es igual a 0.

49
00:04:53,910 --> 00:04:59,829
¿Quién es ese valor? Eso no lo dice el teorema de Bolzano, pero como esto es una ecuación que nosotros sabemos resolver,

50
00:05:01,350 --> 00:05:05,910
sabemos que si 1 más x cuadrado lo pasamos a multiplicar, queda que x es igual a 0.

51
00:05:05,990 --> 00:05:09,269
O sea que el valor c es el 0. ¿Lo veis?

52
00:05:09,930 --> 00:05:14,689
Bueno, eso no nos lo habían preguntado, pero lo vamos a tener en cuenta para el tercer apartado.

53
00:05:14,689 --> 00:05:31,620
Vamos ahora con el apartado B. Nos pedían los extremos relativos de f de x igual a x partido de x cuadrado más 1.

54
00:05:31,620 --> 00:05:57,319
Todos sabemos que para hacer eso necesitamos la derivada, así que derivemos f, es la derivada de una división, derivada del numerador por el de abajo sin derivar, menos el numerador sin derivar por el denominador derivado que será 2x y abajo ponemos el denominador al cuadrado.

55
00:05:57,319 --> 00:06:03,879
Esto nos lleva a que en el numerador quedará x al cuadrado más 1 menos 2x al cuadrado.

56
00:06:05,160 --> 00:06:09,139
Abajo lo vamos a dejar exactamente igual, esa es la derivada.

57
00:06:09,480 --> 00:06:19,000
Simplificamos al máximo, queda entonces 1 menos x al cuadrado en el numerador, en el denominador x al cuadrado más 1 al cuadrado.

58
00:06:19,000 --> 00:06:24,660
Lo segundo que hacemos es anular la derivada.

59
00:06:28,759 --> 00:06:44,009
¿Para qué? Para buscar los posibles valores de máximo o mínimo, de extremo relativo.

60
00:06:44,850 --> 00:07:01,930
Bueno, pues si f' de x es igual a 0, es lo mismo que si 1 menos x cuadrado partido de x cuadrado más 1 al cuadrado es igual a 0.

61
00:07:01,930 --> 00:07:06,170
eso nos llevará a que 1 menos x cuadrado será igual a 0

62
00:07:06,170 --> 00:07:09,970
y eso a su vez a que 1 es igual a x cuadrado

63
00:07:09,970 --> 00:07:14,550
así que la x va a salir más o menos 1

64
00:07:14,550 --> 00:07:19,149
estudiamos ahora que hay en los valores de acisa

65
00:07:19,149 --> 00:07:21,730
x igual a 1 y x igual a menos 1

66
00:07:21,730 --> 00:07:25,149
para ello vamos a representar la recta real

67
00:07:25,149 --> 00:07:26,850
vamos a marcar esos dos valores

68
00:07:26,850 --> 00:07:31,389
la recta real queda dividida en dos semirrectas y un intervalo

69
00:07:31,389 --> 00:07:38,730
Vemos también que no hay que marcar absolutamente nada más en la recta, ya que la función es continua en todos los reales.

70
00:07:39,009 --> 00:07:46,870
Así que procedemos entonces a estudiar el signo de la primera derivada en cada uno de esos intervalos o semirrectas.

71
00:07:46,870 --> 00:07:54,670
En concreto, en menos infinito menos 1, de menos 1 a 1 y de 1 a más infinito.

72
00:07:54,670 --> 00:07:59,089
La derivada, ya sabemos que es 1 menos x cuadrado

73
00:07:59,089 --> 00:08:03,870
Que se podría factorizar el numerador como 1 menos x por 1 más x

74
00:08:03,870 --> 00:08:06,069
El denominador nos viene bien así

75
00:08:06,069 --> 00:08:10,930
Porque como está al cuadrado, siempre va a ser positivo para todo valor real

76
00:08:10,930 --> 00:08:15,889
Y vamos a ver si eso, la derivada, es positiva o negativa

77
00:08:15,889 --> 00:08:17,829
Si es positiva, la función es creciente

78
00:08:17,829 --> 00:08:20,529
Si es negativa, la función es decreciente

79
00:08:20,529 --> 00:08:26,329
¿Vale? En menos infinito a menos 1 podemos tomar el valor menos 2, menos 3, el que tú quieras.

