1
00:00:01,199 --> 00:00:04,120
producto mixto

2
00:00:04,120 --> 00:00:06,339
se escribe así, aunque a mí así no me gusta

3
00:00:06,339 --> 00:00:07,940
mucho, es

4
00:00:07,940 --> 00:00:10,240
el producto escalar

5
00:00:10,240 --> 00:00:12,720
del vector U

6
00:00:12,720 --> 00:00:14,519
por el

7
00:00:14,519 --> 00:00:15,720
producto vectorial

8
00:00:15,720 --> 00:00:17,780
de V por V2

9
00:00:17,780 --> 00:00:19,739
arrancó aquel ordenador

10
00:00:19,739 --> 00:00:23,280
repito

11
00:00:23,280 --> 00:00:25,960
producto escalar de U

12
00:00:25,960 --> 00:00:27,839
por el producto vectorial

13
00:00:27,839 --> 00:00:30,039
de V por V2, primera pregunta

14
00:00:30,039 --> 00:00:32,939
producto mixto

15
00:00:32,939 --> 00:00:36,799
Primera pregunta, ¿qué será el producto mixto?

16
00:00:48,579 --> 00:00:54,259
El producto vectorial de un vector, el producto escalar de un vector por otro vector, un número.

17
00:00:54,520 --> 00:01:00,000
Así que la primera cosa es que el producto mixto es un número.

18
00:01:00,000 --> 00:01:05,159
Al igual que hicimos con el producto escalar y con el producto vectorial

19
00:01:05,159 --> 00:01:09,299
Primero vamos a ver la interpretación geométrica utilizando GeoGebra

20
00:01:09,299 --> 00:01:13,040
Y después vamos a ver la expresión analítica y las formas

21
00:01:13,040 --> 00:01:14,420
¿Entendido?

22
00:01:15,760 --> 00:01:21,819
Me preguntaba una alumna antes y es una pregunta recurrente a veces

23
00:01:21,819 --> 00:01:27,700
Si sirve para algo esto que hacemos con GeoGebra

24
00:01:27,700 --> 00:01:29,700
Pues yo creo que sí

25
00:01:29,700 --> 00:01:32,640
porque permite verlo

26
00:01:32,640 --> 00:01:33,200
pero vamos

27
00:01:33,200 --> 00:01:36,180
no, yo te decía por ti

28
00:01:36,180 --> 00:01:37,159
preguntaban

29
00:01:37,159 --> 00:01:40,519
vamos a ver cuatro puntos

30
00:01:40,519 --> 00:01:42,439
venga, empiezo

31
00:01:42,439 --> 00:01:43,680
primer punto A

32
00:01:43,680 --> 00:01:48,700
el primer punto

33
00:01:48,700 --> 00:01:51,340
vosotros podréis poner otro, pero vamos

34
00:01:51,340 --> 00:01:53,680
yo voy a poner, y si queréis hacerlo como yo

35
00:01:53,680 --> 00:01:55,040
el 2, 1, 0

36
00:01:55,040 --> 00:01:58,840
punto B

37
00:01:58,840 --> 00:02:02,200
5, 1, 1

38
00:02:02,200 --> 00:02:05,620
punto C

39
00:02:05,620 --> 00:02:10,349
1, 4, 0

40
00:02:10,349 --> 00:02:11,430
se ve ahí

41
00:02:11,430 --> 00:02:15,169
y punto D de Dinamarca

42
00:02:15,169 --> 00:02:18,590
2, 2, 4

43
00:02:18,590 --> 00:02:22,180
¿vale?

44
00:02:22,840 --> 00:02:24,680
ahí tenemos los cuatro puntos

45
00:02:24,680 --> 00:02:25,979
si miráis a la pizarra

46
00:02:25,979 --> 00:02:27,900
ahí tenéis en la izquierda los valores

47
00:02:27,900 --> 00:02:30,360
no sé qué tal se ven

48
00:02:30,360 --> 00:02:31,639
ahora se ve más pequeño

49
00:02:31,639 --> 00:02:33,020
pero yo creo que sí que se ve

50
00:02:33,020 --> 00:02:36,159
ahora voy a hacer

51
00:02:36,159 --> 00:02:38,439
obviamente los tres vectores

52
00:02:38,439 --> 00:02:40,340
cojo la herramienta vector

53
00:02:40,340 --> 00:02:43,219
A ver si os podéis callar, por favor

54
00:02:43,219 --> 00:02:46,180
Y hago AB

55
00:02:46,180 --> 00:02:48,780
Que va a ser el vector U

56
00:02:48,780 --> 00:02:50,180
AC

57
00:02:50,180 --> 00:02:52,180
Que va a ser el vector V

58
00:02:52,180 --> 00:02:53,300
Y AD

59
00:02:53,300 --> 00:02:55,979
Que va a ser el vector W

60
00:02:55,979 --> 00:02:59,460
Si queréis para daros un poco de tiempo

61
00:02:59,460 --> 00:03:01,340
Que vosotros da igual que lo hagáis o no

62
00:03:01,340 --> 00:03:04,780
Voy a cambiarle los colores y el grosor

63
00:03:04,780 --> 00:03:06,639
Y voy a poner U

64
00:03:06,639 --> 00:03:08,560
Azul

65
00:03:08,560 --> 00:03:13,210
Y más gordito

66
00:03:13,210 --> 00:03:18,840
A ver

67
00:03:18,840 --> 00:03:25,659
Voy a poner

68
00:03:25,659 --> 00:03:27,520
V rojo

69
00:03:27,520 --> 00:03:30,120
Y más gordito

70
00:03:30,120 --> 00:03:33,419
¿Qué pasa? No funciona tampoco

71
00:03:33,419 --> 00:03:41,360
Mirad que habrá a lo mejor algún

72
00:03:41,360 --> 00:03:42,439
Cable suelto

73
00:03:46,479 --> 00:03:47,159
Venga

74
00:03:47,159 --> 00:04:14,159
Y el W lo voy a poner en verde, ¿vale? ¿Veis ahí mis tres vectores? Bueno, pues, siguiendo lo mismo que hemos hecho los días anteriores, lo primero que le voy a preguntar a GeoGebra es que me haga el producto visto, a ver qué sale.

75
00:04:14,159 --> 00:04:17,399
entonces empiezo

76
00:04:17,399 --> 00:04:19,420
primero voy a hacer

77
00:04:19,420 --> 00:04:21,399
el producto vectorial de v por w

78
00:04:21,399 --> 00:04:24,740
perdonad, no

79
00:04:24,740 --> 00:04:26,980
¿qué pasa si hago el producto vectorial

80
00:04:26,980 --> 00:04:27,639
de v por w?

81
00:04:28,240 --> 00:04:29,420
¿qué pasó ayer?

