1
00:00:02,500 --> 00:00:06,660
Hola, en este vídeo vamos a empezar a estudiar qué es el rango de una matriz.

2
00:00:07,200 --> 00:00:15,060
En matemáticas definimos el rango como el número de filas y columnas linealmente independientes que tiene una matriz.

3
00:00:16,039 --> 00:00:20,219
Vamos a recordar qué es esto de que dos filas o columnas sean linealmente independientes.

4
00:00:20,980 --> 00:00:25,339
Bueno, decimos que dos filas o columnas son linealmente independientes

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00:00:25,339 --> 00:00:31,000
si no hay forma de obtener una de ellas como combinación lineal de otras, ¿vale?

6
00:00:31,679 --> 00:00:37,640
Combinación lineal no es más que la suma de varios múltiplos del resto de filas y columnas, ¿vale?

7
00:00:37,679 --> 00:00:39,579
De múltiplos del resto de filas y columnas.

8
00:00:40,100 --> 00:00:42,899
Vais a entender esto muy bien con el siguiente ejemplo sencillo.

9
00:00:42,899 --> 00:00:47,859
Tenemos aquí una matriz A de dimensión 2x3, ¿de acuerdo?

10
00:00:47,899 --> 00:00:53,939
En la que si os fijáis, la fila 1 está formada por los elementos 1, 2, 3

11
00:00:53,939 --> 00:00:59,780
y la fila 2 está formada por sus dobles, daos cuenta, 2, 4 y 6.

12
00:01:00,280 --> 00:01:11,319
Como la fila 2 es el múltiplo de la fila 1, es decir, hemos obtenido los elementos de la fila 2 a partir de multiplicar los de la fila 1 por 2,

13
00:01:11,840 --> 00:01:16,879
se dice que la fila 2 es linealmente dependiente de la fila 1, ¿vale?

14
00:01:16,900 --> 00:01:22,180
Porque yo he podido obtener esta fila 2 como una combinación lineal de la fila 1.

15
00:01:22,180 --> 00:01:26,400
Quiere decir que yo tomé la fila 1, multipliqué por 2 y así obtuve la fila 2.

16
00:01:26,400 --> 00:01:31,879
¿Vale? Como esto sucede no podríamos afirmar que el rango de esta matriz fuera 2

17
00:01:31,879 --> 00:01:39,359
Bueno, algunos diréis que sucede, bueno, os dais cuenta también de que esta matriz tiene 3 columnas

18
00:01:39,359 --> 00:01:45,159
¿Vale? Pero, bueno, tenéis que saber que cuando hablamos de matrices rectangulares en general

19
00:01:45,159 --> 00:01:50,560
Que la que tenemos, pues, diferente dimensión para las filas y columnas

20
00:01:50,560 --> 00:01:52,900
El rango siempre es el menor de los números, ¿vale?

21
00:01:52,900 --> 00:02:01,180
En este caso, como la fila, esta matriz tiene dos filas y tres columnas, el rango podría ser como mucho dos, ¿vale?

22
00:02:01,219 --> 00:02:05,260
Porque el número de filas es dos, el número de columnas es tres, ¿de acuerdo?

23
00:02:06,459 --> 00:02:14,599
Entonces el rango solo puede ser como mucho el número más pequeño de líneas que tenemos, que es en este caso el número de filas.

24
00:02:14,599 --> 00:02:28,340
Pero, como acabamos de ver, que hay una fila que es combinación lineal de otra, porque la he obtenido a partir de los dobles de los elementos de la primera fila, el rango de esta matriz se dice que es 1.

25
00:02:28,819 --> 00:02:39,939
¿De acuerdo? Creo que os ha quedado claro. O sea, es número de filas o columnas, nosotros siempre vamos a trabajar con filas, que no se pueden obtener como combinación lineal de otras.

