1
00:00:00,430 --> 00:00:03,629
Buen día, vamos a ver cómo sería esta otra integral.

2
00:00:04,290 --> 00:00:07,129
Es también, como nos pasó con una de las anteriores,

3
00:00:07,589 --> 00:00:11,470
solo tenemos una función que es el arcoseno de x y que no es su integral,

4
00:00:11,650 --> 00:00:13,810
por lo tanto no es una integral inmediata.

5
00:00:14,369 --> 00:00:18,170
Así que lo que vamos a hacer es una integración por partes.

6
00:00:19,109 --> 00:00:24,969
Vamos a llamar u a la única función que tengo, al arcoseno de x,

7
00:00:26,589 --> 00:00:30,390
y diferencial de v va a ser directamente el diferencial de x.

8
00:00:30,429 --> 00:00:50,130
Si u es arcoseno de x, su derivada diferencial de u va a ser, como es de x, es 1 partido por la raíz de 1 menos x cuadrado, diferencial de x, y v será igual a x.

9
00:00:50,130 --> 00:00:55,549
sustituimos arriba, aplicamos la fórmula y me queda u por v

10
00:00:55,549 --> 00:01:06,829
es decir, x por el arco seno de x menos la integral de v que es x por la diferencial de u

11
00:01:06,829 --> 00:01:11,370
que sería, ya lo pongo debajo ya que es una fracción al multiplicarlo

12
00:01:11,370 --> 00:01:15,829
y me quedaría raíz de 1 menos x cuadrado diferencial de x

13
00:01:15,829 --> 00:01:26,450
Y ahora, ¿qué ocurre? Que la integral que me queda, tengo en el denominador una raíz, pero resulta que en el numerador tengo la derivada del denominador, salvo unas constantes.

14
00:01:26,549 --> 00:01:37,010
Por lo tanto, es una integral inmediata, y esto sería x por el arco cuyo seno es x menos, y ahora, ¿de qué función viene?

15
00:01:37,010 --> 00:01:47,629
Pues viene, voy a dejar aquí el hueco porque, bueno, no dejo hueco, lo voy a poner directamente, la raíz de 1 menos x cuadrado y ¿qué es lo que faltaría?

16
00:01:47,730 --> 00:02:01,890
Faltaría arriba la derivada, o sea, el 2 porque sería menos, vamos, el menos 2, perdón, ya que sería menos 2x, luego lo tengo que dividir por menos 2 y para que fuera la derivada de la raíz,

17
00:02:01,890 --> 00:02:09,349
aquí abajo tendríamos que tener, ¿vale? Delante de la raíz deberíamos tener el 2, por lo tanto tendríamos que multiplicar arriba por el 2,

18
00:02:09,909 --> 00:02:20,729
por eso decía que iba a dejar un hueco, y más la k. ¿Qué ocurre? El menos con el menos se transforma en más y el 2 con el 2 se simplifica

19
00:02:20,729 --> 00:02:32,050
y me queda simplemente que el resultado es x por el arco seno de x menos la raíz de 1 menos x cuadrado,

20
00:02:32,229 --> 00:02:40,050
perdón, menos no, porque he dicho menos con el menos hace más, de x cuadrado y me falta sumarle la k.

21
00:02:42,659 --> 00:02:47,580
Vale, otra integral que tenemos una exponencial por una x cuadrado, ¿vale?

22
00:02:47,580 --> 00:02:58,620
Como la exponencial la sabemos integrar y la potencia, el x cuadrado, al hacer la integración por partes y la llamamos u, cada vez va a bajar el exponente, ¿vale?

23
00:02:58,860 --> 00:03:16,599
Entonces vamos a llamar u a la x cuadrado y mi diferencial de u será 2x diferencial de x y mi diferencial de v es elevado a menos x diferencial de x.

24
00:03:16,599 --> 00:03:19,020
no sé si en alguna, en las anteriores

25
00:03:19,020 --> 00:03:20,419
al escribir el diferencial de v

26
00:03:20,419 --> 00:03:22,360
se me olvida poner el de x, vale

27
00:03:22,360 --> 00:03:25,099
tenerlo en cuenta que puede ser que se me haya pasado