80
00:08:26,930 --> 00:08:33,370
Lo que va a ocurrir es que la fracción en el numerador 1 menos x va a ser positivo, siempre.

81
00:08:33,610 --> 00:08:35,809
Y 1 más x va a ser negativo.

82
00:08:36,590 --> 00:08:39,789
En el denominador, ya os he dicho, va a ser siempre positivo.

83
00:08:40,470 --> 00:08:45,950
Así que esto va a ser negativo entre positivo, porque el numerador es más por menos que es menos,

84
00:08:46,269 --> 00:08:49,029
y el denominador es positivo, así que esto va a ser negativo.

85
00:08:49,029 --> 00:08:53,250
Así que si la derivada es negativa, la función es decreciente.

86
00:08:56,289 --> 00:08:57,129
Muy bien.

87
00:08:57,850 --> 00:09:00,730
Tomamos ahora un valor entre menos 1 y 1, por ejemplo, 0.

88
00:09:01,529 --> 00:09:01,929
Veamos.

89
00:09:02,950 --> 00:09:04,470
Denominador, siempre positivo.

90
00:09:04,870 --> 00:09:07,350
Numerador, 1 menos 0 sería positivo.

91
00:09:08,169 --> 00:09:10,409
Y 1 más 0 sería positivo.

92
00:09:10,730 --> 00:09:12,009
Positivo entre positivo.

93
00:09:12,370 --> 00:09:14,210
Eso va a dar positivo.

94
00:09:14,210 --> 00:09:19,190
que la derivada es positiva significa que la función es creciente

95
00:09:19,190 --> 00:09:24,750
así que ya vemos que en el menos 1 hay un mínimo relativo

96
00:09:24,750 --> 00:09:28,789
veamos ahora en la semirrecta 1 más infinito

97
00:09:28,789 --> 00:09:30,710
tomamos por ejemplo el 2

98
00:09:30,710 --> 00:09:34,529
1 menos 2, menos 1

99
00:09:34,529 --> 00:09:37,529
2 más 1, 3 positivo

100
00:09:37,529 --> 00:09:39,710
abajo positivo

101
00:09:39,710 --> 00:09:42,230
así que va a ser negativo entre positivo

102
00:09:42,230 --> 00:09:48,549
O sea que esto va a ser negativo. La función presenta derivada negativa en toda esa semirrecta.

103
00:09:49,049 --> 00:09:55,490
Da igual en qué valor tomes la imagen de la derivada. Así que la función es decreciente.

104
00:09:57,029 --> 00:10:02,850
Bueno, pues ya tenemos entonces conclusión. Tenemos conclusión porque nos damos cuenta de que en el menos 1 hay un mínimo.

105
00:10:03,250 --> 00:10:04,490
Mínimo relativo, ¿no?

106
00:10:06,990 --> 00:10:10,169
Y en el 1 hay un máximo.

107
00:10:10,169 --> 00:10:12,629
crece y luego decrece

108
00:10:12,629 --> 00:10:16,690
así que es un máximo relativo

109
00:10:16,690 --> 00:10:20,549
conclusión, solución del apartado

110
00:10:20,549 --> 00:10:26,049
en menos 1, f de menos 1

111
00:10:26,049 --> 00:10:28,610
es decir, en menos 1

112
00:10:28,610 --> 00:10:30,970
y acordaros que f de menos 1 lo habíamos hecho

113
00:10:30,970 --> 00:10:32,169
era menos 1 medio

114
00:10:32,169 --> 00:10:41,149
bueno, pues ahí hay un mínimo relativo

115
00:10:41,149 --> 00:11:01,289
Y en 1, f de 1, 1 y f de 1 nos salió un medio, acordaros, pues hay un máximo relativo.

