1
00:00:00,820 --> 00:00:08,140
un montón de detalles y os he puesto un montón de tutoriales porque es que la casuística

2
00:00:08,140 --> 00:00:13,099
es bastante larga. Las cuentas no son complicadas, pero los conceptos hay que tenerlos muy claros.

3
00:00:13,660 --> 00:00:18,800
Bueno, antes de continuar, os sigo diciendo que estoy grabando esta clase, que si alguien

4
00:00:18,800 --> 00:00:23,699
tiene un comentario que lo diga y si no, ya vamos directamente, proseguimos, vamos

5
00:00:23,699 --> 00:00:41,829
hablando. Vamos a las clases de distancia y estamos con la clase... ¿Es 9 en A15 en A2?

6
00:00:43,829 --> 00:00:51,450
Es que claro, aquí no le cambio las fechas, pero sí. No, esta ya es la lista, ¿no? Perdón,

7
00:00:51,450 --> 00:00:52,929
Es que es la décima quince.

8
00:00:55,880 --> 00:00:56,759
¿Estoy haciendo bien?

9
00:00:57,420 --> 00:00:57,780
A ver.

10
00:01:01,079 --> 00:01:02,280
Sí, sí, es de a cinco.

11
00:01:02,380 --> 00:01:03,399
Está bien, me he costado la ciencia.

12
00:01:03,979 --> 00:01:05,219
Bueno, vamos a ver.

13
00:01:05,780 --> 00:01:11,719
De la clase anterior, se supone que tenéis que saber trabajar con las coordenadas de los puntos.

14
00:01:12,299 --> 00:01:14,579
Sabéis calcular la coordenada del punto medio.

15
00:01:16,379 --> 00:01:19,400
Saber calcular todas las ecuaciones de una recta.

16
00:01:19,879 --> 00:01:24,439
Y a partir de la ecuación de una recta, saber calcular un punto y un vector director.

17
00:01:24,439 --> 00:01:39,799
Ahí vamos a dar un poquito más, pero bueno, entonces, lo que hay, las posiciones relativas de entre rectas.

18
00:01:41,400 --> 00:01:54,659
Entonces, hoy nos vamos a meter, ya os digo que toda esa casuística tenéis que buscarla en, tenéis que buscar los tutoriales, si queréis ver todos los casos posibles, y los ejercicios que os he puesto.

19
00:01:54,659 --> 00:02:19,539
Sí, bueno, el cálculo del área, vamos a incidir sobre ello, pero sí, eso es de la quincena anterior, o sea, esa es de la novena quincena, esta es la decimada quincena, bueno, del tema anterior mejor dicho, de la unidad 4.

20
00:02:19,539 --> 00:02:37,539
Si el tema 4 es de vectores, el tema 5 es de puntos, rectas y planos. Hemos visto puntos y rectas y nos falta por ver planos, lo cual no es moco de pavo porque ya veréis que aquí hay mucha mierda.

21
00:02:37,539 --> 00:02:46,520
¿Vale? Bueno, entonces, ¿cómo se calcula la ecuación general de un plano?

22
00:02:46,520 --> 00:03:11,439
A ver, para dar un plano en el espacio yo necesito un punto P o A y dos vectores que no sean proporcionales, que no estén alineados.

23
00:03:11,439 --> 00:03:36,159
¿Sí? O los datos que necesito. O también puedo tomar el plano un punto, un vector perpendicular. Muchas veces este vector perpendicular se le llama n porque es el vector normal.

24
00:03:36,159 --> 00:03:55,409
¿Sí? Entonces, de momento vamos a hacerlo solo con lo que se llama la ecuación normal, que es con el punto y el vector perpendicular.

25
00:03:55,530 --> 00:04:14,870
A ver, yo tengo un punto A, un punto P, como queráis, que es un punto ABC. Tengo un punto que está en el plano, un punto genérico.

26
00:04:14,870 --> 00:04:20,149
bueno, sí, lo voy a llamar

27
00:04:20,149 --> 00:04:22,389
el punto genérico es que siempre lo llamo

28
00:04:22,389 --> 00:04:23,889
P, X y Z

29
00:04:23,889 --> 00:04:26,110
¿qué pasa con

30
00:04:26,110 --> 00:04:28,230
el ángulo, con este ángulo?

31
00:04:30,069 --> 00:04:31,610
que es de 90 grados

32
00:04:31,610 --> 00:04:34,209
sea cual sea el punto, si cojo otro punto

33
00:04:34,209 --> 00:04:35,170
del plano, ¿sí?

34
00:04:36,170 --> 00:04:38,649
ese ángulo siempre va a ser de 90 grados

35
00:04:38,649 --> 00:04:40,670
pues esto, si yo tengo

36
00:04:40,670 --> 00:04:42,350
P

37
00:04:42,350 --> 00:04:43,810
perdón, A

38
00:04:43,810 --> 00:04:45,829
un punto del plano

39
00:04:45,829 --> 00:05:06,290
Los planos se suelen poner con letras griegas, empezando por la pi. Y tengo el vector perpendicular, vector perpendicular n, para dar la ecuación del plano,

40
00:05:06,290 --> 00:05:27,660
Para dar la ecuación del plano, yo tengo que decir que el vector AP, producto escalar N, es cero.

41
00:05:28,699 --> 00:05:33,360
¿Sabéis por qué tiene que ser cero? Porque los vectores son perpendiculares.

42
00:05:45,279 --> 00:05:49,360
Entonces, ¿cómo quedaría esto? ¿Cuál es el vector AP?

43
00:05:49,360 --> 00:06:03,019
Las coordenadas de AP sabéis que son las coordenadas del extremo, x menos a, y menos b, z menos c, ¿no?

44
00:06:04,139 --> 00:06:23,149
Y lo que estáis diciendo es que, y aquí voy a poner una cosa muy rara, pero ya os la voy a poner así, os voy a poner que las coordenadas de n del vector son a mayúscula, c mayúscula y c mayúscula.

45
00:06:23,149 --> 00:06:31,310
¿Por qué? Porque esto quiero que os recuerde a lo que os salía el año pasado cuando tenéis la ecuación de un arreglo.

46
00:06:31,629 --> 00:06:55,660
A ver, entonces, si yo hago el producto escalar de AP con N, producto escalar con el vector ABC, y lo igualo a cero, sabéis que el producto escalar es primera componente por primera componente,

47
00:06:55,660 --> 00:07:07,319
Más P por segunda componente, más tercera componente por tercera componente.

48
00:07:07,680 --> 00:07:12,930
Aquí es.

49
00:07:14,470 --> 00:07:19,730
Esto, os recuerdo que las tres rayitas significa que pi no es igual a una ecuación.

50
00:07:19,910 --> 00:07:23,550
Pi tiene por ecuación la condición.

51
00:07:25,029 --> 00:07:27,370
Entonces, ¿por qué os pongo esto?

52
00:07:32,350 --> 00:07:33,410
¿Por qué os lo pongo así?

53
00:07:33,410 --> 00:07:58,439
Porque, por ejemplo, si yo tengo este plano, si yo tengo un plano pi' que es 2x más 5y más 3z más 17 igual a 0, de aquí puedo sacar un dato, puedo sacar el vector perpendicular.

