1
00:00:14,640 --> 00:00:31,660
Bueno, pues esto es un ejercicio que hacía muchísimos años que no caía en Madrid, es de la convocatoria extraordinaria de julio de 2021, la opción A del ejercicio 2, que es ejercicios directos de límites o de integrales.

2
00:00:31,660 --> 00:00:43,579
Yo hacía muchos años, es cierto que sí que lo recuerdo haber caído porque ya llevamos 33 años, pero hacía muchos años que no caía.

3
00:00:44,200 --> 00:00:49,359
Entonces, bueno, pues vamos a empezar sin más opción.

4
00:00:49,359 --> 00:01:06,359
Vamos a empezar con el a1, es un límite cuando x tiende a 0 de x cuadrado por 1 menos 2x partido por x menos 2x cuadrado menos seno de x.

5
00:01:06,359 --> 00:01:22,819
Bueno, al hacer este límite, pues 0 partido por 0, abajo es todo 0, arriba hay una multiplicación, da 0 partido por 0 indeterminación, así que no lo podemos hacer así.

6
00:01:22,819 --> 00:01:40,340
Os recuerdo que otra manera de hacerlo sería en una función como esta y poniendo la calculadora en radianes, pues por ejemplo, sustituir por un valor cercano a cero. Esto no valdría en el examen de la EBAU, pero os valdría a vosotros para luego comprobar cuánto da.

7
00:01:40,340 --> 00:02:02,200
Es decir, si nosotros lo hacemos, teníamos x cuadrado, pues vamos a poner, por ejemplo, 0.01, escribir una bella fracción, 0.01 al cuadrado por paréntesis 1 menos 2 por 0.01.

8
00:02:02,200 --> 00:02:17,020
y en el denominador teníamos 0.01, perdón, que eso estaba en cero,

9
00:02:18,759 --> 00:02:29,159
hemos puesto en una arriba solo un cero, estamos poniéndolo diferente en cada uno,

