1 00:00:01,520 --> 00:00:10,800 Hola de nuevo, vamos a empezar ahora con la representación de funciones, que va a ser una continuación de los vídeos que habéis visto ya de primero de bachillerato. 2 00:00:11,439 --> 00:00:16,500 Vamos a recordar brevemente cuáles son los pasos a seguir para representar una función, ¿vale? 3 00:00:16,820 --> 00:00:23,420 Y lo primero es el dominio de definición, que ya lo hemos visto todo. Simplemente os dejo aquí un cuadro resumen, ¿vale? 4 00:00:23,839 --> 00:00:27,519 Tienes que tener en cuenta el tipo de función, es fundamental, ¿vale? 5 00:00:27,940 --> 00:00:35,939 Si va a ser una función racional, sabemos que el dominio van a ser toda la recta real menos los valores que hagan cero el denominador, 6 00:00:36,020 --> 00:00:39,259 que habrá que estudiar porque son posibles asíntotas verticales, ¿vale? 7 00:00:39,560 --> 00:00:48,990 Si tenemos una función con radicales, tenemos que tener en cuenta que si el índice de la raíz es par, ¿vale? 8 00:00:48,990 --> 00:00:55,310 ¿De acuerdo? Entonces el dominio será los valores donde el radicando sea mayor o igual que cero. 9 00:00:56,469 --> 00:01:04,329 Igualmente, para las funciones logarítmicas, recordemos que el dominio siempre va a ser donde lo que esté en el interior del logaritmo sea estrictamente mayor que cero, 10 00:01:04,810 --> 00:01:09,709 porque el logaritmo de cero es infinito, tiende a menos infinito por la derecha, ¿vale? 11 00:01:09,969 --> 00:01:12,870 Entonces aquí también tenemos una posible asíntota vertical. 12 00:01:12,870 --> 00:01:22,109 Os recuerdo también que la función tangente se hace infinito en todos los múltiplos impares de pi medios 13 00:01:22,109 --> 00:01:28,469 ¿Vale? Pues esto es lo que pone aquí, el dominio será toda la recta real menos los múltiplos impares de pi medios 14 00:01:28,469 --> 00:01:37,030 Y que en cambio el dominio va a ser toda la recta real en las polinomios, en seno, coseno y en las exponenciales 15 00:01:37,030 --> 00:01:41,870 ¿Vale? Simplemente un repaso para que lo tengamos en cuenta, que lo primero que hay que mirar es el dominio 16 00:01:41,870 --> 00:01:49,810 Por otro lado voy a hacer un breve repaso a las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas. 17 00:01:50,670 --> 00:01:57,849 Como ya sabemos, una función va a tener un asíntota horizontal, es el comportamiento en el infinito, 18 00:01:58,250 --> 00:02:02,629 cuando en el límite más o menos infinito de la función me da un número a. 19 00:02:03,370 --> 00:02:08,090 En ese caso, en esa situación, vamos a decir que x igual a a es asíntota horizontal. 20 00:02:08,810 --> 00:02:15,530 Ojo, recordad que hay que estudiar si hay asíntotas horizontales en el más infinito y en el menos infinito por separado, 21 00:02:15,909 --> 00:02:21,389 porque puede una función perfectamente tener dos asíntotas horizontales diferentes en cada extremo, 22 00:02:21,509 --> 00:02:25,930 o incluso por un lado sí y por otro no, o por un lado una oblicua y por otro una horizontal. 23 00:02:26,430 --> 00:02:30,669 Es decir, que no olvidéis estudiarlo siempre en el más y en el menos infinito. 24 00:02:30,990 --> 00:02:37,389 Las asíntotas verticales, os recuerdo que la ecuación de una asíntota vertical es de la forma x igual a b, 25 00:02:37,750 --> 00:02:42,169 Igual que la de la horizontal es igual a, porque en este caso es una recta vertical, 26 00:02:42,909 --> 00:02:49,689 donde ves un punto dando función en algún límite lateral, algún límite lateral, más o menos infinito. 