54
00:07:58,439 --> 00:08:13,139
¿Cuál es el vector perpendicular? El 2, 5, 3. ¿Sí? Entonces, esto es, en términos generales, cómo sale la ecuación de un plano.

55
00:08:13,899 --> 00:08:19,100
Esta se llama la ecuación implícita. Siempre que sale una ecuación igualada a cero se llama implícita.

56
00:08:19,660 --> 00:08:27,620
Y recordad que la recta tenía dos ecuaciones implícitas y el plano solo tiene una. ¿Por qué?

57
00:08:27,620 --> 00:08:30,459
una recta es

58
00:08:30,459 --> 00:08:31,939
intersección de dos planos, ¿no?

59
00:08:32,879 --> 00:08:34,340
Bueno, pues si yo tengo dos

60
00:08:34,340 --> 00:08:36,100
ecuaciones para la recta,

61
00:08:36,379 --> 00:08:38,320
una es un plano que la contiene y otra es

62
00:08:38,320 --> 00:08:40,299
otro plano que lo contiene y la intersección

63
00:08:40,299 --> 00:08:42,139
es esa. Ese

64
00:08:42,139 --> 00:08:44,299
concepto creo que es bastante importante

65
00:08:44,299 --> 00:08:46,139
que lo tengáis y lo

66
00:08:46,139 --> 00:08:48,259
trabajaremos en algún otro

67
00:08:48,259 --> 00:08:49,480
momento. ¿Vale?

68
00:08:50,580 --> 00:08:51,360
Bueno, entonces,

69
00:08:54,409 --> 00:08:56,509
aquí siempre, cuidado con los datos

70
00:08:56,509 --> 00:08:58,509
e insisto, para dar un plano

71
00:08:58,509 --> 00:09:00,669
necesitáis siempre un punto

72
00:09:00,669 --> 00:09:02,649
por donde pasa y o

73
00:09:02,649 --> 00:09:04,629
un vector perpendicular o dos

74
00:09:04,629 --> 00:09:06,629
vectores directores. En este caso

75
00:09:06,629 --> 00:09:08,090
lo hemos hecho con el vector perpendicular.

76
00:09:09,070 --> 00:09:10,429
Bueno, vamos a hacer este ejercicio

77
00:09:10,429 --> 00:09:11,429
muy sencillito.

78
00:09:24,279 --> 00:09:26,039
Vale. No me había dado cuenta.

79
00:09:26,179 --> 00:09:27,519
Tenía que copiar con mi imagen.

80
00:09:31,360 --> 00:09:32,759
Ah, me falta copiar el vector.

81
00:09:34,019 --> 00:09:34,879
El vector.

82
00:09:43,039 --> 00:09:43,440
A ver.

83
00:09:44,220 --> 00:09:46,220
Bueno. Pues ¿cómo hago esto?

84
00:09:48,059 --> 00:09:49,700
Pues ya directamente

85
00:09:49,700 --> 00:10:11,440
Cogería 2 por x menos 2 más 0 por y menos menos 1, que es y más 1, más 3 por z menos 0, igual a 0.

86
00:10:11,440 --> 00:10:22,700
Esta es la ecuación del plano. Eso si no lo dejéis así, quitáis paréntesis, 2x menos 4, esto vale 0, más 3z igual a 0.

87
00:10:23,200 --> 00:10:29,779
O sea que el plano que busco tiene por ecuación 2x. Conviene que lo dejéis ordenado.

88
00:10:29,779 --> 00:10:37,539
Hay gente que le gusta dejar el hueco, pues si necesitamos alguna vez el vector perpendicular, que es el 2, 0, 3, ¿no?

89
00:10:37,539 --> 00:10:40,379
menos 4 igual a 0

90
00:10:40,379 --> 00:10:44,279
o sea, siempre va a ser una ecuación de este tipo

91
00:10:44,279 --> 00:10:47,440
ax más bi más cz

92
00:10:47,440 --> 00:10:50,139
más b igual a 0

93
00:10:50,139 --> 00:10:53,080
y esto son las coordenadas del vector

94
00:10:53,080 --> 00:10:53,799
perpendicular

95
00:10:53,799 --> 00:11:01,440
esto ya es la primera forma

96
00:11:01,440 --> 00:11:05,620
de escribir la ecuación de un plano, pero hay más

97
00:11:05,620 --> 00:11:08,259
que por ejemplo

98
00:11:08,259 --> 00:11:17,679
ahora son las ecuaciones, ahora vienen las ecuaciones paramétricas. Vamos a ver. Los

99
00:11:17,679 --> 00:11:24,679
datos para las ecuaciones paramétricas es, para dar un plano, dar un punto y dos vectores

100
00:11:24,679 --> 00:11:52,580
directores. Es el otro caso que os he puesto antes. Bueno, como os he dicho, para dar un

101
00:11:52,580 --> 00:11:58,840
plano necesitáis un punto y dos vectores que no sean proporcionales. Si son proporcionales

102
00:11:58,840 --> 00:12:03,279
tienen la misma dirección y no puedo crear un plano. Necesito dos direcciones distintas.

103
00:12:03,279 --> 00:12:09,919
Un punto, A, y dos vectores, U y V.

104
00:12:10,960 --> 00:12:24,230
Entonces, como hacíamos con la recta, para que un punto esté en el plano, este vector tiene que ser combinación lineal de estos dos.

105
00:12:24,230 --> 00:12:33,269
O lo que es lo mismo, este vector tiene que ser suma de un vector proporcional a este, más un vector proporcional a este.

106
00:12:33,269 --> 00:13:04,629
Este dibujo está mal hecho. O sea, la ecuación vectorial, un punto genérico x y z tiene que ser igual a más un vector proporcional a u más un vector proporcional a u.

107
00:13:04,629 --> 00:13:33,259
Si yo lo tengo en coordenadas, diría que un punto está en el plano, si es igual al punto, más la suma de lambda por u1, u2, u3, más beta por v1, v2, v3.

108
00:13:33,259 --> 00:13:52,620
Las paramétricas serían como en la recta, sería decir, x es igual a primera coordenada, que es a, más primera coordenada, que es lambda u, más primera coordenada, que es beta u2.

109
00:13:52,620 --> 00:14:07,950
Y pues será igual a B más lambda U2, perdón, aquí es V1, más beta por V2.

110
00:14:08,529 --> 00:14:20,009
Y Z es igual a C más lambda U3 más beta V3.

111
00:14:22,419 --> 00:14:33,899
Entonces, esto recordad, cuando estén las paramétricas, que lo que no tiene lambda es el punto A, B, C.

112
00:14:34,440 --> 00:14:38,840
El que tiene lambda, los coeficientes de lambda nos dan el vector director, uno de los dos,

113
00:14:39,159 --> 00:14:42,720
y los que tienen el otro coeficiente beta nos dan el otro vector director.

114
00:14:42,720 --> 00:15:03,100
¿Sí? Esto es el punto A. Esta columna me da el vector director, el primero, que es U, y esta columna me da el segundo vector director, que es V.

