1 00:00:03,819 --> 00:00:14,060 Hola, en este vídeo vamos a ver el segundo método de obtención de la matriz inversa de otra matriz dada 2 00:00:14,060 --> 00:00:20,539 con un método llamado el método de Gauss o método de Gauss-Jordan, lo podéis encontrar así también en internet. 3 00:00:21,320 --> 00:00:30,679 Mirad, para llevar a cabo este método, lo primero que tenemos que hacer es escribir la matriz ampliada 4 00:00:30,679 --> 00:00:34,039 de la matriz original. 5 00:00:34,700 --> 00:00:38,939 Una matriz ampliada es una matriz que nos va a salir mucho a partir de ahora 6 00:00:38,939 --> 00:00:43,200 en la que vamos a establecer una línea vertical y después vamos a escribir 7 00:00:43,200 --> 00:00:47,219 lo que tengamos que escribir en cada momento. 8 00:00:47,399 --> 00:00:50,420 En este momento lo que tenemos que escribir es la matriz identidad de mismo orden. 9 00:00:51,359 --> 00:00:53,939 Una vez que tenemos escrita esta matriz tan grande, 10 00:00:53,939 --> 00:00:58,159 lo que vamos a hacer es aplicarle transformaciones elementales 11 00:00:58,159 --> 00:01:05,939 a las filas de la matriz, ya os explico lo que es esto, hasta conseguir transformar esto 12 00:01:05,939 --> 00:01:14,340 de manera que en el lugar donde yo antes tenía la matriz original me quede ahora la matriz identidad 13 00:01:14,340 --> 00:01:20,780 y en ese momento en el que aquí a la izquierda esté la matriz identidad, los números que estén a la derecha 14 00:01:20,780 --> 00:01:25,340 formarán, serán los elementos de la matriz inversa, ¿vale? 15 00:01:26,040 --> 00:01:29,599 Voy a, pasamos de, con ejemplos lo vais a entender mucho mejor. 16 00:01:30,040 --> 00:01:33,239 De la matriz ampliada, donde hemos escrito la matriz original 17 00:01:33,239 --> 00:01:36,739 y hemos ampliado con una línea vertical y hemos escrito la inversa, 18 00:01:36,939 --> 00:01:40,060 haremos una serie de transformaciones con operaciones elementales 19 00:01:40,060 --> 00:01:43,079 hasta conseguir que quede la matriz inversa en primer lugar 20 00:01:43,079 --> 00:01:47,579 y cuando consigamos eso, lo que queda a la derecha es la matriz, 21 00:01:47,980 --> 00:01:49,719 he dicho inversa, pero aquí quería decir identidad, 22 00:01:49,719 --> 00:02:00,799 Es que veo la I y me lío. Pero bueno, lo que quiero decir es que cuando tengo aquí la matriz identidad, lo que queda a la derecha en la parte que amplié es la matriz inversa. 23 00:02:01,599 --> 00:02:09,280 ¿Qué son las transformaciones elementales? Las transformaciones elementales las conocéis del año pasado cuando visteis el método de resolución de sistemas por Gauss. 24 00:02:09,280 --> 00:02:22,139 Si os acordáis en aquel método, lo que hacíais era operaciones elementales a toda una ecuación de un sistema de 3x3 hasta que conseguíais ir eliminando incógnitas. 25 00:02:22,259 --> 00:02:23,479 Pues la idea es la misma. 26 00:02:24,280 --> 00:02:30,039 Las transformaciones elementales que vamos a hacer nosotros son, por un lado, el intercambio de filas. 