28
00:03:25,099 --> 00:03:26,819
y si lo integro

29
00:03:26,819 --> 00:03:27,919
la v

30
00:03:27,919 --> 00:03:30,360
sería menos

31
00:03:30,360 --> 00:03:32,879
porque la derivada del exponente es menos 1

32
00:03:32,879 --> 00:03:35,280
menos e elevado a menos x

33
00:03:35,280 --> 00:03:36,979
vale, esta es la típica

34
00:03:36,979 --> 00:03:38,520
que vamos a tener que hacer más de una vez

35
00:03:38,520 --> 00:03:41,060
para conseguir que me quede solamente la exponencial

36
00:03:41,060 --> 00:03:42,400
u por v

37
00:03:42,400 --> 00:03:44,740
bueno, pues pongo primero el menos de la exponencial

38
00:03:44,740 --> 00:03:46,560
voy a poner menos e cuadrado

39
00:03:46,560 --> 00:03:55,620
por e elevado a menos x y ahora sería menos la integral de v que es menos e elevado a menos x

40
00:03:55,620 --> 00:04:04,000
por diferencial de u que es 2x diferencial de x, ¿vale?

41
00:04:04,860 --> 00:04:11,139
Bueno, pues ahora hacemos lo mismo, bueno, lo voy a volver a escribir, el menos,

42
00:04:11,139 --> 00:04:14,800
Bueno, lo podríamos dejar de esta manera directamente

43
00:04:14,800 --> 00:04:20,420
Porque el menos e elevado a menos x es directamente la derivada

44
00:04:20,420 --> 00:04:23,680
¿Vale? Entonces, la derivada de e elevado a menos x

45
00:04:23,680 --> 00:04:26,560
Entonces lo que voy a hacer ahora es llamar, por ejemplo, u

46
00:04:26,560 --> 00:04:29,720
La constante, o sea, el constante del 2 lo podía dejar fuera

47
00:04:29,720 --> 00:04:32,160
Pero bueno, u va a ser 2x

48
00:04:32,160 --> 00:04:38,040
Y entonces diferencial de u va a ser un 2 diferencial de x

49
00:04:38,040 --> 00:04:48,079
Y mi diferencial de v va a ser menos e elevado a menos x y por lo tanto la v no es otra cosa que la e elevado.

50
00:04:48,360 --> 00:04:52,980
Lo que os decía, aquí me he comido el de x elevado a menos x, ¿vale?

51
00:04:53,839 --> 00:04:59,540
Si veis que en alguno de los otros vídeos o en uno de los otros apartados no lo he puesto, ha sido un despiste.

52
00:05:01,220 --> 00:05:07,120
Bien, o sea, siempre cuando terminéis un ejercicio, sobre todo en el examen, repasar que tenéis puesto todas las cosas.

53
00:05:07,120 --> 00:05:33,399
Vale, pues ponemos menos x cuadrado por e elevado a menos x, que es lo que teníamos, y ahora sería menos, pongo el paréntesis, u por v, pues 2x por e elevado a menos x, menos la integral de v, que es e elevado a menos x por diferencial de u, es decir, pongo 2 por e elevado a menos x, diferencial de x, ¿vale?

54
00:05:33,399 --> 00:06:05,199
Y esto, ahora ya sí que lo que me queda, voy a seguir aquí abajo, es una integral inmediata porque es la integral de elevado a menos x y operamos y esto va a ser igual a menos x cuadrado por elevado a menos x, el menos delante de un paréntesis, os recuerdo que cambia todo de signo, luego me queda menos 2x por elevado a menos x y aquí me queda más la integral, el 2 lo que os decía que lo puedo dejar fuera, de elevado a menos x.

55
00:06:05,220 --> 00:06:11,300
x, diferencial de x, ¿vale? Podía haber calculado ya la integral en este paso, pero bueno, lo

56
00:06:11,300 --> 00:06:18,579
voy haciendo poquito a poco. Y aquí me quedaría menos x cuadrado por elevado a menos x, menos

57
00:06:18,579 --> 00:06:26,920
2x por elevado a menos x, más 2, ¿por quién es la integral? Pues menos elevado a menos

58
00:06:26,920 --> 00:06:35,000
x, ¿vale? Lo hemos hecho ya varias veces, y esto más k. Y si queréis, podemos incluso

59
00:06:35,000 --> 00:06:42,819
sacar factor común al elevado a menos x y me quedaría menos x. Bueno, puedo sacarle

60
00:06:42,819 --> 00:06:49,639
a, como todos son menos, ¿vale? Puedo sacar el menos también fuera y me quedaría aquí

61
00:06:49,639 --> 00:07:00,680
más x cuadrado más 2x más 2 más k, ¿vale? Una integración por partes que hemos tenido

62
00:07:00,680 --> 00:07:02,980
que hacer dos veces para poder resolverla.