115
00:15:03,100 --> 00:15:32,039
Ahora, para hacer la ecuación general, tengo que tener en cuenta que el vector AP, el vector U y el vector V, o sea, el vector AP es combinación lineal de O y V,

116
00:15:32,039 --> 00:15:44,740
de tal forma que estos tres vectores son linealmente dependientes. ¿Qué quiere decir que son linealmente dependientes?

117
00:15:45,360 --> 00:15:51,320
Que si yo tomo su determinante, ¿cuánto tiene que valer?

118
00:15:55,090 --> 00:15:59,590
Para que sean linealmente dependientes, el determinante tiene que ser cero.

119
00:16:00,350 --> 00:16:01,110
Cero, ¿no?

120
00:16:01,409 --> 00:16:07,509
Bueno, pues esto nos da la ecuación general.

121
00:16:07,789 --> 00:16:09,870
Se hace directamente porque es mucho más rápido.

122
00:16:14,940 --> 00:16:15,580
Igual a cero.

123
00:16:16,759 --> 00:16:19,519
Bueno, voy a hacer un poquito más de lo que me pide este ejercicio.

124
00:16:19,519 --> 00:16:23,740
Dice, haya las ecuaciones paramétricas del plano que pasa por estos tres puntos.

125
00:16:24,480 --> 00:16:25,039
Cuidado.

126
00:16:25,039 --> 00:16:27,440
aquí nos da un punto y dos vectores

127
00:16:27,440 --> 00:16:31,139
nos dan tres puntos efectivamente

128
00:16:31,139 --> 00:16:33,419
pues yo necesito tomar un punto A

129
00:16:33,419 --> 00:16:37,720
se supone que esos tres puntos no están alineados

130
00:16:37,720 --> 00:16:39,720
porque si no el problema no tiene sentido

131
00:16:39,720 --> 00:16:42,440
por tres puntos alineados pasan muchos planos

132
00:16:42,440 --> 00:16:43,399
no solo uno

133
00:16:43,399 --> 00:16:45,460
¿y qué vectores puedo coger?

134
00:16:46,820 --> 00:16:49,580
el vector AB y el vector AC

135
00:16:49,580 --> 00:16:52,899
entonces el vector AB

136
00:16:52,899 --> 00:16:57,600
sabéis que son las coordenadas del extremo menos las del origen

137
00:16:57,600 --> 00:16:59,000
1, menos 1, 0

138
00:16:59,000 --> 00:17:02,419
1, menos 2, menos 1

139
00:17:02,419 --> 00:17:05,940
y menos 1, menos 0, menos 1

140
00:17:05,940 --> 00:17:09,940
y el vector AC

141
00:17:09,940 --> 00:17:14,299
es el vector 3, menos 1, 2

142
00:17:14,299 --> 00:17:19,099
2, menos 2, 0

143
00:17:19,099 --> 00:17:22,299
y 1, menos 0, 1

144
00:17:22,299 --> 00:17:25,609
voy a repasarlo

145
00:17:25,609 --> 00:17:27,670
0, menos 1, menos 1

146
00:17:27,670 --> 00:17:31,089
y 2, 0, 1, vale

147
00:17:31,089 --> 00:17:35,329
entonces, ecuaciones paramétricas

148
00:17:35,329 --> 00:17:43,970
ecuaciones paramétricas la vamos a hacer así

149
00:17:43,970 --> 00:17:46,609
pongo x igual, y igual

150
00:17:46,609 --> 00:17:49,710
y z igual, en la primera columna

151
00:17:49,710 --> 00:17:52,329
pongo el punto, ¿qué punto voy a poner?

152
00:17:53,130 --> 00:17:55,490
pues el 1, 2, 0, puedo coger cualquiera

153
00:17:55,490 --> 00:17:58,650
de los otros dos, pero por comodidad, ya que he hecho el dibujo así

154
00:17:58,650 --> 00:18:01,769
el 1, 2, 0, ¿sí? ahora el primer vector

155
00:18:01,769 --> 00:18:08,809
este es el 0-1-1. A ver, esto generalmente no se pone. Lo voy a poner aquí para que

156
00:18:08,809 --> 00:18:18,769
lo veáis. Más 0 lambda, menos 1 lambda y menos lambda. Menos 1 lambda. ¿Veis? El vector

157
00:18:18,769 --> 00:18:30,410
director 0-1-1. Y ahora más 2 beta, más, esto no se suele poner, 0 beta, más 1 beta.

158
00:18:30,410 --> 00:18:41,990
Estas son las ecuaciones paramétricas. Y se pone que pi tiene por ecuaciones paramétricas esas tres. Paramétricas hay tres, una por cada coordenada.

159
00:18:41,990 --> 00:19:09,859
Y ahora, si quiero hacer la ecuación general, aunque no me la pide, hago el determinante. Pongo x menos a, o sea, x menos y menos 2, z menos 0. Y ahora cojo los dos vectores. 0, menos 1, menos 1, 2, 0.

160
00:19:09,859 --> 00:19:31,470
¿Sí? Bueno, pues esto lo desarrollo, me queda menos 1 por x menos 1, más 2 por xz menos 0, que es 2z, y esto sale, a ver si lo estoy haciendo bien, no, a ver, es este por este por este.

161
00:19:31,470 --> 00:19:51,220
Ahora sería menos 2, menos 2 por Z por Y menos 2. Este sale 0 por 0 por 0, que es Z. Este sale menos 2 por Z, pero cambiando de signo queda más 2Z. Este sale 0 y este sale 0, ¿no?

162
00:19:51,220 --> 00:20:09,140
Bueno, pues la ecuación general del plano sería menos x más 1 menos 2y más 4 más 2z más 2z igual a cero.

163
00:20:09,460 --> 00:20:16,380
O sea que queda menos x menos 2y más 2z más 5 igual a cero.

164
00:20:16,380 --> 00:20:33,769
¿Sí? A mí me gusta, para saber si me he equivocado en las cuentas, sustituir en un punto cualquiera de estos tres. Por ejemplo, en el 3-2. Menos 3, menos 2, menos 5. Pues mirad, me he equivocado en las cuentas.

165
00:20:33,769 --> 00:20:57,609
A ver, menos 3, no, menos 3, menos 4, menos 7. No, no, está bien. Si sustituís en cualquiera de los tres puntos, está bien. Lo he comprobado, lo sustituís, ¿no? Esto me parece, esa comprobación, son estas cosas que os digo que lo pongáis en vuestra chuleta.

166
00:20:57,609 --> 00:21:00,250
si queréis saber que un plano está bien

167
00:21:00,250 --> 00:21:02,289
sustituís en los puntos

168
00:21:02,289 --> 00:21:03,670
y salgo, ¿no?

169
00:21:03,750 --> 00:21:05,730
y es una forma cuando hacéis un ejercicio

170
00:21:05,730 --> 00:21:07,710
de decir este paso a ver si lo tengo bien

171
00:21:07,710 --> 00:21:09,829
porque si no a veces

172
00:21:09,829 --> 00:21:11,609
que sabéis que cambiando los datos

173
00:21:11,609 --> 00:21:13,609
de un problema se complican

174
00:21:13,609 --> 00:21:15,289
a veces están preparados para que

175
00:21:15,289 --> 00:21:20,500
para que

176
00:21:20,500 --> 00:21:23,660
las cosas salgan de una forma

177
00:21:23,660 --> 00:21:25,480
las cuentas salgan de una forma

178
00:21:25,480 --> 00:21:26,200
más sencilla

179
00:21:26,200 --> 00:21:27,740
bueno, vamos a

180
00:21:27,740 --> 00:21:29,579
aquí

181
00:21:29,579 --> 00:21:36,490
sin pararme demasiado. Paso de ecuaciones paramétricas

182
00:21:36,490 --> 00:21:38,789
a la ecuación general y viceversa.