82
00:04:30,360 --> 00:04:31,800
¿que lo pintas en qué punto?

83
00:04:31,899 --> 00:04:32,720
¿saliendo de qué punto?

84
00:04:33,660 --> 00:04:36,060
entonces mejor vamos a escribir vector

85
00:04:36,060 --> 00:04:37,980
abro paréntesis

86
00:04:37,980 --> 00:04:39,160
a coma a

87
00:04:39,160 --> 00:04:42,439
y detrás de la segunda a

88
00:04:42,439 --> 00:04:43,839
ahí pongo

89
00:04:43,839 --> 00:04:45,360
más v

90
00:04:45,360 --> 00:04:50,300
vectorial

91
00:04:50,300 --> 00:04:51,060
W

92
00:04:51,060 --> 00:04:57,519
A más

93
00:04:57,519 --> 00:05:00,040
V por W

94
00:05:00,040 --> 00:05:05,459
ya tenéis que ir cogiendo

95
00:05:14,600 --> 00:05:16,459
no es con espacio

96
00:05:16,459 --> 00:05:18,439
porque es producto vectorial

97
00:05:18,439 --> 00:05:20,240
os lo enseñé ayer

98
00:05:20,240 --> 00:05:22,560
hay que pinchar en este puntito

99
00:05:22,560 --> 00:05:23,199
de aquí

100
00:05:23,199 --> 00:05:26,360
hay que pinchar en este

101
00:05:26,360 --> 00:05:28,259
puntito de aquí y elegir

102
00:05:28,259 --> 00:05:30,639
el símbolo que sale a la derecha de infinito

103
00:05:30,639 --> 00:05:36,279
si, pero también de todas maneras

104
00:05:36,279 --> 00:05:37,759
podéis poner producto

105
00:05:37,759 --> 00:05:39,199
vectorial

106
00:05:39,199 --> 00:05:41,519
si escribís como comando

107
00:05:41,519 --> 00:05:43,139
producto vectorial

108
00:05:43,139 --> 00:05:45,199
también lo hace

109
00:05:45,199 --> 00:05:52,379
vale

110
00:05:52,379 --> 00:05:53,980
bueno

111
00:05:53,980 --> 00:05:58,480
El producto vectorial es lo negro

112
00:05:58,480 --> 00:06:02,160
Ya vimos ayer cómo se calculaba

113
00:06:02,160 --> 00:06:04,680
Ahora voy a hacer el producto escalar

114
00:06:04,680 --> 00:06:09,379
Entonces escribiré ahí en la entrada

115
00:06:09,379 --> 00:06:13,920
U por A

116
00:06:13,920 --> 00:06:16,040
Que es el producto vectorial

117
00:06:16,040 --> 00:06:17,579
¿Y qué me tiene que salir?

118
00:06:17,680 --> 00:06:18,199
Hemos dicho

119
00:06:18,199 --> 00:06:21,720
Un número, ¿verdad?

120
00:06:22,720 --> 00:06:23,759
¿Qué número sale?

121
00:06:25,680 --> 00:06:31,899
se estáis perdiendo si no lo hacéis vosotros no lo hacéis pero mirad a la

122
00:06:31,899 --> 00:06:37,420
pizarra mejor si lo hacéis me ha dado 35 es decir todavía no sé qué es ni cómo se

123
00:06:37,420 --> 00:06:41,939
calcula ni por qué pero Geocebro me ha dicho que el producto

124
00:06:41,939 --> 00:06:49,019
mixto vale 35 de u por v por v2 ahora vamos a ver la

125
00:06:49,019 --> 00:06:58,470
interpretación geométrica de este 30 y vi que es esto en el torneo

126
00:06:58,470 --> 00:07:03,689
es el producto vectorial de v por v doble en la definición que vimos el otro

127
00:07:03,689 --> 00:07:10,009
día a que era igual al área del paralelogramo pues vamos a construir el

128
00:07:10,009 --> 00:07:16,310
paralelogramo entonces donde pone entrada escribimos en españa

129
00:07:16,310 --> 00:07:19,069
igual

130
00:07:19,069 --> 00:07:28,149
a a que es de donde salimos más v más w

131
00:07:28,149 --> 00:07:35,250
a ver si miráis a la pizarra en mayúsculas lo que he hecho ha sido

132
00:07:35,250 --> 00:07:44,069
a poner v más w y el punto entonces cuál es el vértice opuesto a en el

133
00:07:44,069 --> 00:07:48,339
paralelograje

134
00:07:53,439 --> 00:07:59,720
vamos a hacerlo mira pinchamos en polígono

135
00:07:59,720 --> 00:08:06,120
pinchamos en polígono y ahora en vez de pinchar a 100 puntos

136
00:08:06,120 --> 00:08:12,879
vista o hebraica las letras que voy a decir empiezo

137
00:08:13,300 --> 00:08:28,319
cereza españa dinamarca y para cerrar ávila otra vez

138
00:08:28,319 --> 00:08:47,299
y ahí está nuestro polígono si queréis le podemos poner en amarillo

139
00:08:47,299 --> 00:08:50,779
Ahora me doy cuenta que vosotros es que sois los que menos venís.

140
00:08:51,039 --> 00:08:55,559
O sea, el otro día lo habéis hecho en casa, pero aquí no.

141
00:09:02,230 --> 00:09:03,629
A ver, callaos.

142
00:09:06,429 --> 00:09:12,009
Para hacer el polígono, obviamente, hay que pinchar.

143
00:09:12,269 --> 00:09:14,309
Mira aquí, porque lo que hay que hacer es entender.

144
00:09:15,309 --> 00:09:22,940
Ávila, Pereza, España, Dinamarca, Ávila.

145
00:09:24,399 --> 00:09:27,059
¿Ya lo tenéis?

146
00:09:27,740 --> 00:09:29,159
Bueno, atenderme.

147
00:09:32,039 --> 00:09:34,139
La longitud del vector negro

148
00:09:34,139 --> 00:09:39,419
coincide con el área de este paralelogramo.

149
00:09:39,480 --> 00:09:40,100
¿Estamos de acuerdo?

150
00:09:40,600 --> 00:09:43,340
Como nos decía Diego al principio de la clase,

151
00:09:43,620 --> 00:09:45,620
obviamente se miden en unidades diferentes.

152
00:09:45,620 --> 00:09:48,059
Esto es una longitud y esto es una superficie.

153
00:09:48,799 --> 00:09:50,000
Pero el número es el mismo.

154
00:09:50,679 --> 00:09:51,320
¿Entendido?

155
00:09:52,240 --> 00:09:52,620
Bien.

156
00:09:53,779 --> 00:09:55,539
Ya tengo el producto vectorial.

157
00:09:55,539 --> 00:09:57,700
Ahora, ¿qué creéis que quiero hacer?

