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00:00:12,400 --> 00:00:17,780
Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES

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00:00:17,780 --> 00:00:22,399
Arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases

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00:00:22,399 --> 00:00:34,140
de la unidad AR1 dedicada a los números reales. En la videoclase de hoy estudiaremos las propiedades

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00:00:34,140 --> 00:00:49,649
de los radicales y las operaciones con ellos. En esta videoclase vamos a estudiar las propiedades

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00:00:49,649 --> 00:00:55,509
y las operaciones con radicales. Vamos a comenzar con una identidad que se deduce inmediatamente

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00:00:55,509 --> 00:01:00,810
de la expresión de los radicales como potencia con exponente fraccionario que hemos visto al

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00:01:00,810 --> 00:01:07,469
final de la videoclase anterior. Algo, por cierto, que vamos a utilizar o que podríamos utilizar

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00:01:07,469 --> 00:01:12,489
continuamente para justificar cómo se realizan o por qué se realizan, como voy a indicar, las

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00:01:12,489 --> 00:01:19,709
operaciones con radicales. En el fondo todo sería tan sencillo como transformar los radicales como

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00:01:19,709 --> 00:01:24,489
potencias, utilizar las propiedades de las potencias que son bien conocidas y luego realizar el cambio

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00:01:24,489 --> 00:01:29,670
inverso para transformar el resultado de la operación con potencias nuevamente en un nuevo

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00:01:29,670 --> 00:01:35,609
radical. En este caso, en esta identidad que estoy discutiendo, nos encontramos con la raíz enésima

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00:01:35,609 --> 00:01:41,450
de esta potencia a elevado a m, donde tenemos la potencia en el radicando, en el interior del

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00:01:41,450 --> 00:01:47,310
radical. Bueno, pues si transformamos este radical en potencia con exponente fraccionario y operamos

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00:01:47,310 --> 00:01:57,829
adecuadamente, convirtiendo este exponente m partido por n en 1 partido de n por m, y a partir de ahí aplicamos propiedades de las potencias, etc.,

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00:01:57,829 --> 00:02:07,109
podríamos convertir este radical en esta potencia m-ésima del radical con índice n de a. Fijaos que lo que está ocurriendo, en última instancia,

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00:02:07,109 --> 00:02:15,689
como regla neumotécnica se podría utilizar, es que este exponente que tengo aquí lo he podido sacar fuera del radical. Aquí tengo el radical de una potencia

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00:02:15,689 --> 00:02:18,509
y aquí lo que tengo es la potencia de un radical.

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00:02:19,289 --> 00:02:25,110
Se puede operar en forma inversa y lo que podría pensar es que cuando me encuentro con una potencia de un radical

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00:02:25,110 --> 00:02:30,689
podré introducir este exponente en el interior del radical y ponerlo en el argumento.

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00:02:31,710 --> 00:02:38,289
Como corolario, lo que obtengo en el caso de que el índice y el exponente en el radical fueran iguales

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00:02:38,289 --> 00:02:44,990
es que la raíz enésima de a elevado a n, al igual que la potencia enésima de la raíz enésima de a,

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00:02:44,990 --> 00:02:52,349
es igual a a. Fijaos que esto se puede interpretar como que la raíz enésima y la potencia enésima

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00:02:52,349 --> 00:02:59,849
ambas son operaciones inversas. Si yo tengo el número a, lo elevo a n y del resultado extraigo

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00:02:59,849 --> 00:03:05,969
la raíz enésima, obtengo el número a. Se han cancelado las dos operaciones. Igualmente, si del

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00:03:05,969 --> 00:03:12,090
número a extraigo la raíz enésima y al resultado lo elevo a n, vuelvo a obtener el número a. Así

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00:03:12,090 --> 00:03:17,949
pues este colorario de esta identidad lo que me permite es tener en mente la idea de que los

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00:03:17,949 --> 00:03:22,849
radicales y las potencias con índices y con exponentes adecuados en el fondo se comportan

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00:03:22,849 --> 00:03:28,610
como operaciones inversas. La siguiente operación que vamos a estudiar es el radical de un radical.