10
00:02:29,159 --> 00:02:31,259
ahí vamos a poner

11
00:02:31,259 --> 00:02:32,939
0,1 en todos

12
00:02:32,939 --> 00:02:34,580
entonces aquí abajo

13
00:02:34,580 --> 00:02:37,639
pues vamos a quitar un 0

14
00:02:37,639 --> 00:02:39,979
0.01

15
00:02:39,979 --> 00:02:40,879
menos

16
00:02:40,879 --> 00:02:44,060
fecha

17
00:02:44,060 --> 00:02:49,060
menos 0.01

18
00:02:49,060 --> 00:02:49,979
al cuadrado

19
00:02:49,979 --> 00:02:53,919
falta un 2 por

20
00:02:53,919 --> 00:03:04,000
ahora

21
00:03:04,000 --> 00:03:06,639
1, 2, 3, 4

22
00:03:06,639 --> 00:03:07,900
y 5

23
00:03:07,900 --> 00:03:09,800
vale

24
00:03:09,800 --> 00:03:12,719
y finalmente menos seno

25
00:03:12,719 --> 00:03:15,000
recordad que tiene que estar

26
00:03:15,000 --> 00:03:16,319
en radianes, si no

27
00:03:16,319 --> 00:03:17,819
no valdría

28
00:03:17,819 --> 00:03:20,520
0.01

29
00:03:20,520 --> 00:03:22,379
y ahora sí

30
00:03:22,379 --> 00:03:23,500
cuando le damos igual

31
00:03:23,500 --> 00:03:26,300
o sea, lo hemos escrito mal

32
00:03:26,300 --> 00:03:28,780
a ver si lo localizo

33
00:03:28,780 --> 00:03:29,259
rápido

34
00:03:29,259 --> 00:03:31,699
y si no

35
00:03:31,699 --> 00:03:34,479
pues lo dejamos

36
00:03:34,479 --> 00:03:35,539
y aquí hay un

37
00:03:35,539 --> 00:03:39,099
un punto que no tenía que estar

38
00:03:39,099 --> 00:03:45,000
y un cero que tampoco tenía que estar

39
00:03:45,000 --> 00:03:47,199
0.01, ahora sí

40
00:03:47,199 --> 00:03:49,699
bueno, pues ya está

41
00:03:49,699 --> 00:03:54,159
como veis da menos 0.49

42
00:03:54,159 --> 00:03:57,219
lo que quiere decir es que se acerca

43
00:03:57,219 --> 00:03:59,960
como se acercara a un valor reconocible

44
00:03:59,960 --> 00:04:01,300
pues sería menos un medio

45
00:04:01,300 --> 00:04:03,960
así que fijaros con la calculadora

46
00:04:03,960 --> 00:04:06,159
ya sabemos que hagamos lo que hagamos

47
00:04:06,159 --> 00:04:10,379
podría dar menos un medio

48
00:04:10,379 --> 00:04:14,560
así que vamos a ver cómo se haría

49
00:04:14,560 --> 00:04:17,779
la única manera que tenemos dado que hay un seno

50
00:04:17,779 --> 00:04:21,959
es utilizar el teorema del hospital

51
00:04:21,959 --> 00:04:26,279
entonces para eso tenemos que ver

52
00:04:26,279 --> 00:04:28,060
deberíamos escribirlo

53
00:04:28,060 --> 00:04:30,459
que tanto el numerador como el denominador

54
00:04:30,459 --> 00:04:32,800
son funciones continuas y derivables

55
00:04:32,800 --> 00:04:34,220
en un entorno de cero

56
00:04:34,220 --> 00:04:43,399
y por tanto el límite que nos piden es igual que el límite cuando x tiende a 0 de la derivada de arriba,

57
00:04:43,399 --> 00:04:51,720
derivo la derivada del primero por el segundo sin derivar más el primero por la derivada del segundo

58
00:04:51,720 --> 00:05:04,199
y en el denominador tendríamos la derivada de x, la derivada de menos 2x cuadrado y la derivada del seno.

59
00:05:04,220 --> 00:05:19,160
Bien, aquí vemos que arriba da 0 otra vez y abajo da 1, menos 0, menos 1, 1, menos 1, 0. Así que vuelve a dar otra indeterminación.

60
00:05:19,160 --> 00:05:29,379
¿Vale? Alguno a lo mejor piensa que renta operar el numerador, pero se aseguró que no.

61
00:05:29,879 --> 00:05:35,860
Volvemos a hacer el límite de la derivada de arriba partido por la derivada de abajo.

62
00:05:35,860 --> 00:05:43,100
Un producto, la derivada del primero por el segundo sin derivar, más el primero por la derivada del segundo,

63
00:05:43,100 --> 00:05:49,670
y ahora tenemos más o menos 2x cuadrado

64
00:05:49,670 --> 00:05:53,350
que la derivada del menos 4x, ¿vale?

65
00:05:56,269 --> 00:06:00,129
Y en el denominador tenemos 0, menos 4

66
00:06:00,129 --> 00:06:02,209
y la derivada del coseno del menos seno

67
00:06:02,209 --> 00:06:04,290
sí que quedaría esto.

68
00:06:05,110 --> 00:06:08,129
Y aquí al hacer el seno, el ax0,

69
00:06:08,569 --> 00:06:10,310
pues abajo ya vemos que da menos 4,

70
00:06:10,810 --> 00:06:13,350
o sea que ya no vuelve a dar 0 partido por 0.

71
00:06:13,350 --> 00:06:23,370
Y arriba, pues si sustituimos por 0, este paréntesis da 1, por 2, 2, y los demás tienen x, así que dan 0.

72
00:06:23,610 --> 00:06:28,470
De hecho, es menos 4x menos 4x menos 8x, pero al hacer el límite, 0.

73
00:06:28,790 --> 00:06:37,430
Así que el resultado final es menos un medio, después de hacer dos veces el hospital, y que cuadra con nuestro resultado con la calculadora.

