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00:00:12,400 --> 00:00:17,780
Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES

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00:00:17,780 --> 00:00:22,399
Arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares, y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases

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00:00:22,399 --> 00:00:34,520
de la unidad AR1 dedicada a los números reales. En la videoclase de hoy estudiaremos las aproximaciones

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00:00:34,520 --> 00:00:50,750
de números y sus errores. En esta videoclase vamos a iniciar el estudio de las aproximaciones

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00:00:50,750 --> 00:00:56,770
y sus errores, hablando de las aproximaciones. Vamos a considerar que tenemos un cierto número

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00:00:56,770 --> 00:01:04,150
real al que vamos a llamar el número exacto y lo que queremos es no utilizar

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00:01:04,150 --> 00:01:09,189
ese número exacto sin utilizar lo que sea una aproximación suya un número que

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00:01:09,189 --> 00:01:14,150
no sea él pero que sea suficientemente próximo a él aquí vemos difiere poco con

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00:01:14,150 --> 00:01:19,569
comillas y esas comillas indican que eso del difiere poco es una forma de hablar

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00:01:19,569 --> 00:01:24,370
no es un término matemático riguroso que difiera poco quiere decir que sea

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00:01:24,370 --> 00:01:28,530
suficientemente próximo, suficientemente, dependiendo de cuál sea

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00:01:28,530 --> 00:01:32,510
el contexto en el que nos encontremos. Y hablaré de esto, del difere poco y del

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00:01:32,510 --> 00:01:35,709
contexto, cuando en la siguiente videoclase hable de los errores.

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00:01:36,670 --> 00:01:40,250
En el caso en el que el número aproximado, insisto, un número

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00:01:40,250 --> 00:01:44,569
suficientemente próximo a este valor exacto

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00:01:44,569 --> 00:01:48,790
pero que no sea él. Siempre que la aproximación sea mayor que el valor exacto

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00:01:48,790 --> 00:01:52,510
diremos que tenemos una aproximación por exceso. Tenemos un valor mayor,

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00:01:52,510 --> 00:01:58,530
nos hemos excedido del valor que teníamos, mientras que si es menor diremos que tenemos

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00:01:58,530 --> 00:02:04,090
una aproximación por defecto, no hemos llegado, nos hemos quedado cortos, no hemos llegado al

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00:02:04,090 --> 00:02:10,490
valor exacto, por así decirlo. Dentro de las aproximaciones hay dos que son ampliamente

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00:02:10,490 --> 00:02:15,349
utilizadas, la aproximación por truncamiento y la aproximación por redondeo. Siempre que tengamos

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00:02:15,349 --> 00:02:22,770
un número real con una expresión decimal y queramos aproximar a un número entero. Se llama

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00:02:22,770 --> 00:02:27,009
aproximación por truncamiento aquella que se obtiene cuando directamente cortamos la parte

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00:02:27,009 --> 00:02:32,949
decimal y nos estaremos quedando entonces con el número entero más próximo a él y que sea menor

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00:02:32,949 --> 00:02:38,349
que él. Aquí x va a ser un número real que no va a ser un número entero, puesto que si lo fuera no

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00:02:38,349 --> 00:02:45,050
hablaríamos de aproximación. La forma de representar la aproximación por truncamiento es de esta manera.

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00:02:45,050 --> 00:02:50,469
Esto no es un corchete. La parte de arriba que cerraría el corchete falta.

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00:02:50,810 --> 00:02:56,169
Y esto es una línea vertical y una cortita línea horizontal por la izquierda y aquí por la derecha.

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00:02:56,610 --> 00:02:59,250
A esto se le llama también suelo, aproximación suelo.

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00:03:00,370 --> 00:03:04,270
La aproximación por redondeo es parecida a la aproximación por truncamiento.

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00:03:04,370 --> 00:03:09,930
Aquí lo que hacemos no es directamente cortar la parte decimal quedándonos con el entero más próximo por debajo,

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00:03:10,490 --> 00:03:14,550
sino que buscamos cuál es el entero más próximo ya sea por arriba o por abajo.