30
00:03:29,189 --> 00:03:35,250
Si tenemos el radical con índice n del radical con índice m de un sector número real podemos

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00:03:35,250 --> 00:03:41,490
transformar esto en un único radical en el que el índice sea el producto de los índices. Si

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00:03:41,490 --> 00:03:46,849
tenemos la multiplicación o bien la división, como vemos aquí, de radicales con igual índice,

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00:03:47,430 --> 00:03:52,710
podemos transformar la operación en un único radical con el índice común, sin más que efectuar

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00:03:52,710 --> 00:03:57,090
la operación que tuviéramos con los radicandos. Aquí queda el producto, tenemos el producto a por

35
00:03:57,090 --> 00:04:03,349
b y aquí que tenemos el cociente, tenemos el cociente a entre b. Otra operación útil es el

36
00:04:03,349 --> 00:04:09,129
cambio de índice. Supongamos que tenemos esta raíz enésima de a elevado a m. Bien, pues yo puedo

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00:04:09,129 --> 00:04:15,949
multiplicar tanto el índice n como la potencia m por un mismo número natural y obtener un radical

38
00:04:15,949 --> 00:04:22,149
que va a ser equivalente con índice n por h y con exponente en el radicando m por h. Estas h es

39
00:04:22,149 --> 00:04:27,829
iguales. Estos dos radicales van a ser equivalentes en el sentido en el que sus raíces van a ser

40
00:04:27,829 --> 00:04:31,750
iguales y lo que hemos hecho ha sido cambiar el índice. Por supuesto también hemos cambiado el

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00:04:31,750 --> 00:04:36,329
exponente pero aquí la idea que tenemos es que estamos cambiando el índice. Si estamos multiplicando

42
00:04:36,329 --> 00:04:42,050
por n, un número natural, lo que tenemos a la derecha va a ser un índice mayor y por

43
00:04:42,050 --> 00:04:46,870
supuesto un exponente mayor que el que teníamos inicialmente. El paso inverso se va a denominar

44
00:04:46,870 --> 00:04:52,889
simplificación. Vamos a obtener, obtendríamos, un radical equivalente, esto es, con las mismas

45
00:04:52,889 --> 00:04:56,750
raíces, pero con un índice más pequeño. Y en este caso lo que estaríamos haciendo

46
00:04:56,750 --> 00:05:03,189
sería dividir entre este h, que tiene que ser un divisor común de este índice y de

47
00:05:03,189 --> 00:05:09,110
este exponente. Haciendo esa división entre un divisor común obtendremos un radical equivalente

48
00:05:09,110 --> 00:05:13,670
simplificado en el sentido en el que el índice es más pequeño y por supuesto el exponente también

49
00:05:13,670 --> 00:05:20,310
lo va a ser. Otra operación en la que vamos a estar interesados es la extracción de factores.

50
00:05:20,930 --> 00:05:26,209
Supongamos que nos encontramos con este radical de índice n de esta potencia a elevado a m donde

51
00:05:26,209 --> 00:05:33,410
m, el exponente, va a ser mayor que el índice del radical. Lo que podemos hacer es escribir la

52
00:05:33,410 --> 00:05:38,589
división de m partido por n, teniendo en cuenta que lo que vamos a hacer es transformar este

53
00:05:38,589 --> 00:05:45,250
radical en la potencia con exponente fraccionario a elevado a m partido por n. El resultado de la

54
00:05:45,250 --> 00:05:49,910
división va a ser un cierto cociente y vamos a tener un cierto resto que puede no ser cero,

55
00:05:49,910 --> 00:05:56,449
puesto que puede que m y n, perdón, quiero decir que n no sea un divisor exacto de m.

56
00:05:57,209 --> 00:06:00,670
En ese caso podemos expresar m partido por n de esta manera.

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00:06:00,910 --> 00:06:04,670
Si recordáis de alguna de las videoclases anteriores del bloque de aritmética,

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00:06:04,790 --> 00:06:06,930
esto lo llamamos coloquialmente la prueba de la división.

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00:06:07,410 --> 00:06:10,610
m partido por n es igual al cociente más el resto partido por n.

60
00:06:11,350 --> 00:06:16,170
Si nosotros transformamos esa potencia que no he llegado a escribir con el exponente fraccionario

61
00:06:16,170 --> 00:06:22,110
a elevado a m partido por n, sustituyendo m partido por n por cociente más el resto

62
00:06:22,110 --> 00:06:28,810
partido por n. Y a partir de ahí hacemos el cambio inverso, quiero decir, transformamos

63
00:06:28,810 --> 00:06:33,269
esto nuevamente en un radical. Al final lo que vamos a obtener después de las simplificaciones

64
00:06:33,269 --> 00:06:38,970
adecuadas, que es así ya escrito aquí, es que, como podéis ver, tenemos la potencia

65
00:06:38,970 --> 00:06:44,290
a elevado a c, el cociente de la división, hemos extraído factores de la potencia de

66
00:06:44,290 --> 00:06:51,689
a fuera del radical por el mismo radical con el mismo índice de a elevado a r, una potencia