183
00:21:39,789 --> 00:21:41,589
A ver, hay una parte que ya la hemos visto.

184
00:21:46,809 --> 00:21:49,130
No voy a hacer todas las vueltas, las voy a dejar en línea.

185
00:21:50,069 --> 00:21:52,769
A ver, si yo tengo las paramétricas, yo sé

186
00:21:52,769 --> 00:21:58,130
que el punto es el... Ese es el punto genérico,

187
00:21:58,130 --> 00:22:00,470
pero el punto es 5, 0, menos 1.

188
00:22:03,180 --> 00:22:06,220
Un vector es el que tiene los coeficientes de la T,

189
00:22:06,440 --> 00:22:08,220
que es 3, 1, menos 1.

190
00:22:08,220 --> 00:22:12,430
3, 1, menos 1

191
00:22:12,430 --> 00:22:16,150
y el otro vector es el de los coeficientes de la S

192
00:22:16,150 --> 00:22:18,670
que sería menos 2

193
00:22:18,670 --> 00:22:21,170
menos 1, menos 4

194
00:22:21,170 --> 00:22:24,109
es que como no está en columna despista un poco

195
00:22:24,109 --> 00:22:27,930
es 5, 0, menos 1, vector 3, 1, menos 1

196
00:22:27,930 --> 00:22:30,589
y vector menos 2, menos 1, menos 4

197
00:22:30,589 --> 00:22:33,970
entonces, ¿cómo se calcula la ecuación general

198
00:22:33,970 --> 00:22:36,430
de este plano? No voy a hacer las cuentas

199
00:22:36,430 --> 00:22:44,130
Tendréis que poner x menos 5, y menos 0, z más 1, restando el punto.

200
00:22:44,670 --> 00:22:50,670
Y ahora 3, 1, menos 1, y menos 2, menos 1, menos 4, igual a 0.

201
00:22:51,230 --> 00:22:52,390
Y esto se calcula.

202
00:22:55,150 --> 00:23:00,589
Ahora, ¿cómo se pasa de paramétricas a general?

203
00:23:01,390 --> 00:23:07,190
Fijaos en una cosa, porque esto es una cosa súper fácil, lo que pasa es que muchas veces no lo es.

204
00:23:07,869 --> 00:23:20,130
Esto es una ecuación con tres incógnitas. Tiene rango uno porque solo hay una ecuación, tenemos tres incógnitas, con lo cual depende de tres menos uno parámetros.

205
00:23:20,130 --> 00:23:22,130
¿Os acordáis del teorema de José Florent?

206
00:23:22,549 --> 00:23:25,049
Solo podéis despejar una incógnita.

207
00:23:25,170 --> 00:23:26,069
¿Cuál queréis despejar?

208
00:23:30,539 --> 00:23:30,980
¿La X?

209
00:23:32,039 --> 00:23:34,240
Bueno, pues si quiero despejar la X,

210
00:23:34,960 --> 00:23:43,680
3X es igual a 7 menos 4Y menos 12Z.

211
00:23:43,680 --> 00:23:51,099
Lo que está multiplicando pasa dividiendo.

212
00:23:51,099 --> 00:24:04,509
Pues x es igual a 7 tercios menos 4 tercios por y menos 4z.

213
00:24:05,009 --> 00:24:10,930
La y puede tomar cualquier valor y la z puede tomar cualquier valor.

214
00:24:11,930 --> 00:24:12,769
Paramétricas.

215
00:24:13,130 --> 00:24:18,509
Si queréis poner aquí lambda o rst, pero estas son las paramétricas.

216
00:24:18,509 --> 00:24:30,650
Un punto de este plano es el 7 tercios, perdón, 0, 0, primera columna.

217
00:24:31,549 --> 00:24:38,930
Un vector director es el menos 4 tercios, 1, 0.

218
00:24:38,930 --> 00:24:50,670
Y el otro vector director podría ser el menos 4, 0, 1.

219
00:24:51,569 --> 00:24:55,589
Este, como no me gusta, yo los puntos no puedo multiplicarlos.

220
00:24:55,990 --> 00:24:58,910
Pero si yo tengo un vector, puedo coger uno proporcional.

221
00:24:59,170 --> 00:25:04,730
Proporcional se escribe así, que sería multiplicando por 3, sería al menos 4, 3, 0.

222
00:25:06,230 --> 00:25:13,630
¿Sí? A la hora de operar, si os salen fracciones con vectores y lo único que os interesa es la dirección, podéis coger uno proporcional.

223
00:25:13,630 --> 00:25:20,630
¿Vale? Los puntos no, ¿eh? El punto 7, 3, 0, 0, ese no se mueve, no se puede multiplicar.

224
00:25:20,670 --> 00:25:35,670
Bueno, pues esto siguen siendo distintos trucos que os voy dando para que los vayáis utilizando cuando os vengan.

225
00:25:35,670 --> 00:25:55,200
Bueno, a ver, otras determinaciones del plan. Esto lo pongo así y quiero darlo muy deprisa. A ver, plano que pasa por tres puntos no alineados. Eso ya lo hemos hecho, ¿no?

226
00:25:55,200 --> 00:26:12,859
A veces. Este ya lo hemos hecho, ¿no? Entonces, no voy a insistir sobre él. Este es el 1, ¿no? Ahora, el 2. Plano que contiene una recta y un punto exterior. Tenéis una recta y un punto exterior.

227
00:26:13,759 --> 00:26:20,480
Sabéis que si tenéis una recta podéis sacar un punto Q y un vector director, ¿no?

228
00:26:23,769 --> 00:26:26,910
Entonces, ¿qué datos puedo utilizar?

229
00:26:29,549 --> 00:26:36,990
O sea, aquí en el primer caso vimos que para dar una recta necesito o un punto y un vector perpendicular o un punto y dos vectores.

230
00:26:37,410 --> 00:26:42,210
Aquí puedo coger A, el vector AB y el vector AC, ¿no?

231
00:26:42,210 --> 00:27:05,759
Si yo tengo una recta y un punto, de la recta puedo sacar un punto y un vector, pero yo necesito un punto y dos vectores. ¿Qué punto cogeríais? El Q. ¿Y qué vectores? El O y el QP. Si cogéis el PQ no pasa nada.

232
00:27:05,759 --> 00:27:24,460
¿Sí? Ahora, tercer caso. Plano que contiene a dos rectas paralelas. Yo de aquí puedo sacar un punto y un vector. De aquí puedo sacar un punto y un vector, que no tiene por qué ser el mismo, va a ser proporcional.

233
00:27:24,460 --> 00:27:49,500
Y yo necesito dar una recta que contenga a todo esto. ¿Cómo haría esto? ¿Qué punto cogería? Por ejemplo, el P. ¿Y qué vectores cogeríais? El U. Y el V no se puede coger porque tiene la misma dirección que U, pero ¿qué vector se puede coger? El P, efectivamente.

