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00:00:02,540 --> 00:00:13,419
Hola, ¿qué tal? Bienvenidos de nuevo a este curso de matemáticas de segundo de bachillerato.

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00:00:14,019 --> 00:00:17,260
Continuamos con la serie de vídeos de determinantes de matrices cuadradas.

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00:00:17,679 --> 00:00:20,320
En esta ocasión vamos a presentar sus propiedades.

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00:00:20,920 --> 00:00:25,719
Algunas de ellas van a ser esenciales, como por ejemplo aquella que dice que un determinante es cero

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00:00:25,719 --> 00:00:29,440
si alguna de las líneas es combinación lineal de las restantes.

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00:00:29,440 --> 00:00:42,200
Esto va a ser esencial en geometría, por ejemplo, para ver si una serie de vectores son coplanarios o, por ejemplo, en álgebra lineal para simplificar sistemas de ecuaciones

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00:00:42,200 --> 00:00:47,859
y ver cuándo algunas de las ecuaciones dependen de las otras y, por tanto, sobran. Comencemos.

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00:00:48,840 --> 00:00:59,359
Vamos pues a empezar con las propiedades de los determinantes. La primera de ellas, el determinante de la matriz traspuesta coincide con el determinante de la propia matriz.

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00:00:59,840 --> 00:01:04,760
¿Esto qué significa? Pues significa que todas las propiedades que queramos ver de los determinantes

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00:01:04,760 --> 00:01:08,280
se van a verificar tanto por filas como por columnas, va a dar igual.

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00:01:09,219 --> 00:01:12,819
¿Por qué es esto? ¿Por qué coincide con la traspuesta al determinante de la matriz?

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00:01:13,219 --> 00:01:18,359
Porque transponer significa simplemente cambiar los subíndices, cambiar filas por columnas,

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00:01:18,359 --> 00:01:24,920
y lo que al final se hace en la definición de determinante es reordenar los factores de todos los productos,

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00:01:25,140 --> 00:01:28,719
pero los sumandos no cambian. Por tanto, el determinante se mantiene.

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00:01:29,439 --> 00:01:37,879
Siguiente propiedad importante. Si una fila o columna la multiplicamos por un número, el determinante queda multiplicado por ese número.

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00:01:37,879 --> 00:01:47,579
Es decir, ahí tenéis la propiedad. Es una manera de sacar factor común a toda una columna. ¿Por qué se verifica esta propiedad?

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00:01:47,879 --> 00:01:57,840
Porque en la definición del determinante habría una k, factor común de todos los sumandos, con lo cual podemos sacarlo fuera del sumatorio.

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00:01:58,560 --> 00:02:03,760
Como ya digo, esto es muy útil si lo que queremos es simplificar las cuentas.

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00:02:03,859 --> 00:02:11,939
En ese ejemplo, por ejemplo, la primera columna está multiplicada por 100, con lo cual podemos extraer el 100 fuera del determinante y luego calcular el determinante más pequeñín.

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00:02:12,919 --> 00:02:19,460
Siguiente propiedad. Es la misma que la anterior, pero por todas las filas o columnas de una matriz.

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00:02:19,460 --> 00:02:23,360
Si multiplicamos una matriz por k, quedan multiplicadas todas las filas o columnas.

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00:02:23,460 --> 00:02:27,580
Por lo tanto, el determinante va a quedar multiplicado n veces por k. k elevado a n por a.

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00:02:27,840 --> 00:02:33,979
Y esto es exactamente por aplicar la anterior propiedad n veces a la matriz.

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00:02:35,699 --> 00:02:40,740
Siguiente, ¿qué pasa si una línea se descompone como suma de 2, ya sea fila o columna?

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00:02:41,240 --> 00:02:45,780
Bien, pues que el determinante total queda descompuesto como suma de 2.

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00:02:46,280 --> 00:02:49,639
Podemos calcular el determinante sumando el de la izquierda con el de la derecha.

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00:02:49,919 --> 00:02:51,939
¿Y esto por qué se verifica?

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00:02:52,520 --> 00:02:56,599
Bueno, pues se verifica porque si cogemos la definición del determinante de la izquierda,

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00:02:56,599 --> 00:03:04,840
podemos aplicar la propiedad distributiva y la suma quedaría descompuesta como suma de dos determinantes. Así de sencillo.

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00:03:06,020 --> 00:03:10,360
Esto, ya digo, se puede hacer también por columnas y la propiedad vale exactamente igual.

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00:03:11,300 --> 00:03:17,759
¿Qué pasa si hay una línea de ceros en un determinante? Pues que el determinante vale exactamente cero.

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00:03:17,759 --> 00:03:35,819
¿Y por qué? Bueno, pues es muy sencillo de ver. Si en la definición de determinante resulta que en cada uno de los sumandos hay un cero, porque en todos los sumandos hay un elemento de la primera columna, pues entonces necesariamente va a tener que ser cero el total.