74
00:06:37,430 --> 00:06:56,970
¿Vale? El segundo ejercicio, a2 es el límite cuando x tiende a menos infinito, perdón, que creo que sea más infinito, de 1 partido por x,

75
00:06:56,970 --> 00:07:01,250
Tener cuidado porque si lo copiamos mal

76
00:07:01,250 --> 00:07:03,069
3 partido por x

77
00:07:03,069 --> 00:07:05,910
Esto también nos puede pasar en el examen

78
00:07:05,910 --> 00:07:12,560
Y menos 2 partido seno de 1 partido por x

79
00:07:12,560 --> 00:07:24,620
Y vemos que nos quedaría 0 por 3 partido por infinito es 0

80
00:07:24,620 --> 00:07:27,860
Pero 1 partido por infinito es 0

81
00:07:27,860 --> 00:07:28,720
El seno de 0 es 0

82
00:07:28,720 --> 00:07:31,819
Menos 2 partido por 0 menos infinito

83
00:07:31,819 --> 00:07:48,300
Entonces nos queda una indeterminación del tipo cero por infinito, nos queda una indeterminación del tipo cero por infinito, no lo podemos hacer así, podríamos hacerlo con la calculadora,

84
00:07:48,300 --> 00:08:12,480
Con la calculadora haríamos 1 partido por 1 millón, derecha, paréntesis por paréntesis, tenemos ahora 3 partido por 1 millón, 3 partido por 1 millón,

85
00:08:12,480 --> 00:08:15,459
otra vez a la derecha

86
00:08:15,459 --> 00:08:17,000
menos

87
00:08:17,000 --> 00:08:20,060
2 partido

88
00:08:20,060 --> 00:08:26,720
por el seno

89
00:08:26,720 --> 00:08:28,620
de, recordad que tiene que estar en

90
00:08:28,620 --> 00:08:30,680
radianes, si no, no funciona

91
00:08:30,680 --> 00:08:32,740
1 partido por

92
00:08:32,740 --> 00:08:35,600
otro millón

93
00:08:35,600 --> 00:08:38,659
cerramos el paréntesis

94
00:08:38,659 --> 00:08:39,480
del seno

95
00:08:39,480 --> 00:08:42,220
y cerramos el paréntesis

96
00:08:42,220 --> 00:08:43,539
del otro

97
00:08:43,539 --> 00:08:45,860
y le damos al igual

98
00:08:45,860 --> 00:08:49,419
pues veis que da menos 2

99
00:08:49,419 --> 00:08:51,179
con un millón da menos 2

100
00:08:51,179 --> 00:08:53,120
ya exacto, o sea que

101
00:08:53,120 --> 00:08:54,860
podríamos haber probado en vez de con un millón

102
00:08:54,860 --> 00:08:57,100
con mil, seguramente hubiera dado

103
00:08:57,100 --> 00:08:59,200
la próxima, o sea eso quiere decir que

104
00:08:59,200 --> 00:09:01,220
ya sabemos que va a dar menos

105
00:09:01,220 --> 00:09:03,220
2, eso nos ayuda siempre, ¿verdad?

106
00:09:03,480 --> 00:09:05,179
saber el resultado que

107
00:09:05,179 --> 00:09:06,399
va a dar menos 2

108
00:09:06,399 --> 00:09:09,240
en realidad lo que nosotros vamos

109
00:09:09,240 --> 00:09:11,460
a hacer es hacer un cambio de variable

110
00:09:11,460 --> 00:09:13,240
y llamar t a 1 partido

111
00:09:13,240 --> 00:09:15,200
por x y por tanto el

112
00:09:15,200 --> 00:09:24,059
límite cuando x tiende a infinito, pues la t va a tender a cero. Entonces vamos a hacer

113
00:09:24,059 --> 00:09:38,019
límite cuando t tiende a cero de t, 3t menos 2 partido seno de t. Bueno, esto no ha resuelto

114
00:09:38,019 --> 00:09:44,740
la indeterminación, pero si nosotros operamos todo esto, tenemos límite cuando t tiende

115
00:09:44,740 --> 00:09:59,200
a 0, t, 3t cuadrado menos 2t partido seno de t. Aquí ya podríamos ver que el límite

116
00:09:59,200 --> 00:10:05,500
de una diferencia es la diferencia de los límites, así que esto se podría poner como

117
00:10:05,500 --> 00:10:19,799
El límite cuando t tiende a cero, t3t cuadrado menos el límite cuando t tiende a cero, dado que tiene el límite cada una de las dos cosas, t2t partido por el seno de t.

118
00:10:19,799 --> 00:10:36,480
El primero es 0 y el segundo, como todos sabéis, es 2, ya que el límite cuando t tiende a 0 de seno de t partido por t o de t partido por seno de t es 1 porque son infinitésimos.

