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00:00:12,210 --> 00:00:19,410
Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES Arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares.

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00:00:19,850 --> 00:00:25,309
Y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases de la unidad PR6 dedicada a la inferencia estadística.

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00:00:26,489 --> 00:00:34,659
En la videoclase de hoy estudiaremos la estimación puntual.

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00:00:35,759 --> 00:00:50,950
En esta videoclase vamos a estudiar la estimación puntual.

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00:00:51,570 --> 00:00:59,390
Recordemos que en la videoclase anterior, en la introducción, hablábamos de parámetros poblacionales, en principio desconocidos y que queríamos determinar,

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00:00:59,969 --> 00:01:05,230
estadísticos muestrales, que podíamos determinar en cuanto tomáramos una muestra y la estudiáramos,

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00:01:05,730 --> 00:01:12,629
y un estimador iba a ser un estadístico muestral que utilizábamos para intentar caracterizar un parámetro poblacional.

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00:01:13,170 --> 00:01:18,049
Bien, pues un estimador puntual es aquel que va a tomar un único valor real.

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00:01:18,049 --> 00:01:30,670
En aquella videoclase hablábamos de estimadores centrados y eficientes, eran las características que le pedíamos a un estimador para que realmente fuera útil a la hora de estimar el parámetro poblacional.

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00:01:30,670 --> 00:01:38,269
centrado, quería decir que en la distribución del estadístico muestral el valor esperado,

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00:01:38,609 --> 00:01:44,909
el valor medio, se correspondía con el parámetro poblacional y en cuanto a eficientes se refería

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00:01:44,909 --> 00:01:50,950
a que la varianza de esa distribución de los estadísticos fuera la menor posible. Pues bien,

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00:01:50,950 --> 00:01:56,890
en el caso de las distribuciones binomial y normal son estimadores centrados y eficientes

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00:01:56,890 --> 00:02:03,150
para los parámetros de centralización, esto es, para la binomial la proporción y para la normal la media,

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00:02:03,890 --> 00:02:05,430
bueno, pues lo que podríamos esperar.

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00:02:05,670 --> 00:02:09,710
Y lo que comenté como ejemplo en la videoclase anterior a la que me estoy refiriendo,

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00:02:10,569 --> 00:02:15,469
para la proporción poblacional pi es estimador centrado y eficiente la proporción muestral p,

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00:02:15,990 --> 00:02:21,669
para la media poblacional mu es estimador centrado y eficiente la media muestral x.

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00:02:21,669 --> 00:02:28,030
comparar. En aquel momento hablaba de la media poblacional y la media muestral como estimador

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00:02:28,030 --> 00:02:32,370
de la media poblacional. No decía que era un estimador puntual. Y no es el único estimador,

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00:02:32,490 --> 00:02:37,349
veremos en la siguiente sección otro tipo de estimadores que son estimadores por intervalo,

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00:02:37,430 --> 00:02:42,330
van a ser intervalos de confianza. Volviendo a lo que tenemos entre manos. En su momento recordé

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00:02:42,330 --> 00:02:49,250
en la videoclase anterior lo que vimos en la unidad anterior, hablando de muestreo. Yo quiero

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00:02:49,250 --> 00:02:55,409
determinar, voy a utilizar esto como ejemplo, la media de una cierta población y no la puedo

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00:02:55,409 --> 00:02:59,750
determinar puesto que no puedo estudiar la población completa. Voy a tomar una muestra

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00:02:59,750 --> 00:03:06,509
significativa, representativa, de tamaño n de esa población y de esa población, de esa muestra,

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00:03:06,509 --> 00:03:13,090
perdón, sí voy a poder calcular la media muestra del x con barra. Por supuesto yo puedo tomar

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00:03:13,090 --> 00:03:20,849
distintas muestras con el mismo tamaño. Si hago un muestreo aleatorio simple, el experimento aleatorio

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00:03:20,849 --> 00:03:25,810
que utilizo para seleccionar los miembros, los elementos de la muestra, no siempre va a arrojar

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00:03:25,810 --> 00:03:31,370
los mismos elementos. Así pues, en un caso obtendré un valor determinado de la media muestral porque