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00:03:35,819 --> 00:03:47,419
¿Qué pasa si lo que hacemos es permutar dos columnas? El determinante va a cambiar de signo. ¿Esto qué significa? Pues que si cambiamos de orden dos columnas, por ejemplo, ahí tenéis la primera y la segunda,

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00:03:47,960 --> 00:03:59,939
les damos la vuelta, el determinante lo que le va a ocurrir es que va a cambiar y va a ser, si antes era positivo o negativo, y viceversa. ¿Qué pasa si tenemos en un determinante dos líneas iguales,

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00:03:59,939 --> 00:04:04,819
ya sea en filas o columnas. Bueno, pues que el determinante va a ser igual a cero sin hacer una sola cuenta.

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00:04:05,520 --> 00:04:08,639
¿Y esto por qué es así? Bien, pues por la propiedad anterior.

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00:04:09,219 --> 00:04:14,580
Si en el determinante que tienen las dos primeras columnas iguales damos la vuelta al orden,

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00:04:15,280 --> 00:04:17,620
pues valdría lo mismo, pero a la vez tendría que cambiar de signo.

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00:04:17,620 --> 00:04:22,699
¿Eso qué significa? Pues que el único número al que cambiar de signo se queda igual es el cero.

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00:04:23,399 --> 00:04:25,579
Total, el determinante tiene que valer cero.

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00:04:26,579 --> 00:04:34,079
¿Qué pasa si en una matriz cuadrada tenemos dos líneas que son proporcionales, es decir, una múltipla de la otra?

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00:04:34,420 --> 00:04:36,459
Bueno, pues que el determinante ha de ser 0.

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00:04:36,899 --> 00:04:41,839
¿Y esto por qué es? Bueno, pues por aplicar un par de las propiedades que hemos visto hasta ahora.

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00:04:41,839 --> 00:04:49,180
La primera de ellas podemos sacarla acá como factor y la segunda de ellas, como tenemos dos columnas iguales, pues el determinante valdría 0.

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00:04:50,019 --> 00:04:58,660
Bien, vamos ahora con la propiedad fundamental dentro de todas estas que acabamos viendo, la novena propiedad, es esencial.

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00:04:59,459 --> 00:05:05,439
¿Qué pasa si una línea es combinación lineal del resto? Pues que el determinante vale cero.

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00:05:05,899 --> 00:05:16,920
Recuerdo que significaba combinación lineal, combinación lineal de una serie de líneas es coger cada una de las líneas, multiplicarlas por un escalar, por el alfa correspondiente y sumar o restar.

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00:05:16,920 --> 00:05:29,839
Bien, ahí tenéis una columna combinación lineal pues de las de la derecha. Entonces, ¿por qué esto vale cero? Bueno, pues es de nuevo aplicar sucesivamente las propiedades anteriores.

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00:05:30,160 --> 00:05:39,339
Por la propiedad 4 que vimos antes, como la línea primera columna está descompuesta como suma de varias, pues podemos descomponer el determinante como suma de determinantes.

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00:05:39,339 --> 00:05:59,680
Entonces, como cada uno de los determinantes hay una columna multiplicando por un factor alfa, esos factores los podemos sacar factor común. Esta era la propiedad número 2. Y ahora, como en cada uno de los determinantes hay dos columnas que son iguales, pues entonces cada uno de los determinantes va de 0 y por lo tanto la suma total es 0.

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00:05:59,680 --> 00:06:18,279
Diréis, ¿y esto por qué es tan importante? Bueno, pues porque las combinaciones lineales son esenciales en geometría y en álgebra lineal, resolviendo sistemas de ecuaciones. Y los determinantes lo que hacen es determinar si hay o no combinaciones lineales. Son una máquina de buscar combinaciones lineales.

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00:06:18,279 --> 00:06:34,879
Bueno, dos últimas propiedades y terminamos. La décima propiedad. Si sumamos a una de las columnas una combinación lineal de las restantes, el determinante no cambia. Y esto, pues básicamente es porque estamos sumando cero.

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00:06:34,879 --> 00:06:50,660
Bien, ¿qué utilidad puede tener esto? Bueno, pues ¿cuándo utilizamos esto de sumar o restar combinaciones lineales? Bueno, pues cuando diagonalizamos una matriz para hacer ceros utilizando el método similar al de Gauss-Jordan.

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00:06:50,660 --> 00:06:56,139
Bueno, pues eso significa que vamos a poder hacer ceros también en los determinantes, como veremos en próximos vídeos.

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00:06:57,199 --> 00:07:06,160
Y bien, acabamos con una propiedad que va a ser muy útil en la práctica y es que ocurre cuando tenemos el producto de dos matrices y luego calculamos el determinante.

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00:07:06,779 --> 00:07:14,579
Bien, pues lo que podemos hacer es calcular primero los determinantes y luego hacer el producto de estos. El resultado va a ser el mismo.

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00:07:14,579 --> 00:07:21,100
concluimos aquí con todas las propiedades de los determinantes nos vemos en próximos vídeos un saludo