158
00:09:58,519 --> 00:10:00,000
El escalar, ¿verdad?

159
00:10:01,000 --> 00:10:02,139
Pues, ¿cómo hacíamos?

160
00:10:02,320 --> 00:10:04,679
Tenemos que hacer el escalar del azul y del negro

161
00:10:04,679 --> 00:10:07,580
Y vamos a hacer los pasos que hicimos antes de ayer

162
00:10:07,580 --> 00:10:14,620
Lo primero que necesitamos es la dirección del vector negro

163
00:10:14,620 --> 00:10:17,740
Para eso vamos a poner un punto más

164
00:10:17,740 --> 00:10:19,299
escribir

165
00:10:19,299 --> 00:10:20,940
F igual

166
00:10:20,940 --> 00:10:24,460
F igual

167
00:10:24,460 --> 00:10:27,259
a A mayúscula

168
00:10:27,259 --> 00:10:29,399
más A minúscula

169
00:10:29,399 --> 00:10:31,299
cuando habéis escrito eso

170
00:10:31,299 --> 00:10:32,879
que todavía no he dado enter

171
00:10:32,879 --> 00:10:35,700
se ha pintado el punto este

172
00:10:35,700 --> 00:10:36,320
¿lo veis?

173
00:10:36,320 --> 00:10:39,399
se ha pintado este puntito

174
00:10:39,399 --> 00:10:41,559
F igual

175
00:10:41,559 --> 00:10:42,779
a A mayúscula

176
00:10:42,779 --> 00:10:44,320
más A minúscula

177
00:10:44,320 --> 00:10:45,940
¿y para qué quiero el punto F?

178
00:10:46,240 --> 00:10:48,940
porque ahora voy a coger la herramienta recta

179
00:10:48,940 --> 00:10:55,200
y voy a pinchar en A mayúscula y en F.

180
00:10:56,419 --> 00:10:57,679
¿Qué ha salido?

181
00:10:58,919 --> 00:11:01,279
La recta que pasa por A y por F,

182
00:11:01,419 --> 00:11:05,860
la que marca la dirección del vector producto vectorial,

183
00:11:06,139 --> 00:11:08,860
que por supuesto, por definición,

184
00:11:08,860 --> 00:11:18,399
es ortogonal al vector rojo y verde.

185
00:11:18,940 --> 00:11:27,779
entendéis es ortogonal al rojo y al verde y al a la superficie al plan

186
00:11:27,779 --> 00:11:33,980
podéis callaros la voy a ocultar porque yo la necesito para luego hacer otras

187
00:11:33,980 --> 00:11:40,629
construcciones pero no necesito que se vea ahora qué haríamos

188
00:11:40,629 --> 00:11:43,730
como hicimos el otro día el producto escala

189
00:11:43,730 --> 00:11:50,169
muy bien para hacer la proyección como lo hicimos alguien se acuerda

190
00:11:50,169 --> 00:11:59,750
Muy bien, lo siguiente que vamos a hacer es un plano perpendicular a la recta que acabo de construir, que pase por B de Barcelona.

191
00:12:01,009 --> 00:12:10,720
Cojo la herramienta plano perpendicular, la recta que acabo de construir y el punto B de Barcelona.

192
00:12:10,720 --> 00:12:30,059
¿Veis el plano? Ese plano, por otro lado, además, como igual que las superficies son perpendiculares al vector producto vectorial, entre ellos son paralelos, ¿no?

193
00:12:30,059 --> 00:12:39,379
El plano amarillo y el azul son paralelos, ¿lo entendéis? Porque ambos son perpendiculares al producto vectorial.

194
00:12:40,720 --> 00:12:54,799
por favor podéis callaros bien ahora el siguiente paso que sería la intersección

195
00:12:54,799 --> 00:13:04,750
entre precisamente las dos cosas que acabo de construir el plano y la recta y

196
00:13:04,750 --> 00:13:07,710
me sale el punto

197
00:13:08,049 --> 00:13:12,009
ahora vienen las preguntas que si no lo habéis hecho vosotros no pasa nada

198
00:13:12,009 --> 00:13:14,330
porque si habéis seguido la explicación

199
00:13:14,330 --> 00:13:15,529
podréis contestarlo

200
00:13:15,529 --> 00:13:17,509
mirad ahí

201
00:13:17,509 --> 00:13:20,029
fijaos en los segmentos

202
00:13:20,029 --> 00:13:22,210
supone que cada uno sabe

203
00:13:22,210 --> 00:13:23,070
lo que hay ahí

204
00:13:23,070 --> 00:13:24,909
pregunto

205
00:13:24,909 --> 00:13:29,620
pregunto

206
00:13:29,620 --> 00:13:32,919
¿qué multiplicación de segmentos es el producto

207
00:13:32,919 --> 00:13:34,919
mismo? según ese dibujo

208
00:13:35,980 --> 00:13:39,019
¿qué multiplicación

209
00:13:39,019 --> 00:13:40,960
de segmentos es el producto

210
00:13:40,960 --> 00:13:41,419
mismo?

211
00:13:46,559 --> 00:13:49,299
Muy bien, muy bien, dice.

212
00:13:50,100 --> 00:13:51,720
AG por AF.

213
00:13:52,940 --> 00:13:54,899
AG por AF.

214
00:13:56,240 --> 00:14:04,139
Porque es AF el vector que hemos calculado de una vectorial W

215
00:14:04,139 --> 00:14:08,559
y hace la proyección del azul sobre el mil.

216
00:14:09,500 --> 00:14:10,139
¿Entendéis?

217
00:14:10,919 --> 00:14:13,100
El producto es AG por AF.

218
00:14:18,059 --> 00:14:20,000
Ahora

219
00:14:20,000 --> 00:14:22,019
Hemos llegado arriba

220
00:14:22,019 --> 00:14:25,080
Ahora viene la montaña rusa

221
00:14:25,080 --> 00:14:27,100
Así que no os perdáis

222
00:14:27,100 --> 00:14:29,519
A es por A F

223
00:14:29,519 --> 00:14:30,779
Pero A F que es

224
00:14:30,779 --> 00:14:34,639
A F no

225
00:14:34,639 --> 00:14:36,460
Es

226
00:14:36,460 --> 00:14:38,399
El área amarilla

227
00:14:38,399 --> 00:14:40,840
¿Lo veis?

228
00:14:41,860 --> 00:14:43,200
A F es el área amarilla

229
00:14:43,200 --> 00:14:44,779
Es una superficie

230
00:14:44,779 --> 00:14:46,639
Es una base

231
00:14:46,639 --> 00:14:51,259
La base de un poliedro

232
00:14:51,259 --> 00:14:55,740
y esto que está metido en perpendicular

233
00:14:55,740 --> 00:14:57,059
va a ser la altura

234
00:14:57,059 --> 00:15:00,139
y si multiplico la base

235
00:15:00,139 --> 00:15:01,899
por la altura

236
00:15:01,899 --> 00:15:02,899
¿qué obtengo?