234
00:27:49,500 --> 00:27:58,440
¿Sí? Entonces, esto es para cuando tenéis un problema, que os digan, calcula el plano que contiene estas dos rectas paralelas.

235
00:28:00,220 --> 00:28:07,200
Y ahora, en el caso 4, plano determinado por dos rectas que se cortan. Dos rectas secantes, ¿no?

236
00:28:07,200 --> 00:28:10,720
yo tengo un punto P

237
00:28:10,720 --> 00:28:12,779
y un vector

238
00:28:12,779 --> 00:28:15,380
tengo un punto Q

239
00:28:15,380 --> 00:28:16,319
y un vector

240
00:28:16,319 --> 00:28:18,039
ya sé que se cortan

241
00:28:18,039 --> 00:28:19,940
y un vector director

242
00:28:19,940 --> 00:28:21,799
este es U y este es U

243
00:28:21,799 --> 00:28:23,839
¿qué punto cogeríais?

244
00:28:26,240 --> 00:28:28,559
si no lo conocéis

245
00:28:28,559 --> 00:28:32,279
a ver, punto puedo coger

246
00:28:32,279 --> 00:28:34,099
el punto

247
00:28:34,099 --> 00:28:36,099
puedo coger o P

248
00:28:36,099 --> 00:28:38,400
o Q o el de corte

249
00:28:38,700 --> 00:28:53,200
Cualquiera de los tres. Y vectores U y V. Aquí puedo coger U y V porque los dos son linealmente independientes.

250
00:28:53,200 --> 00:29:13,579
¿Vale? Entonces, estas son las posibilidades que os pueden salir. Cuando tengáis un problema, que sepáis que generalmente os pueden pedir que estudiéis la posición relativa y en función de eso que calculéis el plano que lo contiene.

251
00:29:13,579 --> 00:29:20,980
Ah, bueno, y si tengo dos rectas que se cruzan, ¿hay algún plano que los contenga?

252
00:29:25,329 --> 00:29:31,190
Os acordáis que es cruzarse, ¿no? Como que una pasa por encima de otra, pero que no tiene la misma dirección.

253
00:29:32,009 --> 00:29:48,480
Si dos rectas se cruzan, no existe un plano que contenga a los dos.

254
00:29:48,480 --> 00:29:53,329
como veis aquí la casuística es bastante grande

255
00:29:53,329 --> 00:29:54,150
y por eso

256
00:29:54,150 --> 00:29:55,829
bueno

257
00:29:55,829 --> 00:29:59,349
la posición relativa de dos planos

258
00:29:59,349 --> 00:30:01,369
es más sencilla que la relativa de tres

259
00:30:01,369 --> 00:30:03,309
no sé si lo habéis mirado ya

260
00:30:03,309 --> 00:30:05,150
y si no os insisto

261
00:30:05,150 --> 00:30:08,359
en las tutorías individuales

262
00:30:08,359 --> 00:30:10,359
un plano, para dar un plano

263
00:30:10,359 --> 00:30:11,940
necesitáis solo una ecuación

264
00:30:11,940 --> 00:30:16,440
¿sí? entonces

265
00:30:16,440 --> 00:30:19,759
este es un plano

266
00:30:19,759 --> 00:30:20,960
este es otro

267
00:30:20,960 --> 00:30:45,000
Si dos planos en el espacio o son paralelos, son coincidentes, o son paralelos, o se cortan.

268
00:30:45,000 --> 00:30:58,069
Y dos planos si se cortan, ¿en qué se cortan? En una recta. ¿No? En una recta, siempre. En una recta.

269
00:30:58,069 --> 00:31:05,390
Bueno, entonces, cuando se corta una recta se llaman secantes, ¿no?

270
00:31:09,769 --> 00:31:12,130
Bueno, pues entonces, vamos a hacer el esquema.

271
00:31:12,869 --> 00:31:22,650
A ver, si yo tengo las ecuaciones ax más bi más cz más d igual a cero,

272
00:31:22,650 --> 00:31:31,240
si me dan las paramétricas, pues tendría que pasar a implícitas, ¿no?

273
00:31:31,240 --> 00:31:36,559
No, este es el plano pi y este es el plano pi'.

274
00:31:36,559 --> 00:31:45,549
¿Qué pasa si A, si los coeficientes son proporcionales?

275
00:31:49,289 --> 00:31:50,369
¿Qué quiere decir eso?

276
00:31:51,289 --> 00:31:54,089
Que tienen el mismo vector perpendicular, ¿no?

277
00:31:55,289 --> 00:31:55,470
¿No?

278
00:31:59,849 --> 00:32:00,549
Caso A.

279
00:32:02,609 --> 00:32:04,289
Vector perpendicular.

280
00:32:07,630 --> 00:32:09,069
¿Cuándo va a pasar eso?

281
00:32:09,069 --> 00:32:28,519
O bien cuando los planos son paralelos, ¿no? Tienen el mismo vector perpendicular, ¿no? Porque los vectores perpendiculares son proporcionales, paralelos o son coincidentes.

282
00:32:28,519 --> 00:32:47,079
entonces

283
00:32:47,079 --> 00:32:49,000
¿cómo distingo estos dos casos?

284
00:32:50,980 --> 00:32:53,200
pues cuando van a ser paralelos

285
00:32:53,200 --> 00:32:55,539
cuando además

286
00:32:55,539 --> 00:32:59,500
el

287
00:32:59,500 --> 00:33:01,099
el D

288
00:33:01,099 --> 00:33:03,359
el término que queda también es

289
00:33:03,359 --> 00:33:05,700
proporcional, porque ¿qué ocurre

290
00:33:05,700 --> 00:33:07,559
si ocurre esto?

291
00:33:08,559 --> 00:33:09,640
que esta ecuación

292
00:33:09,640 --> 00:33:11,039
y esta son proporcionales

293
00:33:11,039 --> 00:33:13,380
¿sabéis que si multiplicáis una ecuación por un número

294
00:33:13,380 --> 00:33:14,480
os sale la

295
00:33:14,480 --> 00:33:28,819
Se llama una ecuación equivalente, tiene las mismas soluciones, ¿no? Y aquí serían coincidentes, perdón, esto es cuando son coincidentes, ¿no? Cuando son coincidentes.

296
00:33:28,819 --> 00:33:35,599
Y aquí serían paralelas si, por ejemplo, C partido por C' es distinto de D partido por D'.

297
00:33:35,599 --> 00:33:45,299
Y en caso contrario, en caso contrario, se cortan en una recta, son secantes.

298
00:33:46,619 --> 00:33:47,740
Secantes, ¿sí?

299
00:33:48,539 --> 00:33:56,660
Atención, la ecuación de la recta es el sistema que forman esas dos ecuaciones.

300
00:33:56,660 --> 00:34:23,309
¿Sí? Entonces, para un caso práctico, bueno, aquí, ancla, ¿sí?

301
00:34:23,309 --> 00:34:43,849
Sí. A ver, para dar una recta tú puedes dar las ecuaciones implícitas. Acuérdate que dan dos, ¿no? Eso es dar las ecuaciones implícitas de la recta. Las puedes pasar a paramétricas y, claro, hay un montón de casuísticas también.

