1 00:00:00,430 --> 00:00:03,669 Vamos a ver este ejemplo también de derivabilidad de una función, ¿vale? 2 00:00:03,970 --> 00:00:08,949 Os recuerdo lo que vimos en el otro vídeo, lo primero siempre que para que la función sea derivable 3 00:00:08,949 --> 00:00:15,369 tenemos que estudiar la continuidad, si la función no es continua, entonces no es derivable, ¿vale? 4 00:00:15,849 --> 00:00:23,809 Esto hay que tenerlo en cuenta, si no es continua, entonces no es derivable. 5 00:00:23,949 --> 00:00:28,019 Por lo tanto, vamos a estudiar primero la continuidad. 6 00:00:28,019 --> 00:00:33,820 Son funciones, cada uno de los trozos son polinómicas, por lo tanto son continuas 7 00:00:33,820 --> 00:00:40,259 El único posible punto de discontinuidad, como ya lo tengo aquí puesto, es justamente en el 1 8 00:00:40,259 --> 00:00:44,759 Bueno, pues vamos a estudiar la continuidad en el x igual 1 9 00:00:44,759 --> 00:00:50,539 ¿Qué significa que f de x sea continua en x igual 1? 10 00:00:50,539 --> 00:01:11,120 Bueno, pues esto lo que quiere decir es que el límite cuando x tiende a 1 por la izquierda de f de x tiene que ser igual al límite cuando x tiende a 1 por la derecha de f de x y tiene que ser igual al valor de la función. 11 00:01:11,120 --> 00:01:14,980 Bien, pues vamos a ir calculando 12 00:01:14,980 --> 00:01:16,000 Igual que pasaba antes 13 00:01:16,000 --> 00:01:18,079 Como tengo el igual con el menor 14 00:01:18,079 --> 00:01:20,219 Pues significa que f de 1 15 00:01:20,219 --> 00:01:23,260 Es igual al límite por la izquierda 16 00:01:23,260 --> 00:01:24,900 Lo calculamos una sola vez 17 00:01:24,900 --> 00:01:27,459 Cuando x tiende a 1 por la izquierda 18 00:01:27,459 --> 00:01:30,780 Y la función es x menos 1 al cubo 19 00:01:30,780 --> 00:01:33,420 Sustituye, me queda 1 menos 1 es 0 20 00:01:33,420 --> 00:01:34,700 0 al cubo, 0 21 00:01:34,700 --> 00:01:37,159 Calculamos ahora el límite 22 00:01:37,159 --> 00:01:44,400 cuando x tiende a 1 por la derecha de x menos 1 al cuadrado. 23 00:01:45,299 --> 00:01:48,319 Y esto sustituimos en el 1 y es 1 menos 1, 0. 24 00:01:48,780 --> 00:01:52,700 ¿Qué ocurre? Que estos dos valores son iguales. 25 00:01:52,819 --> 00:02:00,219 Por lo tanto, sabemos que f de x es continua en x igual 0. 26 00:02:00,680 --> 00:02:04,159 Vale, pues lo primero que teníamos que comprobar ya está. 27 00:02:04,379 --> 00:02:06,280 Es decir, ya sabemos que la función es continua. 28 00:02:07,159 --> 00:02:13,759 vale, por lo tanto puede ser derivable, tenemos que tener claro que si una función, 29 00:02:14,300 --> 00:02:20,759 lo pongo aquí, si f de x es continua, esto lo que significa es que puede ser derivable 30 00:02:20,759 --> 00:02:25,900 o puede ser no derivable, sé que lo que estoy escribiendo es una tontería, 31 00:02:25,900 --> 00:02:30,259 pero para que nos quede claro, no significa que por ser continua ya va a ser derivable, 32 00:02:30,259 --> 00:02:32,259 Ahora tenemos que verificarlo 33 00:02:32,259 --> 00:02:34,060 ¿Cuándo va a ser derivable? 34 00:02:34,860 --> 00:02:38,300 Cuando, bueno, cuando existen las derivadas 35 00:02:38,300 --> 00:02:41,020 Es como muy obvio lo que acabo de decir, ¿no? 36 00:02:41,400 --> 00:02:44,099 Es decir, yo tengo una función definida a trozos 37 00:02:44,099 --> 00:02:47,199 Lo primero que tendríamos que hacer es calcular la función derivada 38 00:02:47,199 --> 00:02:50,199 La función derivada de una función definida a trozos 39 00:02:50,199 --> 00:02:51,479 No sé si habéis visto ya ese vídeo 40 00:02:51,479 --> 00:02:55,719 Es hacer la derivada en cada uno de los trozos 41 00:02:55,719 --> 00:02:57,840 ¿Vale? 42 00:02:57,840 --> 00:03:08,460 Por lo tanto, si yo derivo primero el cubo de x menos 1, esto sería 3 veces la función elevada a un exponente menos por la derivada de lo de dentro, que es 1. 43 00:03:09,400 --> 00:03:11,599 Y esto sería cuando la x es menor que 1. 44 00:03:12,659 --> 00:03:16,900 Y fijaros, he puesto estrictamente menor, no es que se me haya olvidado el igual. 