237
00:15:04,159 --> 00:15:05,440
un volumen

238
00:15:05,440 --> 00:15:09,240
un volumen

239
00:15:09,240 --> 00:15:11,379
vamos a ver el volumen

240
00:15:11,379 --> 00:15:14,360
herramienta prima

241
00:15:14,360 --> 00:15:16,059
ahora lo vas a entender

242
00:15:16,059 --> 00:15:17,480
herramienta prima

243
00:15:17,480 --> 00:15:19,179
los que hayan llegado hasta aquí

244
00:15:19,179 --> 00:15:21,440
vamos a pinchar

245
00:15:21,440 --> 00:15:25,960
a ver

246
00:15:25,960 --> 00:15:52,899
Ávila, Cereza, España, Dinamarca, Barcelona

247
00:15:52,899 --> 00:15:56,620
No, lo he hecho mal

248
00:15:56,620 --> 00:16:00,360
A ver, darle el higimueve y volvemos a empezar

249
00:16:00,360 --> 00:16:02,980
Perdonad, es que no he cerrado

250
00:16:02,980 --> 00:16:15,279
Ávila, Cereza, España, Dinamarca, Ávila y ahora Barcelona

251
00:16:15,279 --> 00:16:20,559
y os tiene que haber salido esto

252
00:16:20,559 --> 00:16:25,220
¿lo veis?

253
00:16:27,250 --> 00:16:28,029
lo repito

254
00:16:28,029 --> 00:16:30,009
hacemos el

255
00:16:30,009 --> 00:16:33,429
el paralelogramo

256
00:16:33,429 --> 00:16:35,169
y luego las frutas

257
00:16:35,169 --> 00:16:36,950
bueno, veis eso

258
00:16:36,950 --> 00:16:39,330
eso es un paralelepiped

259
00:16:39,330 --> 00:16:41,370
paralelepiped

260
00:16:41,370 --> 00:16:42,950
tiene seis caras

261
00:16:42,950 --> 00:16:44,870
paralelas dos a dos

262
00:16:44,870 --> 00:16:47,570
y si os dais cuenta

263
00:16:47,570 --> 00:16:49,769
como aquí

264
00:16:49,769 --> 00:16:51,250
mirad, en un ronboide

265
00:16:51,250 --> 00:16:52,669
como hicimos el otro día

266
00:16:52,669 --> 00:16:56,409
el área está por ver

267
00:16:56,409 --> 00:17:12,529
el área está por hacer

268
00:17:12,529 --> 00:17:14,130
¿sí o no?

269
00:17:15,369 --> 00:17:16,369
entonces yo

270
00:17:16,369 --> 00:17:18,930
aunque el paralel epípedo que tengo

271
00:17:18,930 --> 00:17:21,329
¿qué tres aristas tiene?

272
00:17:21,329 --> 00:17:24,269
¿Cuáles son tres de las aristas

273
00:17:24,269 --> 00:17:25,690
De este paralelepípedo?

274
00:17:28,690 --> 00:17:29,049
U

275
00:17:29,049 --> 00:17:31,490
V

276
00:17:31,490 --> 00:17:33,630
Y W

277
00:17:33,630 --> 00:17:34,750
Los tres vectores

278
00:17:34,750 --> 00:17:35,930
¿Sí o no?

279
00:17:36,930 --> 00:17:39,089
Pero la altura se mide en perpendicular

280
00:17:39,089 --> 00:17:40,470
La altura es a G

281
00:17:40,470 --> 00:17:43,349
¿Me entendéis?

282
00:17:43,829 --> 00:17:44,470
La altura

283
00:17:44,470 --> 00:17:46,630
Es a G

284
00:17:46,630 --> 00:17:50,900
Eso es

285
00:17:50,900 --> 00:17:52,660
Total, resumiendo

286
00:17:52,660 --> 00:17:53,660
Ya hemos llegado al final

287
00:17:53,660 --> 00:17:56,140
ya ha bajado la montaña

288
00:17:56,140 --> 00:17:59,980
interpretación geométrica

289
00:17:59,980 --> 00:18:01,940
del producto mixto

290
00:18:01,940 --> 00:18:03,779
el producto mixto

291
00:18:03,779 --> 00:18:06,099
habéis mirado la letra que le ha hecho

292
00:18:06,099 --> 00:18:07,599
al poliedro

293
00:18:07,599 --> 00:18:10,099
para el epípedo y cuánto vale

294
00:18:10,099 --> 00:18:13,619
35

295
00:18:13,619 --> 00:18:17,380
el volumen vale 35

296
00:18:17,380 --> 00:18:20,220
y que nos ha dado antes 35

297
00:18:20,220 --> 00:18:33,579
El producto mixto es el volumen del paralelepípedo engendrado por los tres vectores.

298
00:18:33,579 --> 00:19:07,019
Lo vuelvo a listar, el volumen del paralelepítero engendrado por los tres vectores, repito una vez más desde el principio, el volumen del paralelepítero engendrado por los tres vectores es, no copiéis, bueno, vamos a corregir un poco.

299
00:19:07,019 --> 00:19:10,400
el producto mismo puede dar negativo

300
00:19:10,400 --> 00:19:14,059
así que es

301
00:19:14,059 --> 00:19:16,160
el valor absoluto del producto

302
00:19:16,160 --> 00:19:18,240
mismo, repito

303
00:19:18,240 --> 00:19:19,599
el volumen

304
00:19:19,599 --> 00:19:22,119
del paralelepípedo

305
00:19:22,119 --> 00:19:24,160
engendrado por

306
00:19:24,160 --> 00:19:26,059
los vectores V y W

307
00:19:26,059 --> 00:19:27,980
es

308
00:19:27,980 --> 00:19:34,240
el valor absoluto del producto

309
00:19:34,240 --> 00:19:36,220
mismo, ¿entendido?

310
00:19:36,220 --> 00:19:39,160
Siempre que os pregunten un producto mixto

311
00:19:39,160 --> 00:19:40,759
Tenéis que imaginaros esto

312
00:19:40,759 --> 00:19:43,420
Y viceversa

313
00:19:43,420 --> 00:19:46,420
Vamos con eso

314
00:19:46,420 --> 00:19:49,200
Vale

315
00:19:49,200 --> 00:19:53,930
Luego lo recuperamos otra vez

316
00:19:53,930 --> 00:20:08,730
Se me hace grande

317
00:20:08,730 --> 00:20:09,269
A ver

318
00:20:09,269 --> 00:20:12,829
¿Qué hicimos ayer y antes de ayer

319
00:20:12,829 --> 00:20:14,930
Después de la interpretación geométrica?

