1
00:00:00,370 --> 00:00:07,509
Bueno, este vídeo es acerca de los números complejos y está centrado sobre todo en ecuaciones de números complejos.

2
00:00:08,150 --> 00:00:12,529
Partimos del caso en el cual z a la cuarta menos 8z es igual a cero.

3
00:00:13,050 --> 00:00:22,469
Como estamos en el campo de los complejos, al ser una z elevado a 4, estamos en una ecuación de cuarto grado,

4
00:00:23,030 --> 00:00:24,289
y va a tener cuatro raíces.

5
00:00:24,289 --> 00:00:31,750
Cuando estábamos en el campo de los reales, pues a ver si podíamos decir que alguna raíz no existía dentro de los reales y demás.

6
00:00:31,850 --> 00:00:37,049
Sin embargo, los complejos van a existir todas, ¿vale? En este caso, las cuatro raíces.

7
00:00:38,270 --> 00:00:47,509
¿Qué es lo que hacemos? Pues sacamos factor común Z, con lo cual Z a la cuarta menos 8Z igual a 0 se convierte en Z,

8
00:00:47,509 --> 00:00:54,070
porque multiplica Z al cubo menos 8 igual a 0. Cuando nosotros tenemos un producto que es igual a 0,

9
00:00:54,909 --> 00:00:58,729
Entonces, o A es igual a 0 o B es igual a 0.

10
00:00:59,070 --> 00:01:00,109
Aquí, ¿qué es lo que hacemos?

11
00:01:00,429 --> 00:01:02,590
Pues Z lo igualamos a 0.

12
00:01:03,090 --> 00:01:06,430
Ya tenemos una de las raíces.

13
00:01:07,030 --> 00:01:10,650
Y luego tenemos que Z al cubo menos 8 es igual a 0.

14
00:01:10,650 --> 00:01:17,069
Si despejamos de aquí Z, vemos que Z es igual a la raíz cúbica de 8.

15
00:01:17,069 --> 00:01:25,069
Y aquí al estar en el complejo tenemos tres raíces complejas.

16
00:01:25,930 --> 00:01:41,209
Hay gente que piensa que evidentemente raíz 3 de 8 es igual a 2 y si nosotros estuviéramos en el campo de los reales pues una raíz sería x igual a 0 y otra raíz sería x igual a 2.

17
00:01:41,209 --> 00:01:46,469
Y las otras dos, pues no existen dentro de los reales.

18
00:01:46,549 --> 00:01:52,989
Pero al ser un número complejo, nosotros partimos de la raíz cúbica de 8.

19
00:01:53,430 --> 00:01:57,750
¿8 en qué forma está? 8 está en la forma binómica.

20
00:01:58,250 --> 00:02:01,049
La forma binómica es a más b.

21
00:02:01,730 --> 00:02:07,689
Entonces lo que hacemos nosotros es representarlo en el eje colar.

22
00:02:07,689 --> 00:02:23,050
Esta es la parte real de Z, esta es la parte imaginaria de Z, y como nosotros tenemos 8 que es igual a A más B, pues aquí sabemos que A vale 8 y que B vale 0.

23
00:02:23,050 --> 00:02:42,729
¿Dónde está el 8? Pues aquí. Entonces, este vector de aquí, este punto que es el 8,0, ¿vale? En polar, ¿cómo sería? Pues el 8 en polar es igual a 8 de módulo.

24
00:02:42,729 --> 00:02:49,430
¿Y qué grado forma este vector con el semieje positivo? Pues cero grado.

25
00:02:49,969 --> 00:02:58,889
¿De acuerdo? Entonces, el número complejo 8 en polar es 8 cero grado.

26
00:02:59,509 --> 00:03:08,289
¿Cómo hallamos las tres raíces? Pues nosotros sabemos aquí que tenemos una z sub 1, una z sub 2 y una z sub 3.

27
00:03:08,990 --> 00:03:19,310
El módulo va a ser raíz cúbica de 8, que sabemos que es 2, raíz cúbica de 8, que es 2, y raíz cúbica de 8.

28
00:03:20,789 --> 00:03:26,569
¿Qué es lo que hacíamos? Pues dividíamos precisamente ese ángulo en polar entre 3.