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00:03:15,050 --> 00:03:18,830
Así que aproximación por redondeo es el número más próximo a él.

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00:03:19,330 --> 00:03:22,789
Y una forma de representarlo es de esta manera, y esta vez sí, con corchetes.

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00:03:23,849 --> 00:03:29,990
Hay aquí una llamada porque en el caso en el que estemos buscando la aproximación por redondeo

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00:03:29,990 --> 00:03:36,389
de un número que esté justo entre dos números enteros, por ejemplo, 0,5,

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00:03:37,030 --> 00:03:41,469
está exactamente a la misma distancia del 0 por debajo o el 1 por arriba.

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00:03:42,110 --> 00:03:44,370
Por truncamiento, no hay más problema, 0.

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00:03:44,590 --> 00:03:47,909
Pero cuando estamos aproximando por redondeo, ¿qué tomamos?

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00:03:48,030 --> 00:03:49,509
¿El número 0 o el número 1?

41
00:03:50,150 --> 00:03:51,550
Existen distintos criterios.

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00:03:52,430 --> 00:03:55,189
Por ejemplo, el número par más próximo.

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00:03:55,949 --> 00:04:03,389
O en el caso de las matemáticas, habitualmente, cuando se enseña este concepto en primaria,

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00:04:04,069 --> 00:04:07,449
lo que hacemos es pensar en qué es lo que pasa con ese decimal.

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00:04:08,430 --> 00:04:13,009
Si ese decimal es 0, 1, 2, 3, 4, aproximaremos hacia abajo.

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00:04:13,509 --> 00:04:17,430
Si es 5, 6, 7, 8, 9, redondearemos hacia arriba.

47
00:04:17,430 --> 00:04:24,670
Así que en ese caso, en ese contexto, esos valores que están justo en el centro se van a redondear hacia abajo.

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00:04:25,990 --> 00:04:33,470
Teniendo en cuenta esto que acabo de mencionar, ya podríamos, utilizando la calculadora, buscar aproximaciones de estos números.

49
00:04:33,569 --> 00:04:36,290
Y en este caso se nos pide redondeando a la centésima.

50
00:04:36,290 --> 00:04:42,829
Esto quiere decir que lo que tenemos que hacer no es una aproximación por truncamiento ni por redondeo a un número entero,

51
00:04:43,110 --> 00:04:49,170
sino que tenemos que hacer una aproximación, vamos a hacerla por redondeo, a la centésima.

52
00:04:49,649 --> 00:04:55,430
Nosotros queremos quedarnos con las cifras en la parte entera, la cifra de las centésimas,

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00:04:55,490 --> 00:04:58,689
y a partir de ahí queremos eliminar el resto de cifras decimales.

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00:04:59,730 --> 00:05:02,810
Vamos a definir los errores absoluto y relativo.

55
00:05:03,649 --> 00:05:09,930
Dados un número, vamos a llamarlo exacto x, y una aproximación suya,

56
00:05:10,629 --> 00:05:16,509
se define el error absoluto como la distancia que separa el valor real y el valor aproximado,

57
00:05:16,589 --> 00:05:19,110
el valor absoluto, de la diferencia entre ambos.

58
00:05:20,790 --> 00:05:25,170
Algo que tenemos que tener en cuenta es que habitualmente,

59
00:05:25,329 --> 00:05:29,629
cuando estamos hablando de errores absoluto y relativo, estamos hablando de magnitudes,

60
00:05:29,629 --> 00:05:34,889
valores numéricos con unidades estamos hablando por ejemplo de una distancia en metros de un

61
00:05:34,889 --> 00:05:42,329
tiempo en segundos de un cierto ingreso en euros y en ese caso es importante tener en mente que el

62
00:05:42,329 --> 00:05:47,970
error absoluto va a tener las mismas unidades que la magnitud con la que estamos trabajando y que

63
00:05:47,970 --> 00:05:52,810
por supuesto para poder hacer esta diferencia tenemos que tener las magnitudes que expresan