320
00:20:17,650 --> 00:20:19,569
Propiedades del producto mixto

321
00:20:19,569 --> 00:20:23,470
Esto después sale en el vídeo

322
00:20:23,470 --> 00:20:26,089
o sea que ahora hay que ver el vídeo

323
00:20:26,089 --> 00:20:28,369
la primera propiedad

324
00:20:28,369 --> 00:20:30,670
tiene que ser algo parecido

325
00:20:30,670 --> 00:20:31,849
entre comillas

326
00:20:31,849 --> 00:20:33,589
a la propiedad conmutativa

327
00:20:33,589 --> 00:20:38,299
como todos aprendiste

328
00:20:38,299 --> 00:20:40,480
y mucha combinatoria en cuartos de la ESO

329
00:20:40,480 --> 00:20:42,160
que es donde se da

330
00:20:42,160 --> 00:20:44,000
todos sabéis

331
00:20:44,000 --> 00:20:45,740
que si tengo tres letras

332
00:20:45,740 --> 00:20:47,980
de cuantas maneras se pueden permutar

333
00:20:47,980 --> 00:20:50,299
cuantas permutaciones de tres

334
00:20:50,299 --> 00:20:52,059
tres

335
00:20:52,059 --> 00:20:52,680
tres

336
00:20:52,680 --> 00:20:55,960
factorial

337
00:20:55,960 --> 00:20:58,259
si 3 factorial que es

338
00:20:58,259 --> 00:20:59,660
6

339
00:20:59,660 --> 00:21:02,880
3 por 2 por 1

340
00:21:02,880 --> 00:21:04,019
muy bien

341
00:21:04,019 --> 00:21:07,279
así que yo las 6 letras

342
00:21:07,279 --> 00:21:08,700
esas las puedo colocar

343
00:21:08,700 --> 00:21:10,480
de 6 maneras diferentes

344
00:21:10,480 --> 00:21:12,660
ahí hay 6 productos mismos

345
00:21:12,660 --> 00:21:15,519
3 de ellos

346
00:21:15,519 --> 00:21:17,500
los que mantienen el orden

347
00:21:17,500 --> 00:21:20,720
salen con el mismo sí

348
00:21:20,720 --> 00:21:23,259
y tres de ellos

349
00:21:23,259 --> 00:21:25,140
los que alternan el orden

350
00:21:25,140 --> 00:21:26,960
salen con el signo

351
00:21:26,960 --> 00:21:29,019
cambiado, esto no quiere decir

352
00:21:29,019 --> 00:21:30,859
que estos tres sean positivos y estos tres

353
00:21:30,859 --> 00:21:32,960
negativos, si estos tres

354
00:21:32,960 --> 00:21:34,539
son positivos, estos tres son

355
00:21:34,539 --> 00:21:37,299
pero si estos tres son negativos

356
00:21:37,299 --> 00:21:38,200
estos tres son

357
00:21:38,200 --> 00:21:39,980
entendidos

358
00:21:39,980 --> 00:21:42,759
ahora, y esto es lo

359
00:21:42,759 --> 00:21:44,660
muy importante, lo que voy a decir ahora

360
00:21:44,660 --> 00:21:46,759
los seis productos

361
00:21:46,759 --> 00:21:48,539
mismos engendran

362
00:21:48,539 --> 00:21:51,180
el mismo

363
00:21:51,180 --> 00:21:53,440
para el epífero

364
00:21:53,440 --> 00:21:55,319
me da igual como diga los vectores

365
00:21:55,319 --> 00:21:55,579
¿no?

366
00:21:57,099 --> 00:21:59,339
y por tanto su módulo de los seis vale

367
00:21:59,339 --> 00:22:01,440
lo mismo obviamente

368
00:22:01,440 --> 00:22:03,619
luego por favor

369
00:22:03,619 --> 00:22:05,460
que alguien me recuerde cuando pongamos

370
00:22:05,460 --> 00:22:06,559
la última fórmula

371
00:22:06,559 --> 00:22:09,539
que alguien me recuerde que repasemos estas propiedades

372
00:22:09,539 --> 00:22:11,960
segunda propiedad

373
00:22:11,960 --> 00:22:13,559
tiene que ser un poco

374
00:22:13,559 --> 00:22:14,380
como la mujer

375
00:22:14,380 --> 00:22:17,380
que si yo tengo a v, v y c, v

376
00:22:17,380 --> 00:22:24,940
doble pues puedo sacar los números pues vale interés de la propiedad que me

377
00:22:24,940 --> 00:22:29,980
interesa mucho y teóricamente ya hemos hablado de ella

378
00:22:29,980 --> 00:22:37,940
y el producto visto espero como el volumen

379
00:22:37,940 --> 00:22:41,859
y cómo puede ser el volumen pero

380
00:22:41,859 --> 00:22:47,920
y los tres de estar en el mismo plan porque no levantan para elegir pero nada

381
00:22:48,819 --> 00:22:52,160
y si los tres están en el mismo plano quiere decir que son

382
00:22:53,960 --> 00:22:58,019
y realmente dependientes o en otra manera

383
00:23:01,680 --> 00:23:05,680
entendido luego repasamos otra vez esta propiedad

384
00:23:05,680 --> 00:23:08,940
¿Ya las tenéis?

385
00:23:10,299 --> 00:23:13,480
¿Qué hicimos ayer y antes de ayer después de las propiedades?

386
00:23:15,640 --> 00:23:26,759
La expresión analítica, la cuenta con coordenadas, ¿no?

387
00:23:33,700 --> 00:23:42,660
A ver, atender.

388
00:23:44,039 --> 00:23:48,000
¿Cuál es la expresión analítica del producto mixto?

389
00:23:48,720 --> 00:23:53,000
Pues como todos habéis entendido, hemos dicho, ahí me falta un paréntesis.

390
00:23:53,279 --> 00:24:15,359
que se me ha debido ir, hemos dicho que la expresión analítica era el producto escalar por el producto, por el producto vectorial, el vector 1, ¿cuál es?, este, ¿no?, función de subcoordenada,

391
00:24:15,359 --> 00:24:18,059
y el producto vectorial

392
00:24:18,059 --> 00:24:19,440
esta fórmula la escribimos

393
00:24:19,440 --> 00:24:21,140
¿cuándo?

394
00:24:22,539 --> 00:24:24,619
esa fórmula la escribimos ayer

395
00:24:24,619 --> 00:24:24,980
¿no?

396
00:24:28,069 --> 00:24:29,329
y al final de la clase

397
00:24:29,329 --> 00:24:31,930
la penúltima fórmula que escribimos

398
00:24:31,930 --> 00:24:34,910
esto era el producto vectorial

399
00:24:34,910 --> 00:24:35,569
¿os acordáis?