67
00:06:51,689 --> 00:06:57,769
distinta y este r va a ser menor que n por definición del resto. Fijaos que el efecto que

68
00:06:57,769 --> 00:07:05,470
yo observo es que tenía m factores de esta potencia a, hemos extraído unos cuantos, tantos como nos

69
00:07:05,470 --> 00:07:10,990
diga el cociente m partido por n, el cociente de esta división, y nos hemos quedado dentro del

70
00:07:10,990 --> 00:07:18,610
radical con una cantidad menor, una cantidad menor de factores igual al resto. En muchas ocasiones no

71
00:07:18,610 --> 00:07:23,189
hace falta hacer esta cadena. Si nosotros tenemos en mente cuál va a ser el resultado, directamente

72
00:07:23,189 --> 00:07:29,350
haremos la división a mano m partido por n, nos quedaremos con el cociente, esa va a ser la potencia

73
00:07:29,350 --> 00:07:34,730
de a en el exterior del radicando y nos quedaremos con el resto, esa va a ser la potencia de a en el

74
00:07:34,730 --> 00:07:40,149
interior del radicando con el mismo índice. El paso inverso se va a denominar introducción de

75
00:07:40,149 --> 00:07:44,389
factores. Nos vamos a encontrar con que fuera del radical tenemos multiplicando una serie de

76
00:07:44,389 --> 00:07:50,509
factores y queremos pasarlos dentro. Si lo que hemos hecho para extraer factores ha sido dividir

77
00:07:50,509 --> 00:07:56,009
entre el índice, lo que vamos a hacer para introducir factores va a ser multiplicar por

78
00:07:56,009 --> 00:08:03,370
el índice y entonces tendríamos c por n dentro del radical a los cuales tendremos que añadir la

79
00:08:03,370 --> 00:08:08,149
potencia r que ya teníamos en el interior. Nos quedaríamos en esta parte de aquí y haremos la

80
00:08:08,149 --> 00:08:14,709
operación para calcular cuánto valdría este valor de m. En cuanto a la suma y resta de radicales,

81
00:08:14,930 --> 00:08:20,069
estos radicales tienen que ser iguales en el sentido en el que no sólo tienen que tener el

82
00:08:20,069 --> 00:08:26,230
mismo índice sino que tienen que tener el mismo radicando. Y aquí tenemos un ejemplo de x por

83
00:08:26,230 --> 00:08:34,429
este radical, raíz enésima de a más o bien menos y por el mismo radical, raíz enésima del mismo

84
00:08:34,429 --> 00:08:39,909
radicando a y aquí lo que tenemos como resultado de la operación suma o resta es el mismo radical

85
00:08:39,909 --> 00:08:45,529
y lo único que tenemos que hacer es operar adecuadamente con estos coeficientes x o y

86
00:08:45,529 --> 00:08:49,549
recordad que coeficiente es un número que multiplica algo en este caso que multiplica

87
00:08:49,549 --> 00:08:57,210
el factorial si es x por el radical más y por el radical el signo de arriba nos quedaremos como

88
00:08:57,210 --> 00:09:01,929
resultado con el signo de arriba x más y por el radical si tuviéramos el signo de abajo nos

89
00:09:01,929 --> 00:09:07,389
quedaremos con el signo de abajo. Vamos a finalizar esta videoclase con las

90
00:09:07,389 --> 00:09:12,450
operaciones de racionalización, en las cuales lo que vamos a hacer es eliminar

91
00:09:12,450 --> 00:09:15,409
radicales que nos encontremos en el denominador de cocientes.

92
00:09:16,370 --> 00:09:21,049
No va a ser siempre nuestro interés eliminar este tipo de radicales, pero

93
00:09:21,049 --> 00:09:26,190
salvo ciertas excepciones que mencionaré cuando lleguemos a ellas, con carácter

94
00:09:26,190 --> 00:09:29,769
general intentaremos siempre eliminar los radicales de los denominadores. A

95
00:09:29,769 --> 00:09:34,409
cambio lo que obtendremos casi siempre va a ser el mismo radical o un radical similar en el numerador

96
00:09:34,409 --> 00:09:39,769
y esto va a ser inevitable. Obtenemos expresiones que no siempre van a ser más sencillas pero el

97
00:09:39,769 --> 00:09:44,470
hecho de que no haya radicales en los denominadores va a hacer que, atendiendo a ciertas consideraciones,

98
00:09:44,870 --> 00:09:49,889
esas expresiones sean más aceptables y por eso nosotros tendremos siempre interés en racionalizar

99
00:09:49,889 --> 00:09:55,470
siempre o casi siempre las expresiones de este estilo. Nos vamos a encontrar con tres posibilidades