26
00:02:39,939 --> 00:02:47,830
eso se llama independencia lineal. Vamos a ver ahora qué relación tiene la matriz inversa con

27
00:02:47,830 --> 00:02:53,210
el rango de una matriz cuadrada. Ya sabéis porque lo hemos comentado con anterioridad que la matriz

28
00:02:53,210 --> 00:03:00,250
inversa de una matriz cuadrada no siempre existe y la condición para saber si existe o no es la

29
00:03:00,250 --> 00:03:06,810
relación del orden de la matriz con el rango de la misma. De esa forma podemos afirmar que una

30
00:03:06,810 --> 00:03:12,569
matriz cuadrada tiene matriz inversa, sí y sólo sí, el rango de dicha matriz cuadrada

31
00:03:12,569 --> 00:03:19,469
coincide con su orden. Es decir, si yo tengo una matriz cuadrada de orden 3 y el rango

32
00:03:19,469 --> 00:03:26,789
de esta matriz es 3, entonces puedo afirmar que sí existe la matriz inversa. Si por ejemplo

33
00:03:26,789 --> 00:03:32,849
el rango de esta matriz fuera 2 o fuera 1, no existe y no podré calcular por tanto su

34
00:03:32,849 --> 00:03:42,090
matriz inversa. Vamos ya a explicar cómo puedo calcular el rango de una matriz inversa con los

35
00:03:42,090 --> 00:03:46,330
métodos que conocemos en este tema, que no es otro que el método de Gauss, que ya lo hemos visto

36
00:03:46,330 --> 00:03:52,030
para el cálculo de la matriz inversa propiamente dicha y lo conocí desde el año pasado de la

37
00:03:52,030 --> 00:03:57,550
resolución de sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas. Para poder calcular el rango de una

38
00:03:57,550 --> 00:04:03,610
matriz lo que tenemos que hacer es mediante el método de gauss intentar triangular o escalar

39
00:04:03,610 --> 00:04:08,849
la matriz que a mí me dan y comprobar de esta manera una vez que lo tenga hecho cuántas filas

40
00:04:08,849 --> 00:04:15,930
y columnas obtengo que no tengan todos sus elementos nulos de acuerdo recordamos que

41
00:04:15,930 --> 00:04:21,029
triangular o escalar una matriz es hacerle operaciones elementales de las que ya os dejo

42
00:04:21,029 --> 00:04:26,670
por aquí escritas pero ya las conocemos hasta conseguir que la mayor parte de elementos

43
00:04:26,670 --> 00:04:35,689
empezando por la izquierda sean nulos, si la matriz es cuadrada lo que voy a intentar hacer es fijar la diagonal principal

44
00:04:35,689 --> 00:04:41,970
y hacer todos los elementos por debajo de la diagonal principal ceros, eso se llama triangular una matriz

45
00:04:41,970 --> 00:04:50,430
pero si por lo que fuera me dieran una matriz rectangular en el que no tuviéramos el mismo número de filas y columnas

46
00:04:50,430 --> 00:04:58,089
Bueno, pues también vamos fijando, o sea, siempre tenemos que procurar que cada fila tenga un 0 más que la fila anterior, ¿vale?

47
00:04:58,209 --> 00:05:07,189
La primera fila tendrá todos sus elementos no nulos, bueno, puede tener alguno nulo, pero la mayoría de elementos no serán nulos.

48
00:05:07,730 --> 00:05:16,149
La siguiente debe tener un 0 más, o sea, su primer elemento debe ser un 0, la segunda debe tener al menos dos elementos 0 y así sucesivamente, ¿vale?

49
00:05:16,149 --> 00:05:22,110
Creo que vais a entender esto muchísimo mejor, todo este proceso con dos ejemplos que vamos a hacer.

50
00:05:22,350 --> 00:05:27,910
Mirad, en este primer ejemplo nos piden determinar el rango de esta matriz, ¿vale?

51
00:05:27,930 --> 00:05:34,250
Tengo una matriz de orden 3, cuadrada de orden 3, en el que voy a intentar triangularla, ¿vale?

52
00:05:34,370 --> 00:05:40,910
Para lo cual voy a fijar los elementos de la diagonal principal, ¿vale?

53
00:05:40,910 --> 00:05:45,110
Y todos los elementos que quedan por debajo voy a intentar hacerlos cero, ¿de acuerdo?

54
00:05:45,110 --> 00:05:50,470
para lo cual voy a ir explicando operaciones elementales con el método de Gauss.

55
00:05:51,129 --> 00:05:54,629
Entonces, lo primero que voy a hacer es que me escribo aquí la matriz

56
00:05:54,629 --> 00:06:02,839
y voy a ir pensando qué operaciones elementales le hago.

57
00:06:03,839 --> 00:06:08,920
La primera operación elemental sería, por ejemplo, a la matriz 2 le sumo la fila 1

58
00:06:08,920 --> 00:06:11,819
y ya obtendría aquí un 0 en el elemento 2, 1.

