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00:00:12,400 --> 00:00:18,120
Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES

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00:00:18,120 --> 00:00:22,839
Arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases

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00:00:22,839 --> 00:00:34,500
de la unidad AL1 dedicada a las matrices. En la videoclase de hoy estudiaremos la definición

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00:00:34,500 --> 00:00:38,159
del rango de una matriz y su cálculo mediante el método de Gauss.

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00:00:39,320 --> 00:00:53,270
En esta videoclase vamos a estudiar el rango de una matriz. En la definición comenzamos

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00:00:53,270 --> 00:00:57,649
viendo qué es el rango por filas o bien el rango por columnas de una matriz.

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00:00:58,130 --> 00:01:04,170
Y como vemos aquí, se corresponde con el máximo número de vectores fila, en el caso del rango por filas,

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00:01:04,510 --> 00:01:10,349
o bien de vectores columna, en el caso del rango por columnas, que son linealmente independientes.

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00:01:10,769 --> 00:01:16,030
Esto de la independencia o la dependencia lineal lo vamos a ver un poco más adelante con un ejemplo.

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00:01:17,590 --> 00:01:22,890
Nosotros hemos definido por separado el rango por filas o por columnas como el máximo número de filas o columnas

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00:01:22,890 --> 00:01:27,790
que son linealmente independientes. Hay un teorema que me garantiza que el rango por filas y el rango

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00:01:27,790 --> 00:01:32,769
por columnas de una matriz van a ser ambos coincidentes, de tal forma que en general no

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00:01:32,769 --> 00:01:37,030
hablaremos del rango por filas o por columnas distinguiéndolos, sino que hablaremos sencillamente

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00:01:37,030 --> 00:01:43,069
del rango de una matriz. Y lo vamos a representar así, como veis, Rg de A, rango de A. Y va a ser

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00:01:43,069 --> 00:01:48,450
el máximo número de filas o columnas linealmente independientes. Tanto si argumentamos por filas

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00:01:48,450 --> 00:01:52,870
como os argumentamos por columnas, como veremos más adelante, llegaremos al mismo resultado.

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00:01:53,409 --> 00:01:59,790
Ambos rangos, por filas o por columnas, son iguales. Antes de discutir esto de la independencia

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00:01:59,790 --> 00:02:04,530
lineal, vamos a ver cuáles son las propiedades que le corresponden al rango de una matriz.

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00:02:05,329 --> 00:02:10,650
En primer lugar, el rango de una matriz va a ser menor o igual que el mínimo entre el

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00:02:10,650 --> 00:02:15,870
número de filas y de columnas. Tiene todo el sentido del mundo. Si el rango por filas

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00:02:15,870 --> 00:02:22,330
es el máximo número de filas o columnas linealmente independientes, nunca va a poder ser mayor que el

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00:02:22,330 --> 00:02:28,030
número de filas o de columnas. Puesto que el rango de filas y el rango por columnas coincide, nunca va

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00:02:28,030 --> 00:02:34,550
a poder ser mayor que el menor de ellos. Si tengo una matriz, por ejemplo, 2 por 3, el máximo número

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00:02:34,550 --> 00:02:39,370
de filas linealmente independientes va a ser 2, puesto que como mucho tengo dos filas. El máximo

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00:02:39,370 --> 00:02:44,469
número de columnas linealmente independientes va a ser 3, puesto que tengo tres columnas. Pero como

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00:02:44,469 --> 00:02:49,870
el rango por filas y por columnas coincide, si tengo como mucho dos filas independientes,

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00:02:50,030 --> 00:02:54,349
no puedo tener tres columnas independientes, puesto que como mucho el rango va a ser dos,

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00:02:54,430 --> 00:02:58,270
lo que comentaba. Va a ser menor o igual que el mínimo entre el número de filas y de

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00:02:58,270 --> 00:03:03,990
columnas. Por otro lado, el rango de una matriz va a ser un número no negativo, mayor o igual

30
00:03:03,990 --> 00:03:09,090
que cero. Y el rango de una matriz va a ser cero, única y exclusivamente si todos sus

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00:03:09,090 --> 00:03:13,849
elementos son nulos. Esto es, si la matriz A, la matriz que yo estoy estudiando, es la

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00:03:13,849 --> 00:03:19,909
matriz nula de las dimensiones adecuadas. El rango de una matriz va a coincidir con el rango

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00:03:19,909 --> 00:03:25,110
de su matriz traspuesta y aquí hay otras tres propiedades que van a ser importantes con las

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00:03:25,110 --> 00:03:29,590
cuales vamos a poder diseñar un algoritmo para determinar el rango de matrices, con lo que