27 00:02:30,039 --> 00:02:54,139 ¿Vale? Por otro lado, la multiplicación de todos los elementos de una fila por un número real, que sea distinto de cero porque no tiene gracia anular una fila por completo, y la última de las operaciones elementales que vamos a ver es la suma, o sea, tomar una fila y sumarle o restarle el producto de la otra de las filas por un número real. 28 00:02:54,139 --> 00:03:02,939 ¿De acuerdo? Creo que os acordáis en el momento que empecemos, os recordará esto bastante al método de resolución de Gauss, ¿vale? 29 00:03:03,240 --> 00:03:10,539 Al fin y al cabo, o sea, bueno, Gauss aplicado a ecuaciones, esto es Gauss también, pero aplicado a matrices, ¿vale? 30 00:03:11,159 --> 00:03:18,979 Vamos a ver en este vídeo un ejemplo muy sencillo donde nos piden hallar con este método la matriz inversa de esta matriz 2x2. 31 00:03:18,979 --> 00:03:25,860 Mirad, lo primero que vamos a hacer, bueno, pues es lo que teníamos ahí, escribir la matriz ampliada, ¿vale? 32 00:03:26,340 --> 00:03:34,819 Vamos a escribir la matriz que yo ya tenía, que me dan una línea vertical y detrás de esta la matriz identidad 33 00:03:34,819 --> 00:03:40,500 A partir de aquí yo voy a empezar a hacer operaciones elementales a toda la fila, ¿vale? 34 00:03:40,500 --> 00:03:46,939 Incluyendo los elementos de la matriz original y los de la parte de la matriz identidad, ¿vale? 35 00:03:47,039 --> 00:03:48,340 Toda la fila 36 00:03:48,340 --> 00:03:58,500 A priori yo puedo hacer las transformaciones que yo quiera para conseguir que aquí me quede la matriz 1, 0, 0, 1 37 00:03:58,500 --> 00:04:01,539 ¿De acuerdo? Cada uno puede seguir la estrategia que quiera 38 00:04:01,539 --> 00:04:08,860 Yo os voy a decir una estrategia, no la voy a escribir, simplemente la voy a mencionar ahora 39 00:04:08,860 --> 00:04:14,740 Y la voy a ir llevando a cabo en cada uno de los pasos, cada uno quien quiera que se la escriba por ahí 40 00:04:15,740 --> 00:04:19,100 Ya os adelanto que el método de Gauss no se suele usar, ¿vale? 41 00:04:19,579 --> 00:04:27,740 Pero, bueno, nosotros lo vamos a ver porque toca verlo en esta parte entera del tema, pero no se suele usar para la obtención de la matriz inversa. 42 00:04:29,100 --> 00:04:35,459 Bueno, a ver chicos, como mi objetivo es conseguir que los elementos de la diagonal principal sean 1, 43 00:04:35,459 --> 00:04:52,459 lo que voy a ir a hacer, la estrategia que yo os recomiendo seguir es que columna a columna os vayáis centrando en conseguir que cada elemento de la matriz, perdón, de la diagonal principal sea 1, ¿vale? 44 00:04:52,459 --> 00:04:58,620 Entonces lo primero que voy a hacer es intentar convertir este 2 en un 1, ¿vale? 45 00:04:59,459 --> 00:05:01,540 No lo escribo, lo digo simplemente. 46 00:05:02,379 --> 00:05:09,300 Mi objetivo principal es que los elementos de la diagonal principal sean 1, claro, para ir consiguiendo la matriz identidad. 47 00:05:09,740 --> 00:05:12,160 En el momento que yo consiga aquí tener un 1, ¿de acuerdo? 