400
00:24:37,720 --> 00:24:39,259
cuando hago el producto escalar

401
00:24:39,259 --> 00:24:41,380
que lo vimos antes de ayer

402
00:24:41,380 --> 00:24:43,940
de los nueve términos que podrían salir

403
00:24:43,940 --> 00:24:44,599
¿qué pasaba?

404
00:24:45,880 --> 00:24:47,180
seis se hacían cero

405
00:24:47,180 --> 00:24:48,440
¿cuál me quedaba?

406
00:24:48,819 --> 00:24:51,640
el i con i, el j con j

407
00:24:51,640 --> 00:24:53,500
y el k con k

408
00:24:53,500 --> 00:24:58,579
por lo tanto me quedaría esto

409
00:24:58,579 --> 00:25:00,400
u1

410
00:25:00,400 --> 00:25:02,200
por este determinante

411
00:25:02,200 --> 00:25:04,319
u2 por este

412
00:25:04,319 --> 00:25:06,460
determinante y u3

413
00:25:06,460 --> 00:25:08,400
por este determinante

414
00:25:08,400 --> 00:25:10,980
queda este número

415
00:25:10,980 --> 00:25:12,480
y este número

416
00:25:12,480 --> 00:25:14,259
si os dais cuenta es el desarrollo

417
00:25:14,259 --> 00:25:18,279
de uno

418
00:25:18,279 --> 00:25:19,440
de 3 por 3

419
00:25:19,440 --> 00:25:26,440
o sea que el producto

420
00:25:26,440 --> 00:25:29,079
mixto es el determinante

421
00:25:29,079 --> 00:25:30,839
de las coordenadas de los vectores

422
00:25:30,839 --> 00:25:34,410
ya está

423
00:25:34,410 --> 00:25:37,549
esa es la fórmula del producto mixto

424
00:25:37,549 --> 00:25:40,859
si, el determinante

425
00:25:40,859 --> 00:25:44,859
decirme

426
00:25:44,859 --> 00:25:46,960
el ejercicio que hemos trabajado hoy

427
00:25:47,960 --> 00:25:50,400
las coordenadas de u

428
00:25:50,400 --> 00:25:55,460
dejarla a marca

429
00:25:55,460 --> 00:25:56,359
de u

430
00:25:56,359 --> 00:25:59,740
menos uno

431
00:25:59,740 --> 00:26:02,160
y de

432
00:26:02,160 --> 00:26:03,079
¿W?

433
00:26:04,180 --> 00:26:07,259
¿Todo de acuerdo, no?

434
00:26:09,619 --> 00:26:11,720
¿Vamos a hacer el determinante?

435
00:26:14,279 --> 00:26:15,200
No.

436
00:26:22,230 --> 00:26:23,750
Esto está mal.

437
00:26:25,349 --> 00:26:25,950
Perdón.

438
00:26:26,750 --> 00:26:27,549
¿Qué copia hablas?

439
00:26:27,549 --> 00:26:29,089
Esta la copias mal.

440
00:26:29,089 --> 00:26:35,250
¿Cuánto da esto?

441
00:26:37,250 --> 00:26:38,230
¿Y esto?

442
00:26:42,789 --> 00:26:43,730
¿Cuánto vale?

443
00:26:43,990 --> 00:26:44,990
Callaros un poquito

444
00:26:44,990 --> 00:26:46,730
¿Cuánto vale el determinante?

445
00:26:48,910 --> 00:26:50,609
Treinta y cinco

446
00:26:50,609 --> 00:26:54,569
¿Y cómo nos había dicho GeoGebra

447
00:26:54,569 --> 00:26:55,789
que era el producto mixto?

448
00:26:56,750 --> 00:26:58,809
¿O cuánto vale el volumen

449
00:26:58,809 --> 00:27:00,230
del paralelepípedo morado?

450
00:27:01,490 --> 00:27:13,579
Entonces, en un ejercicio, ¿qué me van a pedir?

451
00:27:15,579 --> 00:27:25,700
Pues uno pensaría que le van a pedir, por ejemplo, el volumen del paralelepípedo, y es posible.

452
00:27:26,019 --> 00:27:34,779
¿Qué tendríamos que hacer? El determinante y ya está, el determinante y ya está.

453
00:27:34,779 --> 00:27:39,500
vamos a recuperar

454
00:27:39,500 --> 00:27:41,259
ahora que sabemos de esta fórmula

455
00:27:41,259 --> 00:27:44,180
vamos a repasar las propiedades

456
00:27:44,180 --> 00:27:48,339
¿qué quiere decir la primera propiedad

457
00:27:48,339 --> 00:27:49,500
según esa fórmula?

458
00:27:50,039 --> 00:27:51,019
¿qué estoy haciendo

459
00:27:51,019 --> 00:27:53,839
en estos seis casos

460
00:27:53,839 --> 00:27:54,880
según esa fórmula?

461
00:27:58,400 --> 00:27:59,839
intercambiar pilas

462
00:27:59,839 --> 00:28:03,740
todo esto simplemente es intercambiar pilas

463
00:28:03,740 --> 00:28:05,380
lógicamente

464
00:28:05,380 --> 00:28:07,400
si intercambio dos pilas

465
00:28:07,400 --> 00:28:09,220
¿cómo se queda así?

466
00:28:09,259 --> 00:28:12,180
igual, quiero decir dos veces

467
00:28:12,180 --> 00:28:14,160
si las intercambio

468
00:28:14,160 --> 00:28:15,740
una o tres veces

469
00:28:15,740 --> 00:28:17,920
pues cambia

470
00:28:17,920 --> 00:28:20,140
o sea que esto simplemente es

471
00:28:20,140 --> 00:28:21,660
una

472
00:28:21,660 --> 00:28:24,160
implicación

473
00:28:24,160 --> 00:28:26,220
de las propiedades

474
00:28:26,220 --> 00:28:27,160
de los determinantes

475
00:28:27,160 --> 00:28:28,880
y este

476
00:28:28,880 --> 00:28:36,210
ahora vemos que ese determinante

477
00:28:36,210 --> 00:28:37,930
tiene dos utilidades

478
00:28:37,930 --> 00:28:39,869
si da cero

479
00:28:39,869 --> 00:28:41,029
distinto de cero

480
00:28:41,029 --> 00:28:43,349
nos sirve para saber

481
00:28:43,349 --> 00:28:45,670
si son linealmente dependientes

482
00:28:45,670 --> 00:28:46,710
o independientes

483
00:28:46,710 --> 00:28:49,309
pero además

484
00:28:49,309 --> 00:28:51,269
el número ya nos da

485
00:28:51,269 --> 00:28:52,589
el volumen del paraléptico

486
00:28:52,589 --> 00:28:55,470
¿entendéis?