35
00:03:29,590 --> 00:03:35,550
veremos dentro de un momento es el método de Gauss. Vemos que al intercambiar dos filas o

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00:03:35,550 --> 00:03:40,590
columnas en una matriz su rango no varía, esto es, el rango no depende del orden de las filas o de

37
00:03:40,590 --> 00:03:47,490
las columnas. Vamos a ver cuáles son independientes y el orden no afecta. Si una matriz tiene toda

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00:03:47,490 --> 00:03:54,770
una fila o columna de ceros, entonces esa fila se puede eliminar y el rango no varía porque una fila

39
00:03:54,770 --> 00:03:59,650
o una columna de ceros no computa para el rango. Lo que comentaba antes, fijaos, el rango de una

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00:03:59,650 --> 00:04:06,090
matriz sólo es cero si todos sus elementos son nulos, ninguna de las filas computa. Si una fila

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00:04:06,090 --> 00:04:11,789
columna es igual a otra se puede eliminar no computa para el rango y eso es porque si tengo

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00:04:11,789 --> 00:04:17,329
dos filas iguales en el fondo no tengo dos informaciones distintas pensando en que cada

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00:04:17,329 --> 00:04:22,810
fila aporta información dos filas iguales es una única información la de una de las dos filas puedo

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00:04:22,810 --> 00:04:28,730
eliminar una de ellas así que el rango varía sin que la información que contenga varía si tengo

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00:04:28,730 --> 00:04:36,050
una fila o columna que sea proporcional a otra también se puede eliminar. Nuevamente, si tengo

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00:04:36,050 --> 00:04:42,029
una fila y otra que sea, por ejemplo, su doble, no tengo dos informaciones, puesto que la información

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00:04:42,029 --> 00:04:46,750
de la segunda fila es el doble de la primera, es implícita en la primera. Una de las dos filas se

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00:04:46,750 --> 00:04:53,189
podría eliminar y el rango no varía. O bien, como podemos ver aquí, para finalizar con esta propiedad,

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00:04:53,189 --> 00:04:57,370
si una fila o columna es igual a una combinación lineal de las otras.

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00:04:57,970 --> 00:05:01,310
Esa fila también se puede eliminar si el rango varía.

51
00:05:01,810 --> 00:05:06,250
Imaginémonos que tengo tres filas y resulta que la tercera es la suma de las dos primeras.

52
00:05:06,810 --> 00:05:11,170
Bueno, pues la información que contiene no es independiente, no aporta una información nueva.

53
00:05:11,569 --> 00:05:14,389
Se podría calcular sumando la fila 1 y la fila 2.

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00:05:14,689 --> 00:05:19,129
Aquí estoy intentando introducir a qué me refiero con dependencia o independencia lineal,

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00:05:19,129 --> 00:05:23,569
relacionándolo con la información contenida, ya sea por filas o ya sea por columnas.

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00:05:25,149 --> 00:05:28,329
Vamos a ver esto con un poco más de detalle con un ejemplo,

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00:05:28,529 --> 00:05:31,470
pero antes dejadme que veamos esta última de las propiedades.

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00:05:32,029 --> 00:05:36,069
Si sustituimos una fila o columna de una matriz por una combinación lineal de esta,

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00:05:36,490 --> 00:05:41,529
con coeficiente no nulo, esto es sin multiplicarla por cero, y otras, el rango no varía.

60
00:05:41,670 --> 00:05:45,649
Si una de las filas o columnas la sustituyo por ella misma,

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00:05:45,649 --> 00:05:53,810
sumando una combinación de otras, dos veces la fila 1, más tres veces la fila 2, menos cuatro veces la fila 3, lo que quiera que sea,

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00:05:54,449 --> 00:05:58,129
todo eso que le estoy añadiendo a esa fila no modifica el rango.

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00:05:58,569 --> 00:06:01,949
Todo eso no modifica la información que contiene, es una información dependiente.

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00:06:02,410 --> 00:06:06,389
Así pues, ese tipo de operaciones no modifica el rango.

65
00:06:06,389 --> 00:06:13,829
Esto, como veremos un poquito más adelante, estas propiedades me van a permitir determinar el rango de matrices utilizando el método de Gauss.

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00:06:14,350 --> 00:06:18,689
Antes de adelantarme, vamos a ver un pequeño ejemplo.

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00:06:19,829 --> 00:06:24,889
Supongamos que, como vemos aquí en estos ejemplos, se nos pide que determinemos el rango de estas matrices.

68
00:06:25,149 --> 00:06:30,670
Estos ejercicios los resolveremos en clase y también serán resueltos en alguna clase posterior.