100
00:09:55,470 --> 00:09:58,889
fundamentalmente y la primera es esta que tenemos aquí, que es lo que ocurre

101
00:09:58,889 --> 00:10:02,690
cuando tenemos un cociente y en el radical, perdón, en el denominador nos

102
00:10:02,690 --> 00:10:06,710
encontramos con un radical con índice igual a 2, una raíz cuadrada. Aquí, por

103
00:10:06,710 --> 00:10:11,389
ejemplo, estoy hablando de a dividido entre la raíz cuadrada de b. Bien, lo que

104
00:10:11,389 --> 00:10:14,789
vamos a hacer va a ser multiplicar y dividir la expresión que nosotros

105
00:10:14,789 --> 00:10:19,009
tenemos por esta misma raíz cuadrada de b. Al multiplicar y dividir por una

106
00:10:19,009 --> 00:10:23,149
misma cantidad, estamos multiplicando por la unidad, estas dos expresiones van a

107
00:10:23,149 --> 00:10:28,409
ser equivalentes, y la gracia de multiplicar el denominador por la misma raíz es que raíz de b

108
00:10:28,409 --> 00:10:35,029
por raíz de b se convierte en la raíz cuadrada de b al cuadrado, esta potencia y este radical se van

109
00:10:35,029 --> 00:10:40,590
a cancelar, como habíamos indicado al iniciar esta videoclase, y obtenemos b. Fijaos, ha desaparecido

110
00:10:40,590 --> 00:10:46,029
el radical en el denominador. En el numerador a cambio lo que tenemos es a lo que teníamos por

111
00:10:46,029 --> 00:10:51,669
la raíz cuadrada de b. En ciertas ocasiones nos vamos a encontrar con una expresión similar a

112
00:10:51,669 --> 00:10:57,809
esta con un coeficiente delante de la red cuadrada de b. La operación va a ser igual y lo que

113
00:10:57,809 --> 00:11:04,129
obtendremos aquí es este coeficiente multiplicando. En ciertas ocasiones tendremos suerte y a y b no

114
00:11:04,129 --> 00:11:10,470
serán coprimos y podremos simplificar esta expresión. Pero con carácter general nos

115
00:11:10,470 --> 00:11:15,190
encontraremos con una expresión como esta. Fijaos en que podemos argumentar que no es más sencilla

116
00:11:15,190 --> 00:11:19,970
que la anterior, pero el hecho de no tener el radicando en el denominador, como he dicho al

117
00:11:19,970 --> 00:11:26,210
principio, hace que sea más aceptable. ¿Qué es lo que ocurre cuando nos encontramos, segundo caso,

118
00:11:26,409 --> 00:11:32,549
en lugar de una raíz cuadrada, una raíz con un índice distinto? Aquí, por ejemplo, tenemos a

119
00:11:32,549 --> 00:11:39,169
dividido entre la raíz enésima de b elevado a m. Bien, pues lo que vamos a hacer es multiplicar el

120
00:11:39,169 --> 00:11:45,429
numerador y el denominador por un radical con el mismo índice y con un argumento que va a ser una

121
00:11:45,429 --> 00:11:50,769
potencia, también de b, pero nosotros vamos a multiplicar por una potencia que tenga como

122
00:11:50,769 --> 00:11:57,330
índice, perdón, como exponente el complemento al índice. Si aquí, por ejemplo, tuviéramos como

123
00:11:57,330 --> 00:12:04,570
índice 4 y esta potencia fuera 3, pues 4 menos 3, 1, aquí estaremos multiplicando por la raíz

124
00:12:04,570 --> 00:12:10,490
cuarta de b elevado a 1, el complemento del exponente que teníamos inicialmente hasta el

125
00:12:10,490 --> 00:12:15,409
índice. Multiplicamos y dividimos por una misma cantidad para obtener una expresión

126
00:12:15,409 --> 00:12:19,750
que sea equivalente. En el numerador, igual que nos pasaba antes, nos vamos a quedar con

127
00:12:19,750 --> 00:12:25,269
a por este radicando. Lo que va a ocurrir en el denominador es que al operar de esta

128
00:12:25,269 --> 00:12:31,210
manera el radicando va a desaparecer. Fijaos, cuando yo multiplique raíces con el mismo

129
00:12:31,210 --> 00:12:37,429
índice lo que voy a hacer es multiplicar los radicandos b elevado a m por b elevado

130
00:12:37,429 --> 00:12:44,110
a n menos m. Al hacer la operación y sumar los exponentes me va a quedar b elevado a n. La razón