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00:03:31,370 --> 00:03:36,389
tengo una muestra concreta. En el siguiente caso, con una muestra diferente, puedo obtener un valor

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00:03:36,389 --> 00:03:40,930
distinto de la media muestral. ¿Qué es lo que ocurre? Que la distribución de todas estas medias

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00:03:40,930 --> 00:03:46,669
muestrales sigue una distribución estadística conocida, en concreto una distribución normal

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00:03:46,669 --> 00:03:53,009
con media igual a la media poblacional. Por eso la media muestral es un estimador centrado de la

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00:03:53,009 --> 00:03:57,449
media poblacional, puesto que su distribución tiene como esperanza matemática, se distribuye

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00:03:57,449 --> 00:04:04,090
alrededor de la media poblacional. Y en cuanto a la varianza de esa distribución de las medias

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00:04:04,090 --> 00:04:10,490
muestrales, era la varianza poblacional dividido entre n. Y para que el estimador sea lo más

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00:04:10,490 --> 00:04:14,509
eficiente posible, tengan la varianza lo más pequeña posible, ya discutíamos que lo que

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00:04:14,509 --> 00:04:19,509
necesitábamos era que el tamaño de la población fuera lo mayor posible y aquí tenemos una de las

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00:04:19,509 --> 00:04:24,709
leyes de los grandes números. ¿Por qué menciono esto? Aparte de para entender qué quiere decir

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00:04:24,709 --> 00:04:30,370
una vez más estimador centrado y hablar una vez más de la eficiencia del estimador, pues para

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00:04:30,370 --> 00:04:36,589
hacer hincapié en algo que va a ser importante más adelante. A nosotros en general en bachillerato

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00:04:36,589 --> 00:04:44,589
se nos va a pedir que estudiemos la proporción poblacional a partir de la proporción muestral o bien la media poblacional a partir de la media muestral.

44
00:04:45,829 --> 00:04:55,589
Para el caso concreto de la media muestral, la distribución de las medias muestrales depende no solamente de la media poblacional y nos va a servir para determinarla,

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00:04:56,250 --> 00:05:00,610
sino que para caracterizarla necesitamos de la varianza poblacional, lo acabo de decir.

46
00:05:00,610 --> 00:05:08,649
Es decir, la distribución de las medidas mostrales sigue una distribución normal centrada en la medida poblacional y con varianza la varianza poblacional entre n.

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00:05:09,170 --> 00:05:17,009
Así pues, en general, en los ejercicios, se nos va a dar como dato el valor de la desviación típica o bien de la varianza poblacional.

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00:05:17,970 --> 00:05:26,449
Esto no es realista. Si nosotros no conocemos la medida poblacional porque no conocemos la población, tanto menos vamos a conocer la varianza poblacional.

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00:05:26,449 --> 00:05:42,610
Existen distintas condiciones en las cuales podemos hacer ciertas aproximaciones que no van a ser adecuadas, pero ¿qué ocurre si nosotros no conociéramos ni pudiéramos estimar de ninguna otra manera cuál es el valor de la varianza poblacional?

50
00:05:43,050 --> 00:05:54,810
En ese caso podemos pensar en utilizar la varianza muestral por paralelismo para estimar la varianza poblacional o bien la desviación típica muestral para estimar la desviación típica poblacional.

51
00:05:54,810 --> 00:06:14,670
Y aquí quiero hacer hincapié en algo. Hemos de tener cuidado con un detalle. El estimador centrado y eficiente, que es lo que nosotros necesitamos, centrado es que apunte, entre comillas, ya sabéis, que la distribución esté alrededor del valor poblacional que yo necesito y eficiente de mínima varianza, que la dispersión sea lo menor posible.

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00:06:15,490 --> 00:06:21,829
Para los parámetros de dispersión, en este caso estoy pensando en la varianza, bueno, pues tenemos un problema.

53
00:06:22,810 --> 00:06:26,810
Para la varianza poblacional, me salto un momentito esta línea de aquí arriba, sigma cuadrado,

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00:06:27,810 --> 00:06:36,629
el estimador centrado y eficiente es no la varianza amostral, sino esta función de la varianza amostral, que tiene pinta de ser complicada.