45 00:03:17,740 --> 00:03:23,879 Es que ahora veremos que para que sea derivable en ese punto, tiene que verificarse una cosa. 46 00:03:23,879 --> 00:03:28,280 Por eso en la función derivada a trozos no está el igual. 47 00:03:28,740 --> 00:03:34,719 Y la derivada del segundo trozo sería el exponente por la función elevada a un exponente menos, 48 00:03:34,840 --> 00:03:36,819 es decir, a 1, por la derivada de lo de dentro, que es 1. 49 00:03:37,340 --> 00:03:39,020 Y aquí cuando x es mayor que 1. 50 00:03:39,740 --> 00:03:41,120 Esta sería la función derivada. 51 00:03:41,719 --> 00:03:45,860 Si os dais cuenta, en cada trozo, como pasaba antes, son funciones polinómicas, 52 00:03:46,000 --> 00:03:48,360 por lo tanto van a ser derivables, no va a haber ningún problema. 53 00:03:49,259 --> 00:03:53,120 ¿Cuál es el posible punto de problema para ver la derivabilidad? 54 00:03:53,120 --> 00:03:55,580 Pues como pasaba antes, en el 1. 55 00:03:56,340 --> 00:03:59,060 Entonces, ¿qué es lo que significa? O sea, ¿qué es lo que tiene que ocurrir? 56 00:03:59,400 --> 00:04:04,199 Lo que tiene que ocurrir primero es que f de x sea continua y para que sea derivable en un punto, 57 00:04:04,319 --> 00:04:14,840 lo que tiene que ocurrir es que el límite cuando x tiende a ese punto por la izquierda de mi derivada, ¿vale? 58 00:04:15,000 --> 00:04:23,079 Tiene que ser igual al límite cuando x tiende a ese punto por la derecha de mi función derivada. 59 00:04:23,939 --> 00:04:28,899 Si este límite coincide, entonces diremos que la función es derivable en ese punto 60 00:04:28,899 --> 00:04:34,100 y el valor de la derivada en ese punto justamente coincidirá con el límite, 61 00:04:34,839 --> 00:04:36,759 con cualquiera de los dos límites, que es el mismo valor. 62 00:04:37,339 --> 00:04:39,139 ¿Vale? Entonces ahora, ¿qué tendríamos que calcular? 63 00:04:39,639 --> 00:04:41,839 Lo que tendríamos que hacer es verificar lo de los límites. 64 00:04:41,839 --> 00:04:48,459 Pues vamos a ver, ¿cuánto es el límite cuando x tiende a 1 por la izquierda? 65 00:04:48,459 --> 00:04:54,420 Pues tengo que coger la derivada es 3 por x menos 1 al cuadrado. 66 00:04:55,120 --> 00:04:59,519 Sustituimos aquí que me queda 1 menos 1 es 0, es decir, esto es 0. 67 00:05:04,899 --> 00:05:06,920 ¿Cuánto es el otro límite? 68 00:05:07,480 --> 00:05:15,759 Límite cuando x tiende, bueno y esto se suele poner, le podemos llamar a esta parte de aquí el límite por la izquierda, 69 00:05:15,759 --> 00:05:21,120 es como si fuera f' de a por la izquierda, ¿vale? 70 00:05:21,180 --> 00:05:29,079 Y este sería el f' de a por la derecha, por si en algún sitio lo veis escrito así en el libro, ¿vale? 71 00:05:29,519 --> 00:05:41,529 Es decir, esto es como si fuera el f' de 1 por la izquierda, y esto sería el f' de 1 por la derecha. 72 00:05:42,050 --> 00:05:47,529 Vale, cuando x tiende a 1 más, y esto aquí sería 2 veces por x menos 1. 73 00:05:48,569 --> 00:05:50,709 Sustituimos en el 1 y vuelve a ser 0. 74 00:05:50,709 --> 00:06:05,600 ¿Qué ocurre? Que estos dos límites son 0. Muy bien, pues ¿esto qué significa? Pues significa que f de x es derivable en x igual 0. 75 00:06:05,860 --> 00:06:13,740 Y es más, ¿cuánto va a ser el valor de esta derivada? f' en 0 va a ser exactamente el valor que hemos obtenido de los límites, 0. 76 00:06:14,500 --> 00:06:21,019 Entonces cuando queramos estudiar si una función definida a trozos es derivable, 77 00:06:21,439 --> 00:06:27,220 Fijaos, lo primero que tenemos que hacer es, primero, estudiar la continuidad, lo que hemos puesto aquí arriba. 78 00:06:27,620 --> 00:06:31,540 Que la función es continua, entonces ya me pongo a mirar si es derivable. 79 00:06:32,319 --> 00:06:41,779 Calcularíamos la derivada primera de esa función definida a trozos y luego los límites laterales en el punto en el que se separa de un trozo a otro, ¿vale? 80 00:06:42,060 --> 00:06:45,339 ¿Qué obtengo desde el principio? Que la función no es continua. 81 00:06:46,220 --> 00:06:48,959 Entonces ya paro, no calculo derivada ni nada más. 82 00:06:49,379 --> 00:06:51,339 Ya sé que la función no puede ser derivable.