27 00:02:49,810 --> 00:02:51,650 No hace falta que sea por los dos lados, ¿vale? 28 00:02:52,150 --> 00:02:58,030 Simplemente cualquier límite lateral que dé más o menos infinito va a dar lugar a una asíntota vertical, ¿vale? 29 00:02:58,030 --> 00:03:05,509 Yo recuerdo que para encuadrar la gráfica estudiaremos siempre los límites laterales, ¿vale? 30 00:03:07,389 --> 00:03:10,750 Y el valor de la función cuando se va acercando a sus asíntotas, ¿sí? 31 00:03:12,810 --> 00:03:16,530 Importante, ¿vale? Os recuerdo las asíntotas oblicuas. 32 00:03:16,530 --> 00:03:24,250 Las asíntotas oblicuas, la definición general es que es una recta de la forma igual a mnx más n, ¿vale? 33 00:03:24,830 --> 00:03:32,289 Y esto que significa realmente que cuando una función se acerca a su asíntota oblicua, 34 00:03:32,289 --> 00:03:42,599 la diferencia entre ellas, ¿vale? Sería justamente la longitud de este segmento, la diferencia entre ellas tiende a cero. 35 00:03:42,699 --> 00:03:49,360 Como veis, eso es lo que significa tener una asíntota, que la función se va aproximando cada vez más a su asíntota, ¿vale? 36 00:03:49,919 --> 00:03:58,039 Esto implica que el límite de la función menos la ecuación de su asíntota tiene que ser cero. 37 00:03:58,039 --> 00:04:08,080 Y de esta igualdad se derivan dos. Una, que el límite cuando x tiende a más o menos infinito de la función partido por x va a ser m. 38 00:04:08,580 --> 00:04:17,019 Eso simplemente resulta al dividirlo entre x. Y la segunda, que el límite de f de x menos mx tiene que ser n. 39 00:04:17,019 --> 00:04:34,230 Si estos dos límites existen y tienen un valor numérico, entonces la ecuación de la asíntota oblicua va a ser, como aquí viene expresado, igual a mx más n. 40 00:04:35,149 --> 00:04:45,129 Entonces, depende de qué tipo de función tenemos que utilizar la expresión general de una asíntota oblicua calculando estos dos límites. 41 00:04:45,129 --> 00:04:59,990 O podemos, como hemos visto en otros vídeos, si en nuestra función es una fracción algebraica, podemos dividir el numerador entre el denominador y el cociente va a ser mi asíntota oblicua. 42 00:05:00,490 --> 00:05:09,029 Y esto va a ser así siempre y cuando el grado del numerador sea uno mayor que el grado del denominador. 43 00:05:09,029 --> 00:05:19,970 ¿Vale? ¿Sí? Así que tenemos estas dos opciones. Primero, para que exista asíntota oblicua tiene que pasar ¿qué límite en más infinito o menos infinito de infinito? 44 00:05:20,569 --> 00:05:27,990 ¿Qué límite de la función partido por x de un valor y qué límite de la función menos ese valor menos x también de otro valor? 45 00:05:27,990 --> 00:05:30,569 al que vamos a llamar n, ¿vale? 46 00:05:31,009 --> 00:05:35,589 Y simplemente en el caso de que sea una fracción algebraica va a ser más rápido 47 00:05:35,589 --> 00:05:44,050 si calculamos la asíntota oblicua dividiendo con la división de caja el numerador entre el denominador, ¿vale? 48 00:05:45,110 --> 00:05:51,910 Bueno, por otro lado, todo este cálculo de asíntotas va a requerir del cálculo de muchos límites, ¿vale? 49 00:05:51,910 --> 00:06:01,029 Y entonces la diferencia respecto al año pasado es que ahora tenemos una nueva herramienta que son el cálculo de límites mediante la regla del hospital, ¿vale? 50 00:06:01,509 --> 00:06:08,310 Entonces esto nos permite realizar el estudio de funciones más complejas, diferentes a las del año pasado. 51 00:06:08,790 --> 00:06:16,790 Así que simplemente os dejo aquí un resumen de cuándo se puede aplicar la regla del hospital y cuáles son las estrategias, ¿vale? 52 00:06:17,569 --> 00:06:24,370 Recordemos que de forma directa solo se puede utilizar en el caso infinito partido por infinito y cero partido por cero, ¿vale? 53 00:06:25,550 --> 00:06:33,149 Y que los otros límites infinito menos infinito habrá que multiplicar y dividir entre el conjugado si tiene radicales o sumar fracciones. 