55
00:06:37,250 --> 00:06:48,490
Es n-1 partido por n en el tamaño de la población, por n entre n-1, n minúscula, el tamaño de la muestra, y este s al cuadrado si es la varianza muestral.

56
00:06:48,490 --> 00:07:00,629
Así pues, el estimador centrado y eficiente de la varianza poblacional no es directamente la varianza muestral, sino que es esta función un tanto compleja.

57
00:07:00,629 --> 00:07:08,449
¿Quién es entonces directamente el estimador muestral del correspondiente parámetro poblacional?

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00:07:08,449 --> 00:07:14,050
Pues no ocurre con la varianza, sino ocurre con la así denominada cuasivarianza.

59
00:07:14,689 --> 00:07:21,610
Para la cuasivarianza poblacional, si es estimador centrado y eficiente, la cuasivarianza muestral.

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00:07:22,509 --> 00:07:27,310
Nosotros nunca, hasta este momento, hemos hablado de cuasivarianza y por esa razón,

61
00:07:27,310 --> 00:07:43,250
Lo primero, porque esto es importante, lo estoy mencionando, y para que quede bien definido, aquí tenemos esta nota al pie, que sabéis que no me gusta utilizar, prefiero contarlo de viva palabra, pero en este caso es lo bastante complejo como para que sea necesario.

62
00:07:43,250 --> 00:07:52,009
recordad cómo se definían las varianzas poblacionales y muestrales era la suma de los

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00:07:52,009 --> 00:07:58,089
cuadrados de las desviaciones con respecto de la media en el caso de la población sumo para todos

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00:07:58,089 --> 00:08:03,329
los elementos de la población y la media es la media poblacional en el caso de la varianza

65
00:08:03,329 --> 00:08:09,250
muestral lo que hago sumar para todos los elementos de la muestra y la media que utilizo

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00:08:09,250 --> 00:08:15,050
es la media muestral y lo que hacíamos era dividir entre el tamaño. Cuando teníamos la

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00:08:15,050 --> 00:08:20,670
varianza poblacional dividía entre n mayúscula tamaño de la población y cuando tenía la varianza

68
00:08:20,670 --> 00:08:26,209
muestral dividía entre n minúscula el tamaño de la media muestra, perdón, el tamaño de la muestra.

69
00:08:27,189 --> 00:08:34,929
En el caso de las cuasivarianzas el parámetro o bien el estadístico, dependiendo si hablo de la

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00:08:34,929 --> 00:08:40,850
población o de la muestra se calcula de forma análoga lo único que en lugar de dividir entre

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00:08:40,850 --> 00:08:47,389
el tamaño, ya sea de la población o de la muestra, se divide entre n-1, ya sea n el tamaño de la

72
00:08:47,389 --> 00:08:55,909
población o n minúscula el tamaño de la muestra. ¿Por qué entre n-1? Hay distintos argumentos

73
00:08:55,909 --> 00:09:03,169
matemáticos por los cuales para poder estimar no la varianza tenemos que utilizar la cuasivarianza

74
00:09:03,169 --> 00:09:13,769
Y es que, puesto que ya hemos tenido que determinar o bien ya hemos tenido que estimar la media polacional o la media amostral, es lo que hablamos de la teoría de los grados de libertad.

75
00:09:13,929 --> 00:09:19,350
Hemos perdido un grado de libertad y entonces no podemos dividir entre n, sino entre n menos 1.

76
00:09:21,049 --> 00:09:26,409
Grados de libertad es un concepto matemático lo bastante complicado como para que ahora no pueda hablar de ello.

77
00:09:26,409 --> 00:09:51,450
Pero la idea es esa, en última instancia. En general, en estadística, utilizamos las cuasivarianzas por comodidad, porque directamente para la cuasivarianza poblacional, y la definición es similar a la de la varianza, lo único que hay que tener en cuenta es que divido entre n-1 en lugar de n, como decía, para la cuasivarianza poblacional, es estimador centrado y eficiente directamente en la cuasivarianza muestra.

78
00:09:51,450 --> 00:10:05,429
¿Qué es lo que ocurre? Que si la diferencia entre la varianza y la cuasivarianza es únicamente este denominador n o n-1, hay una relación muy sencilla algebraica entre las cuasivarianzas y las varianzas.