302
00:34:43,849 --> 00:35:10,019
A ver, por ejemplo, esto es un ejercicio de examen relativamente sencillo, que es calcular el valor del parámetro A para que esos dos planos sean paralelos. Bueno, pues para que sean paralelos, ¿qué tiene que ocurrir?

303
00:35:10,019 --> 00:35:38,030
Que, a ver, yo aquí tengo 1, el vector normal es 1, menos 3, 5, ¿no? Y aquí el vector normal es el... Vamos, esto no hace falta A, ¿sí? Bueno, pues para que sean paralelos, 1 partido por 2 tiene que ser igual a menos 3 partido por menos 6, igual a 5 partido por A, ¿sí?

304
00:35:38,030 --> 00:36:02,789
¿Sí? Esto siempre se cumple porque multiplicando en cruz menos 6 es igual a menos 6, ¿no? Si no se cumpliera es que los planos nunca pueden ser paralelos, ¿sí? Y entonces, ¿qué nos quedaría por hacer? Pues que menos 3A es igual a menos 30, ¿no? Con lo cual A es igual a 10, ¿sí?

305
00:36:02,789 --> 00:36:32,539
Y ahora, para comprobar que son paralelos y no son coincidentes, ¿tendría que hacer? Para comprobar que no son coincidentes, tendréis que hacer menos 3 partido por menos 6, tiene que ser igual a 5 partido por 10.

306
00:36:32,539 --> 00:36:49,880
Pues entonces, si os fijáis, son coincidentes. Bueno, hay gente que a coincidente también lo llama paralelo, es un caso particular de paralelo. Pero bueno, aquí tendríais que especificar esto.

307
00:36:49,880 --> 00:36:52,199
entonces en realidad es que son

308
00:36:52,199 --> 00:36:54,260
a ver

309
00:36:54,260 --> 00:36:56,179
ay perdonad, no, no, no

310
00:36:56,179 --> 00:36:57,320
no son coincidentes

311
00:36:57,320 --> 00:36:59,059
es que he hecho algo mal

312
00:36:59,059 --> 00:37:01,260
sí, que

313
00:37:01,260 --> 00:37:02,960
d y d' son

314
00:37:02,960 --> 00:37:05,420
3 y menos 3

315
00:37:05,420 --> 00:37:07,420
3 y menos 3

316
00:37:07,420 --> 00:37:09,199
3 partido por menos 3

317
00:37:09,199 --> 00:37:11,360
es distinto, entonces

318
00:37:11,360 --> 00:37:14,099
no son coincidentes, son paralelos

319
00:37:14,099 --> 00:37:15,760
pi y pi'

320
00:37:16,099 --> 00:37:17,840
pi 1 y pi 2

321
00:37:17,840 --> 00:37:19,199
son paralelos

322
00:37:19,199 --> 00:37:20,460
esto se escribe así

323
00:37:20,460 --> 00:37:28,289
bueno

324
00:37:28,289 --> 00:37:31,030
más cosas

325
00:37:31,030 --> 00:37:33,739
a ver

326
00:37:33,739 --> 00:37:36,199
os voy a contar muy rápidamente

327
00:37:36,199 --> 00:37:37,400
lo que es un haz de planos

328
00:37:37,400 --> 00:37:39,039
aquí todo tiene que ser rápidamente

329
00:37:39,039 --> 00:37:49,210
esto es una técnica que se usa bastante

330
00:37:49,210 --> 00:37:50,409
que es la siguiente

331
00:37:50,409 --> 00:37:57,539
yo sé que una recta

332
00:37:57,539 --> 00:37:59,619
es intersección

333
00:37:59,619 --> 00:38:00,420
de dos planos

334
00:38:00,420 --> 00:38:01,900
a esto lo puedo llamar pi1

335
00:38:01,900 --> 00:38:03,420
y a esto pi2

336
00:38:03,420 --> 00:38:05,400
pi1 y pi2

337
00:38:05,400 --> 00:38:07,679
una recta

338
00:38:08,400 --> 00:38:10,820
Esa intersección de dos planos.

339
00:38:12,480 --> 00:38:14,900
No sé si se ve aquí más o menos, ¿no?

340
00:38:20,099 --> 00:38:22,239
¿Sí? Pi 1 y pi 2.

341
00:38:22,800 --> 00:38:25,159
Pero imaginaos que esto es un libro que está abierto.

342
00:38:25,659 --> 00:38:29,559
Por aquí habría otro plano, por aquí habría otro plano, infinitos planos, ¿no?

343
00:38:29,800 --> 00:38:34,119
Y la recta es como un eje que va rotando esos planos, ¿no?

344
00:38:34,699 --> 00:38:41,940
Bueno, entonces, ¿cómo se consigue el app de planos que pasa por este punto y que contiene a la recta?

345
00:38:41,940 --> 00:38:44,840
lo que se llama el app de planos

346
00:38:44,840 --> 00:38:47,840
que contiene R

347
00:38:47,840 --> 00:38:54,610
pues cogéis el primer plano

348
00:38:54,610 --> 00:38:57,570
2X más 3Y menos Z

349
00:38:57,570 --> 00:39:00,269
menos 9 y ahora cogéis un

350
00:39:00,269 --> 00:39:02,829
en realidad habría que poner aquí una lambda y una beta

351
00:39:02,829 --> 00:39:06,429
¿qué número pongo? porque la lambda nos suele gustar

352
00:39:06,429 --> 00:39:07,110
pongo una T

353
00:39:07,110 --> 00:39:10,630
por el otro plano

354
00:39:10,630 --> 00:39:19,929
he cogido una combinación lineal de estos

355
00:39:19,929 --> 00:39:38,989
Esto es lo que se llaman todos los planos, que están aquí como rotando sobre esta recta, tienen esta forma, ¿sí? Y ahora me piden que calcule el plano que contiene a este punto, o sea, que pasa por el punto 3, 2, 3.

356
00:39:38,989 --> 00:39:56,130
Imaginaos que aquí tengo un punto que es el 3, 2, 3, ¿no? Y es 3, 2, menos 3, perdón. Y sería el plano que contiene esa recta, ¿no? Y que pasa por aquí. ¿Lo veis?

357
00:39:56,130 --> 00:39:59,409
a ver, tengo esta recta

358
00:39:59,409 --> 00:40:01,230
que contiene un montón de hojas

359
00:40:01,230 --> 00:40:03,190
girando esto, y me dicen, el que pasa

360
00:40:03,190 --> 00:40:05,050
precisamente por este punto

361
00:40:05,050 --> 00:40:07,190
pues va a ser un plano que va por aquí

362
00:40:07,190 --> 00:40:09,250
que contiene esta recta

363
00:40:09,250 --> 00:40:10,349
¿no? y que

364
00:40:10,349 --> 00:40:13,210
contiene el punto, pues para que

365
00:40:13,210 --> 00:40:14,730
pase por el punto, ¿qué tenéis que hacer?