63
00:07:04,019 --> 00:07:05,519
Vale, vamos con la 48.

64
00:07:06,680 --> 00:07:09,360
Tenemos otra vez un producto, un x cubo por un logaritmo neperiano.

65
00:07:09,819 --> 00:07:13,000
A ver, he dicho en los casos anteriores que llamábamos u a la potencia

66
00:07:13,000 --> 00:07:16,459
porque al calcular la derivada iba bajando el grado,

67
00:07:16,600 --> 00:07:19,459
pero ¿qué ocurre? Que yo no sé integrar un logaritmo neperiano de x.

68
00:07:19,939 --> 00:07:25,180
Luego, en este caso, está claro que mi u tiene que ser logaritmo neperiano de x.

69
00:07:26,079 --> 00:07:29,920
Y entonces mi diferencial de u va a ser la derivada del logaritmo,

70
00:07:29,920 --> 00:07:39,279
que es 1 partido por x, diferencial de x. Y mi diferencial de v va a ser x cubo diferencial de x,

71
00:07:40,420 --> 00:07:48,379
por lo tanto la v va a ser x cuarta partido de 4. ¿Vale? Venga, pues aplicamos la fórmula,

72
00:07:48,379 --> 00:08:05,779
u por v, es decir, x cuarta logaritmo neperiano de x, todo partido por 4, menos la integral de v, que es x cuarta partido de 4, por du, que es 1 partido por x,

73
00:08:05,879 --> 00:08:09,379
luego aquí se pone la x en el denominador, diferencial de x.

74
00:08:10,040 --> 00:08:14,720
¿Y qué me ocurre? Que esta x con el exponente se me va y me queda solamente un 3.

75
00:08:14,720 --> 00:08:17,439
Luego ya es inmediata, es una potencia

76
00:08:17,439 --> 00:08:19,720
Luego esto es x cuarta

77
00:08:19,720 --> 00:08:21,879
Logaritmo neperiano de x

78
00:08:21,879 --> 00:08:23,620
Partido de 4

79
00:08:23,620 --> 00:08:24,759
Menos

80
00:08:24,759 --> 00:08:27,339
La x3 viene de una x4

81
00:08:27,339 --> 00:08:30,040
Partido del 4 que tenía

82
00:08:30,040 --> 00:08:31,819
Y del 4 del exponente

83
00:08:31,819 --> 00:08:33,639
¿Vale?

84
00:08:34,120 --> 00:08:34,919
Por lo tanto

85
00:08:34,919 --> 00:08:36,519
Ah, bueno

86
00:08:36,519 --> 00:08:38,580
Que se me ha olvidado

87
00:08:38,580 --> 00:08:40,620
O no me lo ponía en ningún sitio, ¿no?

88
00:08:42,200 --> 00:08:43,100
No, vale

89
00:08:43,100 --> 00:08:59,720
Está bien, ¿no? Que estaba pensando que el logaritmo lo habíamos, recordad que siempre es el valor absoluto del logaritmo, pero como inicialmente es lo que estoy poniendo es el valor de la función que me han dado y viene así, pues lo podemos dejar así, o si queréis también lo podemos poner como que es el valor absoluto del logaritmo neperiano, ¿vale?

90
00:08:59,720 --> 00:09:03,100
Lo podríamos poner también así entre valores absolutos.

91
00:09:03,659 --> 00:09:13,960
Bien, y esto más la k, que lo podemos poner un poquito, podemos sacar incluso a la x cuarta factor común,

92
00:09:15,100 --> 00:09:27,440
o no, o simplemente dejarlo como x cuarta logaritmo neperiano de valor absoluto de x partido de 4 menos x cuarta partido de 16 más k, ¿vale?

93
00:09:27,440 --> 00:09:31,259
A veces que lo podemos sacar si queréis factor común o si no así, lo podemos dejar.

94
00:09:32,659 --> 00:09:37,639
Venga, vamos con el 49, la integral de x cuadrado menos 1 por el seno de x.

95
00:09:38,019 --> 00:09:41,500
¿Vale? Pues vamos a hacerlo también integración por partes.

96
00:09:42,139 --> 00:09:47,440
En este caso, como el seno de x sí lo sabemos integrar, voy a llamar u al x cuadrado.

97
00:09:49,909 --> 00:09:52,429
A ver, que ya empieza el lápiz a ignorarme.