48 00:05:12,160 --> 00:05:25,139 Cuando yo haga operaciones al resto de las filas de las de multiplicar, o sea sumarle o restarle otra fila por un número real 49 00:05:25,139 --> 00:05:28,160 Pues va a ser súper fácil quitar después de este menos uno 50 00:05:28,160 --> 00:05:37,800 Entonces lo primero que voy a hacer es hacer que en esta primera fila me quede aquí un uno 51 00:05:37,800 --> 00:05:48,399 Podría hacer dos cosas, de forma general lo que se suele, lo que se os pide que hagáis es que se puede multiplicar toda una matriz por el número que queráis, incluido una fracción, ¿vale? 52 00:05:48,560 --> 00:05:58,819 Una forma que tendríamos que hacerlo es tomar esta primera fila y multiplicar todo por un medio, porque así de esa manera, dos por un medio, pues sería uno, ya tengo aquí mi objetivo conseguido, ¿vale? 53 00:05:58,819 --> 00:06:04,860 ¿Cómo van a quedar por aquí fracciones? Pues yo creo que no es un método muy lógico 54 00:06:04,860 --> 00:06:09,699 si nos damos cuenta de que aquí tenemos un menos 1, ¿vale? 55 00:06:09,699 --> 00:06:14,839 El elemento 2, 1 es un menos 1. ¿Por qué es esto interesante para nosotros? 56 00:06:15,540 --> 00:06:22,379 Porque mirad, si yo ahora tomo la fila 1 y le sumo la fila 2, le hago la transformación elemental 57 00:06:22,379 --> 00:06:28,620 de sumarle la fila de abajo, al sumar 2 más menos 1 ya voy a conseguir aquí el valor 1 58 00:06:28,620 --> 00:06:33,180 ¿de acuerdo? porque bueno, porque esta está preparada 59 00:06:33,180 --> 00:06:36,360 como está preparada ¿vale? entonces vamos a ir haciendo 60 00:06:36,360 --> 00:06:41,120 la misma operación con el resto de elementos, a 5 le sumaré 61 00:06:41,120 --> 00:06:45,120 menos 3 ¿vale? o sea a cada fila, a cada elemento de la fila 1 62 00:06:45,120 --> 00:06:49,459 le sumo los de la fila 2, al sumarle aquí menos 3 63 00:06:49,459 --> 00:06:53,100 me quedaría aquí un 2 y detrás de la línea en la matriz ampliada 64 00:06:53,100 --> 00:06:56,600 aquí me quedaría un 1 y aquí me quedaría otro 1 65 00:06:56,600 --> 00:07:04,540 Como en este paso no le he hecho ninguna operación a los elementos de la fila 2, los voy a copiar como están, ¿de acuerdo? 66 00:07:05,500 --> 00:07:12,199 Esta es la primera de las operaciones, ya he conseguido mi objetivo, ya tengo uno de los números colocados, ¿vale? 67 00:07:12,240 --> 00:07:16,439 El elemento 1, 1, ¿vale? Ya lo tengo como quería. 68 00:07:16,439 --> 00:07:25,079 Una vez que tengo ya un elemento de la diagonal principal hecho que sea 1 69 00:07:25,079 --> 00:07:30,699 Lo que hago es intentar hacer ceros el resto de elementos de esa columna 70 00:07:30,699 --> 00:07:38,360 Para hacer cero el elemento 2,1 porque estoy ahora trabajando todavía sobre la columna 1 71 00:07:38,360 --> 00:07:44,860 Le voy a hacer a la fila 2 la transformación elemental de sumarle la fila 1 72 00:07:44,860 --> 00:07:46,939 ¿Vale? Daos cuenta 73 00:07:46,939 --> 00:07:51,300 Bueno, como a la fila 1 no le estoy haciendo nada, la copio como está 74 00:07:51,300 --> 00:07:55,160 Y a la fila 2 lo que le voy a hacer es sumarle lo de la fila 1 75 00:07:55,160 --> 00:07:59,519 De tal manera que cuando haga aquí la operación menos 1 más 1 voy a obtener un 0 76 00:07:59,519 --> 00:08:04,379 Aquí haré menos 3 más 2, voy a obtener menos 1 77 00:08:04,379 --> 00:08:07,639 Aquí haré 0 más 1 y obtendré 1 78 00:08:07,639 --> 00:08:11,339 Y aquí haré 1 más 1 y obtendré 2 79 00:08:11,339 --> 00:08:28,319 ¿Vale? Ya tengo terminada y calculada toda la columna 1. El siguiente paso es cambiar de columna, irme a la columna 2 y conseguir que el elemento que está en la diagonal principal de la que va a ser después la matriz de identidad, conseguir que este sea un 1. 