116
00:11:02,649 --> 00:11:08,850
Perfecto, pues ya está, ya hemos resuelto el apartado b, ya sabemos cuáles son los extremos relativos de la función f de x.

117
00:11:09,250 --> 00:11:10,990
Vamos entonces con el apartado c.

118
00:11:10,990 --> 00:11:13,029
En el apartado C, ¿qué se nos pedía?

119
00:11:13,110 --> 00:11:29,330
Se nos pedía el área que deja la función sobre o por debajo del eje OX en el intervalo menos 1, 1.

120
00:11:30,690 --> 00:11:34,509
Nosotros sabemos que en el 0 corta al eje de las X.

121
00:11:35,090 --> 00:11:35,909
Eso lo sabemos.

122
00:11:36,230 --> 00:11:37,610
Y además que solo es ese valor.

123
00:11:37,990 --> 00:11:40,029
¿Por qué sabemos la existencia de ese único valor?

124
00:11:40,450 --> 00:11:42,610
La existencia la sabemos por el teorema de Bolzano.

125
00:11:42,610 --> 00:11:46,570
Pero sabemos que es único porque hemos resuelto la ecuación y solo salió el cero.

126
00:11:46,809 --> 00:11:50,970
Así que la función en el cero cambia de signo.

127
00:11:50,990 --> 00:11:58,350
¿Qué pasa antes del cero? Pues acordaros de que f de menos uno era negativo, o sea que la función está por debajo del eje de las x.

128
00:11:58,649 --> 00:12:06,269
Sin embargo, f de uno era un medio. La función a partir del cero está por encima del eje de las x, es positiva.

129
00:12:06,549 --> 00:12:11,330
Así que hay que calcularse dos áreas mediante integrales o dos integrales.

130
00:12:11,330 --> 00:12:38,230
Entonces el área, por tanto, pedida será la integral entre menos uno y cero, ¿de quién? De la función techo, que en este caso sería el eje de las x, igual a cero, menos la función f de x, que sería x partido de uno más x cuadrado o x cuadrado más uno, que me da lo mismo, diferencial de x.

131
00:12:38,230 --> 00:12:52,929
Sin embargo, a partir del 0 y entre 0 y 1, habrá que hacer la función techo, que sería la función f de x, x partido de x cuadrado más 1, menos la función suelo, que sería el eje de las x, ¿vale?

132
00:12:55,929 --> 00:12:57,990
Diferencial de x.

133
00:12:57,990 --> 00:13:04,950
bueno pues a calcular estas dos integrales que en el fondo pues no dejan de ser el mismo método

134
00:13:04,950 --> 00:13:12,570
porque ahora veréis que la primera integral a la cual podríamos sacarle el menos directamente fuera

135
00:13:12,570 --> 00:13:13,269
veis

136
00:13:13,269 --> 00:13:21,690
queda prácticamente del mismo modo a la hora de buscar la antiderivada que la segunda

137
00:13:21,690 --> 00:13:26,169
lo único es que luego tenemos que aplicar barro y ahí sí que habrá diferencia

138
00:13:26,169 --> 00:13:30,769
Supongo que a estas alturas estarás pensando ya que se trata del mismo tipo de integral

139
00:13:30,769 --> 00:13:33,230
Una integral de tipo logarítmico

140
00:13:33,230 --> 00:13:34,070
¿Por qué?

141
00:13:34,470 --> 00:13:38,769
Porque la derivada del denominador en ambas integrales es 2x

142
00:13:38,769 --> 00:13:42,049
Si entonces colocamos un 2 en los numeradores

143
00:13:42,049 --> 00:13:47,169
Y aplicamos un medio en ambas

144
00:13:47,169 --> 00:13:50,049
Para que quede compensada la operación

145
00:13:50,049 --> 00:13:51,870
Ya que un medio por 2 sería 1

146
00:13:51,870 --> 00:13:54,149
Es decir, es como si no hubiéramos hecho nada

147
00:13:54,149 --> 00:13:55,409
Pero sí que hemos hecho

148
00:13:55,409 --> 00:14:01,529
hemos hecho porque ya tenemos en el denominador una función cuya derivada está en el numerador

