1 00:00:00,880 --> 00:00:04,259 Bienvenidos a clase de matemáticas con Maite. 2 00:00:04,919 --> 00:00:05,879 Sucesiones. 3 00:00:08,099 --> 00:00:08,939 Objetivos. 4 00:00:09,359 --> 00:00:11,259 Reconocer una sucesión de números. 5 00:00:11,740 --> 00:00:15,580 Reconocer y distinguir las progresiones aritméticas y geométricas. 6 00:00:16,179 --> 00:00:20,160 Calcular el término general de una progresión aritmética y geométrica. 7 00:00:20,899 --> 00:00:28,000 Hallar la suma de los términos de una progresión aritmética finita y geométrica finita o infinita. 8 00:00:30,370 --> 00:00:31,030 Punto 1. 9 00:00:31,250 --> 00:00:32,030 Sucesiones. 10 00:00:32,030 --> 00:00:45,390 Una sucesión es un conjunto ordenado de números reales, a sub 1, a sub 2, a sub 3, a sub 4, a sub 5, a sub 6, puntos suspensivos. 11 00:00:45,929 --> 00:00:55,909 Cada número que forma la sucesión se llama término y se designa por a sub i, donde su índice i indica el lugar que ocupa el término en la sucesión. 12 00:00:55,909 --> 00:00:59,609 Los siguientes conjuntos de números son sucesiones 13 00:00:59,609 --> 00:01:05,849 Por ejemplo, 1, 2, 3, 4, 5, 6 puntos suspensivos 14 00:01:05,849 --> 00:01:09,790 2, 4, 6, 8, 10, 12 15 00:01:09,790 --> 00:01:12,969 que sería la sucesión de los números pares 16 00:01:12,969 --> 00:01:14,329 y podríamos seguir 17 00:01:14,329 --> 00:01:23,010 1 partido de 1, 1 medio, 1 tercio, 1 cuarto, 1 quinto, 1 sexto puntos suspensivos 18 00:01:23,010 --> 00:01:29,310 Existen sucesiones en las que se pueden determinar sus términos a partir de un cierto criterio 19 00:01:29,310 --> 00:01:32,930 A este criterio se le llama regla de formación 20 00:01:32,930 --> 00:01:40,370 Para determinar la regla de formación estudiamos la relación entre los términos y la posición que ocupan 21 00:01:40,370 --> 00:01:48,390 Término general de una sucesión es una expresión algebraica que nos permite calcular cualquier término de la sucesión 22 00:01:48,390 --> 00:01:52,849 sabiendo el lugar que ocupa, se representa por a sub n 23 00:01:52,849 --> 00:02:10,069 Punto 2. Progresión aritmética. Una progresión aritmética es una sucesión en la que cada término menos el primero se obtiene a partir del anterior sumándole un número fijo D llamado diferencia de la progresión. 24 00:02:10,069 --> 00:02:30,110 Para obtener la diferencia basta restar dos términos consecutivos. El término general de una progresión aritmética es a sub n igual a a sub 1 más paréntesis n menos 1, cerramos paréntesis por d siempre que n sea mayor o igual que 1. 25 00:02:30,110 --> 00:02:34,349 si d es mayor estricto que 0 la progresión es creciente 26 00:02:34,349 --> 00:02:40,370 por ejemplo la progresión de los números pares 2, 4, 6, 8 27 00:02:40,370 --> 00:02:44,389 si d es menor estricto que 0 la progresión es decreciente 28 00:02:44,389 --> 00:02:47,909 ejemplo 12, 9, 6, 3, etc. 29 00:02:48,629 --> 00:02:51,650 y si d es igual a 0 la progresión es constante 30 00:02:51,650 --> 00:02:55,650 ejemplo 4, 4, 4, 4 puntos suspensivos 31 00:02:55,650 --> 00:03:00,030 la suma de n términos consecutivos de una progresión aritmética 32 00:03:00,030 --> 00:03:09,449 es S sub n igual a paréntesis a su 1 más a su n, cerramos paréntesis, por n dividido entre 2. 33 00:03:11,310 --> 00:03:20,250 Punto 3. Progresión geométrica. Una progresión geométrica es una sucesión en la que cada término 34 00:03:20,250 --> 00:03:27,229 menos el primero se obtiene multiplicando el anterior por una cantidad fija r llamada razón 35 00:03:27,229 --> 00:03:33,650 de la progresión. La razón se obtiene al efectuar el cociente entre dos términos consecutivos. 36 00:03:34,409 --> 00:03:41,469 El término general de una progresión geométrica es a sub n igual a a sub 1 por r elevado a 37 00:03:41,469 --> 00:03:47,889 n menos 1, donde n es mayor o igual que 1. La suma de n términos consecutivos de una 38 00:03:47,889 --> 00:03:56,629 progresión geométrica de razón r distinta de 1 es s sub n igual a a sub n por r menos 39 00:03:56,629 --> 00:04:04,050 a su 1 dividido todo ello entre r menos 1 y si la razón es igual a 1 la suma de n términos 40 00:04:04,050 --> 00:04:11,210 consecutivos es igual a n por a su 1. La suma de y los infinitos términos de una progresión 41 00:04:11,210 --> 00:04:20,149 geométrica de razón r siempre que valor absoluto de r sea menor estricto que 1 es s igual a a su 1 42 00:04:20,149 --> 00:04:29,189 partido de 1 menos r. Conclusiones. A simple vista podemos pensar que las sucesiones en general y las 43 00:04:29,189 --> 00:04:34,970 progresiones en particular sólo consisten en una serie de números que no tienen ninguna aplicación 44 00:04:34,970 --> 00:04:41,649 práctica, pero lo cierto es que podemos encontrar muchas aplicaciones de ellas en la vida cotidiana. 45 00:04:42,410 --> 00:04:48,850 Por ejemplo, por el alquiler de una plaza de garaje se acuerda pagar 50 euros mensuales durante el 46 00:04:48,850 --> 00:04:56,230 primer año y cada año se aumenta el alquiler un euro al mes. ¿Cuánto habremos pagado al cabo de 47 00:04:56,230 --> 00:05:02,029 10 años? Nos están pidiendo calcular la suma de los 10 primeros términos de una progresión 48 00:05:02,029 --> 00:05:10,790 aritmética de diferencia 12. Otro ejemplo, piensa en una competición de tenis. Hay siempre un ganador 49 00:05:10,790 --> 00:05:16,589 que sale de la competición final en la que han participado los dos finalistas. Para llegar ahí 50 00:05:16,589 --> 00:05:21,310 se han celebrado unas semifinales en las que han participado cuatro jugadores. 51 00:05:22,149 --> 00:05:26,050 En la etapa anterior han competido ocho tenistas y así sucesivamente, 52 00:05:26,670 --> 00:05:31,490 ya que en cada etapa de la competición siempre se clasifican para la siguiente la mitad. 53 00:05:32,209 --> 00:05:37,129 Luego el número de participantes en cada etapa siempre será la mitad que en la etapa anterior, 54 00:05:37,589 --> 00:05:40,689 pues en cada partido se elimina uno de los jugadores. 55 00:05:41,310 --> 00:05:45,810 Es decir, tenemos una progresión geométrica de razón un medio. 56 00:05:46,589 --> 00:05:49,329 Fin. Muchas gracias.