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00:06:30,670 --> 00:06:34,230
Pero fijaos durante un momento en esta matriz B.

70
00:06:35,110 --> 00:06:41,689
Puesto que no todos sus elementos son nulos, el rango de esta matriz B va a ser distinto de cero.

71
00:06:41,689 --> 00:06:49,569
Va a ser 1, 2, 3, 4, etcétera, pero no va a ser 0. Únicamente si fuera la matriz completa de ceros, el rango sería 0.

72
00:06:50,389 --> 00:06:55,110
Esta matriz B tiene 4 filas y podemos contar que tiene 5 columnas.

73
00:06:55,430 --> 00:07:05,750
El rango de la matriz B va a ser 1, 2, 3 o 4, puesto que el menor entre el número de filas, que es 4, y el número de columnas, que es 5, es 4, el número de filas.

74
00:07:05,750 --> 00:07:17,430
Así pues, esta matriz B tendrá como mucho cuatro filas o cuatro columnas que van a ser linealmente independientes. Vamos a pensar por filas, que tal vez sea más sencillo en este momento.

75
00:07:18,110 --> 00:07:34,889
La primera fila no es toda de ceros, así que aporta información y es relevante para el rango. El rango de la matriz B es al menos 1 porque esta primera fila, 1, 0, menos 1, 2, 3, por ejemplo, voy a argumentar con esta primera fila, no es toda de ceros.

76
00:07:34,889 --> 00:07:44,689
Esta fila contiene una cierta información. Dependiendo de cómo esté codificada, pues será de un tipo o de otro, pero desde luego aporta información. 1, 0, menos 1, 2, 3.

77
00:07:45,829 --> 00:07:56,509
La siguiente fila, 2, menos 1, 0, 1, 3, no es igual a la anterior y tampoco vemos que sea múltiplo de la anterior.

78
00:07:57,350 --> 00:08:03,649
Aquí tengo un 2, aquí tengo un 1. Desde luego estos dos elementos no son iguales, con lo cual ya las dos filas no son iguales.

79
00:08:04,230 --> 00:08:12,629
Podría ser a priori que la segunda fila sea el doble de la primera fila, puesto que este 2 es el doble de este 1, pero eso no se cumple con todos los demás elementos.

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00:08:13,189 --> 00:08:25,250
Con lo cual, la fila 1 y la fila 2 son linealmente independientes. No son todas de ceros y no son una igual a la otra o un múltiplo de la otra.

81
00:08:25,250 --> 00:08:33,230
Así que, insisto, no sé cómo pueda estar codificada la información, pero desde luego la que aporta esta fila y la que aporta esta segunda fila van a ser distintas.

82
00:08:33,929 --> 00:08:38,730
Vamos a por la tercera fila. 3, menos 1, menos 1, 3, 6.

83
00:08:39,470 --> 00:08:42,470
En principio esta fila no es toda de ceros, luego aporta información.

84
00:08:43,309 --> 00:08:46,909
Ahora, ¿esta información es relevante?

85
00:08:47,389 --> 00:08:52,950
Bueno, pues para ello tendríamos que ver si esta fila es igual a alguna de las anteriores.

86
00:08:53,629 --> 00:08:57,509
Así, a primera vista, desde luego no, porque aquí tengo un 3, aquí tengo un 2, aquí tengo un 1.

87
00:08:57,649 --> 00:09:00,870
Evidentemente, esta tercera fila no es igual ni a la primera ni a la segunda.

88
00:09:01,750 --> 00:09:06,230
También tenemos que descartar que esta tercera fila sea un múltiplo de alguna de las anteriores.

89
00:09:06,889 --> 00:09:12,269
Bueno, podría ser 3 veces la fila 1, porque 3 por este 1 es igual a este 3, pero eso no ocurre con los demás.

90
00:09:12,269 --> 00:09:17,070
Así que la tercera fila no es 3 veces la fila 1, ni es ningún tipo de múltiplo de la fila 1.

91
00:09:17,070 --> 00:09:21,629
Podría ser que esta fila fuera múltiplo de la fila 2

92
00:09:21,629 --> 00:09:24,710
De hecho, podría ser 3 medios multiplicado por la fila 2

93
00:09:24,710 --> 00:09:26,970
Puesto que si multiplico 3 medios por 2, tengo este 3

94
00:09:26,970 --> 00:09:31,269
Ahora, si intentar hacer lo mismo con todos los demás elementos, esto no ocurriría

95
00:09:31,269 --> 00:09:36,009
Así que, en principio, esta fila no es un múltiplo de la fila 2

96
00:09:36,009 --> 00:09:38,830
Aporta información distinta de la fila 2

97
00:09:38,830 --> 00:09:44,450
Tendremos que también descartar que no sea una combinación lineal de las anteriores

98
00:09:44,450 --> 00:09:53,190
Y en este caso hemos de descartarla porque podemos comprobar que esta fila 3 es la suma de la fila 1 y la fila 2.