80 00:08:28,319 --> 00:08:42,919 Lo tengo casi casi, ¿vale? Porque aquí ya tengo un menos 1. Simplemente si a esta matriz, a esa fila, le hago la operación de multiplicar por menos 1, la fila 2, conseguiré tener ya ahí el 1 que busco, ¿vale? 81 00:08:43,460 --> 00:08:55,419 Como estoy haciendo la operación sobre la fila 2, no le hago nada a la fila 1 y ahora tomo todos los elementos de la fila 2 y los multiplico por menos 1, de tal manera que simplemente se les cambia el signo, ¿vale? 82 00:08:55,419 --> 00:09:24,860 Bien, bueno ya estamos casi casi terminando, ¿de acuerdo? Solo nos queda eliminar este 2 de aquí. En el momento que he pasado a la siguiente columna y veo que ya tengo lo que es el elemento que va a estar en la diagonal principal ya es un 1, ahora va a ser muy fácil quitar este 2 de arriba porque simplemente con multiplicar la fila 2 por 2 y restársela a la fila 1 tendré echada, bueno, lo conseguiré. 83 00:09:24,860 --> 00:09:31,519 gracias a que tengo este elemento de aquí es un 0 vale el elemento 2 1 es un 84 00:09:31,519 --> 00:09:36,200 0 pues ahora mismo ya no le va a afectar a ese 1 las operaciones que yo le haga 85 00:09:36,200 --> 00:09:41,360 vale entonces nada cambiamos aquí de línea y como digo como quiero quitar el 86 00:09:41,360 --> 00:09:49,460 2 que está en la posición 2 1 lo que le voy a hacer a la fila 1 es restarle la 87 00:09:49,460 --> 00:09:58,639 fila 2 multiplicada por 2, ¿de acuerdo? La fila 2 en principio ya no la voy a mover, 88 00:09:58,820 --> 00:10:05,720 entonces la copio como está, ¿vale? Y vamos a hacer las operaciones a la fila 1, venga, 89 00:10:05,860 --> 00:10:11,480 entonces la fila 1 la voy a sustituir por la resta de esa fila menos dos veces la fila 90 00:10:11,480 --> 00:10:20,899 2. 1 menos 2 por 0 es 1. 2, que está el 2 que habría aquí, menos 2 por 1, es decir, 91 00:10:20,899 --> 00:10:30,659 2 menos 2 es 0. Aquí tendría 1 menos 2 por menos 1, tendría menos 2 por menos 1 es 2, 92 00:10:30,940 --> 00:10:39,159 y el 1 más 2 sería aquí un 3. A ver si lo hago bien. Y por último, en esta posición 93 00:10:39,159 --> 00:10:54,919 Yo tendría 1, que ya estaba, menos 2 por menos 2, que sería 1 menos 4, que sería, no, perdón, 1 más 4, que sería 5, ¿vale? 94 00:10:58,960 --> 00:11:09,419 Entonces, esto, si os dais cuenta, en la parte de la izquierda de la matriz ampliada ya me ha quedado la matriz identidad 95 00:11:09,419 --> 00:11:15,919 y por tanto lo que queda a la derecha ya es la matriz inversa, ¿de acuerdo? 96 00:11:17,480 --> 00:11:25,740 No vamos a hacer la comprobación porque nos ha salido el mismo resultado que obtuvimos haciendo el método por ecuaciones, ¿vale? 97 00:11:25,840 --> 00:11:29,519 En el vídeo anterior, entonces pues ya lo tendríamos, ¿de acuerdo? 98 00:11:30,539 --> 00:11:36,639 Era 3, 5 menos 1 menos 2 que es lo que hemos obtenido también con este método de resolución.