1
00:00:00,000 --> 00:00:05,000
Dados dos planos del espacio que no sean paralelos,

2
00:00:05,000 --> 00:00:12,000
tenemos que los puntos de corte, la intersección de ambos, es siempre una recta.

3
00:00:12,000 --> 00:00:20,000
Entonces, una manera de determinar, de elegir, de expresar una recta en el espacio

4
00:00:20,000 --> 00:00:29,000
es directamente dar dos planos que la contengan, porque deben cortarse justamente en esa recta.

5
00:00:29,000 --> 00:00:33,000
Decimos entonces que las ecuaciones de los dos planos conjuntamente

6
00:00:33,000 --> 00:00:37,000
constituyen unas ecuaciones implícitas de la recta.

7
00:00:37,000 --> 00:00:41,000
Por supuesto no hay solo dos planos que se corten en esa recta,

8
00:00:41,000 --> 00:00:46,000
hay infinitos planos, todos ellos pasando por la misma recta.

9
00:00:46,000 --> 00:00:53,000
Y una pareja cualquiera de ellos serviría para determinar la recta.

10
00:00:53,000 --> 00:00:58,000
Es decir, una misma recta puede tener infinitas ecuaciones implícitas.

11
00:00:58,000 --> 00:01:04,000
Desde el punto de vista del álgebra, dar las ecuaciones implícitas de una recta

12
00:01:04,000 --> 00:01:13,000
es entonces dar simplemente un sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas, de grado uno.

13
00:01:13,000 --> 00:01:19,000
El rango del sistema, es decir, tanto de su matriz ampliada como de la matriz de coeficientes,

14
00:01:19,000 --> 00:01:25,000
debe ser dos, porque esto es lo que hace que el sistema sea compatible indeterminado

15
00:01:25,000 --> 00:01:33,000
y que admita por tanto infinitas soluciones, que son las coordenadas de los infinitos puntos de la recta.

16
00:01:33,000 --> 00:01:40,000
Esta última condición se cumple si geométricamente los planos pi1 y pi2 no son paralelos,

17
00:01:40,000 --> 00:01:45,000
porque entonces los vectores normales a dichos planos tampoco serán paralelos,

18
00:01:45,000 --> 00:01:53,000
es decir, no serán proporcionales, y sus coordenadas a, b, c, a', b' y c'

19
00:01:53,000 --> 00:01:58,000
formarán una matriz de rango dos con vectores no proporcionales.

20
00:01:58,000 --> 00:02:02,000
A diferencia de lo que pasaba con el resto de ecuaciones de la recta,

21
00:02:02,000 --> 00:02:07,000
en las ecuaciones implícitas no podemos leer la información geométrica,

22
00:02:07,000 --> 00:02:15,000
es decir, ahí no tenemos escrita o en ningún lugar dónde está o cuál es un punto de la recta

23
00:02:15,000 --> 00:02:19,000
ni cuál es su vector director.

24
00:02:19,000 --> 00:02:23,000
Tenemos aquí a la recta R dada como intersección de dos planos

25
00:02:23,000 --> 00:02:27,000
y queremos estudiar la relación entre las direcciones de los planos y la de la recta.

26
00:02:27,000 --> 00:02:35,000
Consideramos entonces el vector n1, normal al plano, el que nos da la dirección perpendicular al plano,

27
00:02:35,000 --> 00:02:44,000
y el vector n2, que es el normal al otro plano, el que nos da la dirección perpendicular al otro plano.

28
00:02:45,000 --> 00:02:51,000
Y por último vamos a considerar el vector director de la recta, el que nos da la dirección de la recta a intersección.

29
00:02:51,000 --> 00:02:55,000
Y vamos a observar la relación entre estos tres vectores.

30
00:02:55,000 --> 00:03:02,000
Bueno, pues lo que subamos aquí es que v es perpendicular al plano determinado por n1 y n2.

31
00:03:02,000 --> 00:03:09,000
Es perpendicular simultáneamente a ambos vectores, y esto debe ser así porque la recta está contenida

32
00:03:09,000 --> 00:03:16,000
en un plano que es perpendicular al vector verde, luego v y n2 tienen que ser perpendiculares.

33
00:03:16,000 --> 00:03:21,000
Y de la misma manera la recta está contenida en el plano morado,

34
00:03:21,000 --> 00:03:28,000
y el vector n1 es perpendicular a todo el plano morado, así que v y n1 también deben ser perpendiculares.

35
00:03:30,000 --> 00:03:35,000
Pero si el vector director v es perpendicular simultáneamente a n1 y a n2,

36
00:03:35,000 --> 00:03:41,000
eso quiere decir que podemos obtener un vector director haciendo el producto vectorial de ambos vectores normales

37
00:03:41,000 --> 00:03:50,000
que están dados por los coeficientes de x, y y z en las ecuaciones de los planos.

38
00:03:50,000 --> 00:04:01,000
En nuestro ejemplo, un vector director de R se obtendría haciendo el producto vectorial de 0, 1, menos 2, por 3, 1, 1,

39
00:04:01,000 --> 00:04:06,000
que son los coeficientes que observamos en estas ecuaciones.

40
00:04:06,000 --> 00:04:11,000
Por otro lado, es fácil encontrar las coordenadas de un punto cualquiera de la recta

41
00:04:11,000 --> 00:04:17,000
sin más que inventarnos, eligiendo al azar una de las coordenadas de ese punto

42
00:04:17,000 --> 00:04:20,000
y despejando las otras dos de las ecuaciones implícitas.

43
00:04:20,000 --> 00:04:28,000
Por ejemplo, si elegimos que z sea 0, la primera ecuación nos estará diciendo entonces en este caso

44
00:04:28,000 --> 00:04:42,000
que y debe ser 4, e introduciendo 4 y 0 en la segunda ecuación, obtendremos que x tiene que ser 17 tercios.

45
00:04:42,000 --> 00:04:47,000
Tenemos así ahora un procedimiento para obtener, a partir de las ecuaciones implícitas,

46
00:04:47,000 --> 00:04:51,000
el vector director de la recta y un punto cualquiera de la recta,

47
00:04:51,000 --> 00:04:55,000
eligiendo una coordenada y despejar las otras dos del sistema.