99
00:09:53,710 --> 00:10:02,529
Fijaos, 1 más 2 es este 3, 0 menos 1 es este menos 1, menos 1 más 0 es este menos 1, 2 más 1 es este 3, 3 más 3 es este 6.

100
00:10:03,090 --> 00:10:09,809
La tercera fila no es independiente de las otras dos, puesto que se puede determinar utilizándolas.

101
00:10:09,809 --> 00:10:15,070
De hecho, hay una combinación lineal, fila 1 más fila 2, que me produce esta fila 3.

102
00:10:15,710 --> 00:10:21,269
Esta fila 3 no es independiente de las otras, no contiene una información distinta, es la fila 1 más la fila 2.

103
00:10:21,429 --> 00:10:27,250
Conociendo esas dos filas podría determinar esta fila 3 y entonces no computa para el rango.

104
00:10:28,009 --> 00:10:36,309
Cuando hablaba de combinaciones lineales me refería precisamente a esto, o cuando me refería a independencia lineal me refería precisamente a esto.

105
00:10:36,870 --> 00:10:44,230
Una fila es linealmente independiente de las demás cuando no se puede determinar como una combinación lineal de las otras.

106
00:10:44,230 --> 00:10:49,929
Esto es, las otras sumadas o restadas multiplicadas por un coeficiente distinto de cero, en principio.

107
00:10:50,809 --> 00:10:53,570
Digo en principio porque no todos los coeficientes pueden ser cero.

108
00:10:53,690 --> 00:10:58,889
Si multiplico cero por unas cuantas filas y luego sumo o resto, obtengo una fila que es idénticamente nula.

109
00:10:58,990 --> 00:11:03,590
Y esa fila no aporta información, esa fila no es relevante para el rango.

110
00:11:03,590 --> 00:11:15,190
Ahora que ya hemos visto cuál es esta definición de rango de matrices, podemos ver cómo podríamos utilizar el método de Gauss para poder determinar el rango.

111
00:11:15,710 --> 00:11:26,649
Lo que he estado haciendo hace un momento de comprobar que una fila no es igual a las anteriores o no es múltiplo de las anteriores o no es combinación lineal de las anteriores no es muy factible,

112
00:11:27,149 --> 00:11:35,149
puesto que las combinaciones lineales de las filas anteriores que podrían corresponderse pueden ser en principio bastante complicadas.

113
00:11:35,149 --> 00:11:50,470
Aquí en este ejemplo estaba preparado la fila 3 era la fila 1 más la fila 2, pero podría haber tenido alguna combinación complicada como un tercio de la fila 1 menos dos tercios de la fila 2 que me produjera la fila 3 y no es tan fácil de ver a primera vista.

114
00:11:50,470 --> 00:11:58,250
El método de Gauss me va a permitir determinar de una forma algorítmica cuál es el rango de una matriz.

115
00:11:58,250 --> 00:12:12,830
Lo que vamos a hacer es utilizar las mismas transformaciones elementales que se estudiaban en primero de bachillerato a la hora de resolver sistemas de ecuaciones, sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas, para convertir esta matriz en escalonada.

116
00:12:12,830 --> 00:12:26,870
Y en el momento en el que esto lo hayamos hecho, ya hemos aplicado el algoritmo del método de Gauss hasta el final, el rango de la matriz va a ser igual al número de filas que no son todas conteniendo ceros.

117
00:12:27,289 --> 00:12:34,830
Como vemos aquí, va a ser el número de filas con algún elemento no nulo, que no sean todos los elementos cero.

118
00:12:35,830 --> 00:12:49,509
Volveremos a estudiar con más cuidado el método de Gauss cuando en una unidad posterior veamos cómo resolver sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas o de más de tres ecuaciones con más de tres incógnitas utilizando el método de Gauss.

119
00:12:50,450 --> 00:13:03,210
Con lo que hemos visto y recordando lo que habíamos estudiado del método de Gauss en el año anterior, podremos resolver estos dos ejercicios que resolveremos en clase y también resolveremos en alguna videoclase posterior.

120
00:13:03,210 --> 00:13:11,700
En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios.

121
00:13:12,440 --> 00:13:16,539
Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web.

122
00:13:17,360 --> 00:13:22,100
No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual.

123
00:13:22,659 --> 00:13:24,059
Un saludo y hasta pronto.