487
00:28:56,490 --> 00:28:59,349
muy bien, y ahora para terminar

488
00:28:59,349 --> 00:29:03,369
resulta que en los ejercicios de la EBAU

489
00:29:03,369 --> 00:29:04,930
casi nunca piden

490
00:29:04,930 --> 00:29:06,470
el volumen del paraléptico

491
00:29:06,470 --> 00:29:09,130
hay una tradición

492
00:29:09,130 --> 00:29:10,470
yo no la entiendo

493
00:29:10,470 --> 00:29:14,230
de que en vez de pedir el volumen del paralelepípedo

494
00:29:14,230 --> 00:29:18,210
piden el volumen del tetraedro

495
00:29:18,210 --> 00:29:21,170
¿de qué tetraedro?

496
00:29:21,829 --> 00:29:23,890
del formado por ABC y D

497
00:29:23,890 --> 00:29:27,049
iros a vuestro dibujo de

498
00:29:27,049 --> 00:29:28,769
espero que se haya

499
00:29:28,769 --> 00:29:30,910
que haya cambiado lo que estoy grabando

500
00:29:30,910 --> 00:29:33,970
iros al dibujo

501
00:29:33,970 --> 00:29:35,410
de GeoGebra

502
00:29:35,410 --> 00:29:37,450
a la construcción de GeoGebra

503
00:29:37,450 --> 00:29:40,049
y localizar los puntos ABCD

504
00:29:40,049 --> 00:29:49,990
hacer lo que voy a hacer yo ahora mirar qué bonito podéis recuperar todos

505
00:29:49,990 --> 00:29:54,910
simplemente con que hubiere metido abcd podéis seguirla lo que voy a hacer ahora

506
00:29:54,910 --> 00:29:59,289
porque antes de seguir voy a ocultar todo

507
00:29:59,289 --> 00:30:07,410
voy a ocultar todo y me voy a quedar con con abcd vale

508
00:30:07,410 --> 00:30:13,089
bueno mira qué significa el tetraedro formado por

509
00:30:13,089 --> 00:30:17,650
a veces pues eso como dice la propia palabra es un

510
00:30:17,650 --> 00:30:28,009
tetraedro tetra prefijo griego 4 y es un poliedro

511
00:30:28,009 --> 00:30:33,910
por tanto cumple la fórmula de hoy

512
00:30:33,910 --> 00:30:38,000
pero

513
00:30:38,000 --> 00:30:41,819
El tetraedro, ¿cuántas caras tiene?

514
00:30:43,180 --> 00:30:44,019
Cuatro.

515
00:30:44,180 --> 00:30:45,180
¿Cuántos vértices?

516
00:30:46,240 --> 00:30:47,079
Cuatro.

517
00:30:47,220 --> 00:30:48,160
¿Cuántas aristas?

518
00:30:48,579 --> 00:30:53,349
Un tetraedro, ¿cuántas aristas tiene?

519
00:30:58,680 --> 00:30:59,559
Seis.

520
00:31:01,299 --> 00:31:03,940
Se cumple la fórmula de Euler.

521
00:31:05,660 --> 00:31:06,420
Es un poliéter.

522
00:31:07,000 --> 00:31:09,180
Por cierto, imagínate una caja en la parte.

523
00:31:10,119 --> 00:31:11,220
¿Cuántas caras tiene?

524
00:31:11,220 --> 00:31:13,779
6

525
00:31:13,779 --> 00:31:16,700
¿Cuántos vértices tiene?

526
00:31:18,700 --> 00:31:19,619
8

527
00:31:19,619 --> 00:31:20,779
¿8 y 6?

528
00:31:23,980 --> 00:31:24,980
14

529
00:31:24,980 --> 00:31:27,339
¿Cuántos vértices

530
00:31:27,339 --> 00:31:29,440
creéis que tiene que tener

531
00:31:29,440 --> 00:31:31,059
una caja de zapatos?

532
00:31:31,220 --> 00:31:33,140
¿Cuántas aristas, perdón, creéis que tiene que tener

533
00:31:33,140 --> 00:31:34,400
una caja de zapatos?

534
00:31:38,380 --> 00:31:40,019
Si se cumpliera

535
00:31:40,019 --> 00:31:41,180
la fórmula de Euler

536
00:31:41,180 --> 00:31:44,099
debería tener 12

537
00:31:44,099 --> 00:31:45,779
vamos a pensar en la caja de zapatos

538
00:31:45,779 --> 00:31:47,079
4

539
00:31:47,079 --> 00:31:49,539
y 4, 8

540
00:31:49,539 --> 00:31:51,640
y 4, 12

541
00:31:51,640 --> 00:31:55,200
bueno

542
00:31:55,200 --> 00:31:58,039
un tetraedro

543
00:31:58,039 --> 00:31:59,799
también es una pirámide triangular

544
00:31:59,799 --> 00:32:02,500
así que la vamos a construir con la pirámide triangular

545
00:32:02,500 --> 00:32:03,839
hacer todo lo que yo

546
00:32:03,839 --> 00:32:06,559
elegimos la herramienta

547
00:32:06,559 --> 00:32:07,200
pirámide

548
00:32:07,200 --> 00:32:10,759
no me hagáis repetir

549
00:32:10,759 --> 00:32:12,200
y hacemos

550
00:32:12,200 --> 00:32:25,079
A, B, C, otra vez A, y ahora Dinamarca.

551
00:32:30,319 --> 00:32:34,960
Y ahora la pregunta es, ¿cuánto vale ese volumen?

552
00:32:40,519 --> 00:32:45,740
Pues os voy a hacer una construcción que es muy difícil de seguir, seguramente no os ayude en nada,

553
00:32:45,740 --> 00:32:48,859
pero vamos a ver

554
00:32:48,859 --> 00:32:52,240
que os sirve para algo

555
00:32:52,240 --> 00:32:59,460
nos callamos

556
00:32:59,460 --> 00:33:01,740
mirad todos a la pizarra

557
00:33:01,740 --> 00:33:03,200
ya sé que no está muy bien

558
00:33:03,200 --> 00:33:05,519
y que no os va a ayudar mucho para saber el resultado

559
00:33:05,519 --> 00:33:06,380
pero bueno

560
00:33:29,880 --> 00:33:31,099
alguien de verdad

561
00:33:31,099 --> 00:33:31,759
no ve

562
00:33:31,759 --> 00:33:33,359
que dentro

563
00:33:33,359 --> 00:33:46,160
de un paralelepípedo caben 6 tetraedros pues ahí lo ha visto estos 6 tetraedros tienen el mismo volumen

564
00:33:46,160 --> 00:33:56,500
y por tanto el área del volumen del tetraedro que es un sexto del producto mismo