29
00:03:26,710 --> 00:03:29,849
¿Por qué entre 3? Porque es una raíz cúbica.

30
00:03:29,849 --> 00:03:33,990
Si tuviéramos una raíz cuarta, lo dividíamos entre 4. Esto da 0.

31
00:03:33,990 --> 00:03:50,949
Entonces, la primera raíz, pues, está ahí en 0 grados, y esto es igual a 12, que es lo que ya habíamos hecho nosotros si lo hubiésemos hecho en el cuerpo de los reales.

32
00:03:50,949 --> 00:03:56,789
¿Qué ocurre? Que nosotros ahora tenemos que dividir 360 entre 3 también

33
00:03:56,789 --> 00:03:59,110
¿Por qué entre 3? Porque es una raíz cúbica

34
00:03:59,110 --> 00:04:04,490
Si fuese una raíz quinta, pues dividiríamos entre 5

35
00:04:04,490 --> 00:04:07,370
Y esto nos da 120 grados

36
00:04:07,370 --> 00:04:10,889
Con lo cual, este es el 2,0

37
00:04:10,889 --> 00:04:18,209
Que si le sumamos 120 grados, este es 120 grados

38
00:04:18,209 --> 00:04:23,490
Y este es el número polar E2, 240 grados.

39
00:04:23,769 --> 00:04:28,009
Entonces, ¿cuáles son las cuatro raíces de esta ecuación?

40
00:04:28,189 --> 00:04:32,569
Pues Z1 es igual a 2, 0.

41
00:04:33,449 --> 00:04:37,470
Z2 es igual a 220 grados.

42
00:04:38,370 --> 00:04:41,970
Z3 es igual a 2, 240 grados.

43
00:04:42,449 --> 00:04:45,089
Y Z4 era 0.

44
00:04:46,129 --> 00:04:46,509
¿De acuerdo?

45
00:04:46,509 --> 00:04:56,550
Estas son las cuatro raíces de mi ecuación compleja.

46
00:04:57,769 --> 00:05:06,589
Importante distinguir este caso aquí en los reales cuando nos hubiéramos quedado con x igual a 0 y x igual a 2,

47
00:05:07,069 --> 00:05:12,949
pero sin embargo en los complejos tenemos 1, 2, 3 y 4 raíces.

48
00:05:12,949 --> 00:05:15,649
voy a hacer

49
00:05:15,649 --> 00:05:17,930
ahora otro ejercicio

50
00:05:17,930 --> 00:05:19,170
que me interesaba mucho

51
00:05:19,170 --> 00:05:21,670
que creo que es el 21B

52
00:05:21,670 --> 00:05:23,730
donde nos pone

53
00:05:23,730 --> 00:05:25,970
Ic al cubo

54
00:05:25,970 --> 00:05:27,250
menos 27

55
00:05:27,250 --> 00:05:29,569
igual a 0, voy a cambiar de color

56
00:05:29,569 --> 00:05:31,769
para realizarlo

57
00:05:31,769 --> 00:05:33,550
¿vale? pues aquí ¿qué hacemos?

58
00:05:33,889 --> 00:05:35,689
pues pasamos

59
00:05:35,689 --> 00:05:37,790
el 27 al otro

60
00:05:37,790 --> 00:05:39,250
miembro, nos queda

61
00:05:39,250 --> 00:05:41,550
Ic al cubo igual a 27

62
00:05:41,550 --> 00:05:47,790
y multiplicamos, esta Y que está multiplicando pasa dividiendo,

63
00:05:47,930 --> 00:05:52,910
con lo cual tenemos que Z al cubo es 27 partido por Y.

64
00:05:53,730 --> 00:05:54,589
Pero ¿qué ocurre?

65
00:05:54,850 --> 00:05:58,029
Que nosotros no sabemos dividir complejo.

66
00:05:58,029 --> 00:06:07,470
Bueno, sí sabemos, pero no se hace como una división normal,

67
00:06:07,470 --> 00:06:16,709
Sino que cuando dividimos por un número complejo, recordad, tenemos que hacer multiplicar arriba y abajo por subconjugado.

68
00:06:17,009 --> 00:06:19,970
Nuestro número complejo en este caso va a ser i.

69
00:06:21,350 --> 00:06:26,430
¿Eso qué quiere decir? Que subconjugado es menos i.

