1
00:00:03,500 --> 00:00:09,339
Hola, en este vídeo vamos a definir el concepto de matriz inversa.

2
00:00:09,939 --> 00:00:15,519
Vamos a ver, en matemáticas llamamos matriz inversa a una matriz cuadrada de orden n

3
00:00:15,519 --> 00:00:20,500
que en el caso de que exista, porque ya veremos que no siempre existe,

4
00:00:21,019 --> 00:00:26,839
tiene que cumplir que el producto de una matriz original por su matriz inversa

5
00:00:26,839 --> 00:00:30,940
o viceversa, el producto de la matriz inversa por una matriz,

6
00:00:30,940 --> 00:00:38,759
tiene que ser igual a la identidad, ¿de acuerdo? Es el elemento inverso, ¿vale? De la multiplicación, ¿vale?

7
00:00:40,479 --> 00:00:47,359
Esta matriz no siempre existe, ¿vale? Ya veremos más adelante cuándo, qué se tiene que dar para que esta matriz no exista,

8
00:00:47,799 --> 00:00:53,759
pero en el caso de que exista se dice que una matriz cuadrada que tiene inversa, de la que se puede sacar la inversa,

9
00:00:53,759 --> 00:01:04,340
se dice que es invertible o regular, ¿vale? Además, esta matriz inversa que nosotros hallemos con los varios procedimientos que vamos a ver a partir de ahora

10
00:01:04,340 --> 00:01:13,560
es única, esto quiere decir que no hay dos matrices que cumplan, que al multiplicarla por la matriz original yo obtengo la matriz identidad, ¿vale?

11
00:01:13,560 --> 00:01:21,780
Hay una única matriz que va a cumplir esta propiedad, ¿vale? De existir, ya os digo, puede ser que no exista.

12
00:01:21,780 --> 00:01:29,319
Bueno, vamos a ver que existen varios métodos para calcular la matriz inversa de otra dada, ¿vale?

13
00:01:30,799 --> 00:01:39,319
El método más usado es hacerlo por determinantes. Esto lo vamos a ver en el próximo tema y ya os digo que va a ser el método por excelencia, ¿de acuerdo?

14
00:01:39,459 --> 00:01:48,280
Solo que, bueno, estamos explicando aquí el concepto y vamos a ver otras dos formas de resolverlo, ¿vale? De hallar la matriz inversa de una matriz cuadrada.

15
00:01:48,280 --> 00:01:57,939
El primero que vamos a ver, que se va a ver en este vídeo, es que yo puedo hallarlo planteando sistemas de ecuaciones.

16
00:01:58,879 --> 00:02:14,340
Daos cuenta de una cosa, yo busco, si aplico la definición de matriz inversa, busco, dada una matriz A, busco una matriz tal que al multiplicarla por A yo obtenga la identidad.

17
00:02:14,340 --> 00:02:28,800
¿De acuerdo? Esta matriz que yo busco la puedo llamar como matriz X, ¿vale? Y en lugar de X, pues plantear una matriz que tenga la misma dimensión que la matriz A, donde sus elementos sean incógnitas, ¿de acuerdo?

18
00:02:29,860 --> 00:02:44,590
Bueno, y esta multiplicación tiene que ser igual a la identidad. Vamos a ver con un ejemplo cómo podemos hallar la matriz inversa de una matriz, en este caso de orden 2,

19
00:02:44,590 --> 00:02:57,349
Matriz cuadrada de orden 2 planteando un sistema de ecuaciones. Venga, partimos de la base, de lo que acabamos de explicar, que la matriz por su inversa tiene que darme como resultado la matriz identidad, ¿vale?

20
00:02:57,629 --> 00:03:05,949
Por tanto, para mí la matriz inversa es una incógnita, ¿vale? Es una matriz X que tengo que descubrir quién es.

21
00:03:05,949 --> 00:03:09,729
entonces por tanto lo que busco es la multiplicación

22
00:03:09,729 --> 00:03:14,449
que la multiplicación de la matriz original que a mi me dan

23
00:03:14,449 --> 00:03:18,490
por otra matriz me de como resultado la matriz

24
00:03:18,490 --> 00:03:22,689
identidad ¿vale? esto o sea es clave que tengáis en cuenta porque lo preguntan

25
00:03:22,689 --> 00:03:24,990
muchas veces la definición de matriz identidad

26
00:03:24,990 --> 00:03:30,129
la propiedad, la definición esta sale en muchos

27
00:03:30,129 --> 00:03:34,650
exámenes ¿vale? lo que voy a hacer es simplemente aquí poner

28
00:03:34,650 --> 00:03:40,250
nombrar cuatro incógnitas distintas, ¿vale? Con las letras x, y, z, t, ¿de acuerdo?