79
00:10:05,830 --> 00:10:19,169
La cuasivarianza poblacional es n entre n-1, la varianza poblacional, con n el tamaño de la población, y la cuasivarianza muestral es n entre n-1 por la varianza muestral, siendo n el tamaño de la muestra.

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00:10:19,169 --> 00:10:39,269
Ahora, si nosotros lo que hacemos es pensar en que la cuasi-varianza poblacional se estima de una forma centrada y eficiente por la cuasi-varianza muestral y lo que hacemos es la transformación necesaria y la correspondiente para transformar estas cuasi-varianzas en varianzas, evidentemente la fórmula a la que vamos a llegar es esta.

81
00:10:40,029 --> 00:10:49,629
Para la varianza muestral, la función de la varianza muestral, perdón, para la varianza poblacional, esta función de la varianza muestral va a ser el estimador centrado y eficiente.

82
00:10:50,789 --> 00:11:06,269
Eso quiere decir que nosotros o bien estamos utilizando cuasivarianzas y utilizamos esta cuasivarianza muestral como estimador de la cuasivarianza poblacional y buscamos transformar los cálculos porque en la distribución que he mencionado anteriormente va la varianza, no la cuasivarianza.

83
00:11:06,269 --> 00:11:35,289
O bien podemos hacer lo siguiente. Considerar que en los límites en los que el tamaño de la población es suficientemente grande, idealmente tendiendo a infinito, y el tamaño de la muestra también es suficientemente grande, idealmente tendiendo a infinito, este n-1 partido por n tiende a 1, este n entre n-1 tiende a 1, y en ese caso la varianza poblacional sería un estimador centrado y eficiente para la varianza poblacional.

84
00:11:35,289 --> 00:11:56,789
Aquí tenemos una vez más una de las leyes de los grandes números. Si la población es o consideramos que es suficientemente grande y el tamaño de la muestra consideramos que es suficientemente grande, en ese caso podemos considerar por aproximación, puesto que esto sería uno, que la varianza muestral sería un estimador centrado y eficiente para la varianza población.

85
00:11:56,789 --> 00:12:14,639
Por esta razón no es descabellado lo que haremos en los ejercicios en el futuro. Si se nos da la varianza poblacional, en el caso en el que estemos estudiando la media poblacional a través de la media muestral, si la varianza poblacional se nos da, la utilizaremos.

86
00:12:14,639 --> 00:12:24,659
Si la varianza poblacional no se nos da, utilizaremos la varianza muestral como estimador centrado y eficiente para la varianza poblacional.

87
00:12:25,019 --> 00:12:35,919
Pero lo que quiero que tengáis claro es que esto ocurre únicamente en los límites en los que consideremos que el tamaño de la población y el tamaño de la muestra, ambos, son suficientemente grandes.

88
00:12:36,139 --> 00:12:38,440
Idealmente, ambos tienden a infinito.

89
00:12:38,440 --> 00:12:45,440
Y no olvidéis que es la cuasivarianza muestral quien es estimador centrado y eficiente de la cuasivarianza poblacional.

90
00:12:46,460 --> 00:12:56,440
Y los estadísticos utilizamos con carácter general la cuasivarianza en lugar de la varianza por esta propiedad buena a la hora de estimar de las cuasivarianzas,

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00:12:57,559 --> 00:13:03,440
aparte de otras disquisiciones que exceden del ámbito de las matemáticas de bachillerato.

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00:13:03,440 --> 00:13:09,340
bachillerato. Con esto que hemos visto ya se pueden resolver estos ejercicios 1 y 2 que

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00:13:09,340 --> 00:13:17,019
resolveremos en clase y que resolveremos en una videoclase posterior. En el aula virtual de la

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00:13:17,019 --> 00:13:23,440
asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios. Asimismo tenéis más información

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00:13:23,440 --> 00:13:28,679
en las fuentes bibliográficas y en la web. No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes

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00:13:28,679 --> 00:13:33,279
a clase o al foro de dudas en el aula virtual. Un saludo y hasta pronto.

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00:13:33,440 --> 00:13:33,740
CC por Antarctica Films Argentina