70
00:06:27,410 --> 00:06:31,649
Por lo tanto multiplicamos aquí por menos i y aquí por menos i.

71
00:06:32,209 --> 00:06:33,170
¿Y qué obtenemos?

72
00:06:33,170 --> 00:06:39,550
Pues tenemos menos 27i arriba y abajo tenemos menos i al cuadrado.

73
00:06:39,970 --> 00:06:42,870
¿Cuánto varía i al cuadrado?

74
00:06:43,050 --> 00:06:48,310
i al cuadrado era menos 1, por lo tanto, menos i al cuadrado es igual a 1.

75
00:06:50,069 --> 00:06:57,189
Esto de aquí es menos 27i partido de 1 igual a menos 27i.

76
00:06:57,189 --> 00:07:01,769
volviendo a lo de antes

77
00:07:01,769 --> 00:07:05,350
tenemos que z al cubo es igual a menos 27i

78
00:07:05,350 --> 00:07:13,529
por lo tanto z es la raíz cúbica de menos 27i

79
00:07:13,529 --> 00:07:21,170
el argumento que hay dentro de la raíz es menos 27i

80
00:07:21,170 --> 00:07:25,829
que representado gráficamente vemos que es aquí

81
00:07:25,829 --> 00:07:37,750
Este es el punto 0, menos 27, ¿de acuerdo? Esto de aquí es el vector asociado a menos 27i.

82
00:07:38,889 --> 00:07:50,949
¿Qué observamos aquí? Pues que el módulo, el módulo de esto, perdón, el módulo de esto mide 27, vaya de la.

83
00:07:50,949 --> 00:07:55,990
Esto en polar es 27 de módulo

84
00:07:55,990 --> 00:08:06,009
¿Y cuánto es el ángulo que forma este vector con el semieje positivo de las X en sentido antihorario?

85
00:08:06,009 --> 00:08:10,430
Pues es 270 grados

86
00:08:10,430 --> 00:08:15,990
Una vez que ya tenemos el menos 27Y en forma polar

87
00:08:15,990 --> 00:08:17,910
en forma polar

88
00:08:17,910 --> 00:08:18,689
pues

89
00:08:18,689 --> 00:08:22,129
ya nos es fácil

90
00:08:22,129 --> 00:08:23,930
hallar las raíces

91
00:08:23,930 --> 00:08:25,449
de aquí, tenemos

92
00:08:25,449 --> 00:08:28,250
Z1, Z2

93
00:08:28,250 --> 00:08:29,990
y Z3

94
00:08:29,990 --> 00:08:32,049
Z1 que es

95
00:08:32,049 --> 00:08:34,110
pues la raíz cúbica

96
00:08:34,110 --> 00:08:35,850
de 27

97
00:08:35,850 --> 00:08:37,330
que sabemos que es 3

98
00:08:37,330 --> 00:08:39,509
3 por 3 es 9, 3 por 9 es 27

99
00:08:39,509 --> 00:08:40,830
aquí igual

100
00:08:40,830 --> 00:08:43,450
raíz cúbica de 27

101
00:08:43,450 --> 00:08:45,330
esto es igual a

102
00:08:45,330 --> 00:08:57,769
raíz cúbica de 27. Y ahora, ¿qué ponemos aquí? Pues lo de siempre. Hacemos 270 grados,

103
00:08:57,909 --> 00:09:05,529
que es el argumento principal, entre 3. ¿Por qué entre 3? Porque es raíz cúbica. Con

104
00:09:05,529 --> 00:09:12,450
lo cual, eso, si no me equivoco, es 90 grados. Pues aquí ponemos 90 grados. ¿Y ahora qué

105
00:09:12,450 --> 00:09:20,169
hacemos? Pues 360 grados, lo dividimos también entre 3, que es 120 grados. Pues eso es lo

106
00:09:20,169 --> 00:09:28,370
que tenemos que sumar a 90 para el siguiente argumento. 120 más 90 es 210 grados, y aquí

107
00:09:28,370 --> 00:09:39,049
volvemos a sumar a 120 grados y tenemos 330 grados. Si nosotros el color representáramos

108
00:09:39,049 --> 00:09:49,370
bien y demás, pues tenemos aquí el 27, aquí tenemos 210 y aquí 210 formaríamos

109
00:09:49,370 --> 00:10:03,720
un triángulo, un triángulo equilátero. ¿De acuerdo? Vamos a hacer otro. Vamos a

110
00:10:03,720 --> 00:10:20,730
Vamos a hacer el ejercicio, a ver, perdón, creo que está aquí abajo, a ver, este de aquí, que es el 21B, que es IZ a la cuarta más 4 igual a 0.