29
00:03:40,310 --> 00:03:45,330
Y voy a ir resolviendo la ecuación, más que la ecuación, la multiplicación.

30
00:03:45,490 --> 00:03:53,629
Entonces, lo primero que voy a hacer es plantear aquí, vamos a ver, ir haciendo las multiplicaciones de los elementos.

31
00:03:53,629 --> 00:03:59,650
Como primer elemento tendríamos el elemento 2x más 5z, ¿de acuerdo?

32
00:03:59,650 --> 00:04:14,990
El segundo sería 2i más 5t, tenemos que dejarlo indicado. El tercer elemento, perdón, el elemento de la fila 2 columna 1 sería menos 1 menos 3z y aquí tendríamos el menos i menos 3t.

33
00:04:15,650 --> 00:04:21,649
Esta matriz producto que acabo de obtener tiene que ser la misma que la matriz identidad, ¿de acuerdo?

34
00:04:22,550 --> 00:04:29,089
Y aquí está la amiga, la chicha, la esencia del ejercicio, ¿vale?

35
00:04:29,410 --> 00:04:36,410
Lo que vamos a hacer es darnos cuenta de que aquí, bueno, tenemos cuatro elementos con expresiones algebraicas,

36
00:04:36,410 --> 00:04:40,149
pero esas expresiones algebraicas tienen las mismas incógnitas 2 a 2.

37
00:04:40,149 --> 00:04:46,209
Gracias a eso vamos a poder plantear sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas

38
00:04:46,209 --> 00:04:54,610
En primer lugar vamos a plantear un sistema en el que igualemos los elementos de las posiciones 1,1 y 2,1

39
00:04:54,610 --> 00:04:59,629
Con los elementos de las posiciones 1,1 y 2,1 de la matriz identidad

40
00:04:59,629 --> 00:05:04,310
Y después haremos lo mismo con los elementos 2,1 y 2,2

41
00:05:04,310 --> 00:05:08,449
Así de sencillo, con estas cosas que he subrayado en los mismos colores

42
00:05:08,449 --> 00:05:16,790
voy a plantear sistemas de ecuaciones. El primero de los sistemas va a estar formado por la expresión 2x más 5z

43
00:05:16,790 --> 00:05:22,689
que igualaré a 1 a lo que me tiene que dar el elemento de la matriz inversa cuando haga la multiplicación

44
00:05:22,689 --> 00:05:34,500
y después coloco la ecuación que se plantea al igualar el elemento 2,1 con el elemento 2,1 de la matriz identidad.

45
00:05:34,500 --> 00:05:36,439
Creo que he dicho inversa, quería decir identidad.

46
00:05:36,920 --> 00:05:41,500
El caso es que aquí tengo un sistema de ecuaciones con dos incógnitas muy fácil de resolver, ¿vale?

47
00:05:42,879 --> 00:05:46,860
Ya sabéis que se puede resolver por cualquiera de los tres métodos.

48
00:05:46,959 --> 00:05:47,980
Yo elijo reducción.

49
00:05:48,860 --> 00:05:58,579
Voy a comenzar multiplicando la ecuación de abajo por dos para después poder sumarlas, ¿vale?

50
00:05:58,579 --> 00:06:15,689
Y entonces voy a obtener aquí que las expresiones con x se van y me queda que menos z va a ser igual a 1, de donde deduzco que z es el valor menos 1, ¿vale?

51
00:06:15,689 --> 00:06:23,750
Ya tengo el primero de los valores y una vez que conozco z, pues bueno, voy a despejar x, por ejemplo, de la segunda ecuación también, ¿vale?

52
00:06:23,750 --> 00:06:37,430
Simplemente sustituyo, me queda por aquí que menos x más 3 es igual a 0, es decir, x es igual a 3, ¿vale?

53
00:06:39,149 --> 00:06:43,029
Una vez que tenemos esto, vamos a hacer aquí una pequeña separación, ¿vale?