149
00:14:01,529 --> 00:14:07,490
así que vamos a aplicar la integración bajo la antiderivada logaritmo, logaritmo neperiano

150
00:14:07,490 --> 00:14:10,450
así que la primera va a ser menos un medio, ahí lo dejamos

151
00:14:10,450 --> 00:14:15,690
y luego sería logaritmo neperiano de x cuadrado más uno

152
00:14:15,690 --> 00:14:20,230
entre menos uno y cero, que ahora haremos la regla de Barrow

153
00:14:20,230 --> 00:14:23,309
la segunda integral, un medio lo dejamos fuera

154
00:14:23,309 --> 00:14:31,090
e igualmente logaritmo neperiano de x cuadrado más uno, pero esta vez entre cero y uno.

155
00:14:31,610 --> 00:14:35,809
Aplicamos entonces la regla de Barrow, aquí me falta un cero,

156
00:14:36,690 --> 00:14:41,789
y sería menos un medio por logaritmo neperiano sustituido en cero,

157
00:14:41,789 --> 00:14:44,149
que sería cero al cuadrado, que es cero, y más uno,

158
00:14:45,049 --> 00:14:50,850
menos logaritmo neperiano del menos uno, que sería menos uno al cuadrado, que sería uno, y más uno.

159
00:14:50,850 --> 00:15:00,169
Eso para la primera, más 1 medio, igualmente logaritmo neperiano de 1 al cuadrado que es 1 y más 1 es 2

160
00:15:00,169 --> 00:15:06,669
Bueno, ahora lo ponemos, ponemos 1 más 1 y menos logaritmo neperiano sustituido en el 0

161
00:15:06,669 --> 00:15:09,690
Que sería entonces logaritmo de 0 más 1

162
00:15:09,690 --> 00:15:13,529
¿Cuánto termina dando esto? Vamos a ver

163
00:15:13,529 --> 00:15:20,929
Sería menos 1 medio por el logaritmo neperiano de 1 menos el logaritmo neperiano de 2

164
00:15:20,929 --> 00:15:28,110
En la otra, más 1 medio, logaritmo neperiano de 2 menos logaritmo neperiano de 1

165
00:15:28,110 --> 00:15:32,909
El logaritmo neperiano de 1 es 0

166
00:15:32,909 --> 00:15:42,110
Así que queda más 1 medio del logaritmo neperiano de 2 más 1 medio del logaritmo neperiano de 2

167
00:15:42,110 --> 00:15:44,070
esto que va a dar

168
00:15:44,070 --> 00:15:46,230
pues esto va a dar el logaritmo neperiano

169
00:15:46,230 --> 00:15:48,950
de dos unidades cuadradas

170
00:15:48,950 --> 00:15:50,549
ese es el área

171
00:15:50,549 --> 00:15:52,690
que deja la función

172
00:15:52,690 --> 00:15:54,350
sobre y debajo

173
00:15:54,350 --> 00:15:55,950
del eje de las x

174
00:15:55,950 --> 00:15:58,289
en el intervalo menos 1, 1

175
00:15:58,289 --> 00:16:00,330
y con esto hemos acabado

176
00:16:00,330 --> 00:16:02,750
el ejercicio B2 de la convocatoria

177
00:16:02,750 --> 00:16:04,789
ordinaria junio 2022

178
00:16:04,789 --> 00:16:06,549
de la EBAU en Madrid

179
00:16:06,549 --> 00:16:08,490
espero que lo hayáis entendido todo

180
00:16:08,490 --> 00:16:10,330
espero incluso que lo hayáis hecho bien

181
00:16:10,330 --> 00:16:12,190
si habéis hecho el ejercicio antes que yo

182
00:16:12,190 --> 00:16:14,409
y os emplazo a un nuevo vídeo

183
00:16:14,409 --> 00:16:16,370
aquí en la web de Profe de Matés

184
00:16:16,370 --> 00:16:17,269
¡Un saludo!

185
00:16:43,370 --> 00:16:45,370
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