111
00:10:21,490 --> 00:10:24,470
¿Cómo actuamos aquí? Pues igual.

112
00:10:24,470 --> 00:10:27,450
vamos a despejar la Z

113
00:10:27,450 --> 00:10:29,509
por lo tanto tenemos que

114
00:10:29,509 --> 00:10:32,230
IZ a la cuarta es igual a menos 4

115
00:10:32,230 --> 00:10:37,970
y Z a la cuarta es igual a menos 4 partido de I

116
00:10:37,970 --> 00:10:42,049
¿Cómo se dividen los números complejos?

117
00:10:42,169 --> 00:10:44,669
Pues multiplicando arriba y abajo

118
00:10:44,669 --> 00:10:46,029
por su conjugado

119
00:10:46,029 --> 00:10:49,149
el conjugado de I es menos I

120
00:10:49,149 --> 00:10:52,450
lo de arriba nos queda 4I

121
00:10:52,450 --> 00:10:56,289
Y lo de abajo me queda menos i al cuadrado.

122
00:10:56,409 --> 00:11:02,909
Como i al cuadrado es menos 1, menos menos 1, esto es igual a 4i.

123
00:11:03,570 --> 00:11:06,509
Partido de 1 es igual a 4i.

124
00:11:07,970 --> 00:11:08,389
¿De acuerdo?

125
00:11:09,450 --> 00:11:12,889
Pues, nada, adelante.

126
00:11:12,889 --> 00:11:20,570
Ahora tenemos que z4 es igual a 4i.

127
00:11:20,570 --> 00:11:26,190
Por lo tanto, z es la raíz cuarta de 4i.

128
00:11:26,529 --> 00:11:28,330
¿Cuántas raíces vamos a tener?

129
00:11:28,970 --> 00:11:30,629
Pues, 4.

130
00:11:31,169 --> 00:11:43,750
Vamos a tener, perdón, vamos a tener z1, z2, z3 y z4.

131
00:11:45,450 --> 00:11:49,990
¿Cuál es mi número 4i que es andinómico en polares?

132
00:11:49,990 --> 00:11:59,889
Pues si yo lo represento, el 4Y está aquí, es el 0,4, ¿vale? Está aquí.

133
00:12:00,490 --> 00:12:02,789
Entonces, ¿cuál es su módulo? Pues 4.

134
00:12:03,049 --> 00:12:08,889
¿Y cuánto es el ángulo que forma con el semieje positivo de las X?

135
00:12:09,090 --> 00:12:11,789
Pues este ángulo de aquí es 90 grados.

136
00:12:11,789 --> 00:12:29,110
Con lo cual, para las raíces, pues yo tengo aquí la raíz cuarta de 4, la raíz cuarta de 4, es decir, siempre la raíz cuarta de su módulo, la raíz cuarta de su módulo.

137
00:12:29,210 --> 00:12:40,889
Y ahora, ¿qué hacemos? Pues dividimos 90 grados, que es este original de allí, entre 4, porque 4 son el número de la raíz, ¿vale? La raíz, el índice de la raíz.

138
00:12:41,529 --> 00:12:45,230
90 entre 4, si no me equivoco, es 22,5 grados.

139
00:12:45,730 --> 00:12:49,210
Entonces, aquí ponemos el 22,5 grados.

140
00:12:50,429 --> 00:12:52,190
Aquí, ¿será que hacemos siempre igual?

141
00:12:52,190 --> 00:12:57,250
360 grados entre 4, eso es 90 grados.

142
00:12:57,610 --> 00:13:08,190
Entonces, si le sumamos 90 más 22,5 es 112,5 grados.

143
00:13:08,190 --> 00:13:16,789
Si aquí nosotros le sumamos 90 grados otra vez, pues es 202,5 grados.

144
00:13:17,110 --> 00:13:21,190
Y si le sumamos 90, 292,5 grados.