119
00:10:37,600 --> 00:10:40,440
Así que me quedaría menos 2 igual a menos 2.

120
00:10:41,299 --> 00:10:44,139
También podríamos hacer con este el hospital.

121
00:10:44,139 --> 00:10:51,659
entonces el límite cuando t tiende a 0 sería de 2 partido por el coseno de t y da 2

122
00:10:51,659 --> 00:10:56,779
o sea que si lo hacemos por el hospital pero no sería ni siquiera necesario

123
00:10:56,779 --> 00:11:01,779
podríamos justificarlo y desde luego lo que no sería necesario como ponen en la solución

124
00:11:01,779 --> 00:11:06,759
de la universidad es convertir esto en una sola fracción

125
00:11:06,759 --> 00:11:11,820
y entonces hacer una derivada bastante más complicada

126
00:11:11,820 --> 00:11:16,220
vale, o sea que el resultado es menos 2

127
00:11:16,220 --> 00:11:18,539
vamos ya con el b1

128
00:11:18,539 --> 00:11:20,539
que es

129
00:11:20,539 --> 00:11:23,799
pues la

130
00:11:23,799 --> 00:11:26,820
una integral indefinida

131
00:11:26,820 --> 00:11:29,059
aquí lo tenemos

132
00:11:29,059 --> 00:11:32,000
la integral de x partido de x cuadrado menos 1

133
00:11:32,000 --> 00:11:33,799
diferencial de x

134
00:11:33,799 --> 00:11:38,179
la integral de x partido por x cuadrado menos 1 diferencial de x

135
00:11:38,179 --> 00:11:40,620
estas son las integrales que ya sabéis que yo llamo

136
00:11:40,620 --> 00:11:52,820
o así inmediata españa se nos ha ido en la pizarra hace lo que quiere o mi tableta hace lo que quiere

137
00:11:52,820 --> 00:12:05,200
perdonar si podemos poco profesional bueno lo que voy a hacer es que como la derivada de lo de abajo

138
00:12:05,200 --> 00:12:07,799
está arriba, que yo puedo poner

139
00:12:07,799 --> 00:12:09,779
un 2 aquí

140
00:12:09,779 --> 00:12:11,240
y un medio delante

141
00:12:11,240 --> 00:12:12,679
medio por 2 es 1

142
00:12:12,679 --> 00:12:15,820
y ahora ya sí que la derivada de lo que está abajo está arriba

143
00:12:15,820 --> 00:12:16,960
así que es

144
00:12:16,960 --> 00:12:19,320
una integral inmediata

145
00:12:19,320 --> 00:12:21,059
de

146
00:12:21,059 --> 00:12:23,720
el logaritmo neperiano del denominador

147
00:12:23,720 --> 00:12:25,220
así que

148
00:12:25,220 --> 00:12:26,700
muy muy sencillita

149
00:12:26,700 --> 00:12:30,039
se os olvide poner los valores absolutos

150
00:12:30,039 --> 00:12:31,620
y vamos ya

151
00:12:31,620 --> 00:12:32,360
con el b2

152
00:12:32,360 --> 00:12:41,120
que era la integral entre 0 y 1, esta es definida, de x al cuadrado por e a la menos x.

153
00:12:42,059 --> 00:12:54,820
La integral, pero de 1, de x al cuadrado por e elevado a menos x, diferencial de x.

154
00:12:54,820 --> 00:13:08,730
¿Vale? Pues simplemente lo que nosotros vamos a hacer es la regla de Barrow, básicamente, ¿verdad?

155
00:13:09,629 --> 00:13:16,389
Entonces, para hacer primero la integral indefinida, pues tenemos que hacer una integral por partes,

156
00:13:16,389 --> 00:13:20,389
recordar, siempre llamamos u al polinomio

157
00:13:20,389 --> 00:13:24,070
siempre que se ve

158
00:13:24,070 --> 00:13:27,509
sea lo más fácil, claro, si es un logaritmo tal, ¿no?