54
00:06:43,050 --> 00:06:47,629
Donde vamos a calcular, pues vamos a plantear el otro sistema de ecuaciones, ¿vale?

55
00:06:47,629 --> 00:06:55,850
El que nos va a permitir igualar los elementos de las posiciones de la fila 2 columna 1 y la fila 2 columna 2, ¿vale?

56
00:06:55,949 --> 00:07:09,230
El planteamiento es exactamente el mismo, solo que ahora, pues bueno, cambian los, pues tanto las incógnitas como los valores del segundo miembro de las ecuaciones, ¿vale?

57
00:07:10,069 --> 00:07:17,389
La estrategia yo voy a seguir la misma, método de reducción, multiplico la segunda ecuación por 2 para poder sumar después.

58
00:07:17,629 --> 00:07:27,509
Tendría por aquí 2i más 5t es igual a 0 y aquí debajo tendré menos 2i menos 6t es igual a 2.

59
00:07:27,829 --> 00:07:38,170
Si sumo ambas ecuaciones esto se nos anula y me queda que menos t es igual a 2 de donde deduzco que t es menos 2.

60
00:07:38,170 --> 00:07:40,810
una vez que he descubierto quién es t

61
00:07:40,810 --> 00:07:42,829
pues me vuelvo a cualquiera de las dos ecuaciones

62
00:07:42,829 --> 00:07:44,209
y despejo

63
00:07:44,209 --> 00:07:46,709
la última de las incógnitas

64
00:07:46,709 --> 00:07:47,670
que sería i, ¿vale?

65
00:07:48,810 --> 00:07:51,370
tengo por aquí que menos i más 6

66
00:07:51,370 --> 00:07:52,769
es igual a 1

67
00:07:52,769 --> 00:07:54,389
es decir

68
00:07:54,389 --> 00:07:57,110
que i es igual

69
00:07:57,110 --> 00:07:59,569
a 5

70
00:07:59,569 --> 00:08:00,850
¿vale?

71
00:08:01,629 --> 00:08:01,949
venga

72
00:08:01,949 --> 00:08:04,430
ya estaría terminado el ejercicio

73
00:08:04,430 --> 00:08:06,889
solo que bueno, para asegurarnos

74
00:08:06,889 --> 00:08:10,350
de que lo hemos hecho bien, lo que vamos a hacer es volver a sustituir los valores que

75
00:08:10,350 --> 00:08:16,449
acabo de obtener en el producto original de matrices, ¿vale? Bueno, porque lo que yo

76
00:08:16,449 --> 00:08:25,230
acabo de obtener es que la matriz inversa es aquella que está formada por 3, que era

77
00:08:25,230 --> 00:08:31,430
donde había puesto x, el valor de x es 3, pues ese era su primer elemento, 5, que es

78
00:08:31,430 --> 00:08:39,409
donde estaba ahí, menos 1 que es donde estaba z y menos 2, ¿vale? Esta es la matriz identidad

79
00:08:39,409 --> 00:08:44,429
y como iba diciendo, para comprobar que hemos hecho bien el ejercicio, lo que vamos a hacer,

80
00:08:45,090 --> 00:08:52,370
vosotros lo pondréis debajo en el cuaderno, es, pues bueno, comprobar, ¿vale? A ver si

81
00:08:52,370 --> 00:08:59,389
efectivamente, si yo tomo la matriz original y la multiplico por esta matriz que acabo

82
00:08:59,389 --> 00:09:06,429
obtener, obtengo la matriz identidad como resultado, ¿vale? Venga, entonces, como primer

83
00:09:06,429 --> 00:09:12,730
elemento tendremos 2 por 3, que es 6, más 5 por menos 1, que es menos 5. 6 menos 5 da

84
00:09:12,730 --> 00:09:21,129
1. El elemento, perdón, 1, 2 será 2 por 5, 10, más 5 por menos 2, que sería menos

85
00:09:21,129 --> 00:09:43,669
10, 10 menos 10, 0. Siguiente, menos 1 por 3 es menos 3, más menos 3 por menos 1 que es 3 positivo, menos 3 más 3 es 0 y el último elemento será menos 1 por 5, menos 5, más menos 3 por menos 2 que es 6, menos 5 más 6 es 1.

86
00:09:43,669 --> 00:09:56,809
Como hemos obtenido la matriz identidad es que la matriz que hemos obtenido planteando estos sistemas de ecuaciones es efectivamente la matriz identidad.