54 00:06:33,490 --> 00:06:37,829 Y de ahí puede ser que nos quede un límite directo o que tengamos que aplicar la regla de la hospital, ¿vale? 55 00:06:38,389 --> 00:06:42,009 Si tenía una indeterminación del tipo 1 elevado a infinito, ¿vale? 56 00:06:42,009 --> 00:06:46,990 Lo más práctico suele ser aplicar la regla de los límites tipo número e 57 00:06:46,990 --> 00:06:51,550 Es cierto que también se pueden tomar neperianos, como en otras indeterminaciones 58 00:06:51,550 --> 00:06:55,889 Pero normalmente lo más rápido es aplicar la regla de los límites tipo número e 59 00:06:55,889 --> 00:07:01,209 Aunque es posible que al aplicarla a su vez en el exponente tengamos que aplicar de nuevo la regla del hospital 60 00:07:01,209 --> 00:07:04,829 Os recuerdo que si teníamos de cero por infinito 61 00:07:04,829 --> 00:07:09,990 Había que transformarla en un límite tipo cero partido por cero o infinito partido por ciento 62 00:07:09,990 --> 00:07:13,509 reordenando numerador y denominador, ¿vale? 63 00:07:13,910 --> 00:07:20,670 Os recuerdo que simplemente A por B lo puedo expresar como A partido por 1 partido por B 64 00:07:20,670 --> 00:07:29,310 y de esta forma podíamos reordenar el producto para que me quedara bien 0 partido por 0 o infinito partido por infinito. 65 00:07:29,689 --> 00:07:39,230 Y que cuando teníamos 0 elevado a 0 o infinito elevado a 0 tomábamos logaritmos y aplicábamos la regla del hospital, ¿vale? 66 00:07:39,230 --> 00:08:03,009 Bueno, os dejo también aquí un esquemita de todos los límites de la raíz, del logaritmo, de la exponencia, ¿vale? Para simplemente que lo tengáis resumido, ¿vale? Resumido todos estos conceptos sobre límites, cuánto se ha elevado a más infinito, cuánto se ha elevado a menos infinito, cómo depende de la base, lo mismo con el logaritmo, ¿vale? 67 00:08:03,009 --> 00:08:08,889 Simplemente para que tengáis un esquema que os facilite el cálculo de límites 68 00:08:08,889 --> 00:08:16,970 Y bueno, el siguiente punto a la hora de representar funciones sería calcular los puntos de corte con los ejes 69 00:08:16,970 --> 00:08:24,350 Que como sabéis, hay puntos de corte con el eje X y puntos de corte con el eje Y 70 00:08:24,350 --> 00:08:32,289 Entonces simplemente recordaros que donde la X se hacía 0 era donde cortaba el eje Y 71 00:08:32,289 --> 00:08:45,789 y donde la y se hacía era 0 era donde cortábamos al eje x, por lo tanto tendríamos que hacer f de 0 y tendríamos el corte con el eje y 72 00:08:45,789 --> 00:08:58,429 y resolver la ecuación f de x igual a 0 y entonces tendríamos calculados los puntos de corte con el eje x. 73 00:08:58,429 --> 00:09:06,669 Fundamental que lo hagamos siempre que representemos 74 00:09:06,669 --> 00:09:13,350 Y bueno, pues para recordar un poco la tabla para los máximos y mínimos relativos y puntos de inflexión 75 00:09:13,350 --> 00:09:15,730 Y puntualizar algunos aspectos, ¿vale? 76 00:09:16,149 --> 00:09:21,409 Bueno, como ya sabíais, para que una función sea creciente su derivada debe ser mayor que 0, ¿vale? 77 00:09:21,629 --> 00:09:26,289 Y si ocurría que la primera derivada era 0 y la segunda menor que 0 78 00:09:26,289 --> 00:09:33,230 significaba que esa función era convexa, como aquí, entonces teníamos un máximo relativo. 79 00:09:34,330 --> 00:09:38,649 Si teníamos la primera derivada igual a cero y la segunda mayor que cero, 80 00:09:39,289 --> 00:09:45,029 entonces teníamos un punto de extremo relativo donde la función es cóncava, 81 00:09:45,309 --> 00:09:47,590 por lo tanto teníamos un mínimo relativo. 