159
00:13:28,330 --> 00:13:32,090
y diferencial de v, pues será e a la menos x

160
00:13:32,090 --> 00:13:35,909
diferencial de x, diferencial de u será la derivada

161
00:13:35,909 --> 00:13:39,970
2x y v será la integral menos e elevado a menos x

162
00:13:39,970 --> 00:13:41,990
hacemos u por v

163
00:13:41,990 --> 00:13:51,169
menos x cuadrado por elevado a menos x menos la integral de v por diferencial de u

164
00:13:51,169 --> 00:14:00,620
que sería menos 2x por elevado a menos x diferencial de x.

165
00:14:01,860 --> 00:14:07,860
Este 2 se puede sacar y si lo hacemos tendríamos

166
00:14:07,860 --> 00:14:12,159
menos x cuadrado por elevado a menos x

167
00:14:12,159 --> 00:14:17,360
más 2 por la integral de x por elevado a menos x

168
00:14:17,360 --> 00:14:20,240
todo siempre entre 0 y 1, claro

169
00:14:20,240 --> 00:14:24,840
estamos haciendo la indefinida

170
00:14:24,840 --> 00:14:30,779
esto volvemos a poder hacer una integración por partes

171
00:14:30,779 --> 00:14:37,500
ux diferencial de v e a la menos x diferencial de x

172
00:14:37,500 --> 00:14:43,340
diferencial de u sería diferencial de x

173
00:14:43,340 --> 00:14:46,139
y v sería otra vez menos e a la menos x

174
00:14:46,139 --> 00:14:50,659
haciendo ese cambio de variable

175
00:14:50,659 --> 00:14:53,720
pues tendríamos el menos x cuadrado

176
00:14:53,720 --> 00:14:54,940
de a la menos x de antes

177
00:14:54,940 --> 00:14:58,559
más 2 por corchete

178
00:14:58,559 --> 00:15:03,440
u por v menos x por e a la menos x

179
00:15:03,440 --> 00:15:07,779
menos la integral

180
00:15:07,779 --> 00:15:09,720
de 0 a 1

181
00:15:09,720 --> 00:15:12,559
de v por diferencial de u

182
00:15:12,559 --> 00:15:13,799
que vuelve a ser menos

183
00:15:13,799 --> 00:15:17,080
así que ponemos ya el más ahí directamente

184
00:15:17,080 --> 00:15:23,840
pues si operamos

185
00:15:23,840 --> 00:15:25,799
tenemos menos x cuadrado

186
00:15:25,799 --> 00:15:27,360
por e elevado a menos x

187
00:15:27,360 --> 00:15:30,259
menos 2x por e elevado a menos x

188
00:15:30,259 --> 00:15:32,759
más dos veces la integral

189
00:15:32,759 --> 00:15:33,820
de 0 a 1

190
00:15:33,820 --> 00:15:36,100
de e a la menos x

191
00:15:36,100 --> 00:15:37,580
diferencial de x

192
00:15:37,580 --> 00:15:42,519
Esto volvería a ser la integral esa ya es inmediata

193
00:15:42,519 --> 00:15:46,759
Menos 2x por e a la menos x

194
00:15:46,759 --> 00:15:50,620
Menos 2 por e a la menos x

195
00:15:50,620 --> 00:15:52,440
Entre 0 y 1

196
00:15:52,440 --> 00:15:53,980
Y sacando factor común

197
00:15:53,980 --> 00:15:56,899
A menos e a la menos x

198
00:15:56,899 --> 00:15:58,799
Pues me queda x cuadrado

199
00:15:58,799 --> 00:16:00,799
Más 2x más 2

200
00:16:00,799 --> 00:16:04,620
Entre 0 y 1

201
00:16:04,620 --> 00:16:31,059
Y si hacemos ahora, primero evaluamos para 1, queda menos e elevado a menos 1 por 1 más 2, 3 más 2, 5 menos, y ahora evaluamos para 0, sería menos 1 por 2.

202
00:16:31,059 --> 00:16:34,539
así que esto es

203
00:16:34,539 --> 00:16:37,340
menos 5 partido por e

204
00:16:37,340 --> 00:16:39,860
más 2

205
00:16:39,860 --> 00:16:47,289
y ya tendríamos nuestra integral

206
00:16:47,289 --> 00:16:49,669
definida hecha

207
00:16:49,669 --> 00:16:51,149
¿de acuerdo?

208
00:16:52,909 --> 00:16:54,710
pues hemos terminado el ejercicio