59
00:06:12,560 --> 00:06:17,139
Y si a la fila 3 le resto el doble de la fila 1, también obtendría aquí un 0.

60
00:06:17,139 --> 00:06:26,980
Entonces haré fila 2 más fila 1 y fila 3 menos el doble de la fila 1

61
00:06:26,980 --> 00:06:31,079
Como a la fila 1 no le hago nada, la dejo como está

62
00:06:31,079 --> 00:06:36,579
Daos cuenta que este proceso de indicar qué transformaciones hago es igual que el de la matriz inversa

63
00:06:36,579 --> 00:06:44,360
Solo que ahora aquí no hago la matriz ampliada, no necesito escribir la línea vertical y la matriz identidad detrás

64
00:06:44,360 --> 00:06:50,959
O sea, simplemente es ir haciéndole las distintas transformaciones sobre la propia matriz sin escribir nada más.

65
00:06:51,519 --> 00:07:03,560
Bueno, como iba diciendo, voy a sumarle aquí a cada elemento del afilador, le sumo los de la fila 1, entonces tendría menos 1 más 1, 0, 3 más 4, 7, 2 más menos 1, 1.

66
00:07:04,139 --> 00:07:09,180
Y por aquí debajo voy a hacer a los elementos de la fila 3, les resto el doble de la fila 1.

67
00:07:09,180 --> 00:07:16,959
aquí tendría un 0, aquí tendré 2 menos 2 por 4 que sería 2 menos 8 que sería menos 6

68
00:07:16,959 --> 00:07:25,399
y aquí tendría 0 menos 2 por menos 1 que será 0 más 2 que será un 2

69
00:07:25,399 --> 00:07:35,220
bueno como no hay forma aquí de quitar menos 6 y 7 con múltiplos de ellas mismas

70
00:07:35,220 --> 00:07:44,399
lo que voy a hacer es multiplicar cada una de esas dos matrices por el inverso de 7 y de menos 6 respectivamente.

71
00:07:44,600 --> 00:07:55,500
Es decir, voy a multiplicar en este caso la fila 2 por un séptimo y por otro lado la fila 3 por menos un sexto.

72
00:07:56,060 --> 00:07:58,639
Como a la fila 1 no le hago nada, la dejo como está.

73
00:07:58,639 --> 00:08:06,920
entonces al multiplicar la fila 2 por un séptimo tendré como el elemento 2 2 un séptimo por 7 que

74
00:08:06,920 --> 00:08:15,839
será 1 y 1 por un séptimo que será un séptimo vale y por aquí abajo tendré 0 menos 6 por menos

75
00:08:15,839 --> 00:08:24,079
un sexto será 1 menos por menos más 6 por un sexto 1 y 2 por un sexto por menos un sexto voy

76
00:08:24,079 --> 00:08:34,320
hacerlo aquí aparte 2 por menos un sexto será menos dos sextos que sí

77
00:08:34,320 --> 00:08:38,399
simplificó la fracción me queda menos un tercio de acuerdo

78
00:08:38,399 --> 00:08:42,700
bueno y ahora en el momento que lo tenemos así ya es mucho más sencillo

79
00:08:42,700 --> 00:08:48,019
para hacer ceros en los elementos debajo de la diagonal principal de la fila 3

80
00:08:48,019 --> 00:08:53,320
pues ahora la fila 3 y simplemente el resto la fila 2 pues ya tengo el 0 que

81
00:08:53,320 --> 00:08:58,240
buscaba vale y con suerte que bueno va a ser que si no se me van una de aquí

82
00:08:58,240 --> 00:09:02,379
también este elemento como las filas 1 y la fila 2 no les hago nada las copio

83
00:09:02,379 --> 00:09:08,779
como están y a la fila 3 le restó entonces 0 0 0 1

84
00:09:08,779 --> 00:09:20,779
menos 10 y menos un saber perdón menos un tercio menos un séptimo sería lo

85
00:09:20,779 --> 00:09:30,799
mismo que menos 7 menos 3 en el numerador me quedan menos 10 21 y reducible entonces mirad

86
00:09:30,799 --> 00:09:36,860
ya habríamos acabado vale si os dais cuenta acabamos de triangular la matriz que yo tenía

87
00:09:36,860 --> 00:09:44,240
de acuerdo debajo de la diagonal principal todos los elementos son 0 como la fila 3 al finalizar