82 00:09:48,610 --> 00:09:54,590 Recordemos que los puntos de inflexión son aquellos donde la función pasa de ser cóncava a convexa o viceversa, 83 00:09:54,590 --> 00:10:04,529 con lo cual son los puntos donde la recta tangente atraviesa a nuestra gráfica y para que localizar 84 00:10:04,529 --> 00:10:11,629 un punto de inflexión teníamos que ver que la primera derivada valía cero y simplemente que 85 00:10:11,629 --> 00:10:19,529 la tercera fuera distinta de cero, sea cóncava o sea convexa y que teníamos las tablas de 86 00:10:19,529 --> 00:10:25,850 crecimiento y las tablas de concavidad. Entonces os recuerdo que poníamos el dominio de la función 87 00:10:25,850 --> 00:10:31,909 normalmente de más infinito menos infinito pero en general el dominio de la función y que tendríamos 88 00:10:31,909 --> 00:10:38,769 que ir estudiando el signo de la derivada en función de f. ¿En qué valores diferenciábamos 89 00:10:38,769 --> 00:10:45,570 la recta real? Pues por un lado si teníamos alguna asíntota vertical por ejemplo habría que ponerlo 90 00:10:45,570 --> 00:10:50,509 diferenciarlo puesto que el crecimiento de una función puede variar por una asíntota vertical 91 00:10:50,509 --> 00:10:58,409 y por otro lado tendríamos que poner los puntos donde la derivada se haga cero. 92 00:11:00,330 --> 00:11:06,009 Y a partir de ahí pues iríamos viendo cómo va cambiando el signo de la derivada 93 00:11:06,009 --> 00:11:12,019 y deduciendo el crecimiento. 94 00:11:14,440 --> 00:11:18,740 Tenemos que tener siempre en cuenta si cuando ha cambiado de creciente a decreciente 95 00:11:18,740 --> 00:11:23,039 ha sido debido a un punto donde la derivada se hacía cero 96 00:11:23,039 --> 00:11:28,240 o un punto simplemente donde un trozo de función se enlaza con otro trozo de función 97 00:11:28,240 --> 00:11:34,259 o si es una asíntota vertical, porque en este caso, a pesar de que haya un cambio en el crecimiento, 98 00:11:34,860 --> 00:11:38,440 no va a ser un extremo relativo, no hay ni un máximo ni un mínimo relativo. 99 00:11:39,059 --> 00:11:41,120 Por eso es importante que lo distingamos. 100 00:11:41,120 --> 00:11:45,620 exactamente igual va a pasar cuando estudiemos la concavidad, ¿vale? 101 00:11:46,240 --> 00:11:48,539 Si estudiamos el signo de la segunda derivada 102 00:11:48,539 --> 00:11:52,600 pondremos, si el dominio es toda la recta real 103 00:11:52,600 --> 00:11:55,899 también si tenemos alguna asíntota vertical 104 00:11:55,899 --> 00:11:59,820 también puede cambiar la concavidad en una asíntota vertical 105 00:11:59,820 --> 00:12:04,639 y los puntos, que puede ser uno o ninguno o dos, ¿vale? 106 00:12:04,980 --> 00:12:07,720 donde la segunda derivada se haga cero, ¿vale? 107 00:12:07,720 --> 00:12:13,399 los puntos donde la segunda derivada se haga cero 108 00:12:13,399 --> 00:12:16,860 y lo mismo pues vamos estudiando como van cambiando 109 00:12:16,860 --> 00:12:21,399 el signo de la segunda derivada y deduciendo de ahí 110 00:12:21,399 --> 00:12:25,419 si mi función va a ser cóncava o convexa 111 00:12:25,419 --> 00:12:29,200 y ver que donde va a haber punto de inflexión 112 00:12:29,200 --> 00:12:32,019 pues en los puntos donde pase de ser cóncava a convexa 113 00:12:32,019 --> 00:12:35,700 pero que no tenga una asíntota vertical 114 00:12:35,700 --> 00:12:41,100 Bueno, esto solo es un repaso de todo lo que hemos estudiado previamente, ¿vale? 115 00:12:41,940 --> 00:12:51,279 Recordar un poco el concepto de simetría, que si nos la piden o simplemente porque puede ser interesante analizar para nosotros mismos, 116 00:12:51,379 --> 00:12:55,500 