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00:05:52,810 --> 00:06:00,750
el valor real y el valor aproximado en las mismas unidades. No podemos hacer la resta de 3 megaeuros,

65
00:06:00,870 --> 00:06:05,870
pensando en millones de euros, y 2 kiloeuros, pensando en 2.000 euros. O bien todo en euros,

66
00:06:05,990 --> 00:06:09,990
todo en millones de euros, todo en miles de euros, como corresponda. Y el error absoluto, por supuesto,

67
00:06:09,990 --> 00:06:18,550
expresado en esas mismas unidades. En cuanto al error relativo, es el cociente entre el error

68
00:06:18,550 --> 00:06:23,430
absoluto y el valor absoluto del valor real, puesto que necesitamos que el error absoluto y el error

69
00:06:23,430 --> 00:06:28,970
relativo, ambos, sean magnitudes definidas no negativas. En el caso en el que la aproximación

70
00:06:28,970 --> 00:06:34,370
y el valor real fueran idénticos, tendríamos errores nulos. Esto, en el contexto de las

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00:06:34,370 --> 00:06:40,829
matemáticas, no tiene demasiado sentido. Si esto estuviera en el contexto de las ciencias en general,

72
00:06:41,389 --> 00:06:46,829
físicas, químicas, económicas, etcétera, sería distinto. Pero en el contexto de las matemáticas

73
00:06:46,829 --> 00:06:48,810
no va a ser habitual que tengamos esto.

74
00:06:49,509 --> 00:06:53,769
Como decía, el error absoluto y el error relativo tienen que ser magnitudes no negativas

75
00:06:53,769 --> 00:06:57,069
y entonces se definen con estas barras de valor absoluto.

76
00:06:57,129 --> 00:07:00,949
Aquí vamos a tener una aplicación del valor absoluto.

77
00:07:01,269 --> 00:07:07,029
En el caso del error relativo, el hecho de dividir entre el valor de la misma magnitud

78
00:07:07,029 --> 00:07:10,850
hace que el error relativo, con independencia de que sea una u otra magnitud,

79
00:07:10,850 --> 00:07:12,970
no tiene unidades, es adimensional,

80
00:07:12,970 --> 00:07:29,370
Lo cual hace que se utilice más que el error absoluto. Y sobre todo el error relativo, o bien más que el error relativo en sí, la magnitud del error relativo nos va a permitir decidir si la aproximación es suficientemente buena.

81
00:07:29,370 --> 00:07:42,750
Vuelvo atrás. Cuando hablé de una aproximación suya, dije que la aproximación debe diferir poco de x. ¿Qué quiere decir que la diferencia sea pequeña? Vuelvo adelante.

82
00:07:42,750 --> 00:08:01,509
Quiere decir que este error relativo sea suficientemente pequeño. Cuando hablamos de esto, habitualmente utilizamos un error relativo. Quiero una aproximación de este valor real con un error relativo menor de 10 a la menos 6, 10 a la menos 5, lo que quiera que sea.

83
00:08:02,509 --> 00:08:08,610
Fijaos que el error absoluto no siempre indica lo mismo y me explico.

84
00:08:09,209 --> 00:08:18,230
Si yo quiero medir la longitud de mi escritorio o bien de la mesa que tenemos en el instituto,

85
00:08:18,350 --> 00:08:21,930
da igual que sea la del profesor o que sea la vuestra, la de los estudiantes,

86
00:08:22,790 --> 00:08:28,850
podemos utilizar una regla que esté expresando las distancias en centímetros

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00:08:28,850 --> 00:08:37,570
y una distancia de 60 centímetros con un error absoluto de un centímetro,

88
00:08:37,570 --> 00:08:42,190
porque me haya ido a la hora de medir una unidad por arriba o por abajo,

89
00:08:42,610 --> 00:08:49,309
quiere decir que tengo un error relativo si divido 1 entre 60 menor que 10 elevado a la menos 2,

90
00:08:49,549 --> 00:08:52,090
lo cual en un momento dado puede ser suficientemente bueno.