565
00:33:56,500 --> 00:34:03,380
un sexto del producto mismo pero como yo sé que alguno no ve bien

566
00:34:03,380 --> 00:34:07,140
esto que es

567
00:34:07,140 --> 00:34:09,559
un cubo

568
00:34:09,559 --> 00:34:15,750
donde la ha hecho Mariel

569
00:34:15,750 --> 00:34:18,190
que trabaja mucho la manipulativa

570
00:34:18,190 --> 00:34:21,289
aquí están los 6 tetraedros

571
00:34:21,289 --> 00:34:27,000
y tienen el mismo volumen

572
00:34:27,000 --> 00:34:28,059
aquí

573
00:34:28,059 --> 00:34:29,960
por cierto, mirad

574
00:34:29,960 --> 00:34:32,360
son los 3

575
00:34:32,360 --> 00:34:33,099
que tengo

576
00:34:33,099 --> 00:34:34,960
medio cubo

577
00:34:34,960 --> 00:34:38,500
como es un cubo, los 6 tetraedros

578
00:34:38,500 --> 00:34:40,679
no solamente tienen el mismo volumen

579
00:34:40,679 --> 00:34:43,440
sino que son igual

580
00:34:43,440 --> 00:34:45,539
pero aquí no, mirad

581
00:34:45,539 --> 00:34:47,099
por favor mirad a la pizarra

582
00:34:47,099 --> 00:34:49,039
si yo modifico B

583
00:34:49,039 --> 00:34:52,750
y D

584
00:34:52,750 --> 00:34:55,949
pues esto sale un poliedro un poquito

585
00:34:55,949 --> 00:34:57,230
chunguillo

586
00:34:57,230 --> 00:35:00,250
pero si los vuelvo a meter

587
00:35:00,250 --> 00:35:02,590
¿cuántos he metido?

588
00:35:03,769 --> 00:35:04,489
tres

589
00:35:04,489 --> 00:35:07,260
¿se ve?

590
00:35:08,800 --> 00:35:10,039
he llenado la mitad

591
00:35:10,039 --> 00:35:11,960
y si meto los otros tres

592
00:35:11,960 --> 00:35:14,019
pues lleno todo

593
00:35:14,019 --> 00:35:15,980
lo veis

594
00:35:15,980 --> 00:35:18,960
bueno pues estos 6 tetraedros

595
00:35:18,960 --> 00:35:20,039
son iguales

596
00:35:20,039 --> 00:35:21,800
no

597
00:35:21,800 --> 00:35:25,099
estos no, pero tienen el mismo volumen

598
00:35:25,099 --> 00:35:26,019
si

599
00:35:26,019 --> 00:35:28,940
por tanto la fórmula

600
00:35:28,940 --> 00:35:29,739
vale

601
00:35:29,739 --> 00:35:32,849
anda

602
00:35:32,849 --> 00:35:36,210
lo he dejado en el otro lado y no se ha grabado

603
00:35:36,210 --> 00:35:38,190
esto del, bueno da igual

604
00:35:38,190 --> 00:35:45,099
mirad a la pizarra

605
00:35:45,099 --> 00:35:51,900
el volumen del tetraedro

606
00:35:51,900 --> 00:35:53,820
es un sexto

607
00:35:53,820 --> 00:35:54,760
del producto mismo.

608
00:35:57,590 --> 00:35:59,289
Matemáticamente, ¿hay alguna diferencia

609
00:35:59,289 --> 00:36:01,489
en que te pidan esto o te pidan esto?

610
00:36:02,409 --> 00:36:03,449
No, simplemente

611
00:36:03,449 --> 00:36:05,250
es que tú sabes que se hace

612
00:36:05,250 --> 00:36:06,289
con el producto mismo.

613
00:36:07,030 --> 00:36:09,130
Pues no me preguntéis por qué, pero

614
00:36:09,130 --> 00:36:11,289
les gusta más preguntar el tetraer.

615
00:36:13,409 --> 00:36:13,630
¿Eh?

616
00:36:13,630 --> 00:36:15,630
Para que sepas que...

617
00:36:16,170 --> 00:36:24,210
¿No lo has visto?

618
00:36:25,449 --> 00:36:29,449
que he dicho

619
00:36:29,449 --> 00:36:30,989
que ya no son iguales

620
00:36:30,989 --> 00:36:32,349
los petraedros tienen

621
00:36:32,349 --> 00:36:33,230
distinta forma

622
00:36:33,230 --> 00:36:35,510
pero tienen el mismo volumen

623
00:36:35,510 --> 00:36:40,750
no

624
00:36:40,750 --> 00:36:42,210
no hay trompa

625
00:36:42,210 --> 00:36:43,289
de pipa de trompa de rata

626
00:36:43,289 --> 00:36:44,130
de muchas cosas

627
00:36:44,130 --> 00:36:45,889
pero si decides hacer

628
00:36:45,889 --> 00:36:47,710
todos los petraedros posibles

629
00:36:47,710 --> 00:36:49,409
o los antropólogos

630
00:36:49,409 --> 00:36:50,630
que saben

631
00:36:50,630 --> 00:36:51,070
sí

632
00:36:51,070 --> 00:36:56,869
bueno

633
00:36:56,869 --> 00:36:58,590
a ver

634
00:36:58,590 --> 00:37:02,460
atender

635
00:37:02,460 --> 00:37:05,320
aquí tengo

636
00:37:05,320 --> 00:37:07,340
ya hemos terminado

637
00:37:07,340 --> 00:37:09,679
aquí tengo

638
00:37:09,679 --> 00:37:11,659
nos falta ver una cosa

639
00:37:11,659 --> 00:37:13,420
para que la repaséis para mañana

640
00:37:13,420 --> 00:37:14,300
y la

641
00:37:14,300 --> 00:37:16,159
traigáis

642
00:37:16,159 --> 00:37:19,360
voy a hacer todo lo posible por publicar

643
00:37:19,360 --> 00:37:21,320
vuestro examen hoy, todo lo posible

644
00:37:21,320 --> 00:37:23,159
pero tampoco lo puedo asegurar

645
00:37:23,159 --> 00:37:26,960
Si lo publico, lo corregiremos mañana en clase.

646
00:37:30,099 --> 00:37:35,039
Escuchadme, nos queda por ver una cosa que digamos que ya podríamos haber visto,

647
00:37:35,219 --> 00:37:41,059
porque con el producto mixto acaba el tema, que es dividir un segmento en partes.

648
00:37:42,239 --> 00:37:51,480
Si tenéis los apuntes del año pasado, pues podéis mirarlo porque es idénticamente lo mismo en 2D que en 3D.

649
00:37:51,480 --> 00:37:55,340
¿Vale? Sería el único punto que todavía no he marcado