para estudiar la función, si nuestra gráfica presenta una simetría, ¿vale? 117 00:12:56,139 --> 00:13:02,919 Recordar que una función es simétrica cuando se verifica que f de menos x es igual a f de x, ¿vale? 118 00:13:02,919 --> 00:13:23,419 Va a ser una simetría respecto al eje y, como veis aquí, para cualquier valor x, esta va a ser una función simétrica, si yo tomo cualquier valor x, va a ser exactamente igual su imagen que el de menos x, van a tener la misma imagen, ¿vale? 119 00:13:24,100 --> 00:13:25,799 Entonces eso significa que es simetría. 120 00:13:25,960 --> 00:13:27,580 ¿Por qué me va a ayudar esto a hacer una gráfica? 121 00:13:27,919 --> 00:13:31,179 Porque si tiene un máximo relativo a la derecha, tiene que tener otro a la izquierda. 122 00:13:31,639 --> 00:13:35,519 Si tiene un asiento horizontal por la derecha u oblicua, lo mismo va a tener por la izquierda. 123 00:13:36,000 --> 00:13:41,379 Entonces si ya sé que es simétrica, me va a evitar tener que hacer el estudio en ambos extremos. 124 00:13:42,480 --> 00:13:48,779 También decíamos que una función era antisimétrica si f de menos x era menos f de x. 125 00:13:48,779 --> 00:13:55,320 lo que equivale a decir que es simétrica, pero respecto a un punto, respecto al origen de coordenadas. 126 00:13:55,720 --> 00:14:05,720 Si este valor es x, este es menos x, como vemos, tiene la misma imagen en valor absoluto, pero con diferentes signos. 127 00:14:06,419 --> 00:14:12,320 Lo mismo, esto también nos va a ayudar a poder estudiar de forma global una función, 128 00:14:12,600 --> 00:14:17,100 puesto que si tiene un máximo en un lado, sabemos que de forma simétrica va a tener un mínimo. 129 00:14:17,100 --> 00:14:24,139 ¿De acuerdo? Y entonces nos va a ayudar. Y bueno, y por último vamos a recordar lo que es una función periódica. 130 00:14:26,629 --> 00:14:39,330 Una función periódica es una función donde f de x es lo mismo que f de x más n por k o n por t, que se suele poner más frecuentemente el periodo, ¿vale? 131 00:14:39,330 --> 00:14:43,269 de periodo k. Vamos a cambiarlo porque como 132 00:14:43,269 --> 00:14:46,549 estáis acostumbrados a tener el periodo que llamamos t 133 00:14:46,549 --> 00:14:50,149 como en física, pues vamos a llamarle t 134 00:14:50,149 --> 00:14:55,230 periodo t. Vamos a cambiarlo 135 00:14:55,230 --> 00:15:02,269 y así no hay confusión. Por ejemplo, la función 136 00:15:02,269 --> 00:15:06,450 seno, coseno, tangente son funciones periódicas de periodo 137 00:15:06,450 --> 00:15:10,450 2pi, que serían radianes el equivalente a dar 138 00:15:10,450 --> 00:15:34,429 Una vuelta completa, por lo tanto, cada vez que pasamos 0, pi medios, pi, 3 pi medios, 2 pi, cada vez que damos una vuelta entera, la función se repite indefinidamente, ¿vale? 139 00:15:34,830 --> 00:15:43,070 Con lo cual, simplemente tenemos que estudiar la gráfica de la función en un periodo, puesto que el resto se va a repetir de forma indefinida, ¿vale? 140 00:15:43,070 --> 00:15:54,129 Y bueno, simplemente recordar que si dos funciones son inversas, eso significa que su composición es la identidad, ¿vale? 141 00:15:54,129 --> 00:16:01,309 Esta es la definición de funciones inversas, ¿sí? Y que solemos expresarlo como que g es igual a f a la menos uno, ¿vale? 142 00:16:02,090 --> 00:16:08,730 Significa que van a ser simétricas respecto a la recta igual a x, ¿vale? 143 00:16:08,730 --> 00:16:23,169 Entonces, por ejemplo, esta sería la función elevada a x y neperiano de x, que como sabéis son simétricas respecto a la recta igual a x y son funciones inversas. 