131
00:12:44,110 --> 00:12:49,970
de multiplicar por el complemento es que ahora me queda el radicando con el mismo índice que el

132
00:12:49,970 --> 00:12:55,830
exponente que tengo dentro. Este radicando y esta potencia se van a simplificar, es lo mismo que nos

133
00:12:55,830 --> 00:13:01,309
haya pasado anteriormente, y entonces ahora en el denominador me va a quedar únicamente b. He

134
00:13:01,309 --> 00:13:06,289
obtenido lo que quería. Partía de una expresión con un radicando en el denominador y ahora lo que

135
00:13:06,289 --> 00:13:13,549
tengo es una expresión sin ese radicando. Por último vamos a ver qué es lo que ocurre si lo

136
00:13:13,549 --> 00:13:20,450
que tengo en el denominador es bien una suma bien una resta de raíces cuadradas radicales con índice

137
00:13:20,450 --> 00:13:25,950
igual a 2. Y aquí vamos a operar en paralelo tanto si tuviéramos una suma como si tuviéramos una

138
00:13:25,950 --> 00:13:32,870
resta. Y en todo lo que sigue el signo de arriba se corresponde a qué pasa si tuviéramos una suma,

139
00:13:32,870 --> 00:13:38,289
el símbolo de abajo A, ¿qué pasa si tuviéramos una resta? En este caso lo que vamos a hacer es

140
00:13:38,289 --> 00:13:44,529
multiplicar el numerador y el denominador de esta expresión por lo que se denomina el conjugado de

141
00:13:44,529 --> 00:13:49,269
la expresión que tenemos en el denominador. Y conjugado quiere decir que si tuviéramos una

142
00:13:49,269 --> 00:13:54,830
suma, índice, perdón, signo de arriba, multiplicaríamos por una resta, fijaos que ese es el signo que

143
00:13:54,830 --> 00:14:01,029
tengo arriba, mientras que si tuviéramos una resta, el signo que tenemos abajo, multiplicaríamos por

144
00:14:01,029 --> 00:14:06,549
una suma el signo que tenemos abajo y lo mismo hemos puesto en el numerador. De tal forma que si

145
00:14:06,549 --> 00:14:11,389
aquí tuviéramos una suma multiplicaríamos y dividiríamos por la resta de los mismos radicales,

146
00:14:11,789 --> 00:14:17,110
si tuviéramos una resta multiplicaríamos y dividiríamos por la suma de los dos radicales.

147
00:14:17,210 --> 00:14:24,149
Fijaos que está cambiado el orden de los signos. ¿Por qué hago esta multiplicación por el conjugado?

148
00:14:24,289 --> 00:14:28,929
Pues porque tenemos una identidad notable. Suma por diferencia es diferencia de cuadrados y lo

149
00:14:28,929 --> 00:14:34,149
que tenemos es este radical al cuadrado menos el segundo radical al cuadrado en

150
00:14:34,149 --> 00:14:39,070
el denominador. En el numerador no tenemos más que a por esta suma o bien

151
00:14:39,070 --> 00:14:43,889
esta resta de radicales y eso es lo que vamos a mantener hasta el final. Pero en

152
00:14:43,889 --> 00:14:48,250
el denominador lo que tenemos es el cuadrado de esta red cuadrada menos el

153
00:14:48,250 --> 00:14:53,149
cuadrado de esta otra. Raíces cuadradas y potencias cuadradas se simplifican, se

154
00:14:53,149 --> 00:14:58,049
cancelan y al final lo que vamos a obtener es b menos c. Hemos eliminado el

155
00:14:58,049 --> 00:15:02,429
radicando el denominador, perdón, el radical del denominador, en este caso los

156
00:15:02,429 --> 00:15:06,789
radicales, que era el interés que nosotros teníamos. Con esto que hemos

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00:15:06,789 --> 00:15:09,629
visto en esta videoclase y por supuesto todo lo que hemos visto en la videoclase

158
00:15:09,629 --> 00:15:14,230
anterior, ya podemos resolver todos estos ejercicios con operaciones, distintas

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00:15:14,230 --> 00:15:17,750
operaciones con radicales, que resolveremos en clase, que probablemente

160
00:15:17,750 --> 00:15:23,990
resolveremos en alguna videoclase posterior. En el aula virtual de la

161
00:15:23,990 --> 00:15:29,710
asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios. Asimismo, tenéis

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00:15:29,710 --> 00:15:35,110
más información en las fuentes bibliográficas y en la web. No dudéis en traer vuestras dudas

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00:15:35,110 --> 00:15:40,230
e inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual. Un saludo y hasta pronto.