366
00:40:15,469 --> 00:40:16,889
sustituir en el punto

367
00:40:16,889 --> 00:40:19,190
o sea, 2 por 3

368
00:40:19,190 --> 00:40:21,210
más 3 por 2

369
00:40:21,210 --> 00:40:23,090
menos, menos

370
00:40:23,090 --> 00:40:25,150
3, menos 9

371
00:40:25,150 --> 00:40:41,920
Más t por menos 3, más 2 por 2, más 3 por menos 3, más 2, igual a 0.

372
00:40:41,920 --> 00:41:03,360
Esto sale 6 y 6, 12, 12, 15, 15 menos 9, 6, ¿no? 6 más, y aquí saldría, menos 3 más 4, 1, 1 más 2, 3, y 3 menos 9, 3 menos 9 es menos 6, ¿no?

373
00:41:04,340 --> 00:41:06,460
Menos 6t igual a 0.

374
00:41:07,300 --> 00:41:09,880
Despejáis y sale que t es igual a 1, ¿no?

375
00:41:11,119 --> 00:41:11,760
¿Sí?

376
00:41:16,059 --> 00:41:18,739
6 igual a 6t, ¿no?

377
00:41:18,920 --> 00:41:19,860
Igual a 1, ¿sí?

378
00:41:21,099 --> 00:41:24,039
Entonces, la ecuación del plano que busco es

379
00:41:24,039 --> 00:41:36,909
2x más 3y menos z menos 9 más 1 por lo que sea, ¿no?

380
00:41:41,420 --> 00:41:42,280
Esto lo hago.

381
00:41:42,280 --> 00:42:00,300
A ver, sería 2X menos X, X. 3Y más 2Y, 5Y. Menos Z, más 3Z, más 2Z. Y menos 9 más 2 es menos 7, igual a 0. Esta es la ecuación del plano.

382
00:42:00,300 --> 00:42:15,059
Voy a comprobarlo un momento. 3 más 10, 13, menos 6, 7 y menos 7, 0. Está bien. Yo hago estas comprobaciones de vez en cuando para ver que las cuentas cuadran.

383
00:42:15,059 --> 00:42:18,260
bueno, esta es la técnica del haz de planos

384
00:42:18,260 --> 00:42:20,059
que os puede

385
00:42:20,059 --> 00:42:21,940
servir o no, hay gente que hace

386
00:42:21,940 --> 00:42:23,960
esto de otras formas, hay otras técnicas

387
00:42:23,960 --> 00:42:26,139
esta, yo lo que os digo es que generalmente

388
00:42:26,139 --> 00:42:27,280
es muy rápida

389
00:42:27,280 --> 00:42:28,800
de cuentas

390
00:42:28,800 --> 00:42:32,059
cómo hacer un plano

391
00:42:32,059 --> 00:42:33,519
que contiene una recta y un punto

392
00:42:33,519 --> 00:42:35,920
bueno, lo último de hoy que son las

393
00:42:35,920 --> 00:42:37,219
posiciones relativas

394
00:42:37,219 --> 00:42:39,880
bueno, como veis

395
00:42:39,880 --> 00:42:42,380
esto es interminable, os dejo los tutoriales

396
00:42:42,380 --> 00:42:44,099
de cómo hacer un simétrico

397
00:42:44,099 --> 00:42:45,980
y demás, aunque os digo

398
00:42:45,980 --> 00:42:48,039
que va a haber una clase de

399
00:42:48,039 --> 00:42:49,440
repaso porque

400
00:42:49,440 --> 00:42:51,300
queda por ahí una

401
00:42:51,300 --> 00:42:52,860
clase

402
00:42:52,860 --> 00:42:55,780
que no hemos perdido.

403
00:42:56,500 --> 00:42:57,880
Bueno, esto lo digo

404
00:42:57,880 --> 00:43:00,039
rápidamente. Si nos dan tres

405
00:43:00,039 --> 00:43:00,480
planes,

406
00:43:02,420 --> 00:43:04,199
a ver, el caso más fácil

407
00:43:04,199 --> 00:43:05,940
prácticamente

408
00:43:05,940 --> 00:43:08,079
se estudia como si fuera un sistema.

409
00:43:08,900 --> 00:43:09,960
A ver, si yo

410
00:43:09,960 --> 00:43:11,900
tengo estas tres ecuaciones y el

411
00:43:11,900 --> 00:43:13,800
sistema que forman tiene rango

412
00:43:13,800 --> 00:43:15,659
1, ¿qué quiere decir?

413
00:43:15,739 --> 00:43:17,559
Que las ecuaciones son proporcionales.

414
00:43:18,239 --> 00:43:19,760
Bueno, si el

415
00:43:19,760 --> 00:43:21,400
rango y el de la estrella es igual a 1.

416
00:43:21,880 --> 00:43:23,719
El sistema es compatible e indeterminado

417
00:43:23,719 --> 00:43:25,840
pero las tres ecuaciones son proporcionales.

418
00:43:25,900 --> 00:43:27,880
Eso quiere decir que las tres ecuaciones

419
00:43:27,880 --> 00:43:29,199
representan el mismo plano.

420
00:43:29,840 --> 00:43:31,760
Este caso es el más tonto. Este es muy

421
00:43:31,760 --> 00:43:33,719
raro que se haga así. Ahora,

422
00:43:34,320 --> 00:43:35,860
¿qué pasa si el rango

423
00:43:35,860 --> 00:43:37,539
de A es 1

424
00:43:37,539 --> 00:43:39,719
y el rango

425
00:43:39,719 --> 00:43:41,679
de la ampliada es 2? Que el sistema

426
00:43:41,679 --> 00:43:42,920
es incompatible, ¿no?

427
00:43:43,679 --> 00:43:44,699
¿Eso qué quiere decir?

428
00:43:45,340 --> 00:43:48,760
El rango es uno quiere decir que todos los planos son paralelos,

429
00:43:48,840 --> 00:43:50,659
porque tienen el mismo vector perpendicular.

430
00:43:52,039 --> 00:43:57,840
Y si el sistema es incompatible, quiere decir que son paralelos.

431
00:43:59,760 --> 00:44:04,460
La diferencia entre el primer caso y el segundo es que aquí el sistema es compatible.

432
00:44:04,639 --> 00:44:08,119
Si el sistema es compatible, tienen que ser coincidentes los tres planos.

433
00:44:08,480 --> 00:44:11,000
Son paralelos, pero compatibles.

434
00:44:11,179 --> 00:44:12,659
Con lo cual, aquí son coincidentes.

435
00:44:12,920 --> 00:44:21,579
Si son paralelos e incompatibles, incompatible quiere decir que los planos tienen que ser paralelos.

436
00:44:21,579 --> 00:44:40,559
Ahora, si el rango de A y de A estrella es 2, el sistema es compatible, los planos se cortan, pero si se cortan y el rango es 2 quiere decir que depende de un parámetro.

437
00:44:40,559 --> 00:44:56,170
Que dependa de un parámetro quiere decir que hay infinitas soluciones. ¿Cómo son planos que se cortan y tienen infinitas soluciones? Se cortan todos en una recta, efectivamente. Son secantes, se cortan en una recta.

438
00:44:56,170 --> 00:45:23,019
¿Sí? Ahora, este caso, voy a apuntar estos tres casos porque son los más habituales. En este caso, el sistema es compatible e indeterminado. Quiere decir que tienen infinitas soluciones, ¿no?