144 00:16:23,169 --> 00:16:28,350 El neperiano de la exponencial es x y la exponencial del neperiano pues también es x. 145 00:16:28,950 --> 00:16:33,970 Lo mismo pasaría aquí con x al cuadrado y raíz de x, ¿vale? 146 00:16:34,370 --> 00:16:42,049 Aunque una estaría con un dominio desde cero más infinito y solamente se podría definir la inversa en ese dominio, ¿vale? 147 00:16:42,409 --> 00:16:44,789 Entonces, como veis, también son simétricas. 148 00:16:45,450 --> 00:16:47,370 ¿Y qué tema se verifica esta propiedad? 149 00:16:47,370 --> 00:16:56,210 Que el dominio de una resulta ser la imagen de su inversa y al revés, el dominio de la inversa es la imagen de la otra. 150 00:16:57,289 --> 00:17:02,049 Simplemente son aspectos que nos pueden ser útiles a la hora de representar funciones. 151 00:17:04,559 --> 00:17:11,940 Recordad también, aunque ya lo hemos repasado este curso, como se calcula o se estudia una función valor absoluto, 152 00:17:11,940 --> 00:17:19,859 Recuerdo que tenemos que separarla en distintos intervalos para que no aparezca el signo del valor absoluto, 153 00:17:20,000 --> 00:17:26,339 teniendo en cuenta que el valor absoluto de una función va a ser la misma función donde la función sea positiva o cero 154 00:17:26,339 --> 00:17:31,220 y la función cambiada de signo donde la función se haga negativa o cero. 155 00:17:31,900 --> 00:17:41,799 Como ya lo hemos visto bastantes veces, porque realmente el valor absoluto implica que toda la parte negativa de la función se va a convertir en positiva. 156 00:17:42,920 --> 00:17:51,519 Simplemente recordaros, porque va a ser muy útil, que os apoyéis en esta parte del temario, en el programa GeoGebra, para la presentación de funciones. 157 00:17:53,579 --> 00:18:00,099 ¿Cómo se introducían funciones valor absoluto en el ordenador? 158 00:18:00,900 --> 00:18:06,700 Simplemente si ponemos apps absoluto, ya podemos poner valor absoluto de lo que queramos, lo podemos teclear, 159 00:18:06,700 --> 00:18:15,359 pero también en el teclado que aparece en el GeoGebra clásico podéis localizar en este botón el símbolo de valor absoluto 160 00:18:15,359 --> 00:18:18,700 y así podemos introducir función valor absoluto, ¿vale? 161 00:18:18,720 --> 00:18:25,160 Como veis aquí, por ejemplo, valor absoluto de x cuadrado menos uno y ya me va a aparecer la gráfica de la función. 162 00:18:25,920 --> 00:18:31,579 ¿Qué este tipo de funciones que va a tener? Pues frecuentemente lo que tiene son puntos no derivables, ¿vale? 163 00:18:31,579 --> 00:18:33,839 Esos picos que decíamos, ¿sí? 164 00:18:33,839 --> 00:18:40,700 Y por otro lado, voy a repasar cómo se introduce una función definida a trozos en el programa GeoGebra. 165 00:18:41,140 --> 00:18:46,680 Empezamos a teclear en la barra detallada la palabra función y nos va a aparecer esta opción 166 00:18:46,680 --> 00:18:51,799 que es función, valor inicial y valor final, ¿vale? 167 00:18:52,440 --> 00:18:54,160 Porque como solo es una variable nos vale. 168 00:18:54,319 --> 00:19:00,460 Por ejemplo, aquí pongo la función x cuadrado más x desde el menos 10 hasta el 1, ¿vale? 169 00:19:00,460 --> 00:19:08,480 Entonces yo cada trozo, como veis aquí en la gráfica, me va a salir hasta el 1, que es donde yo quería acabar mi función. 170 00:19:09,220 --> 00:19:23,980 Y a continuación puedo introducir otro trozo, en este caso g de x, lo vamos a hacer x más 1 entre el 1 y el 2, o 7 menos x cuadrado entre el 2 y el 10. 171 00:19:23,980 --> 00:19:38,960 Y como veis así ya puedo conseguir tener mi función definida a trozos que me va a permitir visualizar si eso no es continuo, si eso no es derivable y poder comprobar si todo el estudio que he hecho yo es correcto.