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00:00:12,339 --> 00:00:17,879
Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES

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00:00:17,879 --> 00:00:22,859
Arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares, y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases

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00:00:22,859 --> 00:00:26,879
de la unidad AN4 dedicada a las aplicaciones de las derivadas.

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00:00:30,980 --> 00:00:35,500
En la videoclase de hoy estudiaremos teoremas del cálculo diferencial.

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00:00:36,460 --> 00:00:52,700
En esta videoclase vamos a estudiar distintos teoremas importantes del cálculo diferencial

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00:00:52,700 --> 00:00:55,240
Teoremas en los cuales aparecen derivadas.

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00:00:55,740 --> 00:01:05,840
El primero que tenemos aquí es el teorema de Rolle, que dice que en el caso en el que una cierta función sea continua en un cierto intervalo cerrado a b

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00:01:05,840 --> 00:01:16,219
y derivable dentro del correspondiente intervalo abierto a b, y en los extremos del intervalo la función toma el mismo valor, f de a es igual a f de b,

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00:01:16,219 --> 00:01:24,340
entonces existe una cierta abscisa contenida dentro del intervalo abierto en el cual la función derivada va a ser idénticamente nula.

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00:01:25,159 --> 00:01:35,180
También tenemos el teorema del valor medio de Lagrange, en donde si tenemos una cierta función continua dentro de un cierto intervalo cerrado AB

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00:01:35,180 --> 00:01:39,159
y derivable dentro del correspondiente intervalo abierto AB,

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00:01:39,159 --> 00:01:46,200
entonces vemos, leemos, existe una cierta abstisa dentro del intervalo abierto en el cual la función

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00:01:46,200 --> 00:01:53,400
derivada toma este valor, f de b menos f de a, la diferencia de las imágenes en los extremos del

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00:01:53,400 --> 00:02:00,140
intervalo dividido entre b menos a, es la diferencia de los orígenes dentro del intervalo. Este valor

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00:02:00,140 --> 00:02:08,219
no es más que la pendiente del segmento que une el punto inicial a f de a y el punto final b f de b.

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00:02:08,219 --> 00:02:14,139
es una representación de la inclinación media de la función.

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00:02:14,819 --> 00:02:17,319
Habrá puntos donde la función tenga una pendiente mayor,

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00:02:17,500 --> 00:02:19,460
habrá puntos donde la función tome un valor menor,

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00:02:19,960 --> 00:02:24,400
pero este valor es una especie de valor medio de todas las derivadas

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00:02:24,400 --> 00:02:26,539
y de ahí el nombre teorema del valor medio.

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00:02:30,300 --> 00:02:33,800
Vamos a finalizar esta videoclase de teoremas del cálculo diferencial

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00:02:33,800 --> 00:02:37,180
con un teorema terriblemente importante, es el teorema del hospital,

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00:02:37,180 --> 00:02:42,960
por su utilidad y es que es el que podremos utilizar en un momento dado para resolver

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00:02:42,960 --> 00:02:48,199
cierto tipo de indeterminaciones, en concreto indeterminaciones 0 partido por 0 e infinito

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00:02:48,199 --> 00:02:54,780
partido por infinito. El teorema en su enunciado dice que si límite cuando x tendría de una

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00:02:54,780 --> 00:03:01,680
cierta función f de x y otra cierta función g de x, ambos son 0 o bien ambos son infinitos

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00:03:01,680 --> 00:03:05,580
y existe el límite de f' partido por g',

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00:03:05,580 --> 00:03:09,099
entonces el límite de f partido por g

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00:03:09,099 --> 00:03:12,460
será igual al límite de f' partido por g'.

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00:03:12,460 --> 00:03:15,379
Fijaos que si se dieran las hipótesis del teorema,

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00:03:15,939 --> 00:03:19,419
este límite sería 0 partido por 0, indeterminado,

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00:03:19,740 --> 00:03:22,479
o bien infinito partido por infinito, indeterminado.

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00:03:22,479 --> 00:03:25,520
Y estaríamos sustituyendo este límite indeterminado

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00:03:25,520 --> 00:03:29,479
por el límite de la función derivada del numerador

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00:03:29,479 --> 00:03:35,639
entre la función derivada del denominador. Fijaos en que esto no es la regla de derivación

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00:03:35,639 --> 00:03:42,620
del cociente. Esto no es derivada del numerador por el denominador sin derivar menos el denominador

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00:03:42,620 --> 00:03:46,340
sin derivar por la derivada del denominador dividido entre el denominador al cuadrado.

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00:03:46,479 --> 00:03:51,699
Fijaos que no es eso. Este límite coincide con este otro y aquí no estamos derivando

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00:03:51,699 --> 00:03:57,460
la función cociente. Derivamos por un lado el numerador al numerador, por otro lado el

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00:03:57,460 --> 00:04:04,740
denominador, lo ponemos en el denominador. Insisto, el teorema del hospital es útil para poder resolver

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00:04:04,740 --> 00:04:09,780
ciertos tipos de indeterminaciones, en concreto cero partido por cero o infinito partido por infinito,

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00:04:10,280 --> 00:04:15,780
cuando no podamos o bien no queramos utilizar otro tipo de técnicas, otro tipo de alternativas.

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00:04:17,019 --> 00:04:22,240
Típicamente el teorema del hospital se utilizará para resolver cierto tipo de indeterminaciones,

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00:04:22,360 --> 00:04:27,000
cierto tipo de límites indeterminados, como estos que tenemos aquí y que probablemente veamos en

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00:04:27,000 --> 00:04:35,829
alguna videoclase posterior. En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos

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00:04:35,829 --> 00:04:42,689
y cuestionarios. Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web. No

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00:04:42,689 --> 00:04:47,290
dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual.

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00:04:47,889 --> 00:04:49,230
Un saludo y hasta pronto.