88
00:09:44,240 --> 00:09:49,840
este proceso me ha quedado con un elemento no nulo es decir hay una fila completa en la que

89
00:09:49,840 --> 00:09:55,299
no todos los elementos son 0 de aquí puedo concluir que el rango de esta

90
00:09:55,299 --> 00:10:00,100
matriz a es 3 porque una vez que triangulado con transformaciones

91
00:10:00,100 --> 00:10:04,779
elementales no me ha quedado ninguna fila en la que todos sus elementos sean

92
00:10:04,779 --> 00:10:12,340
nulos vamos a ver ahora otro ejemplo con otra matriz de acuerdo en el que

93
00:10:12,340 --> 00:10:15,779
bueno pues vamos a hacer el mismo proceso vale también es una matriz de

94
00:10:15,779 --> 00:10:21,659
orden 3 en el que, a ver donde tengo el puntero, vamos a comenzar haciendo el mismo proceso,

95
00:10:21,840 --> 00:10:28,899
simplemente copio la matriz que me dan, vale, y voy a hacer transformaciones elementales

96
00:10:28,899 --> 00:10:34,919
para ir haciendo ceros, vale, para poder triangularla. Primer paso, el mismo de siempre, o sea necesito

97
00:10:34,919 --> 00:10:41,799
una vez que tengo distinto de cero el elemento 1, 1, hacer ceros los elementos 2, 1 y 3,

98
00:10:41,799 --> 00:10:49,000
1 para lo cual a la fila 2 le voy a restar el perdón el doble de la fila 1 y

99
00:10:49,000 --> 00:10:55,039
a la fila 3 le voy a restar la fila 1 entonces como a la fila 1 no le hago

100
00:10:55,039 --> 00:11:00,960
nada la copio como está y aquí haría 2 menos 2 por 10

101
00:11:00,960 --> 00:11:06,179
3 a ver perdón menos 1 menos 2 por 3 sería

102
00:11:06,179 --> 00:11:18,879
menos 1, menos 6, que sería menos 7, ¿vale? Y por aquí tendríamos 5 menos 2 por menos 1, es decir, 5 más 2, que sería 7.

103
00:11:19,779 --> 00:11:30,860
Vamos ahora con la fila 3. Simplemente le resto la fila 1. 1 menos 1, 0. 10 menos 3, 7. Menos 8, menos menos 1, sería menos 8 más 1, menos 7.

104
00:11:30,860 --> 00:11:57,860
Bien, bueno, si alguno os dais cuenta y os acordáis de la definición inicial donde decía que el rango tiene que ver con las filas linealmente independientes de una matriz y os ha quedado claro el concepto de independencia o dependencia lineal, ya os estáis dando cuenta de que las filas 2 y la fila 3, pues por ejemplo la fila 3 la obtengo como la fila 2 multiplicada por menos 1.

105
00:11:57,860 --> 00:12:09,740
¿Vale? Esto significa que una es dependiente de la otra, ¿vale? Aquí una es combinación lineal de la otra, por tanto el rango se va a ver menguado con respecto al orden de la matriz.

106
00:12:10,120 --> 00:12:17,299
Si alguno llegado a este punto no lo ve, sigue haciendo pues el proceso de triangular la matriz.

107
00:12:17,840 --> 00:12:24,860
Lo único que tendríais que hacer es que, bueno, ya tenéis aquí fijados los ceros, me falta hacer cero este elemento 3, 2, ¿vale?

108
00:12:24,860 --> 00:12:38,720
Para lo cual, pues bueno, como tengo la suerte de que el elemento que está justo encima, pues bueno, es su opuesto, si a la fila 3 le sumo la fila 2, haré ahí un 0, ¿vale?

109
00:12:39,279 --> 00:12:52,639
A las filas 1 y 2 no les hago nada, las copio como están y a la fila 3 le sumo la fila 2, por tanto, 0 más 0 es 0, 7 más menos 7, 0 y menos 7 más 7, 0.

110
00:12:52,639 --> 00:13:00,009
ahora sí se ve clarísimo que me ha quedado una fila en la que todos sus

111
00:13:00,009 --> 00:13:04,450
elementos son nulos vale y sin embargo hay dos filas que son linealmente

112
00:13:04,450 --> 00:13:11,230
independientes por tanto concluimos que el rango de esta matriz de es el número

113
00:13:11,230 --> 00:13:16,230
de filas linealmente independientes que son dos