439
00:45:23,019 --> 00:45:32,440
Eso quiere decir que los tres planos pasan por una red. El otro plano lo podría pintar así, por ejemplo.

440
00:45:34,320 --> 00:45:50,440
Ahora, ¿qué pasa aquí? En este caso es incompatible y puede haber dos casos. Que los dos planos sean paralelos y el tercero no.

441
00:45:50,440 --> 00:45:57,110
¿no? este es el caso A

442
00:45:57,110 --> 00:46:00,960
o puede que formen

443
00:46:00,960 --> 00:46:02,760
los tres planos, lo voy a dibujar así

444
00:46:02,760 --> 00:46:04,860
que formen una tienda de campaña

445
00:46:04,860 --> 00:46:07,530
porque aquí

446
00:46:07,530 --> 00:46:10,590
las tres rectas se cortan

447
00:46:10,590 --> 00:46:12,469
dos a dos en tres rectas diferentes

448
00:46:12,469 --> 00:46:14,489
¿sí? y el caso C

449
00:46:14,489 --> 00:46:15,849
es cuando

450
00:46:15,849 --> 00:46:18,170
pues todo funciona bien

451
00:46:18,170 --> 00:46:20,349
cuando tengo un sistema compatible

452
00:46:20,349 --> 00:46:21,230
determinado

453
00:46:21,230 --> 00:46:24,909
y las tres rectas

454
00:46:24,909 --> 00:46:26,469
pues se cortan en un punto

455
00:46:26,469 --> 00:46:40,150
No sé si os fijáis, estas dos rectas se cortan aquí y con esta tercera se cortan en un punto. Esta es la posibilidad, la ideal, que las tres sean concurrentes en un punto.

456
00:46:42,070 --> 00:46:55,969
Entonces, este sería un ejercicio también de examen, de estudiar posiciones relativas de planos. Nos dan los siguientes planos. En la práctica es mucho más sencillo de lo que parece.

457
00:47:02,960 --> 00:47:26,260
A ver, mirad. Por ejemplo, tengo estos tres planos, ¿no? Entonces, vamos a ver. Yo tengo un sistema de ecuaciones, ¿no? 4, 2, 2, 2. A, 1, 1, 1. Y 2, 1, A, 1.

458
00:47:26,260 --> 00:47:55,320
Esta es la matriz ampliada, ¿no? Calcule el determinante de A. Bueno, el determinante de A es 4A más 4 más 2A y ahora consigo menos, menos 4, menos 4 otra vez y menos 2A cuadrado.

459
00:47:55,320 --> 00:48:08,619
A ver, esto y esto se van. Queda menos 2a cuadrado más 6a menos 4. ¿Sí? Lo igual a cero. ¿Sí?

460
00:48:09,760 --> 00:48:25,980
Bueno, lo voy a hacer mentalmente. A ver si no me equivoco. Hay una solución que a es igual a 1 y la otra es que a es igual a 2 a 2. ¿Sí? Esto nos lo creen. ¿Sí?

461
00:48:27,079 --> 00:48:49,199
Bueno, entonces, primer caso. Si A es distinto de 1 y de 2, ¿el sistema es compatible? Fijaos que lo escribo con todas las letras, determinado. ¿Qué quiere decir eso? Estos tres puntos solo tienen una solución en común, pues se cortan en un punto, ¿no?

462
00:48:49,199 --> 00:48:51,960
se cortan

463
00:48:51,960 --> 00:48:53,159
en un punto

464
00:48:53,159 --> 00:48:57,900
que es la solución de este sistema

465
00:48:57,900 --> 00:49:07,539
ahora, ¿qué pasa?

466
00:49:07,780 --> 00:49:08,300
caso B

467
00:49:08,300 --> 00:49:11,119
si A es igual a 1

468
00:49:11,119 --> 00:49:13,820
si A es igual a 1

469
00:49:13,820 --> 00:49:15,000
me queda

470
00:49:15,000 --> 00:49:18,219
4, 2, 2, 2

471
00:49:18,219 --> 00:49:19,679
1

472
00:49:19,679 --> 00:49:22,159
1, 1, 1

473
00:49:22,159 --> 00:49:24,000
2, 1

474
00:49:24,000 --> 00:49:25,059
1

475
00:49:25,059 --> 00:49:29,849
¿sí? a ver

476
00:49:29,849 --> 00:49:42,570
Con esto conviene que tengáis ojo. Yo no sé si os fijáis que esta primera y esta de abajo son proporcionales. Yo sé que este plano y este son iguales. Pero bueno, voy a seguir, voy a escalonar.

477
00:49:42,570 --> 00:50:09,820
Pongo 4, 2, 2, 2. Aquí si hago F2 menos 4F1 sale, perdón, 4F2 menos F1 me sale 0, 2, 2 y 2.

478
00:50:09,820 --> 00:50:28,139
Y aquí me salía 0, 0, 0, 0, ¿no? Entonces, bueno, creo que de todas formas aquí sale el rango de A, ¿no? El rango de A es 2 y el rango de A estrella es 2, ¿no?

479
00:50:28,139 --> 00:50:59,670
Bueno, pues aquí nos fijamos y bueno, lo que tendría que deciros es que son estos dos y dos. Sí. Entonces, aquí tendría que decir que se cortan en una recta, ¿no? En una recta.

480
00:50:59,670 --> 00:51:18,059
Si queréis decirlo más fácil, hay dos planos que son iguales, que son pi1 y pi3, y hay un plano que no es paralelo y por eso se cortan en una recta, ¿no? Vamos, si queréis especificar.

481
00:51:18,059 --> 00:51:41,579
Y, bueno, el siguiente caso, pues, lo veis. A ver si el próximo día voy a empezar por la posición relativa de recta y plano para que tengáis todo explicado, porque si no, no veo otra opción. Como las clases están grabadas, yo creo que es la mejor opción que el próximo día, cuando me ponga con posiciones relativas, voy a empezar por el final del jueves, ¿vale?

482
00:51:41,579 --> 00:51:44,239
bueno, fijaos

483
00:51:44,239 --> 00:51:46,280
que queda esto, posición relativa de recta

484
00:51:46,280 --> 00:51:48,239
y plano, que aquí hay un montón

485
00:51:48,239 --> 00:51:50,360
de cosas que os podría explicar el próximo

486
00:51:50,360 --> 00:51:50,699
día

487
00:51:50,699 --> 00:51:54,099
y bueno, que aquí tenéis

488
00:51:54,099 --> 00:51:55,880
pues toda la casuística

489
00:51:55,880 --> 00:51:58,340
mirados uno o dos tutoriales al día

490
00:51:58,340 --> 00:52:00,539
porque la casuística es bastante

491
00:52:00,539 --> 00:52:02,179
grande

492
00:52:02,179 --> 00:52:03,840
¿vale? bueno, pues que tengáis

493
00:52:03,840 --> 00:52:04,780
muy buena semana

494
00:52:04,780 --> 00:52:08,039
y os sigo ofreciendo las

495
00:52:08,039 --> 00:52:10,059
tutorías individuales

496
00:52:10,059 --> 00:52:10,599
como siempre

497
00:52:10,599 --> 00:52:12,519
Gracias.