98
00:09:52,429 --> 00:09:59,309
x cuadrado menos 1 y por lo tanto su derivada será 2x diferencial de x, ¿vale?

99
00:10:00,090 --> 00:10:11,450
Y mi diferencial de v será el seno de x diferencial de x y v será el menos coseno de x, ¿vale?

100
00:10:11,690 --> 00:10:16,350
Esto ya nos lo tenemos casi que saber de memoria de todas las veces que lo estamos utilizando.

101
00:10:16,350 --> 00:10:18,809
Vale, pues aplicamos la fórmula u por v

102
00:10:18,809 --> 00:10:20,049
Pongo primero el menos

103
00:10:20,049 --> 00:10:23,309
Luego pongo el x cuadrado menos 1 de la u

104
00:10:23,309 --> 00:10:25,470
Y el coseno de x

105
00:10:25,470 --> 00:10:28,350
Y ahora sería menos la integral

106
00:10:28,350 --> 00:10:31,889
De v que es menos coseno de x

107
00:10:31,889 --> 00:10:37,389
Por el diferencial de u que es 2x diferencial de x

108
00:10:37,389 --> 00:10:38,289
¿Vale?

109
00:10:38,889 --> 00:10:40,830
¿Qué ocurre? Que volvemos a tener un producto

110
00:10:40,830 --> 00:10:44,149
Bueno, pues volvemos a aplicar la integración por partes

111
00:10:44,149 --> 00:10:49,129
Entonces, el menos con el menos lo vamos a transformar en más, ¿vale?

112
00:10:49,850 --> 00:11:00,409
Y entonces, ¿qué hacemos? Llamamos u a 2x y por lo tanto diferencial de u será 2 diferencial de x

113
00:11:00,409 --> 00:11:05,789
y llamamos diferencial de v al coseno de x, ¿vale?

114
00:11:05,789 --> 00:11:13,330
Y fijaos que lo que os decía del signo, los dos signos, este con este, se van a transformar en más cuando luego lo vuelva a escribir.

115
00:11:14,149 --> 00:11:23,250
Este diferencial de v es coseno de x diferencial de x y, por lo tanto, v va a ser el seno de x.

116
00:11:24,649 --> 00:11:27,409
¿Vale? Voy a seguir abajo.

117
00:11:30,220 --> 00:11:36,759
Esa integral va a ser menos x cuadrado menos 1 por el coseno de x, que es lo que tenía.

118
00:11:36,759 --> 00:11:40,139
Y ahora lo que os he dicho, en lugar del menos pongo más.

119
00:11:40,139 --> 00:11:44,460
y ahora que sería, ahora como es un más no me hace falta poner un paréntesis

120
00:11:44,460 --> 00:11:48,539
aunque escriba toda la fórmula, el paréntesis lo pongo cuando es un menos

121
00:11:48,539 --> 00:11:52,139
vale, luego sería más u por v, 2x

122
00:11:52,139 --> 00:11:56,299
seno de x, menos

123
00:11:56,299 --> 00:12:00,480
la integral de v por diferencial de u, es decir

124
00:12:00,480 --> 00:12:02,899
dos veces seno de x

125
00:12:02,899 --> 00:12:07,860
diferencial de x, y esta integral ya es inmediata

126
00:12:07,860 --> 00:12:19,480
y entonces esto va a ser menos x cuadrado menos 1 por el coseno de x más 2x seno de x

127
00:12:19,480 --> 00:12:24,539
y lo que voy a hacer es utilizar como si el menos, ¿vale?

128
00:12:24,539 --> 00:12:28,240
Yo puedo coger este menos, meterlo dentro de la integral y poner aquí un más

129
00:12:28,240 --> 00:12:32,740
y así lo que tengo es el menos seno de x que es la derivada del coseno

130
00:12:32,740 --> 00:12:39,960
Es decir, aquí tengo un más 2 coseno de x más k, ¿vale?

131
00:12:40,480 --> 00:12:44,659
A este más no ha quedado muy bien, ¿vale?

132
00:12:44,899 --> 00:12:47,799
Si no me doy cuenta de hacer lo que os he dicho de los signos,

133
00:12:48,519 --> 00:12:51,919
de dejar el signo menos fuera, sería menos el coseno de x.

134
00:12:52,259 --> 00:12:54,159
Pero para el caso sería lo mismo.

135
00:12:55,419 --> 00:13:00,259
Voy a cerrar el resto de las que me quedan en otro vídeo para que no se alargue demasiado.