91
00:08:52,610 --> 00:08:58,250
Mientras que si mi regla estuviera expresada en decímetros en lugar de en centímetros,

92
00:08:58,850 --> 00:09:11,110
En ese caso, el error absoluto de un decímetro en una distancia de, pongamos, 6 decímetros, me daría un error relativo del orden de 10 a la menos 1.

93
00:09:11,529 --> 00:09:15,830
Igual eso ya no me viene tan bien como el 10 a la menos 2 cuando estaba midiendo centímetros.

94
00:09:15,990 --> 00:09:23,409
Un error de un centímetro en 60 es menos importante que un error de un decímetro en 6.

95
00:09:23,409 --> 00:09:27,909
A eso me refiero con, vuelvo atrás una vez más, difiere poco.

96
00:09:28,850 --> 00:09:33,289
dependiendo del orden magnitud del error relativo que esté o que pueda estar cometiendo,

97
00:09:33,690 --> 00:09:37,950
puedo considerar que estoy tranquilo porque las diferencias van a ser suficientemente pequeñas o no.

98
00:09:40,750 --> 00:09:44,450
Cuando he hablado del error relativo, con esta definición,

99
00:09:45,309 --> 00:09:47,309
lo que estamos haciendo es expresarlo en tanto por uno.

100
00:09:48,269 --> 00:09:53,990
Desde el punto de vista coloquial, los errores relativos se suelen expresar en porcentaje.

101
00:09:54,090 --> 00:09:58,029
A la población común, hablar de un porcentaje le es algo familiar,

102
00:09:58,029 --> 00:10:01,190
mientras que los errores en tanto por uno no lo son tanto.

103
00:10:01,690 --> 00:10:07,970
Cuando he dicho un error del orden de 10 a la menos 1 o un error del orden de 10 a la menos 2,

104
00:10:08,830 --> 00:10:12,809
a lo mejor os habéis quedado fríos, porque ese 10 a la menos 1 o 10 a la menos 2,

105
00:10:14,350 --> 00:10:18,509
así sobre todo expresado en esa forma de magnitud, no os es familiar.

106
00:10:19,210 --> 00:10:24,889
Si en lugar de 10 a la menos 1 digo 0,1 y en lugar de 10 a la menos 2 digo 0,01,

107
00:10:24,889 --> 00:10:30,610
Bueno, es más fácil ver que 0,01 es más pequeño que 0,1, luego la aproximación es mejor.

108
00:10:31,450 --> 00:10:38,929
Pero si lo expreso como un porcentaje, y digo un 10% y digo un 1%, me golpe las cosas son distintas.

109
00:10:39,049 --> 00:10:46,929
Es muy probable que ahora mismo, tal y como lo he dicho, 1% no os parezca demasiado, os parezca adecuado un error del 1%,

110
00:10:46,929 --> 00:10:51,509
pero un error del 10% os parezca mucho, porque 10% suena como muy grande,

111
00:10:51,509 --> 00:10:55,730
Y 1%, bueno, suena como una cantidad más o menos adecuada.

112
00:10:57,269 --> 00:11:03,509
Por eso, habitualmente, cuando se nos habla de aplicaciones, se suelen utilizar porcentajes.

113
00:11:04,330 --> 00:11:09,750
Aunque, insisto, en la definición de error relativo, habitualmente nosotros trabajaremos con tanto por uno.

114
00:11:09,830 --> 00:11:15,990
Y únicamente a la hora de visualizar mejor, expresaremos como porcentaje, ya sabéis, multiplicando por 100.

115
00:11:16,870 --> 00:11:22,789
Con esto que he mencionado, ya podemos resolver estos ejercicios que resolveremos en clase,

116
00:11:23,269 --> 00:11:25,490
probablemente resolveremos en alguna videoclase posterior.

117
00:11:28,340 --> 00:11:33,879
En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios.

118
00:11:34,639 --> 00:11:38,740
Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web.

119
00:11:39,100 --> 00:11:44,320
No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual.

120
00:11:44,860 --> 00:11:46,259
Un saludo y hasta pronto.