145
00:13:22,250 --> 00:13:31,990
Con lo cual nosotros ya tenemos las cuatro raíces de mi ecuación en números complejos.

146
00:13:33,629 --> 00:13:35,769
¿Qué es lo importante aquí?

147
00:13:35,769 --> 00:13:40,649
Y, pues, darnos cuenta de que este número complejo Y que está dividiendo,

148
00:13:41,230 --> 00:13:43,710
¿cómo se quita o cómo se hace esa división?

149
00:13:43,809 --> 00:13:45,549
Pues multiplicando por conjugado.

150
00:13:45,970 --> 00:13:46,169
¿Vale?

151
00:13:47,169 --> 00:13:51,009
Y vamos ahí ya al último ejercicio.

152
00:13:51,309 --> 00:14:00,970
El último ejercicio, que es el 23A, me dice que Z a la cuarta menos 1 es igual a 0.

153
00:14:02,590 --> 00:14:05,129
Vamos a cambiar el color para hacerlo.

154
00:14:05,769 --> 00:14:19,230
¿Y qué observamos aquí? Pues que Z a la cuarta es de cuarto grado, va a tener cuatro raíces, ¿vale? Cuatro raíces.

155
00:14:20,289 --> 00:14:30,190
Como siempre, despejamos la Z. Z a la cuarta es igual a 1, Z es igual a la raíz cuarta de 1.

156
00:14:30,190 --> 00:14:36,090
este 1 está en forma dinámica

157
00:14:36,090 --> 00:14:37,610
vamos a representarlo

158
00:14:37,610 --> 00:14:41,070
esta es la parte real de Z

159
00:14:41,070 --> 00:14:44,090
y esta es la parte imaginaria de Z

160
00:14:44,090 --> 00:14:47,990
este número, su asfijo es el 1,0

161
00:14:47,990 --> 00:14:49,250
¿y el 1,0 cuál es?

162
00:14:49,450 --> 00:14:51,690
pues este de aquí, es el 1,0

163
00:14:51,690 --> 00:14:55,950
¿cuál es el módulo de este vector?

164
00:14:56,529 --> 00:14:59,830
pues el 1 en dinámica

165
00:14:59,830 --> 00:15:07,970
equivale a un número polar complejo de módulo 1 y de ángulo 0 grados.

166
00:15:08,509 --> 00:15:10,090
Lo vemos aquí que es 0 grados.

167
00:15:10,830 --> 00:15:13,190
Entonces, ¿qué ocurre?

168
00:15:13,190 --> 00:15:15,429
Pues nada, hacemos lo de siempre.

169
00:15:15,850 --> 00:15:18,629
0 entre 4, ¿cuánto es? 0.

170
00:15:19,049 --> 00:15:23,490
Y 360 entre 4, ¿cuánto es? 90.

171
00:15:23,490 --> 00:15:31,809
Por lo tanto, Z sub 1 aquí es igual a 1 y aquí 0 grados, que es este de aquí.

172
00:15:32,929 --> 00:15:42,210
Z sub 2 es igual a 1, 90 grados, que se le suma por la división de 360 entre 4.

173
00:15:43,070 --> 00:15:52,370
Z sub 3 es 1, 180 grados, y Z sub 4 es igual a 1, 270 grados.

174
00:15:52,370 --> 00:16:06,789
Si nosotros esto representamos las raíces, vemos que tenemos aquí el 1, el 1,0, este es el 1,90, este es el 1,180 y este es el 1,270.

175
00:16:07,210 --> 00:16:15,429
Si nosotros lo unimos, tenemos aquí un cuadrado, ¿vale?

176
00:16:15,929 --> 00:16:19,370
Donde precisamente esto de aquí, pues vale 1.

177
00:16:19,710 --> 00:16:21,750
¿Cuánto valdría este lado?

178
00:16:21,750 --> 00:16:30,409
Pues nosotros aquí podemos aplicar Pitágoras, porque esto vale 1, esto vale 1 y esto de aquí vale raíz de 2, ¿de acuerdo?

179
00:16:32,289 --> 00:16:40,409
Vale, pues espero que os haya servido este vídeo, si tenéis alguna duda, por supuesto, pregúntame, ¿vale?

180
00:16:40,690 --> 00:16:41,129
Saludos.